2023北京五中高二下学期期末数学试题及答案

2023北京五中高二（下）期末数学一、单选题（每小题4分，共40分）A=x1xABB=xx21.已知集合，，那么等于（）x1x2x2x3x1x2x2xD.A.B.C.=−，则|z=（2.若复数ziz34i）A.10B.5C.7C.6D.25(x−2y)4的展开式中含x2y2的项的系数为（））3.B.−24D.6−A.244.关于向量a，b，c，下列命题中正确的是（aa∥cA.若，则abbB.若ab，b∥c，则abC.若ab，则aD.若，则ab5.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为，则点A到平面的距离是（）12312A.B.C.D.422x2y26.点F是抛物线x2=8y的焦点，A为双曲线C：−=1的左顶点，直线AF平行于双曲线C的一8b条渐近线，则实数b的值为（）A.27.在a=B.4C.8D.16中，角,B,C所对的边分别为a,b,c，A=，且的面积为，若，则b+c=63（）A.26B.5C.D.2730(+)()−()fxfx021fx11128.已知函数是偶函数，当时，）恒成立，设1a=f−=()=(),bf2,cf3a,b,c的大小关系为（，则2A.abcB.cbaC.b<c<ac2a}”是“为递增数列”的（nD.bac()a}a=n2−nN*9.数列的通项公式为．则“）nnA.充分而不必要条件C.充分必要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件()(()()M=x,yy=fxx,yMx,yM10.已知集合，若对于任意，存在，使得1122xx+yy=0成立，则称集合M是“Ω集合”．给出下列5个集合：12121x−1exM=()=x,yyM=(x,y)y=；③M=(x,y)y=1−x2①；②；x；⑤）+2x+x,yycosxsinx．M=x,yy=x()2M=()=+④其中是“Ω集合”的所有序号是（A.②③B.①④⑤C.③⑤D.①②④二、填空题（每小题5分，共25分）x(x)2()=fx=______．f(f，则已知函数(−)()x1x112.能够说明“若0abc，则abc”是假命题的一组实数a,b,c的值依次为__________.满足=,nN=，若，则=aanan+2a2n1*a7a354a3的值为13.已知数列________．ny=2x的焦点，,B是抛物线上的两点，线段AB的中点P的坐标为(m,n)，若_________214.设F是抛物线AF+BF=5m，则实数的值为．中，对任意的都有，且，给出下列四个结论：−=n12an1naN*an015.在数列nn①对于任意的n3，都有a2n；a01，数列不可能为常数列；a②对于任意n012a2为递增数列；an③若④若，则数列n22ana.1，则当时，1其中所有正确结论的序号为_____________.三、解答原（第16-19、21题14分，第20题15分）6f(x)=Ax+)0,|f=1；②16.已知同时满足下列四个条件中的三个：①22f(x)=Ax+)|y=sinx−x的图像平移得到；③相邻两条对称轴之间的图象可以由的距离为；④最大值为2（1）请指出这三个条件，并说明理由；y=f(x)的对称轴只有一条落在区间m]（2）若曲线17.如图，在四棱锥P上，求m的取值范围.−中，⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，⊥，//，==2=CD=2，点E在棱PB上．（1）证明：平面EAC⊥平面PBC；（2）当BE=2EP时，求二面角P−−E的余弦值．18.某单位有A，B两家餐厅提供早餐与午餐服务，甲、乙两人每个工作日早餐和午餐都在单位用餐，近100选择餐厅（早餐，午餐）（A，A）（A，B）（B，A）（B，B）甲乙3020202540151040假设用频率估计概率，且甲、乙选择餐厅用餐相互独立．（1）估计一天中甲选择2个餐厅用餐的概率；（2）记X为一天中甲用餐选择的餐厅的个数与乙用餐选择的餐厅的个数之和，求X的分布列和数学期望E（X（3）判断甲、乙两人在早餐选择A餐厅用餐的条件下，哪位更有可能在午餐选择B餐厅用餐？说明理由．x22y223+=ab0)的左、右顶点分别为A,AAA=4，，椭圆E的离心率为1219.已知椭圆E:．交12ab2（1）求椭圆E的标准方程；5D0)AMx=与直线（2）过作直线l与椭圆E交于不同的两点M，Nl与x轴不重合，直线122N于点P，判断直线与DP的位置关系，并说明理由．()=x，()=(+)（aRfxgxxae20.已知函数y=fx()在点(f1())处的切线方程；（1）求曲线x=fxgx（2）设()()()，请判断(x)是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；11()fs()−()−（3）当a=0时，若对于任意st0，不等式gsgtk恒成立，求k的取值范()ft围．21.已知各项均为整数的数列A:a,a,,aNNNN.满足1aN0，且对任意i=2,，都有N12|i−i1≤1.记S(A)=a+a+.N12a=31A；6（1）若，写出一个符合要求的ANa中存在使得a=0；k（2）证明：数列k（3）若S(N)是N的整数倍，证明：数列ANaS(N)=Na中存在使得.rr参考答案一、单选题（每小题4分，共40分）1.【答案】C【分析】先解绝对值不等式求出集合B,再应用交集定义计算求解即可.B{x|x=BAB2=2=(【详解】.故选:C.2.【答案】B3−z=【分析】计算出，利用复数模长的性质计算出答案.i3−9+163−【详解】iz=3−4i，故z=，则|z|===5.ii1故选：B3.【答案】A【分析】写出展开式的通项，从而计算可得.=C−r【详解】二项式所以展开式中含(x−2y)4展开式的通项为r1x42(−2yr（且rN0r4r4xy2y2的项为T=C24x2(2y)2=24xy2，3即展开式中含x22的项的系数为24.故选：A4.【答案】C【分析】利用向量相等、向量共线的条件、向量模的定义，逐一对各个选项分析判断即可得出结果.a【详解】选项A，因为，只说明两向量的模长相等，但方向不一定相同，故选项A错误；选项B，当b=0时，有ab，b∥c，但a可以和c不平行，故选项B错误；选项C，若a=−b，由向量相等的条件知：ab，故选项C正确；选项D，因向量不能比较大小，只有模长才能比较大小，故选项D错误.故选：C5.【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，求平面【详解】建立空间直角坐标系如图所示：的法向量，用点到平面的距离公式计算即可.则C(0,0)，Q2)，G(0,2)，0)，QC=(−1,2,−2)，=(=(0)，−x=0−x+2y−2z=0n设平面的法向量为n=(x,y,z)，则，即，则平面的一个法向量n为n，=n则点A到平面的距离d=.2n故选：C6.【答案】BbF,Ak2=【分析】由题可得坐标，根据可得答案.822()【详解】由题()，A−22,0，则F0,2k==.因直线AF平行于双曲线C的一条渐近22222b=b=4.线，则82故选：B7.【答案】A【分析】根据三角形面积可推出bc=4，利用余弦定理即可求得答案.1233【详解】由于A=,==bc=3，解得bc=4，bcsinAbc，故有44又b+c=6，则a=b2+c2−bccosA=b+c)−bc=36−12=26,2故选：A．8.【答案】D【分析】利用函数的单调性及偶函数的性质，结合函数的对称性即可求解.【详解】因为当11xf2()−()恒成立，即()()恒成立，fx0fxfx时，2121+)所以f(x)在上单调递增，f(x+因为是偶函数，所以f(x)的图象关于x=1对称，1a=f−=f5，2b=()c=f3)f2，，因为因为2523，2512()f2()()f2−f3()，ff3f所以2，即所以bac．故选：D．9.【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合数列的单调性判断【详解】根据题意，已知数列的通项公式为a=n−，an2n若数列为单调递增数列，则有anan1−an=[(n+所以c2n+1，2−c(n+−(n2−cn)=2n+1−c0（nN*因为nN*，所以c3，所以当c2时，数列为单调递增数列，an而当数列为单调递增数列时，c2不一定成立，an所以“c2”是“数列为单调递增数列”的充分而不必要条件，an故选：A.10.【答案】Cy=f(x)上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原【分析】根据集合M是“集合”，即满足曲线点的直线垂直，逐项判定，即可求解.y=f(x)上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与【详解】题意，集合M是“集合”，即满足曲线原点的直线垂直，1M=(x,y)|y=对于①中，则存在两点x，假设集合M是“集合”，1111Ax,Bx,x1122xx222=1，方程无解，，，满足=1，即12112所以假设不成立，所以集合M不是“集合”；x−12−xy==y对于②中，函数，则，exexx(,2)y0，函数单调递增，当当时，1ey=时，x(2,+)y0x=2时，，函数单调递减，且当，图象如图所示，x−1Ax,yx0设图象上对任意一点()()时，则kyx−1，ex===exxxx−1ex1k==1，即x−1=ex−=ex−1，若令，也即x1x−1exy=−y=ex−1k无交点，即==1无解，由函数的图象与函数的图象xk1，所以OAk=−1时不存在k=1，此时不存在一点B，使得⊥成立，故对于x−1M=(x,y)|y=不是“集合”；所以集合exM=x,y|y=1−x()2xx的图象表示一个在轴上方的半圆（包括对于③中，集合如图所示，根据圆的性质，可得对任意一点A，总是存在一点B，使得⊥成立，M=x,y|y=1−x()2是“集合”；所以集合y=x2+2x+2=(x++1，当点(0,2),B(x,y)时，222对于④中，函数xx+yy=0y=0不成立，2若，则12122x不是“集合”；M==+(,y)|yx2所以集合π4y=x+sinx=2sinx+对于⑤中，函数，其大致图象如下.设A是其图象上任意一点，由图可知直线OA的斜率的范围是(−+)根据图象可得，其图象上任意一点A，总是存在一点B，使得⊥成立，M=(x,y)|y=x+sin是“集合”.所以集合故选：C.【点睛】关键点睛：本题主要考查了集合M是“集合”的新定义及应用，其中解答的关键是理解对于任(x,y)M(x,y)Mxx+yy=0y=f(x)成立，即满足曲线上过任意一点与原点意，存在，使得11221212的直线，都存在过另一点与原点的直线垂直，着重考查了分析问题和解答问题的能力.二、填空题（每小题5分，共25分）【答案】0【分析】由内向外，逐步代入，即可求出结果.f(f))=f(2)=lg1=0．【详解】由题意，f=2=21故答案为：011112.【答案】,,（答案不唯一）432【分析】由条件可得存在值.a,b,c0abc，abc，由此可得c1，再取满足条件的特殊满足条件【详解】由“若0abc，则abc是假命题可得，”a,b,c0abcabc，存在满足条件，但由此可得bbc，故c1，1214112c=a=，则b，故可取b=.若取，3111,,故答案为：（答案不唯一）.43213.【答案】1或1a【分析】由等比的定义结合其性质得出的值.3aa=a2n1nN为等比数列，设其公比为q，a【详解】因为，*，所以数列nn+2n74a=16aa=a24=4a=2，所以4q3==8，由，，得735q=2所以，a4q==1；q2a=2，则a当当时，43a4q=−2a=−2a3==−1.时，，则4qa综上，的值为1或1.3故答案为：1或114.【答案】2【分析】设()()，根据焦点弦公式得x+x=4m，再利用中点公式即得到的值.Ax,yBx,y112212y2=2x的焦点，【详解】是抛物线121F,0=−，准线方程x，2设()()，Ax,yBx,y1122121|AF|+|BF=1++x2+=5x+x=4，，122线段AB的中点横坐标为2，即m=2.故答案为：2.15.【答案】③④a−2=a2n1−an1−2=a−2a+)，得到an−2()(a−2同n1【分析】对数列递推关系变形得到与nn1n10120n2，①错误；号，当当时，a=2为常数列，②错误；an时，推导出此时10120an12，求出数列为递增数列，③正确；an作差法结合时，由an2与同号，得到当，有，结合作差法得到为递减数列，④正确a.n−a−2a21a2nn1a−2=a2−an1−2=(an1−2)(an1+)n1【详解】因为n12−an1n，所以=，na因为任意的nN都有n0，所以a+10，n1所以an2与−a−2同号，当012，则n3时，都有0n2，①错误；n1a−2a2+1a=21a2−2=1=0a=22an2n3=()a，此时为常数列，②错误；n当时，，所以，同理得：n1−an=−n12+2an1=−(an1−)2+1，0120an12，由A选项知：若，则所以a−nn=−an1+2an1=−(an1−)+11+1=0，221则数列为递增数列，③正确；an−2a21n2a2时，都有，n由an2与−a同号，当，则n1且此时a−nn=−an1+2an1=−(an1−)+11+1=0，221所以数列为递减数列，ana21n2ana时，，④正确.1综上：若，则当故答案为：③④三、解答原（第16-19、21题14分，第20题15分）,16.12）.36）先分析②③④成立时的情况，然后推出矛盾即可确定出满足的三个条件；（2）先根据（1）求解出()的解析式，然后采用整体替换的方法求解出()的对称轴方程，然后对fxfxk进行赋值，确定出在区间m上仅有一条对称轴时的取值范围.）三个条件是：①③④，理由如下：m4y=sinx−cosx=2sinx−若满足②：因为若满足③：因为，所以A=2,=1；T==，所以==，所以T2，22若满足④：A2，=由此可知：若满足②，则③④均不满足，所以满足的三个条件是：①③④；fx=2sin2x+（2）由③④知：()()，63312f=1，所以2sin+=1，所以sin+=由①知：，又因为|，+=2k+,kZ或+=2k+,kZ，23636或所以=2−,kZ=2k+,kZ，62所以=−，所以f(x)=2sin2x−，66k2x−=k+,kZx=x=+,kZ，不妨令，所以6223当k=1时，x=−；当k=0时，；当k=1x=时，，63636m上，只需m,y=f(x)所以若要的对称轴只有一条落在区间,36m,所以的取值范围是.gx=Asinx+【点睛】方法点睛：已知函数()()0)，若求函数()图象的对称轴，则令x+=k+，kZ；gx2若求函数()图象的对称中心或零点，则令17.1）证明见解析22x+=k，kZ．gx（2）3）由线面垂直得到线线垂直，求出各边长，由勾股定理逆定理得到⊥，从而证明出线面垂直，面面垂直；（2）解法一：以C为原点，CB，CA，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；解法二：取AB的中点G，连接CG，以点C为原点，CG，CD，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；【小问1⊥ABCD，AC因为所以底面平面ABCD，⊥．因为AB2，=AD=CD=1，所以==2．所以AC2+BC2=AB2，所以⊥．又因为=C，所以⊥平面PBC．又AC平面EAC，平面PBC，BC平面PBC，所以平面EAC⊥平面PBC．【小问2解法一：以点C为原点，CB，CA，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则)()，(()，，)．P2C0,0B(2,0,0A2,0()=(−−设点E的坐标为(x,y,z)，因为BE−−)x,y,2z，x2,y,z2=2EP，所以42432=y=0z=E,0,即x，，，所以．33342()CE=CA=2,0,0,．所以，33)，则设平面ACE的一个法向量为n=(x,y,z．nCE=02y=0=y=0z=−1．，所以，取x22，则24x+z=033()n=22,0,1所以平面ACE的一个法向量为．(2,0,0)．又因为平面，所以平面C的一个法向量为CB=设平面C与平面ACE的夹角为，222⊥223cos=,CB==则．22()222(2)+(−)122所以，平面C与平面夹角的余弦值为．3解法二：取AB的中点G，连接CG，以点C为原点，CG，CD，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()，(−)，(B1,0)，()．P2C0,0A0设点E的坐标为(x,y,z)，因为BE=2EP，所以(−+)=(−−−)，x,y,2zxyz211343114333x=y=−z=E,,−即，，，所以．314=0)，CE=,−,所以CA．333设平面ACE的一个法向量为n=(x,y,z)，则．nx+y=03x=3，则y=3−z=−，．所以114，取x−y+z=023333n=−−所以，平面ACE的一个法向量为．2=(−)⊥平面，所以平面C的一个法向量为CB1,0．又因为设平面C与平面ACE的夹角为，31+(−)(−)31223cos=,CB==则2．32+−1+(−)232+(3)22223所以，平面C与平面夹角的余弦值为18.1）0.6；（2）分布列见解析，期望为3；（3）乙更有可能在午餐选择B餐厅用餐）由统计图表得出一天中甲选择2个餐厅用餐的天数，然后计算概率；2,3,4（2）得出X的可能值是，计算出概率的分布列，由期望公式计算期望．（3）直接由统计图表计算甲、乙两人在早餐选择A餐厅用餐的条件下，午餐选择B餐厅用餐的概率，比较即得．【小问160P==0.6；由统计图表，一天中甲选择2个餐厅用餐的天数为60，概率为【小问21002,3,4易知X的可能值是，406040406060P(X=2)=P(X=4)==0.24，P(X==+=0.52，1001006040100100100100=0.24，100100X的分布列为X234P0.240.520.24E(X)=20.24+30.52+40.24=3．【小问320P==0.4，甲在早餐选择A餐厅用餐的条件下午餐选择B餐厅用餐的概率为150255P=2=0.4乙在早餐选择A餐厅用餐的条件下午餐选择B餐厅用餐的概率为所以乙更有可能在午餐选择B餐厅用餐．，459x2+y2=1；19.1）椭圆E的标准方程为4（2）平行，理由见解析.a,b,ca,b,c。可得椭圆方程；）由条件列关于的方程，解方程求k=k（2）根据题意设直线及M、N点坐标，结合题意求点P的坐标，结合韦达定理证明【小问1即可.2Nx22y22+=c1的半焦距为，设椭圆ab由已知点的坐标分别为2(−)()，a,0,a,0A,A1AA=42a=4a=2因为，所以，所以，，123c3又椭圆E的离心率为，所以=2a2所以c所以b=a所以椭圆E的标准方程为=3，2−c2=1，x2+y2=1；4【小问2因为直线MN与x轴不重合，且过点D0)，所以可设直线MN的方程为xmy+1x=+1，m2+4y)+2−3=0，22，消去x可得联立方程xy2=14方程m2+4y)Mx,y,Nx,y2)+2−3=0=4m()+12m+40，222的判别式设∴()(1122m3y+y=−,yy=−12，12m2+m2+4411+2y22−2∵(A2,0,A0)，则k1M)(2=,k2N=111+2y=(x+2)，AM1则直线的方程为)91(+)215591y=x=P,代入可得，即222x+2(2191(+)312152∴k==，1+2−123(1y2)1y2+−2y231y231k−k=−=−=则2N−+−+(1+)(−)2212my21331122m6m()−−+−k=3y+y2yk，即2N0∵∴12122+2+m4m4k=k，2N2N所以直线与DP平行.【点睛】关键点点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．20.1）yex−=0（2）不存在，理由见详解（3）−e,+)）先求得()，从而得到()f1()f1，，再根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求fx出切线方程；（2）先求(x)，要判断(x)是否存在极值，即判断在(x)在(−a,+)上单调情况，即判断(x)(−+)上的符号情况；a,ex（3）将原恒成立条件转化为对于任意x0，不等式k−恒成立，从而构造函数，再根据函数在定义域x上的最值即可求得k的取值范围．【小问1由f(x)=exf(x)=ex()=f1e()=f1e，，，则，所以y=fx()在点(f1())−=(−)yeex1处的切线方程为，即y−ex=0．故曲线【小问2()=()()=xfxgxexax(+)x−a由，，1x+a1x+a则(x)=x(+)+exaex=exxa(+)+x−a，，1x+a令m(x)=(x+a)+，x−a，11x+a−1()=mx−=x−a，，则22x+a(+)(+)xaxa()mx()mx，此时当0x+a1，即−ax1−a时，0单调递减；当x+a1，即x1−a时，()mx，此时()mx单调递增，0()=(−)=mxm1a10，所以minx−a，都有(x)0所以对任意，所以(x)在(−a,+)上单调递增，即(x)不存在极值．【小问3当a=0时，()=gxx，11()fs()−()−对于任意st0，不等式gsgtk恒成立，()ftkk()ft()−gsgt()−等价于对于任意st0，不等式恒成立，()fskkex()=()−hxgx=x−在()等价于函数上单调递增，()fx1k等价于导函数h(x)=+x()上恒成立，0在xeex等价于对于任意x0，不等式k−恒成立，xexexx−x(−x)exe1()=−令nx()=−，则nx=，x0，xx2x2当0x1时，()()nx，此时单调递增；nx0当x1时，()()nx，此时单调递减，nx0()=()=−−enxn1ek所以，即，max故k的取值范围为−e,+)．【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定的不等式等价转化，构造函数，进而通过导函数使问题得到解决是解答此类问题的关键．21.1）0,−1(答案不唯一)2）证明见解析（3）证明见解析.Aa0即可；6）根据条件写出，满足相邻项相差为0或1，6（2）假设1aN0，把AN