基于STEAM理念的数学文化项目式学习案例开发

【摘要】STEAM教育的核心理念是将不同学科之间的知识和技能相互融合，以创造性的方式解决实际问题。文章立足STEAM理念，从项目启动阶段、项目规划阶段、项目开展阶段、项目展示评价4个关键教学阶段出发，以“神奇的多面体”为例，对基于STEAM理念的数学文化项目式学习案例的开发与实施进行教学设计。【关键词】STEAM理念；数学文化；项目式学习；多面体STEAM教育是一种综合性的教育模式，它将科学、技术、工程、艺术和数学融合在一起，旨在培养学生的创新能力、解决问题的能力和团队合作精神。STEAM教育的核心理念是将不同学科之间的知识和技能相互融合，以创造性的方式解决实际问题。数学作为基础学科，在科学、技术、工程和艺术等学科都具有广泛的应用性，能够统整其余4门学科于一体，实现跨学科融合。但STEAM理念作为一种舶来品，落地中国教育仍面临着诸多困境［1］。一方面，囿于分科课程的限制，数学课程资源缺乏整合；另一方面，其落地困顿于教学实践手段的融合。因此，STEAM理念作为当下数学教育的改革方向，迫切需要相应的载体，也值得为之进行大胆的探索与尝试。以项目学习作为沟通数学文化与STEAM理念的桥梁，是实施跨学科教学的有效方式。为此，基于STEAM理念来开发数学文化项目式学习案例，建构相关的路径与进行具体的案例教学，可以很好地发挥STEAM教育理念对数学教学的促进作用，为学生的数学核心素养培养以及学科融合发展提供借鉴。本文尝试以“神奇的多面体”为例探讨其具体开发与实施过程，课例内容可设置在学习人教版高中数学必修第二册第八章“8.3简单几何体的表面积与体积”之后，需要3课时。一、项目启动阶段：主题与目标的确定（一）主题确定项目学习的主题是指某个待探究的数学课题或者亟待解决的情境性问题［2］。本文尝试以“神奇的多面体”为例，围绕多面体的制作及其蕴含的学科知识等展开。项目“制作多面体”对学生的动手能力、自主探究能力等都提出了较高要求。在探究的过程中，需要学生寻找顶点数、棱数、面数之间的关系，作出多面体的展开图，旨在培养学生数学抽象、直观想象、数学建模、逻辑推理等数学学科核心素养。从正多面体到半正多面体等其他多面体，学生需要经历类比探究的过程。同时，学生能够初步感知拓扑学中的变与不变。多面体的发展伴随着天文学的发展、哲学的追问以及人类思想的进步，使学生能在其中感受到历史演变之中数学的魅力；在了解多面体中有关数学史的同时，学生也能体验到毕达哥拉斯、欧拉等伟大数学家们孜孜不倦、追求真理的精神；还能够在多面体模型中深刻感受数学的对称美、和谐美以及数学的神奇［3］。除此以外，多面体与化学、生物、艺术设计等方面都有着密切的联系。在本项目中，学生还需要借助信息技术手段作多面体展开图、立体图，对信息技术的运用也有一定考查。正是因为多面体与数学文化及诸多学科知识的紧密联系，我们可以充分挖掘其中蕴含的数学文化与跨学科内涵，通过开发以“神奇的多面体”为主题的项目，进而开发系列拓展研究。（二）目标确定基于STEAM理念的数学文化项目式学习既要具备一般项目式学习目标的特征，又要凸显数学的文化价值和跨学科价值。具体可分为基础知识、综合能力和精神品质［4］三个维度。二、项目规划阶段在明确项目主题与目标后，需要考虑与之相关的知识内容，形成知识结构图。在项目规划阶段，将主题分解为可实施的子项目学习活动，并考虑进行子项目活动对学生的要求。以“神奇的多面体”为项目活动主题，正多面体的发展历史、设计制作及其立体模型，涉及不少数学文化知识，为项目的开展提供丰富的素材。这个主题可以分解成两个大的任务以及每个任务下的子任务，如图1。各个子任务需要调动起数学或其他学科的相关知识或能力，如晶体相关知识、艺术欣赏能力等。项目活动的物理环境是以围坐式布局的多媒体教室，师生人手配备学习平板，且平板中安装有GeoGebra3D计算器。在此阶段还需准备好项目活动所需原材料，如剪刀、卡纸、多边形磁力片、化学球棍模型学具等。为落实本文所提出的案例，在项目具体开展阶段，将实践路径划分为循环进行的五个阶段，如图2。在项目规划阶段要充分考虑学生可能遇到的问题，具体开展时应通过适当的引导帮助学生搭建学习支架，使其能够更好地抽象出数学问题，为后续开展其他相关项目式学习提供参考。本项目围绕“任务一：制作正多面体”与“任务二：制作其他多面体”展开，并利用任务一的探究过程为学生搭建探究多面体的支架。任务二则主要类比任务一在课外自主完成探究，在课堂上进行成果展示。三、项目开展阶段由于项目式学习以学生为中心，以小组合作探究为主要形式，内容涉及动手制作部分，全部使用课内教学时间可能不够，因此可以采用课内课外相结合的形式。例如以小组为单位在课外完成查阅资料、准备材料、具体制作等活动，在课内开展设计方案、完成项目、匯报交流等核心内容。本案例可设置为3个课时。其中，任务一2课时，任务二1课时。任务一：制作正多面体（第1课时）（一）创设情境，呈现项目创设情境早在古典时期，多面体就已经为人所知。它不仅在数学中扮演着重要角色，还在哲学中有着重要影响，并且在不同的学科领域之间架起了桥梁。在阿什莫尔博物馆中，陈列着4000年前苏格兰新石器时期的正多面体刻石。多面体在我们的生活中无处不在。足球是最常见的半正多面体。化学中的许多晶体也呈现出多面体的几何模型。今天，让我们一起走进“神奇的多面体”的项目式学习。问题1-1如图3，观察刻石图片，它们有什么共同特征？设计意图：创设情境，让学生了解生活中的多面体，并以其中一种特殊多面体——正多面体引入课堂。教师让学生欣赏刻石，并寻找出正多面体的共同特征：各个面都是全等正多边形，并且各个多面角都是全等多面角。融入数学文化一直以来，正多面体就被视作数学史上最美妙、最独特的发现之一。早在公元前4世纪，古希腊数学家泰阿泰德第一个完整描述了正多面体。但是最后正多面体没有被称为“泰阿泰德立体”，而是被称作“柏拉图立体”。这是因为柏拉图将正多面体和宇宙元素联系起来，将生成宇宙的四原质火、气、水和土的粒子分别赋予了正四面体、正八面体、正二十面体和正方体的形状，还以正十二面体来表示宇宙本身。设计意图：通过数学史的融入，学生进一步了解了正多面体的发展历程、感受数学文化的魅力，拓展学生的知识面。跨学科内涵16世纪德国天文学家开普勒将正多面体的研究从古希腊时期带入了近代。他坚信天体之间如音乐般和谐，天体的运行遵循完美的数学规律。他借助柏拉图立体与行星轨道的相切，得到了著名的太阳系行星模型。正多面体在化学中也有着广泛的应用。看似黄金的黄铁矿（二硫化铁）晶体就是呈正十二面体形状的，而货真价实的黄金晶体是正八面体。通过研究碳原子的化学特性，化学家们还合成了立方烷C8H8、正四面体烷C4H4。而在生物中，形体微小的放射虫竟然也具有不同正多面體的形状。还有一些病毒，像疱疹病毒、艾滋病病毒等也都呈正二十面体。看来，尽管这些病毒令人恐惧，但都是几何高手。正多面体作为一种对称结构，总能让人感受到秩序、庄重、和谐的美感。古语有云：“夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美。”里里外外皆均衡妥帖，方为“美”。早在公元前500年，伊特剌斯坎人就开始使用正十二面体的青铜器。古代的凯尔特人也同样喜爱正十二面体形状的物品。伦敦大英博物馆的埃及馆里，还可以看到托勒密王朝时期的正二十面体骰子。问题1-2生活中还有哪些熟知的正多面体？有哪些知名的正多面体模型？利用化学的球棍模型学具，动手摆出一些正多面体的晶体模型。设计意图：通过对数学与科学、数学与艺术的融入，学生进一步感悟正多面体的应用价值，为后续的深入学习提供有力支撑。将数学中的正多面体模型与化学晶体模型相联系，学生能更直观地感受正多面体的立体形式与晶体中的数学模型。（二）动手实操，制作模型问题2-1想要制作一个正多面体需要哪些要素？利用GeoGebra3D计算器画出正多面体（如图4），观察它们的关键要素，将表2补充完整。设计意图：教师引导学生思考与讨论正多面体的关键要素，包括面数、顶点数、棱数、平面展开图等。教师指导学生借助GeoGebra3D计算器作出正多面体，通过观察3D几何体得出各要素。列表表示面数、顶点数、棱数是为了方便后续正多面体个数与欧拉公式的呈现。而平面展开图的绘制是为下一步制作正多面体做准备。借助数字化工具，考查学生的直观想象能力，不仅包含立体几何，也有平面几何知识。GeoGebra作为一个动态数学教学软件，能够使学生更加深入地理解和解决数学问题，同时能够直观展示几何模型，将抽象的数学知识形象地可视化，以促进学生对数学知识的理解和建构［5］。问题2-2明确要素后如何制作正多面体？请设计方案并制作一个正多面体。设计意图：学生以小组为单位讨论并设计正多面体的制作方案，具体包括所需材料和制作步骤，记录方案和讨论过程等。依据方案，学生可充分运用几何知识制作正多面体，并进行优化，使制作的正多面体尽可能美观。教师让学生通过动手实验，将平面展开图折成立体图形，发展学生的直观想象数学学科核心素养。该活动环节，培养了学生的动手能力、合作意识与责任意识等精神品质。（三）汇报展示，评价交流汇报展示请各小组展示项目式学习成果，并汇报制作过程。设计意图：各小组选取代表汇报本组项目式学习的设计方案、遇到的问题及其解决方案等，展示制作的正多面体。在汇报展示的过程中，学生进行自我总结。教师对各小组进行评价，并引导学生与组内、组外同学交流收获与改进之处，填写评价量表。在自评互评的过程中，学生能够进行自我反思。同时，在听取他人汇报的过程中进一步优化自己的项目成果。（四）性质探究，定理推导（第2课时）问题3-1上节课我们分组制作了正多面体，除了上述五种正多面体，你还能做出其他正多面体吗？用准备好的多边形卡片拼一拼。设计意图：教师引导学生思考正多面体个数。从组成正多面体的正多边形的边数和个数入手，学生尝试用准备好的多边形卡片拼凑多面体，探寻能够组成正多面体的条件。由于正多面体是凸多面体，即没有凹陷的顶点和棱，因此每一个顶点处由相邻两棱所成的面角之和小于360°。不然，若在某一顶点处上述各面角之和等于360°，则交于该顶点的所有面都将落在同一平面上；若在某一顶点处的上述各面角之和大于360°，则以该顶点为端点的某些棱将是凹陷的。因为多面体的任一顶点处至少要有三个多边形相遇，而正多面体的每一个面都是全等的正多边形，正多边形的每一个内角和都相等，所以正多面体的多面角都必须小于120°，这是正多面体的另一个必要条件。而正六边形的内角恰好为120°，因此正六边形不可能围成正多面体，所有边数大于6的正多边形也都不可能围成正多面体。这就是说只有当正多边形的边数小于6时，顶角的角度之和小于360°，卡片之间还留有空隙，才能够拉成一个立体的角。即只有正三角形、正方形和正五边形才有可能围成正多面体。再进一步借助多边形卡片，正三角形对应能够组成正四面体、正八面体、正二十面体，正四边形对应能够组成正六面体，正五边形对应能够组成正十二面体。学生通过动手探究，得出正多面体存在的条件。在此过程中渗透反证的思想，培养学生的自我探究能力。融入数学文化其实第一个完整描述正多面体特征的古希腊毕达哥拉斯学派数学家泰阿泰德，早已知道只有五种正多面体，即正四面体、正方体、正八面体、正二十面体和正十二面体。设计意图：教师简要讲述数学史，使学生感悟数学家求真务实、严谨治学的精神。该教学设计旨在让学生通过了解数学家探索问题的思维过程，提高用数学家的眼光发现、提出、分析和解决问题的能力［6］。问题3-2回顾制作正多面体时所列出的多面体的顶点数、棱数、面数等关键要素的表格，你能从中发现它们之间的关系吗？设计意图：教师引导学生借助上一节课问题2-1所列表格（见表2），归纳正多面体的面数（F）、顶点数（V）、棱数（E）之间的关系。讨论探究、总结归纳欧拉公式V+F-E=2，初步感知拓扑学在中学数学中的应用。问题3-3多面体欧拉公式该如何证明？请小组讨论，并试借助正多面体展开图，用数学归纳法证明。设计意图欧拉公式有许多证明方式。对于高一学生而言，可以尝试用比较容易理解的数学归纳法［7］进行证明。类比正多边形的顶点数、棱数、面数关系的归纳方式。现将正多面体降维转化为平面图，设想正多面体是由一个平面依次将其余各个面逐一添加而形成的。因此，一个正多面体就需要由一个平面添加F-1个面形成。从添加第二个平面开始，每添加一个平面，增加的棱数总比增加的顶点数多1。当添加了F-2个面后，可得E=V+（F-2）。当增加最后一个面而形成立体时，棱数和顶点数均未增加，因此，仍然是E=V+（F-2），即V+F-E=2。数学归纳法的表述简明准确、易于理解，可以降低证明的难度。数学归纳法也是高中数学中经常采用的一种证明方式。同时，类比正多边形的研究其实也是使欧拉公式获得了从平面到空间的推广。问题3-4能否用欧拉公式证明正多面体只有五种？设计意图：教师引导学生思考正多面体欧拉公式的应用。设正多面体的面是正n边形，一个顶点处的面角数为m。则nF=2E，mV=2E，又因为V+F-2=E，则2E/m+2E/n-2=E，即1/m+1/n-1/E=1/2。当棱数E≥3时，解得m，n，E的整数解为（m，n，E）=（3，3，6），（4，3，12），（5，3，30），（3，4，12），（3，5，30）。它们分别对应于正四面体、正八面体、正二十面体、正六面体与正十二面体。由此可证得正多面体只有五种。问题3-1是用反证法解答，欧拉公式给证明正多面体的种数提供了一个新的思路。正多面体种数的一题多解，旨在培养学生的发散性思维与创新能力。融入数学文化法国数学家拉普拉斯曾说，读读欧拉，他是所有人的老师。欧拉是数学史上公认的4位最伟大的数学家之一。几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字——初等几何的欧拉线、多面体的欧拉定理、立体解析几何的欧拉变换公式、数论的欧拉函数、变分法的欧拉方程、复变函数的欧拉公式……欧拉还是数学史上最多产的数学家。天才在于勤奋，而欧拉就是最典型的一位。在欧拉的数学生涯中，他的视力一直在恶化，近乎完全失明。即便如此，病痛似乎并未影响欧拉的学术生产力，在失明后的17年里，他都是在完全失明的情况下做研究。他以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世。欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生。设计意图：学生观看欧拉生平介绍的视频，感受欧拉一生中所遇到的挫折与取得的成就。通过感受数学家的成长历程及在数学乃至社会生活中的贡献、成就和影响力，学生形成对数学积极的情感态度和正确的价值观。数学家的精神作为数学文化中的一部分，对落实“立德树人”的根本任务具有重要作用。（五）例题呈现，灵活运用例1表面积为[23]的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则求此球的体积。例2求正二十面体相邻两个面所成的二面角。设计意图：高中数学项目式学习应落脚到课本知识中。通过两道例题，学生感悟到正多面体中所蕴含的数学知识及其在数学中的价值。例1主要考查几何体的表面积、体积，需要学生从平面几何入手，先计算正八面体一个面的三角形的面积，进而求出棱长。通过球体的体积公式最终得到正八面体外接球的体积。例2则是对正多面体二面角的考查。正二十面体线面较多，结构复杂，在解题过程中需要紧紧抓住正多面体所有二面角相等的性质，化整体为局部，问题自然就能得到解决。高中数学对正四面体、正八面体的考查往往以较为简单的形式出現，至于正十二面体、正二十面体则鲜有考查，最常见的莫过于对正方体的考查。正多面体中的点线、线线、点面、线面、面面关系涵盖了立体几何中各种典型的位置关系，是正确理解和把握空间位置关系的基础，同时也能很好地考查学生的数学抽象、直观想象、数学建模等数学学科核心素养。任务二：制作其他多面体（第3课时）活动任务几百年来，多面体吸引着许多的数学家。在化学、建筑、艺术中，多面体给科学家、建筑师和艺术家带去了很多灵感。按照分组与抽签，完成以下活动任务。活动1制作半正多面体学生观察足球的形状，化学中的足球烯模型，南北朝官员独孤信的印信等几何体，归纳出半正多面体的定义。所有多面角都相等，且各个面是边数不全相同的正多边形的多面体，叫作半正多面体，也称为阿基米德多面体。任务1：探究半正多面体与正多面体之间的关系。任务2：类比正多面体的制作过程，制作一个半正多面体。任务3：借助凸多面体欧拉公式，寻找以正三角形为面的凸多面体的个数。任务4：撰写项目计划书并进行成果展示。活动2制作正星体以正多面体各面为底，向外作正棱锥，使这些棱锥的侧面皆为相等的正三角形，这样得到的凹多面体为正星体。任务1：探究正星体与正多面体之间的关系。任务2：类比正多面体的制作过程，制作一个正星体。任务3：正星体中还蕴含着哪些知识？任务4：撰写项目计划书并进行成果展示。活动3制作以正三角形为面的凸多面体在正多面体中，有3种是以正三角形为面的多面体。除此以外，还存在着其他以正三角形为面的多面体吗？任务1：类比正多面体的制作过程，制作一个以正三角形为面的凸多面体。任务2：借助凸多面体欧拉公式，寻找以正三角形为面的凸多面体的个数。任务3：撰写项目计划书并进行成果展示。活动4制作埃舍尔多面体被称为“数学艺术家”的荷兰画家埃舍尔，因其绘画中的数学性而闻名。在其作品《星》中，埃舍尔将不同的多面体放在同一幅画里，形成群星闪烁、互相照耀的效果。正中的多面