2023北京丰台区高二下学期期末数学试题及答案

2023北京丰台高二（下）期末数学2023.07第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1．在等差数列n中，1=1，an−an1=2(n≥2)a=，则6（A）10（C）121（B）11（D）1312．已知P()=,P(AB)=，那么P(B|)=23161（A）（C）（B）（D）32356n3．下图所示的三角形图案是谢尔宾斯基三角形．已知第个图案中黑色与白色三角形的个数之和为a，n数列n满足a=a=an+n≥，那么下面各数中是数列中的项的是an1n1（A）（C）123（B）（D）4．已知某生物技术公司研制出一种新药，并进行了临床试验，该临床试验的成功概率是失败概率的2倍．若记一次试验中成功的次数为X，则随机变量X的数学期望为2312（A）（C）（B）（D）13165．用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积V(r)随着气球半径3r=V(r)=r3r相对于的瞬时变化率为的增大而增大．当半径r1时，气球的体积（B）2（D）843（A）（C）46．某人需要先从A地到B地，再同站转车赶到C地，他能够选择的高铁车次的列车时刻表如下表所示，那么此人这天乘坐高铁列车从A地到C地不同的乘车方案总数为A地至B地高铁列车时刻表B地至C地高铁列车时刻表车次G87G91G93发车时间07:00到站时间08:01车次发车时间08:25到站时间G653G50110:3112:3007:5508:5609:2409:0010:0110:26（A）9（C）47．正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中．在现实生活N(,2)，可以证明，对给定的kN，P(−k≤X≤+k)是一个只与k有关的定值，部分结果如下图所示：（B）6（D）3中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布．假设随机变量X基本服从正态分布02)．若共有通过对某次数学考试成绩进行统计分析，发现考生的成绩名考生参加这次考试，则考试成绩在的考生人数大约为（A）（C）（B）（D）q=，则8．设等比数列n的公比为，前项和为Sn．若qnS=7S=63，3611（A）（B）82（C）2（D）89．2023年5月日至日，首届中国—中亚峰会在陕西西安成功举行．峰会期间，甲、乙、丙、丁、戊5名同学承担A,B,C,D共4项翻译工作，每名同学需承担1项翻译工作，每项翻译工作至少需要1名同学，则不同的安排方法有（A）480种（C）120种（B）240种（D）4种52−++x(ax2a,x10．设函数f(x)=给出下列四个结论：a|x−2|,x≥①当a0时，函数f(x)有三个极值点；②当0a1时，函数f(x)有三个极值点；③aR，x=2是函数f(x)的极小值点；a+1④aR，x=不是函数f(x)的极大值点．2其中，所有正确结论的序号是（A）①②（B）②③（D）②④（C）①④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。1．在(x−)6的展开式中，常数项是x12．某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.80，0.20．设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为．f(x)xe−x1在区间=13．已知函数[0,m]上单调递增，则m的最大值为．14．投掷一枚质地并不均匀的硬币，结果只有正面和反面两种情况，记每次投掷结果是正面的概率为p(0pf(p)=f(p)，则．现在连续投掷该枚硬币10次，设这10次的结果恰有2次是正面的概率为p=f(p)；函数取最大值时，．a2=k+k(k=a=a(a0)1，ak115.设n是正整数，且n≥2，数列k，k满足：n1+n−，k=(k=，数列k的前k项和为．给出下列四个结论：Skkn①数列k为单调递增数列，且各项均为正数；②数列k为单调递增数列，且各项均为正数；11③对任意正整数k④对任意正整数k，Sk=−；ak1，Sk1．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。1614分）已知函数f(x)=x3+ax2+b在x=−2时取得极大值4．（Ⅰ）求实数a,b的值；（Ⅱ）求函数f(x)在区间[−上的最值．1713分）下图是我国20142022年岁及以上老人人口数（单位：亿）的折线图．注：年份代码1-9分别对应年份2014-2022．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数（结果精确到0.01）加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.012023年我国65岁及以上老人人口数（单位：亿999参考数据：i=15.41，ty=，(iy)2=，−153.873．．iii1i1i1nnt−t)(y−y)ty−ntyiiii参考公式：相关系数r=i1=i1nnnnti−t)2(i−y)2(ti−t)2(i−y)2i1i1i1i1nt−ty−y)ii回归方程y=a+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b，a=y−b．nti−t)2i118.（本小题14分）数列a的前n项和为Sn，其中nN，11．从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，=n使得数列唯一确定，并解答以下问题：（Ⅰ）求a的通项公式；n（Ⅱ）设b=a+2n，求b+123++．nn条件①：an+1an2；条件②：=+2an+1=an+an+2；条件③：Sn=n2+c(cR)．注：如果选择条件①、条件②、条件③分别作答，按第一个解答计分．1914分）2023年4月18日，第二十届上海国际汽车工业展览会在上海国家会展中心举行，本次展会以“拥抱汽车行业新时代”为主题．在今年的展会中，社会各界不仅能看到中国市场的强大活力，也能近距离了解各国产汽车自主品牌在推动“智电化”和可持续发展进程中取得的最新成果．为了解参观者对参展的某款国产新能源汽车的满意度，调研组从这款新能源汽车的参观者中随机抽取了50名参观者作为样本进行问卷测评，记录他们的评分，问卷满分100分．问卷结束后，将数据分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图．a（Ⅰ）求图中的的值；（Ⅱ）在样本中，从分数在60分以下的参观者中随机抽取3人，用X表示分数在[50,60）中的人数，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组参观者评分的平均数，估计本次车展所有参观者对这款新能源汽车评分的平均数为m，若中位数的估计值为nm与n的大小关系.（直接写出结果）2015分）已知函数()efx=x−ax−aR．)（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点f(0)处的切线方程；()（Ⅱ）讨论函数f(x)的单调性；e与1.01的大小关系，并说明理由．（Ⅲ）判断2115分）正实数构成的集合Aa,a,,an}(n≥2)，定义AAaa∣a,aj==i}.当集合AAA,且中12ijin(n−个数时，称集合A具有性质.的元素恰有2（Ⅰ）判断集合A2==是否具有性质；1（Ⅱ）若集合A具有性质，且A中所有元素能构成等比数列，AA中所有元素也能构成等比数列，求集合A中的元素个数的最大值；AA（Ⅲ）若集合A具有性质，且最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．中的所有元素能构成等比数列．问：集合A中的元素个数是否存在参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．题号答案12345678910DBCAACBBCB二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．．−12．0.01413．115．①③④1545p2−p)8，14．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题14分）f(x)=x3+ax2+b，所以f'(x)=3x2+2ax．因为函数f(x)在x=−2时取得极大值4，所以f'(2)f(2)4．−=−=3(−2)24a−=即(−2)3+4a+b=所以a=3，b=0．…………6分（Ⅱ）因为f'(x)=3x2+6x，−−f'(x)0f(x)在(−,−2)单调递增；所以x(,2)时，，x(−2,0)时，f'(x)0，f(x)在(−2,0)单调递减；x时，f'(x)0，f(x)在单调递增．−=，，，因为f(0，f(−2)=4f(0)=0f=4所以f(x)max4，=f(x)min=0．…………14分17.（本小题13分）9t5，=(ti−t)2=60，i1n99所以t−ty−y)=ty−ti=82.57−515.41=5.52，iiiii1i1i15.5223.8730.72所以r0.99．因为y与t的相关系数近似为0.99y与t的线性相关程度很强，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．…………6分n(t−ty−y)ii5.5260（Ⅱ）由（Ⅰ）得b==0.092．nti−t)2i115.41又因为y=1.712，9所以ayb=−−0.09251.25．所以y关于t的回归方程为y1.250.09t．=+将2023年对应的t10代入回归方程得：=y=1.25+0.0910=2.15，所以预测2023年我国岁及以上老年人人口约2.15亿．…13分18.（本小题14分）解：选择条件①：an+1an2.=+（Ⅰ）因为an+1an2，即=+a−an=2，n+1所以数列a是以1为首项，2为公差的等差数列．n所以an1(nd2n1．=+−=−…………6分（Ⅱ）因为b=a+2n，nn所以b+b+b+123=+3+5++(2n−n−2n)==+21−22n1+n2−2．…………14分选择条件条件③：S=n2+c(cR)．n（Ⅰ）因为S=n2+c，且a1，=n1S=2+c=1，所以c=0．n所以当n≥2时，anSnSn1n2−(n2=2n1；=−=−−因为n1时，=a=S=1，11所以an2nnN)．=−b=a+2n，（Ⅱ）因为nn所以b+b+b+123=(a+a+a+123−2n)1−2=Sn+=22n1+n2−．19.（本小题14分）10(0.004+0.012+0.014+a+0.024+0.028)=1，所以a=．…………3分（Ⅱ）X的所有可能取值为1，23．C22C163P(X==P(X=2)=P(X===，8328C12621528=，83C365=．8314所以X的分布列为XP12335315594所以X的数学期望为E(X)=1+2+3=．…12分28nm（Ⅲ）20.（本小题15分）f(x)=ex−ax−1，所以fx)=ex−a．=−f(0)=0．…………14分所以f1a，又，所以曲线y=f(x)在点f(0)处的切线方程为y1ax．………………4分()=(−)（Ⅱ）f(x)的定义域是R，由题得f'(x)=ex−a．fx=−a，所以f(x)在R上单调递增；0当a≤0时，)ex当a0时，由)exfx=−a=，解得x=lna．0x随着的变化，f(x)与f'(x)的变化情况如下表x(−,a)a0(a,+)()f'x−+()fx↘极小值↗由表可知，()的单调递增区间是()(a,+)；f(x)的单调递减区间是(−,lna)．fx综上，当a≤0时，a0fx在R上单调递增；f(x)的单调递增区间是(a,+)f(x)的单调递减区间是(−,lna)；当时，．分（Ⅲ）e1.01，证明如下：当a1时，由（Ⅱ）知函数=f(x)在区间(+)的单调递增，x()，总有f(x)≥f(0)=0=所以，即ex≥x+1，当且仅当x0时取等号．令x0.01，得e0.0111.01．…………15分=+=21.（本小题15分）1具有性质；A2不具有性质.……4分（Ⅱ）当A中的元素个数n≥4时，因为A中所有元素能构成等比数列，不妨设元素依次为a,a,构成等比数列，则aa=aa，其中a,a,a,a互不相同.1n2n112n1n12(−)nn1于是这与A具有性质，AA中恰有C2=个元素，即任取A中两个不同元素组成组合的两2个数其积的结果互不相同相矛盾.当A中的元素个数恰有3个时，取A时满足条件，所以集合A中的元素个数最大值为3.…………8分=（Ⅲ）因为ii=，不妨设aaaan，123所以aaaaaa.1213nn1n（1）当n5时，aa,aa,,aa构成等比数列，n1n12131a12aan，即a2an1=a3an−2，