辽宁省2024届九年级下学期学业水平模拟考试（二）数学试卷(含解析)

数学试卷一．选择题（共10小题，共30分）1.在跳远测验中，合格标准是4米，张非跳出了4.22米，记为+0.22米，李敏跳出了3.85米，记作（）A.+0.15 B.﹣0.15 C.+3.85 D.﹣3.85答案：B解析：详解：解：∵4.22-4=0.22，∴以4米为标准，若张非跳出了4.22米，可记做+0.22米，∵3.85-4=-0.15，∴李敏跳出了3.85米，记作﹣0.15米，故选：B．2.如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（）A. B. C. D.答案：B解析：详解：从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形，故选：B．3.2023年5月1日，南京夫子庙、中山陵、玄武湖、雨花台四大景区共接待游客约人，这个数可用科学记数法表示为（）A. B. C. D.答案：D解析：详解：解：．故选：D．4.下列各运算中，计算正确的是（）A. B.C. D.答案：D解析：详解：A、，该选项错误；B、，该选项错误；C、，该选项错误；D、，该选项正确；故选：D．5.关于一元二次方程有实根，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：详解：解：根据题意得：，解得：，故选：D．6.不等式组的解集是（）A. B. C. D.无解答案：C解析：详解：解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为，故选：C．7.已知甲车从A地出发前往B地，同时乙车从B地出发前往A地，两车离A地距离y(千米)和行驶时间x(小时)的关系如图，则两车相遇时，甲车行驶的时间是()A.3．5小时 B.小时 C.2．5小时 D.3小时答案：B解析：详解：解：设乙车的解析式为，把代入，得，解得，∴乙车的解析式为，设甲车的解析式为，把代入，得，解得，∴甲车的解析式为，解方程，解得，答：两车相遇时，甲车行驶的时间是小时．故选B8.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（）A. B. C. D.答案：A解析：详解：根据题意有故选：A．9.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，的度数为（）A. B. C. D.答案：B解析：详解：解：如图，根据题意得：，，∴，，∵，∴．故选：B．10.如图，在中，，，分别以点A，B为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交点的连线交BC与点E，，则的面积为（）A.12 B. C. D.答案：C解析：详解：解：如图，过点A作AH⊥BC，垂足点H，由作法得EF垂直平分AB，∴AE=BE，∵，∴△ABE是等边三角形，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD=4，∴BE=AB=4，∵AH⊥BC，∴，∴，∵，∴CE=2，∴BC=6，∴．故选：C．二．填空题（共5小题，共15分）11.计算：=_________．答案：3解析：详解：解：原式=1+2=3故答案为：3．12.如图是象棋盘的一部分，若“帅”位于点(2，－1)上，“相”位于点(4，－1)上，则“炮”所在的点可表示为__________．答案：(-1，2)解析：详解：解：根据“帅”位于点（2，-1）上，“相”位于点（4，-1）上，可知棋盘中一个格代表一个单位，“炮”所在的点在帅左面3个单位，上面3个单位，故坐标是（-1，2）．故答案为（-1，2）．13.在网络课程学习中，韩梅和李雷分别在《数学与天文》、《数学与绘画》、《数学与游戏》中随机选择一门，两人恰好选中同一门课程的概率为____．答案：解析：详解：把《数学与天文》、《数学与绘画》、《数学与游戏》分别记为A、B，

画树状图如图：

共有9个等可能的结果，韩梅和李雷两人恰好选中同一门课程的结果有3个，∴韩梅和李雷两人恰好选中同一门课程的概率为，

故答案为：．14.如图，反比例函数的图象过的顶点B，轴，与另一边OA交于点C，且，连接．若，则k的值为______．答案：6解析：详解：解：过点C作轴于F，过点A作轴于点E，延长交x轴于点D，∵轴，∴四边形是矩形，∴，∵点B、C在的图象上，∴，∴，即，∵，，∴，∴，∵，，∴，，∴，又，∴，∴，∴．故答案为：6．15.如图，等边中，，为的中点，点为射线上一动点，将射线绕点顺时针旋转交于点，若，则__．答案：3或5解析：详解：解：当点在线段上时，如图1，，，为的中点，∴，，，，为等边三角形，，；当点在线段的延长线上时，如图2，，，又，，，又，，，，，．综合以上可得的长为3或5．故答案为：3或5．三．解答题（共8小题，共75分）16.（1）；（2）先化简，再求值：；其中答案：（1）；（2）；解析：详解：解：（1）；（2），把代入得：原式．17.某印刷厂每月生产甲、乙两种练习本共40万本且所有练习本当月全部卖出，其中成本、售价如表所示．品种甲乙成本1.2元/本0.4元/本售价1.6元/本0.6元/本（1）若该印刷厂五月份的利润为11万元，求生产甲、乙两种练习本分别是多少万本；（2）某学校计划用7680元的经费到该印刷厂采购练习本，经商讨，该公司同意甲种练习本售价打九折，乙种练习本不能让利：若学校能采购到1万本，且不超支，问最多能购买甲种练习本多少本？答案：（1）生产甲种练习本15万本，乙种练习本25万本（2）甲种练习本最多能购买2000本解析：小问1详解：解：设该印刷厂五月份生产甲种练习本万本，乙种练习本万本，由题意得，解得：，答：生产甲种练习本15万本，乙种练习本25万本；小问2详解：解：设购买甲种练习本本，由题意得：，解得：，答：甲种练习本最多能购买2000本．18.第届亚运会将于今年月日在杭州开幕，中国将再次因体育盛会引来全球目光，同时也掀起了运动热潮．某校举办了一场游泳比赛，年级初选出名学生代表．将名学生代表米自由泳所用时间数据整理如下：a．名学生代表米自由泳所用时间（单位：秒）：，，，，，，，，，b．名学生代表米自由泳所用时间的平均数、中位数、众数（单位：秒）；平均数中位数众数（1）写出表中，的值；（2）部分同学因客观原因没有参加选拔，学校决定，若次日常训练的平均用时低于名学生代表中的一半同学，且发挥稳定，就可以加入代表团．①甲乙两位同学次日常训练的用时如下表，请你判断，两位同学更有可能加入代表团的是________（填“甲”或“乙”）；

第一次第二次第三次第四次第五次甲同学日常训练用时乙同学日常训练用时②丙同学前次训练的用时为，，，，他也想加入代表团，若从日常训练平均用时的角度考虑，则第次训练的用时的要求为：________．答案：（1），（2）①乙，②解析：小问1详解：解：，；小问2详解：①甲同学次训练的用时平均值为：，方差为：，乙同学次训练的用时平均值为：，方差：，，乙发挥的更稳定，故答案为：乙；②根据题意得：，解得：，故答案为：．19.如图，欣欣妈妈在超市购买某种水果所付金额（元）与购买（千克）之间的函数图象如图所示，（1）求时，与之间的函数关系；（2）请你帮欣欣妈妈计算：一次性购买千克这种水果比平均分次购买可节省多少元？答案：（1）；（2）一次性购买千克这种水果比平均分次购买可节省元解析：小问1详解：解：设与之间的函数关系式为：，将，代入关系式中得：，由得：，解得：，将代入①中得：，则，故当时，与之间的函数关系为：；小问2详解：解：由图象可知：当时，函数关系为：，当时，，故平均分次购买所需总费用为：（元），将，代入中得：（元），（元），故一次性购买千克这种水果比平均分次购买可节省元．20.如图为淋浴喷头的简易示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长，与墙壁的夹角，喷出的水流与形成的夹角．（1）求B点与墙壁的距离；（2）住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在C处，使，，安装师傅应将支架A固定在离地面多高的位置？（参考数据：，，，，，）．答案：（1）B点与墙壁的距离（2）安装师傅应将支架A固定在离地面高的位置解析：小问1详解：解：过点B作，∵，，，∴，答：B点与墙壁的距离．小问2详解：解：∵，，，∴，过点B作于点H，过点A作于点F，过点C作于点G，∵，，，∴四边形为矩形，∴，，又，∴，∵，，∴，，∵，，，∴四边形为矩形，∴，，∴，∴，∵，，，∴四边形为矩形，∴，∴，答：安装师傅应将支架A固定在离地面高的位置．21.如图，以的边为直径作，分别交，于点，，点在上，．（1）求证：是的切线；（2）若，，，求的半径．答案：（1）见解析（2）解析：小问1详解：证明：如图，连接，是的直径，，，，，，，，，，，是的半径，是的切线；小问2详解：如图，连接，∵，，是直径，，，，，，，，，，在中，，设，则，，，，在中，，，，，，，的半径为．22.跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．（1）c的值为__________；（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h；②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；（3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．答案：（1）66（2）①基准点K的高度h为21m；②b＞；（3）他的落地点能超过K点，理由见解析．解析：小问1详解：解：∵起跳台的高度OA为66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，故答案为：66；小问2详解：解：①∵a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+66，∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，∴y＝﹣×752+×75+66＝21，∴基准点K的高度h为21m；②∵a＝﹣，∴y＝﹣x2+bx+66，∵运动员落地点要超过K点，∴当x＝75时，y＞21，即﹣×752+75b+66＞21，解得b＞，故答案为：b＞；小问3详解：解：他的落地点能超过K点，理由如下：∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，∴抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，∵36＞21，∴他的落地点能超过K点．23.问题初探：（1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：如图1，在和中，，且为锐角，若，求证：．①如图2，小锋同学从，这个条件出发，想到根据“”构造全等，给出如下解题思路：在上截取，连接，将与的数量关系转化为它们所在的三角形的关系．②如图3，小慕同学从，这个条件出发，想到作双垂直，可构造出“”全等条件，给出如下解题思路：过点A作，垂足为点M，过点D作，垂足为点N，先证明垂线段相等，将垂线段作为中间过渡量证明与所在的三角形全等，从而证明．请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．类比分析：（2）赵老师发现上面两名同学都运用了转化思想，将证明两条线段的数量关系转化为证明两条线段所在三角形的关系．为了帮助同学们更好地感悟和运用转化思想，赵老师将上面的例题和解题思路进行变换，提出了下面的问题，请你解答：如图4，在中，点E，D分别在边，上，连接，，延长至点F，使，连接，延长交于点H，若，求证：．学以