2024年浙江省中考模拟数学压轴题

第1页（共1页）2024年浙江中考模拟卷压轴题汇总一．选择题（共18小题）1．开口向下的抛物线y＝ax2+bx+1经过点（2，0），则下列关系式可能成立的是（）A．4a+b＝0 B．3a+b＝0 C．2a+b＝0 D．a+b＝02．设二次函数y＝x2﹣mx﹣3m（m为实数）的图象过点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4），设y1﹣y3＝a，y2﹣y4＝b，下列结论正确的是（）A．若ab＜0，且a+b＜0，则m＞4 B．若ab＜0，且a+b＞0，则5＜m＜7 C．若ab＞0，且a+b＜0，则m＞5 D．若ab＞0，且a+b＞0，则m＞63．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y＜n时，x的取值范围是t﹣3＜x＜1﹣t，且该二次函数的图象经过点M（3，m+1），N（d，m）两点，则d的值不可能是（）A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．44．对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述：①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根；②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根；③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根；④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根．其中表述正确的序号是（）A．① B．② C．③ D．④5．二次函数y＝x2﹣2mx+10图象上一点A（a，b），当3≤a≤5时，存在b＝0，则m的取值范围为（）A．3≤m≤ B．≤m≤ C．≤m≤ D．≤m≤6．某小组在研究了函数y1＝x与y2＝性质的基础上，进一步探究函数y＝y1+y2的性质，以下几个结论：①函数y＝y1+y2的图象与直线y＝3没有交点；②若函数y＝y1+y2的图象与直线y＝a只有一个交点，则a＝4；③若点（a，b）在函数y＝y1+y2的图象上，则点（﹣a，﹣b）也在函数y＝y1+y2的图象上．以上结论正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③7．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且OA⊥OB，连结AB交图象于点C，若C是AB的中点，则△AOB的面积是（）A． B． C． D．8．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．分别以△ABC三边为底边向外作等腰直角三角形ABD，BCF，CAE，连结DF，EF．若△DEF与△ABC面积比为5：2，则tan∠ABC的值是（）A． B． C． D．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，则S正方形ACDE：S正方形BCIH的值等于（）A． B．4 C． D．10．如图，已知正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，得到正方形MNPQ，连结MF并延长交NP于点O，设正方形EFGH的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2，若，则的值为（）A． B． C． D．211．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为边向三角形外作正方形ABDE，作EF⊥BC于点F，交对角线AD于点G，连接BG．要求△BFG的周长，只需要知道（）A．线段BF的长度 B．线段AC的长度 C．线段FG的长度 D．线段BC的长度12．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边AD、BC上的点，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点B的对应点B'恰好落在边CD上，则△DGB'的周长等于（）A．2AB B． C． D．13．四张正方形纸片如图放置，知道下列哪两个点之间的距离，可求最大正方形与最小正方形的面积之和（）A．点K，F B．点K，E C．点C，F D．点C，E14．如图，点F，G分别在正方形ABCD的边BC，CD上，E为AB中点，连结ED，正方形FGQP的边PQ恰好在DE上，记正方形ABCD面积为S1，正方形FPQG面积为S2，则S1：S2的值为（）A．10：7 B．20：7 C．49：10 D．49：2015．如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，且A、B、E三点在一条直线上，连接CE，以CE为边构造正方形CPQE，PQ交AB于点M，连接CM．设∠APM＝α，∠BCM＝β．若点Q、B、F三点共线，tanα＝ntanβ，则n的值为（）A． B． C． D．16．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝α（0°＜α＜90°）．点D，E在AB边上，点F，G分别在BC和AC边上．若四边形DEFG为正方形，则＝（）A． B． C． D．17．如图，在△ABC中，D为线段AC上一点，点E在AC的延长线上，过点D作DF∥AB交BC于点F，连结BE，EF，若AC2+DE2＝AE2，则△BEF与△DCF的面积比为（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：518．如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC＝8，AD是⊙O的直径，连结BD，AE平分∠BAC交BD于E，若DE＝2，则⊙O的半径为（）A． B． C． D．5二．填空题（共14小题）19．如图，点E是矩形ABCD边BC上一点，沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点F处．设＝y，则y关于x的函数表达式是．20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB的中点，点E，F分别在边AC，BC上，AE＝1，将△ADE，△BDF分别沿DE，DF翻折使得A与A′重合，B与B′重合，若A′E∥B′F，则BF＝．21．一副含45°和30°角的直角三角形纸板ABC和DEF按图1摆放，BC＝DE＝12，∠ABC＝∠DEF＝90°．现将点D从B点向A点滑动，边DE始终经过BC上一点G，BG＝2．H是DF边上一点，满足DH＝DG（如图2），当点E到达G点时运动停止．当E到达G点时BD的长为；运动过程中AH的最小值是．22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，M是AC上一点，，MN∥AB交BC于点N，D是直线MN上一动点，连结AD，将线段AD绕点D逆时针旋转90°至线段ED，连结AE．当点C，D，E共线时，＝．23．如图，已知矩形ABCD，过点A作AE⊥AC交CB的延长线于点E，若∠AED＝∠ACB，则tan2∠BAE＝．24．如图，矩形ABCD和正方形EFGH的中心重合，AB＝12，BC＝16，EF＝．分别延长FE，GF，HG和EH交AB，BC，CD，AD于点I，J，K，L．若tan∠ALE＝3，则AI的长为，四边形AIEL的面积为．25．小江同学在学习勾股定理后，用两对全等的直角三角形（Rt△DHC≌Rt△BFA，Rt△ADE≌Rt△CBG）和正方形EFGH拼成如图所示的▱ABCD（无重叠也无缝隙），其中，AD＝4，AB＝5．记Rt△ADE，Rt△BFA的面积分别为S1，S2.则S1﹣S2＝，若，则正方形EFGH的面积＝．26．如图1，是一种购物小拉车，底部两侧装有轴承三角轮，可以在平路及楼梯上推拉物品．拉杆固定在轴上，可以绕连接点旋转，拉杆，置物板，脚架形状保持不变．图2，图3为购物车侧面示意图，拉杆OP⊥DE，DF＝24cm，，⊙A，⊙B，⊙C的半径均为4cm，O为三角轮的中心，OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．如图2，当轮子⊙B，⊙C及点G都放置在水平地面HI时，D恰好与⊙A的最高点重合．此时，D的高度为20cm，则OA＝cm；如图3，拉动OP，使轮子⊙A，⊙B在楼梯表面滚动，当OA∥HI，且B，O，D三点共线时，点G与B的垂直高度差为cm．27．如图，某兴趣小组运用数学知识设计徽标，将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，取名为“火箭”，并过该图形的A，B，C三个顶点作圆，则该圆的半径长是．28．如图1，AB是⊙O的直径，E是OA的中点，OA＝2，过点E作CD⊥AB交⊙O于C、D两点．（1）的度数为；（2）如图2，P点为劣弧上一个动点（不与B、C重合），连接AP、CP，点Q在AP上，若AQ＝x时，CQ平分∠PCD，则x的值为．29．如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是2，则k的值为．30．如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中两个顶点在y轴正坐标轴上，一个顶点在x轴负半轴上，顶点D在反比例函数的图象上，若S△ABC＝4，则k＝．31．已知抛物线y＝a（x﹣2）2+k上有A（﹣2，y1），B（1，y2），C（4，y3），D（5，y4）四个点，某数学兴趣小组研究后得到三个命题：①若y1+y3＞y2+y4，则a＞0；②若y2﹣y3＞0，则y1﹣y4＞0；③若y2y3＝0，则y1y4＞0．属于真命题是.（填写序号）32．某班40名同学按学号1，2，3，…，40顺次顺时针方向围坐成一圈做游戏：从某个同学开始，沿顺时针方向，按1，2，3，…依次报数，报到数字40的同学退出游戏，剩下39人，第一轮结束；接着从退出游戏的后一个同学开始继续沿顺时针方向按1，2，3，…依次报数，报到数字40的同学退出游戏，剩下38人，第二轮结束；…，按这种方式，在第五轮中，恰好学号18的同学退出游戏，则第一轮第一位报数同学的学号是．三．解答题（共24小题）33．已知A（x1，y1），B（x2，y2），C（，y3），点A与点B不重合．（1）若点A，B，C都在函数y＝2x的图象上，计算﹣y3的值．（2）若点A，B，C都在函数y＝2x2的图象上，求证：﹣y3＞0．（3）若点A，B，C都在函数y＝（x＞0，常数k≠0）的图象上，判断与y3的大小关系，并说明理由．34．已知二次函数y＝ax2﹣2x+2﹣a（a是常数，a≠0）．（1）若a＝﹣，求该函数图象顶点坐标．（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（1，﹣2），（2，﹣5）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．（3）若﹣5≤a≤﹣2，当﹣3≤x≤0时，y＝ax2﹣2x+2﹣a的最大值记为m，最小值记为n，求am﹣n的最小值．35．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）．（1）求抛物线解析式；（2）若抛物线y＝x2+bx+c﹣2mx，当2m﹣1≤x≤2m+3时，y有最大值12，求m的值；（3）若将抛物线y＝x2+bx+c平移得到新抛物线y＝x2+bx+c+n，当﹣2＜x＜3时，新抛物线与直线y＝1有且只有一个公共点，直接写出n的取值范围．36．已知二次函数的图象经过原点O和点A（8+t，0），其中t≥0．（1）当t＝0时．①求y关于x的函数表达式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值为多少？②当x＝m和x＝n时（m≠n），函数值相等，求m，n之间的关系式．（2）当t＞0时，在0≤x≤8范围内，y是否存在最大值18？若存在，求出相应的t和x的值，若不存在，请说明理由．37．定义：对于y关于x的函数，函数在x1≤x≤x2（x1＜x2）范围内的最大值，记作M[x1，x2]．如函数y＝2x，在﹣1≤x≤3范围内，该函数的最大值是6，即M[﹣1，3]＝6．请根据以上信息，完成以下问题：已知函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+a2﹣1（a为常数）．（1）若a＝2．①直接写出该函数的表达式，并求M[1，4]的值；②已知，求p的值．（2）若该函数的图象经过点（0，0），且M[﹣3，k]＝k，求k的值．38．图1是某校园的紫藤花架，图2是其示意图，它是以直线AB为对称轴的轴对称图形，其中曲线AC，AD，BE，BF均是抛物线的一部分．素材1：某综合实践小组测量得到点A，B到地面距离分别为5米和4米．曲线AD的最低点到地面的距离是4米，与点A的水平距离是3米；曲线BF的最低点到地面的距离是米，与点B的水平距离是4米．素材2：按图3的方式布置装饰灯带GH，GI，KL，MN，HJ，布置好后成轴对称分布，其中GI，KL，MN，HJ垂直于地面，GI与HJ之间的距离比KL与MN之间的距离多2米．任务一：（1）在图2中建立适当的平面直角坐标系，求曲线AD的函数解析式；任务二：（2）若灯带GH长度为d米，求MN的长度．（用含d的代数式表示）；任务三：（3）求灯带总长度的最小值．39．根据以下素材，探索完成任务．设计跳长绳方案素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：（1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人；（2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．素材2：某班进行赛前训练，发现：（1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为6m，绳子最高点为2m，摇绳同学的出手高度均为1m，如图2；（2）9名跳绳同学身高如右表．身高（m）1.701.731.751.80人数2241素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现：（1）跳绳时，人的跳起高度在0.25m及以下较为舒适；（2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．问题解决任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式．任务2：确定排列方案．该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持0.45m的间距．请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学．任务3：方案优化改进．据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整．班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至0.85m．此时中段长绳将贴地形成一条线段（x线段AB），而剩余的长绳则保持形状不变，如图4．请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题．40．根据以下素材，探索完成任务．机场监控问题的思考素材1如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以3km/min的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行．素材22号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方从原点O处沿45°角爬升，到高4km的A处便立刻转为水平飞行，再过1min到达B处开始沿直线BC降落，要求1min后到达C（10，3）处．问题解决任务1求解析式和速度求出OA段h关于s的函数解析式，直接写出2号机的爬升速度；任务2求解析式和坐标求出BC段h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标．任务3计算时长通过计算说明两机距离PQ不超过2.5m的时长是多少．41．（1）如图1，BP平分∠ABC，M，N分别在射线BA，BC上，若BM＝BN，求证：PM＝PN；（2）如图2，在△ABC中，CP⊥CB交边AB于点P，PH⊥AC于点H．已知∠ACP＝∠B，CH＝2，AB＝5，求△ABC的面积；（3）如图3，在等边△ABC中，点D在边AB上，P为BA延长线上一点，E为边AC上一点，已知CA平分∠PCD，∠ADE＝∠CPD，AE＝2，AD＝3，求PA的长．42．【综合与实践】【探究】小学我们就学过同底等高的两个三角形的面积相等，后来我们又学到等高的两个三角形的面积之比等于与高对应的底边长之比，如图（1），△ABC的高CD和△EFG的高GH相等，则同样，同底的两个三角形，如果面积相等，也有类似的结论，若图形位置特殊，由此会产生一些新的结论，下面是小江同学探索的一个结论，请帮助小江完成证明．如图（2），△ABC和△DCB的面积相等，求证：AD∥BC．证明：分别过点A、点D作△ABC和△DBC底边BC上的高线AE，DF．【应用】把图（3）的四边形ABCD改成一个以AB为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，并简要说明理由．【拓展】用上述探究的结论和已经证明的结论，证明三角形的中位线定理．已知：如图（4），．求证：．证明：43．如图，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝6cm，点M，N是边BC上的两个动点，点M从点B出发沿着BC以每秒1cm的速度向终点C运动；点N同时从点C出发沿着CB以每秒2cm的速度向终点B运动．设运动时间为t秒．（1）当t＝1时，求△AMN的面积．（2）当t为何值时，∠MAN＝45°．（3）当以MN为直径的圆与△AMN的边有且只有三个公共点时，请直接写出t的取值范围．44．如图1，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝AD＝5，AC平分∠BCD．（1）若BC≠CD，求证：∠BCD＝90°．（2）如图2，DE平分∠BDC交AC于点E．①若BC＞CD，CE＝2，求CD的长；②如图3，若点F是AB的中点，连结EF，DF，若△EFD∽△CBD，求AC的长．45．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过O，C两点的⊙P切线段AD于点T，分别交线段OD，CD，BC于点F，E，M，连结FM，已知AB＝5．（1）求证：BM＝FM；（2）若M为BC的中点，求⊙P的半径；（3）若⊙P的半径为3，求tan∠OCE的值．46．综合与实践【问题情境】如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线BD上，点B的对应点记为B′，折痕与边AD，BC分别交于点E，F．【活动猜想】（1）如图2，当点B′与点D重合时，四边形BEDF是哪种特殊的四边形？并给予证明．【问题解决】（2）如图1，当AB＝4，AD＝8，BF＝3时，连结B′C，则B′C的长为．【深入探究】（3）如图3，请直接写出AB与BC满足什么关系时，始终有A′B′与对角线AC平行？47．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，，连结AB，AD．（1）如图1，若∠D＝50°，求∠CAD的度数．（2）如图2，点N在弦AD上，作MN⊥AD，MN分别交弦AB，AC于点M，P，MN＝BE，过B作BF∥MN交AC于点F．①求证：BF＝MN．②如图3，连结ME，若，求AP，PE的长．48．已知：⊙O是△ABC的外接圆，连接BO并延长交AC于点D，∠CDB＝3∠ABD．（1）如图1，求证：AC＝AB；（2）如图2，点E是弧AB上一点，连接CE，AF⊥CE于点F，且∠BAF＝∠ACE，求tan∠BCE的值；（3）在（2）的条件下，若，求线段AB的长．49．如图1，AB是半圆O的直径，点C，D是半圆O上的点，且AC∥OD，连结BC交OD于点E．（1）求证：OD⊥BC．（2）如图2，连结CD，AD，BD，若sin∠ABC＝，求△ACD与△OBD的面积之比．（3）如图3，连结BD，作CP∥BD交AB于点P，连结PD．求证：BD2＝BO•BP．50．如图，半圆O的直径AB＝6．点C在半圆O上，连结AC，BC，过点O作OD∥AC分别交BC，于点E，D，连结AD交BC于点F．（1）求证：点D是的中点；（2）将点O绕点F顺时针旋转90°到点G．①当点G在线段AD上，求AC的长；②当点G在线段AC上，求sin∠ABC的值．51．如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，且BD为直径．作AF∥BC交CD于点E，交⊙O于点F．（1）证明：AF⊥CD；（2）若，AC＝4，求半径r；（3）如图2，连接BE并延长交DF于点G，交⊙O于点H．若AF＝CD，∠AEB＝∠BDC．①求tan∠BDC；②连接OE，设OE＝x，用含x的式子表示GH的长．（直接写出答案）52．如图，在正方形ABCD中，以AB为直径作半圆O，点P为半圆上一点，连结AP并延长交BC边于点E，连结BP并延长交CD边于点F，连结CP．（1）求证：AE＝BF．（2）当AB＝1时，求CP的最小值．（3）若CP＝CF，求BE：BC的值．53．如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，连结AD，AO，分别交BC于点E，F，∠CAD＝∠BAO．（1）如图1，求证：AD⊥BC．（2）如图1，若AO∥CD，求证：CA＝CF．（3）如图2，在（2）的条件下，①若，求BC的长．②若，求tan∠ACE的值．54．如图，在▱ABCD中，∠B是锐角，，BC＝10．在射线BA上取一点P，过P作PE⊥BC于点E，过P，E，C三点作⊙O．（1）当时，①如图1，若AB与⊙O相切于点P，连结CP，求CP的长；②如图2，若⊙O经过点D，求⊙O的半径长．（2）如图3，已知⊙O与射线BA交于另一点F，将△BEF沿EF所在的直线翻折，点B的对应点记为B′，且B′恰好同时落在⊙O和边AD上，求此时PA的长．55．如图，在半径为3的⊙O作内接矩形ABCD，点E是弦BC的中点，BC＝4，连结AE并延长交⊙O于点F，点G是的中点，连结CG分别交AB、AF于点H、点P．（1）证明：；（2）求BH的长；（3）若存在一个实数m，使得tan∠APH＝mBH，试求出m的值．56．四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，连结BD交AC于点G，AF⊥BD，垂足为E．（1）如图1，若AF交BC于点F．①求证：∠BAF＝∠CAD；②若⊙O的直径为10，，BF：CG＝3：5，求AF的长．（2）如图2，若AF交CD于点F，连结OD，若OD∥AB，，DF＝2CF，求⊙O的直径．

2024年浙江中考压轴题汇总参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．开口向下的抛物线y＝ax2+bx+1经过点（2，0），则下列关系式可能成立的是（）A．4a+b＝0 B．3a+b＝0 C．2a+b＝0 D．a+b＝0【解答】解：由题意，∵抛物线y＝ax2+bx+1经过点（2，0），∴4a+2b+1＝0．∴b＝﹣2a﹣．∴4a+b＝4a﹣2a﹣＝2a﹣，3a+b＝3a﹣2a﹣＝a﹣，2a+b＝2a﹣2a﹣＝﹣，a+b＝a﹣2a﹣＝﹣a﹣．∵a＜0，∴4a+b＝2a﹣＜0，故A错误；3a+b＝3a﹣2a﹣＝a﹣＜0，故B错误；2a+b＝2a﹣2a﹣＝﹣＜0，故C错误；a+b＝a﹣2a﹣＝﹣a﹣，不能确定，故D可能成立．故选：D．2．设二次函数y＝x2﹣mx﹣3m（m为实数）的图象过点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4），设y1﹣y3＝a，y2﹣y4＝b，下列结论正确的是（）A．若ab＜0，且a+b＜0，则m＞4 B．若ab＜0，且a+b＞0，则5＜m＜7 C．若ab＞0，且a+b＜0，则m＞5 D．若ab＞0，且a+b＞0，则m＞6【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣mx﹣3m（m为实数）的图象过点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4），∴代入变形可得：y1＝﹣4m+1，y2＝﹣5m+4，y3＝﹣6m+9，y4＝﹣7m+16，∵y1﹣y3＝a，y2﹣y4＝b，∴a＝2m﹣8，b＝2m﹣12，A、若ab＜0，且a+b＜0，则（2m﹣8）（2m﹣12）＜0①，且（2m﹣8）+（2m﹣12）＜0②，由①得4＜m＜6，由②得m＜5，∴4＜m＜5，故A不符合题意；B、若ab＜0，且a+b＞0，则（2m﹣8）（2m﹣12）＜0③，且（2m﹣8）+（2m﹣12）＞0④，由③得4＜m＜6，由④得m＞5，∴5＜m＜6，故B不符合题意；C、若ab＞0，且a+b＜0，则（2m﹣8）（2m﹣12）＞0⑤，且（2m﹣8）+（2m﹣12）＜0⑥，由⑤得m＜4或m＞6，由⑥得m＜5，∴m＜4，故C不符合题意；D、若ab＞0，且a+b＞0，则（2m﹣8）（2m﹣12）＞0⑦，且（2m﹣8）+（2m﹣12）＞0⑧，由⑦得m＜4或m＞6，由⑧得m＞5，∴m＞6，故D符合题意，故选：D．3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y＜n时，x的取值范围是t﹣3＜x＜1﹣t，且该二次函数的图象经过点M（3，m+1），N（d，m）两点，则d的值不可能是（）A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．4【解答】解：如图，∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y＜n时，x的取值范围是t﹣3＜x＜1﹣t，∴二次函数开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，∵该二次函数的图象经过点M（3，m+1），N（d，m）两点，∴点M（3，m+1）关于对称轴的对称点为（﹣5，m+1），∴﹣5＜d＜3，∴d不可能是4．故选：D．4．对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述：①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根；②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根；③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根；④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根．其中表述正确的序号是（）A．① B．② C．③ D．④【解答】解：①当a＝﹣1，b＝3，c＝﹣2时，满足a＜0，b+c＞0，a+c＜0，此时Δ＝32﹣4×（﹣1）×（﹣2）＝1＞0，即方程有两个不相等的实数根，故①错误；②∵b+c＞0，b﹣c＜0，∴c＞0，∵a＜0，∴﹣4ac＞0，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即方程有两个不相等的实数根，故②正确；③当a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1时，满足a＞0，a+b+c＜0，此时Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，故③错误；④∵a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0，∴b＝﹣4a，c＝4a，∴Δ＝（﹣4a）2﹣4×a×4a＝0，即方程有两个相等的实数根，故④错误；综上，正确的是②，故选：B．5．二次函数y＝x2﹣2mx+10图象上一点A（a，b），当3≤a≤5时，存在b＝0，则m的取值范围为（）A．3≤m≤ B．≤m≤ C．≤m≤ D．≤m≤【解答】解：令x2﹣2mx+10＝0，则4m2﹣40≥0，解得m≤﹣或m≥将x＝3代入y＝x2﹣2mx+10得y＝9﹣6m+10＝19﹣6m，将x＝5代入y＝x2﹣2mx+10得y＝25﹣10m+10＝35﹣10m，∵y＝x2﹣2mx+10，∴抛物线开口向上，当m≤﹣时，，解得≤m≤，不符合题意．当≤m≤5时，，解得m≤，∴≤m≤，当m＞5时，，不等式无解，故选：C．6．某小组在研究了函数y1＝x与y2＝性质的基础上，进一步探究函数y＝y1+y2的性质，以下几个结论：①函数y＝y1+y2的图象与直线y＝3没有交点；②若函数y＝y1+y2的图象与直线y＝a只有一个交点，则a＝4；③若点（a，b）在函数y＝y1+y2的图象上，则点（﹣a，﹣b）也在函数y＝y1+y2的图象上．以上结论正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【解答】解：①由题意得，y＝x+，当y＝3时，即：3＝x+，也就是x2﹣3x+4＝0，∵Δ＝9﹣16＜0，∴此方程无实数根，故，y＝x+与y＝3无交点，因此①正确，②由①得，当y＝a时，即：a＝x+，也就是x2﹣ax+4＝0，当Δ＝a2﹣16＝0时，函数y＝y1+y2的图象与直线y＝a只有一个交点，此时，a＝±4，因此②错误，③将点（a，b）代入函数关系式中，得出b＝a+，将x＝﹣a代入函数关系式中，得出﹣a﹣＝﹣（a+）＝﹣b，则点（﹣a，﹣b）也在函数y＝y1+y2的图象上．因此③正确，故选：B．7．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且OA⊥OB，连结AB交图象于点C，若C是AB的中点，则△AOB的面积是（）A． B． C． D．【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，∴∠ADO＝∠BEO＝90°．∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°．∴∠AOD+∠BOE＝∠AOD+∠OAD＝90°．∴∠OAD＝∠BOE．∴△AOD∽△OBE．∴＝（）2．∵＝，∴＝＝＝．设A（m，），则B（﹣，m），∵点C为AB的中点，∴C（，）．∵点C也恰好在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴•＝1．∴m2﹣＝2．∴m2+＝＝4．∴S△AOB＝OA•OB＝OA•OA＝OA2＝（m2+）＝2．故选：C．8．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．分别以△ABC三边为底边向外作等腰直角三角形ABD，BCF，CAE，连结DF，EF．若△DEF与△ABC面积比为5：2，则tan∠ABC的值是（）A． B． C． D．【解答】解：作△ABC的外接圆，连接AF，如下图所示：依题意得：∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝∠BFC＝90°，∠DAB＝∠EAC＝∠FBC＝∠FCB＝45°，∴点F在△ABC的外接圆上，∴∠BAF＝∠BCF＝45°，∴∠FAD＝∠BAF+∠DAB＝90°，即FA⊥DE，∵∠BDA＝∠AEC＝90°，∴BD∥FA∥CE，∴△ADF和△ABF的公共边AF上的高相等，∴S△ADF＝S△ABF，同理：S△AEF＝S△ACF，∴S△EEF＝S四边形ABFC＝S△ABC+S△BCF，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，∴S△ABC＝，b2+c2＝a2，在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF2+CF2＝BC2，即2BF2＝a2，∴BF2＝，∴S△BCF＝BF2＝，∴S△EEF＝，∵△DEF与△ABC面积比为5：2，∴，整理得：3bc＝a2，∴3bc＝b2+c2，将上式两边同时除以ab，得：，设，则，∴，整理得：x2﹣3x+1＝0，解得：x1＝，x2＝，∵AB＞AC，∵c＞b，∴，即x＜1，∴x＝，即，在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝．故选：B．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，则S正方形ACDE：S正方形BCIH的值等于（）A． B．4 C． D．【解答】解：设CF交AB于P，过C作CN⊥AB于N，如图：设正方形JKLM边长为m，∴正方形JKLM面积为m2，∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，∴正方形ABGF的面积为5m2，AF＝AB＝m，由已知可得：∠AFL＝90°﹣∠MFG＝∠MGF，∠ALF＝90°＝∠FMG，AF＝GF，∴△AFL≌△FGM（AAS），∴AL＝FM，设AL＝FM＝x，则FL＝FM+ML＝x+m，在Rt△AFL中，AL2+FL2＝AF2，x2+（x+m）2＝，解得x＝m或x＝﹣2m（舍去），∴AL＝FM＝m，FL＝2m，∵tan∠AFL＝＝＝＝，∴＝，∴AP＝，∴FP＝＝＝m，BP＝AB﹣AP＝m﹣＝，∴AP＝BP，即P为AB中点，∵∠ACB＝90°，∴CP＝AP＝BP＝，∵∠CPN＝∠APF，∠CNP＝90°＝∠FAP，∴△CPN∽△FPA，∴＝＝，即＝＝，∴CN＝m，PN＝m，∴AN＝AP+PN＝，∴tan∠BAC＝＝＝，∴S正方形ACDE：S正方形BCIH＝AC2：BC2＝＝＝，故选：C．10．如图，已知正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，得到正方形MNPQ，连结MF并延长交NP于点O，设正方形EFGH的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2，若，则的值为（）A． B． C． D．2【解答】解：，∴设S1＝4k2，S2＝49k2，∴正方形EFGH边长为2k，正方形MNPQ的边长为7k，即FG＝2k，MN＝NP＝7k，设NC＝a，PC＝b，依题意得：△AMB，△AFB，△BNC，△BGC，△CPD，△XHD，△DQA，△DEA都全等，∴BF＝CG＝NC＝BM＝a，BG＝BN＝CP＝b，∴BG﹣BF＝FG，NC+CP＝NP，∴，解得，∴NC＝BM＝2.5k，CP＝4.5k，∵AM＝AF，∴点A在线段AF的垂直平分线上，∴BF＝BM，∴点B在线段AF的垂直平分线上，∴AB是线段AF的垂直平分线，即AB⊥MO，又∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，∴BC∥MO，∴△BNC∽△MNO，∴BN：MN＝NC：NO，即4.5k：7k＝2.5k：NO，∴NO＝，∴OC＝NO﹣NC＝﹣2.5k＝，∴OP＝CP﹣OC＝4.5k﹣＝，∴＝．故选：B．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为边向三角形外作正方形ABDE，作EF⊥BC于点F，交对角线AD于点G，连接BG．要求△BFG的周长，只需要知道（）A．线段BF的长度 B．线段AC的长度 C．线段FG的长度 D．线段BC的长度【解答】解：设BC＝a，AC＝b，AB＝c，AB与EF交于H，如下图所示：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则c2＝a2+b2，∵四边形ABDE为正方形，AD为对角线，∴DE＝DB，∠EDA＝∠BDA＝45°，∠EAB＝90°，AE＝AB＝c，在△EDG和△BDG中，，∴△EDG≌△BDG（SAS），∴EG＝BG，∴△BFG的周长＝BG+GF+BF＝EG+GF+BF＝EF+BF，∵EF⊥BC，∠ACB＝90°，∴EF∥AC，∴∠1＝∠2，又∵∠EAH＝∠ACB＝90°，∴△EAH∽△BCA，∴EH：AB＝AH：AC＝AE：BC，即EH：c＝AH：b＝c：a，∴EH＝，AH＝，∴BH＝AB﹣AH＝，∵EF∥AC，∴△BHF∽△BAC，∴HF：AC＝BF：BC＝BH：AB，即HF：b＝BF：a＝，∴HF＝，BF＝a﹣b，∴EF+BF＝EH+HF+BF＝＝＝，将c2＝a2+b2代入上式得：EF+BF＝＝2a，即EF+BF＝2BC，∴△BFG的周长＝2BC，因此要求△BFG的周长，只需要知道线段BC的长度即可．故选：D．12．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边AD、BC上的点，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点B的对应点B'恰好落在边CD上，则△DGB'的周长等于（）A．2AB B． C． D．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝∠B＝90°，BC＝CD＝AB，由折叠得∠GB′F＝∠B＝90°，B′F＝BF，∴DB′＝CD﹣B′C＝BC﹣B′C，CF+B′F＝CF+BF＝BC，BF2﹣B′C′2＝B′F2﹣B′C2＝CF2，∠DB′G＝∠CFB′＝90°﹣∠CB′F，∴△DB′G∽△CFB′，∴＝＝，∴＝＝，∴DB′+GD+GB′＝＝，∵＝＝＝＝2BC＝2AB，∴DB′+GD+GB′＝2AB，故选：A．13．四张正方形纸片如图放置，知道下列哪两个点之间的距离，可求最大正方形与最小正方形的面积之和（）A．点K，F B．点K，E C．点C，F D．点C，E【解答】解：设CG＝x，GF＝y，∴BC＝x+y，CI＝y﹣x，∴，由勾股定理得CG2+GF2＝CF2，∴，∴知道点C，F的距离即可求最大正方形与最小正方形的面积之和，故选：C．14．如图，点F，G分别在正方形ABCD的边BC，CD上，E为AB中点，连结ED，正方形FGQP的边PQ恰好在DE上，记正方形ABCD面积为S1，正方形FPQG面积为S2，则S1：S2的值为（）A．10：7 B．20：7 C．49：10 D．49：20【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝DC，∠A＝∠ADG＝∠C＝90°，∵四边形FGQP是正方形，∴∠PQC＝∠DQG＝90°，∠QGF＝90°，∴∠ADE+∠QDG＝∠QDG+∠DGQ＝90°，∴∠ADE＝∠DGQ，∵∠A＝∠DQG＝90°，∴△ADE∽△QGD，∴，设正方形ABCD的边长为2a，则AD＝DC＝AB＝2a，∵E为AB中点，∴AE＝a，∴＝＝2，设正方形FGQP的边长为2b，则FG＝QG＝2b，QD＝b，∴DG＝＝＝b，∵∠DGQ+∠FGC＝90°＝∠DGQ+∠GDQ，∴∠GDQ＝∠FGC，∴cos∠GDQ＝cos∠FGC＝，∴＝，∴GC＝b，∵DC＝2a＝b+b，∴2a＝b，∴S1：S2＝＝，故选：D．15．如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，且A、B、E三点在一条直线上，连接CE，以CE为边构造正方形CPQE，PQ交AB于点M，连接CM．设∠APM＝α，∠BCM＝β．若点Q、B、F三点共线，tanα＝ntanβ，则n的值为（）A． B． C． D．【解答】解：过点Q作QN⊥AB于N，连接Q、B、F，则∠QNE＝∠QNM＝90°，∵四边形ABCD、四边形BEFG、四边形CPQE是正方形，∴EC＝EQ，CB＝CD，∠GBE＝∠CEQ＝∠BCD＝∠PCE＝∠A＝90°，∵点Q、B、F三点共线，∴∠QBN＝∠EBF＝45°，∴△EBF、△BQN都是等腰直角三角形，∴QN＝BN，∵∠BCE+∠BEC＝90°，∠QEN+∠BEC＝90°，∴∠BCE＝∠QEN，在△ENQ和△CBE中，，∴△ENQ≌△CBE（AAS），∴EN＝CB，QN＝EB，∵QN＝BN，∴EN＝CB＝2EB，∴EB＝QN＝BN＝BG＝CG，设EB＝QN＝BN＝BG＝CG＝a，则AB＝BC＝CD＝AD＝2a，AN＝2a﹣a＝a，∵∠DCP+∠BCP＝90°，∠BCE+∠BCP＝90°，∴∠DCP＝∠BCE，在△CBE和△CDP中，，∴△CBE≌△CDP（ASA），∴BE＝DP＝a，∴PA＝2a﹣a＝a，∴PA＝QN，在△PAM和△QNM中，，∴△PAM≌△QNM（AAS），∴，∴，在Rt△PAM中，，在Rt△BCM中，，∵tanα＝ntanβ，∴，∴，故选：A．16．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝α（0°＜α＜90°）．点D，E在AB边上，点F，G分别在BC和AC边上．若四边形DEFG为正方形，则＝（）A． B． C． D．【解答】解：作CH⊥AB于H，设正方形DEFG的边长为m，∵四边形DEFG为正方形，∴∠EDG＝90°，∴DG∥CH，DE∥FG，∴△ADG∽△AHC，∴，∵DE∥FG，∴∠B＝∠CFG，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠CFG，∴CG＝FG＝m，在Rt△ADG中，sinA＝，∴AG＝，∴，∴HC＝m（1+sinα），∴S正方形DEFG＝m2，S△ABC＝AB•HC＝AC•HC＝（+m）•m（1+sinα），∴＝．故选：B．17．如图，在△ABC中，D为线段AC上一点，点E在AC的延长线上，过点D作DF∥AB交BC于点F，连结BE，EF，若AC2+DE2＝AE2，则△BEF与△DCF的面积比为（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5【解答】解：作DM⊥BC于点M，EN⊥BC于点N.∴∠DMC＝∠ENC＝90°．设AD＝a，DC＝b，CE＝c．∵∠DCM＝∠ECN，∴△DCM∽△ECN．∴＝＝．∵DF∥AB，∴＝＝．∵AC2+DE2＝AE2，∴（a+b）2+（b+c）2＝（a+b+c）2．∴b2＝2ac．∴＝＝＝．故选：A．18．如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC＝8，AD是⊙O的直径，连结BD，AE平分∠BAC交BD于E，若DE＝2，则⊙O的半径为（）A． B． C． D．5【解答】解：作直径CM，连接AM，∵AC＝BC，AO＝BO，CO＝CO，∴△AOC≌△BOC（SSS），∴∠ACO＝∠BCO，∴CM⊥AB，∵AD是圆的直径，∴∠ABD＝90°，∴DB⊥AB，∴BD∥CM，∵OA＝OD，∴AN＝NE，∴ON是△ADE的中位线，∴ON＝DE＝×2＝1，设圆的半径是r，∴MN＝r﹣1，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠ANM＝∠CAN+∠ACO，∠MAN＝∠BAE+∠MAB，∠MAB＝∠BCO，∴∠ANM＝∠MAN，∴MA＝MN＝r﹣1，∵AM是圆的直径，∴∠CAM＝90°，∴CM2＝AC2+AM2，∴（2r）2＝82+（r﹣1）2，∴r＝（舍去负值），∴⊙O的半径为．故选：B．二．填空题（共14小题）19．如图，点E是矩形ABCD边BC上一点，沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点F处．设＝y，则y关于x的函数表达式是y＝1+．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴∠FEC+∠EFC＝90°，由折叠得：BE＝EF，AB＝AF＝DC＝DF+CF，∠B＝∠AFE＝90°，∵∠EFC+∠AFD＝90°，∴∠AFD＝∠FEC，∴△AFD∽△FEC，∴＝，∴＝，而＝y，∴y＝，∴y＝1+，∴y＝1+．故答案为：y＝1+．20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB的中点，点E，F分别在边AC，BC上，AE＝1，将△ADE，△BDF分别沿DE，DF翻折使得A与A′重合，B与B′重合，若A′E∥B′F，则BF＝3．【解答】解：如图所示，连接CD，设∠ADE＝∠A'DE＝α，∠BDF＝∠B'DF＝β，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∵Rt△ABC中，D是AB的中点，∴CD＝AB＝5，又∵CE＝AC﹣AE＝6﹣1＝5，∴CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，即α+∠CDA'＝α+∠A，∴∠CDA'＝∠A，又∵∠A＝∠A'，∴∠CDA'＝∠A'，∴A'E∥CD，又∵A′E∥B′F，∴CD∥B'F，∴∠B'＝∠CDB'，又∵∠B'＝∠B，∴∠CDB'＝∠B，∴∠CDB'+β＝∠B+β，即∠CDF＝∠CFD，∴CF＝CD＝5，∴BF＝BC﹣FC＝8﹣5＝3，故答案为：3．21．一副含45°和30°角的直角三角形纸板ABC和DEF按图1摆放，BC＝DE＝12，∠ABC＝∠DEF＝90°．现将点D从B点向A点滑动，边DE始终经过BC上一点G，BG＝2．H是DF边上一点，满足DH＝DG（如图2），当点E到达G点时运动停止．当E到达G点时BD的长为2；运动过程中AH的最小值是6﹣1．【解答】解：当E与G重合时，在Rt△BDG中，DG＝DE＝12，BG＝2，∴BD＝＝＝2，如图2中，以BG为边，在BC的上方作等边△BGJ，作直线HJ交AB于点K，连接GH，过点A作AT⊥JH于点T．∵DG＝DH，∠GDH＝60°，∴△DGH是等边三角形，∴GD＝GH，∵∠JGB＝∠DGH＝60°，∴∠DGB＝∠HGJ，∵GB＝GJ，GD＝GH，∴△DGB≌△HGJ（SAS），∴∠HJG＝∠DBG＝90°，∴点H在过点J且垂直JG的直线上运动，根据垂线段最短可知，当AH与AT重合时，AH的值最小，∵∠KBJ＝∠KJB＝30°，∴BK＝KJ，∵GB＝GJ，GK＝GK，∴△GKB≌△GKJ（SSS），∴∠BGK＝∠JGK＝30°，∴BK＝BG•tan30°＝，∴AK＝AB＝BK＝12﹣，∵AT⊥KT，∠AKT＝60°，∴AT＝AK•sin60°＝（12﹣）×＝6﹣1，∴AH的最小值为6﹣1．故答案为：2，6﹣1．22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，M是AC上一点，，MN∥AB交BC于点N，D是直线MN上一动点，连结AD，将线段AD绕点D逆时针旋转90°至线段ED，连结AE．当点C，D，E共线时，＝或．【解答】解：①当点D在线段CE上时，如图1：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CG⊥DF，交FD的延长线于点G，作CH⊥AB，交AB于点H，连接CD，则四边形CHFG为矩形，CG∥AB，∴GF＝CH，CG＝HF，∵MN∥AB，∴△CMN∽△CAB，CG∥MN∥AB，∴，∵，∴，设DG＝3a，则CH＝FG＝5a，∴DF＝2a，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴，设CG＝HF＝x，∴AF＝5a+x，线段AD绕点D逆时针旋转90°至线段ED，∴∠ADE＝90°，AD＝DE，，∵点C，D，E共线，∴∠ADC＝90°，∵DF⊥AB，CG⊥DF，∴∠AFD＝∠CGD＝90°，∴∠ADF＝∠DCG＝90°﹣∠CDG，∴△CGD∽△DFA，∴，∴，∴（5a+x）•x＝6a2，解得：x＝a或x＝﹣6a（舍去）；∴，∴；②当点E在线段CD上时，如图2：设DG＝3a，则CH＝FG＝5a，DF＝2a，设AF＝x，则CG＝HF＝5a+x，同法可得：AF＝a，∴，∴，综上：或，故答案为：或．23．如图，已知矩形ABCD，过点A作AE⊥AC交CB的延长线于点E，若∠AED＝∠ACB，则tan2∠BAE＝﹣1．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝∠ABC＝90°，AD∥BC，DC＝AB，由勾股定理得：DC2+EC2＝ED2，∵AD∥BC，∴△AFD∽△CFE，∠ADE＝∠CEF，∴＝，∴＝，∴EF＝，∵∠AED＝∠ACB，∠ADE＝∠CEF，∴△AED∽△FCE，∴＝，∴＝，∴ED2＝AD2+AD•EC，∴DC2+EC2＝AD2+AD•EC，∵AE⊥AC，∴∠CAE＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝90°，∵∠ABE＝∠ABC＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠AEB＝∠BAC，∴△AEB∽△CAB，∴＝，∴AB2＝EB•BC，∴DC2＝AB2＝EB•BC，∵CE2＝（EB+BC）2＝EB2+2EB•BC+BC2，∴EB•BC+BC2+2EB•BC+BE2＝BC2+EC•BC，∴EB•BC+2EB•BC+BE2＝BC（BC+BE）＝BC2+BC•BE，∴BE2+2EB•BC﹣BC2＝0，∴（）2﹣2•﹣1＝0，解得：＝﹣1±（负值舍去），∴＝﹣1，即BE＝（﹣1）BC，∴BE2＝（﹣1）2•BC2，∴AB2＝（﹣1）•BC2，∴tan2∠BAE＝（）2＝＝﹣1，故答案为：﹣1．24．如图，矩形ABCD和正方形EFGH的中心重合，AB＝12，BC＝16，EF＝．分别延长FE，GF，HG和EH交AB，BC，CD，AD于点I，J，K，L．若tan∠ALE＝3，则AI的长为5，四边形AIEL的面积为．【解答】解：延长LE交BC于M，延长JG交AD于T，延长KH交AB于R，延长IF交CD于W，作MN⊥AD于N，LZ⊥JT于Z，WS⊥AB于S，IQ⊥KR于Q．∵矩形ABCD和正方形EFGH的中心重合，∴根据对称性可知：BM＝DT，AL＝CJ，AR＝CW，BI＝DK，∵四边形ABMN，四边形BCWS，四边形EHQI，四边形GHLZ都是矩形，∴BM＝AN＝DT，CW＝BS＝AR，由题意：在Rt△SWI中，tan∠WIS＝＝3，∴IS＝，IW＝，在Rt△RIQ中，IQ＝EH＝，tan∠IRQ＝3，∴RQ＝，RI＝，∴AR＝SB＝（12﹣﹣）÷2＝，∴AI＝+＝5，IE＝QH＝GK＝（﹣）÷2＝2，同法可得AL＝，LH＝ZG＝FJ＝（4﹣﹣）÷2＝，EL＝，∴四边形AIEL的面积为＝×5×+×2×＝，故答案为5，．25．小江同学在学习勾股定理后，用两对全等的直角三角形（Rt△DHC≌Rt△BFA，Rt△ADE≌Rt△CBG）和正方形EFGH拼成如图所示的▱ABCD（无重叠也无缝隙），其中，AD＝4，AB＝5．记Rt△ADE，Rt△BFA的面积分别为S1，S2.则S1﹣S2＝，若，则正方形EFGH的面积＝．【解答】解：如图，由题意知Rt△DHC≌Rt△BFA，Rt△ADE≌Rt△CBG，四边形HEFG为正方形，∴DH＝BF，DE＝BG，HC＝AF，GC＝AE，HE＝EF＝FG＝HG，设DH＝BF＝x，GC＝AE＝y，正方形边长HE＝a，∴DH2+HC2＝DC2＝52，DE2+AE2＝AD2＝42，∴x2+（a+y）2＝25①，y2+（x+a）2＝16②，∴①﹣②得2（ax﹣ay）＝﹣9，即ay﹣ax＝，∵＝＝＝＝，设小正方形的边长是a，AE地长是b，BF＝x，∵b2+a2+2ab+x2+x2+a2+2ab+b2﹣2ab﹣2bx﹣2a2﹣2ax﹣2bx＝6，∴2b2+2x2﹣4bx＝6，∴（b﹣x）2＝3，b﹣x＝，∵a（b﹣x）＝，∴a＝＝，∴S正方形HEFG＝故答案为：，．26．如图1，是一种购物小拉车，底部两侧装有轴承三角轮，可以在平路及楼梯上推拉物品．拉杆固定在轴上，可以绕连接点旋转，拉杆，置物板，脚架形状保持不变．图2，图3为购物车侧面示意图，拉杆OP⊥DE，DF＝24cm，，⊙A，⊙B，⊙C的半径均为4cm，O为三角轮的中心，OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．如图2，当轮子⊙B，⊙C及点G都放置在水平地面HI时，D恰好与⊙A的最高点重合．此时，D的高度为20cm，则OA＝8cm；如图3，拉动OP，使轮子⊙A，⊙B在楼梯表面滚动，当OA∥HI，且B，O，D三点共线时，点G与B的垂直高度差为（12+）cm．【解答】解：如图2，连接BC，延长AO交BC于J，作BQ⊥HG于Q，由圆的半径为4cm，得AD＝BQ＝4cm，∵D的高度为20cm，∴AJ＝12cm，设OA＝OB＝xcm，∴OJ＝12﹣x（cm），∵OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，∴∠BOC＝120°，∠BOJ＝60°，∠OBJ＝30°，∴OB＝2OJ，即x＝2（12﹣x），∴x＝8，即OA＝8cm．故答案为：8；如图2，作FS⊥HG，∴FS＝20cm，∴SG＝＝，如图3，连接BG，过B作水平线，与过G的铅垂线交于M，由图2得BD＝20cm，且BD⊥BG，∴∠GBM＝30°，∵BG＝24+（cm），∴GM＝BG＝12+（cm），故答案为：12+．27．如图，某兴趣小组运用数学知识设计徽标，将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，取名为“火箭”，并过该图形的A，B，C三个顶点作圆，则该圆的半径长是．【解答】解：∵将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，如图，连接OB，∴AD＝2+4+2+2＝10，BC＝2+2+2＝6，∴．设该圆的半径长是x，则OB＝x，OD＝10﹣x，在Rt△OBD中，由勾股定理得x2＝（10﹣x）2+32，解得．∴该圆的半径长是，故答案为：．28．如图1，AB是⊙O的直径，E是OA的中点，OA＝2，过点E作CD⊥AB交⊙O于C、D两点．（1）的度数为120°；（2）如图2，P点为劣弧上一个动点（不与B、C重合），连接AP、CP，点Q在AP上，若AQ＝x时，CQ平分∠PCD，则x的值为2．【解答】解：（1）连接OC，如图1所示：∵OA＝2，∴OC＝OA＝2，∵AB是⊙O的直径，E是OA的中点，且CD⊥AB，∴OE＝OA＝1，∠OEC＝90°，在Rt△OCE中，cos∠OCE＝＝，∴锐角∠OCE＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠OCE＝120°，即的度数为120°，故答案为：120°；（2）连接AC，OC，如图2所示：由①可知：∠COE＝60°，又∵OA＝OC＝2，∴△OAC为等边三角形，∴AC＝OA＝OC＝2，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴＝，∴∠ACD＝∠P，∵CQ平分∠PCD，∴∠DCQ＝∠PCQ，∴∠ACQ＝∠ACD+∠DCQ＝∠P+∠PCQ，又∵∠AQC＝∠P+∠PCQ，∴∠ACQ＝∠AQC，∴AQ＝AC＝2，∴x的值为2．故答案为：2．29．如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是2，则k的值为﹣4．【解答】解：设D（a，b），则CO＝﹣a，CD＝AB＝b，∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，∴k＝ab，∵△BCE的面积是2，∴×BC×OE＝2，即BC×OE＝4，∵AB∥OE，∴＝，即BC•EO＝AB•CO，∴4＝b×（﹣a），即ab＝﹣4，∴k＝﹣4，故答案为：﹣4．30．如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中两个顶点在y轴正坐标轴上，一个顶点在x轴负半轴上，顶点D在反比例函数的图象上，若S△ABC＝4，则k＝﹣24．【解答】解：∵S△ABC＝4，∴＝4，∴BC2＝4，∴小正方形边长为2，∴AB＝4，BC＝AF＝1，DF＝6，AC＝2，如图，作DE⊥x轴，垂足为点E，∵∠BAF＝90，∴∠OAF＝∠BCA，∴△ABC∽△FOA，∴，即，∴AO＝，OF＝，同理△AOF∽△FED，∴，即，∴EF＝，DE＝，∴OE＝OF+EF＝．D（﹣2，），∵点D在反比例函数图象上，∴k＝﹣2×＝﹣24．故答案为：﹣24．31．已知抛物线y＝a（x﹣2）2+k上有A（﹣2，y1），B（1，y2），C（4，y3），D（5，y4）四个点，某数学兴趣小组研究后得到三个命题：①若y1+y3＞y2+y4，则a＞0；②若y2﹣y3＞0，则y1﹣y4＞0；③若y2y3＝0，则y1y4＞0．属于真命题是①③.（填写序号）【解答】解：根据题意知，y1＝16a+k，y2＝a+k，y3＝4a+k，y4＝9a+k，若y1+y3＞y2+y4，则16a+k+4a+k＞a+k+9a+k，∴a＞0，故①是真命题；若y2﹣y3＞0，则a+k﹣（4a+k）＞0，∴a＜0，∴y1﹣y4＝16a+k﹣（9a+k）＝7a＜0，故②假命题；抛物线y＝a（x﹣2）2+k的对称轴为直线x＝2，且|﹣2﹣2|＞|5﹣2|＞|4﹣2|＞|1﹣2|，当a＞0时，y1＞y4＞y3＞y2，∵y2y3＝0，即y2＝0或y3＝0，∴y1＞y4＞0，∴y1y4＞0；当a＜0时，y1＜y4＜y3＜y2，∵y2y3＝0，即y2＝0或y3＝0，∴y1＜y4＜0，∴y1y4＞0；综上所述，y1y4＞0，故③真命题；∴真命题是①③；故答案为：①③．32．某班40名同学按学号1，2，3，…，40顺次顺时针方向围坐成一圈做游戏：从某个同学开始，沿顺时针方向，按1，2，3，…依次报数，报到数字40的同学退出游戏，剩下39人，第一轮结束；接着从退出游戏的后一个同学开始继续沿顺时针方向按1，2，3，…依次报数，报到数字40的同学退出游戏，剩下38人，第二轮结束；…，按这种方式，在第五轮中，恰好学号18的同学退出游戏，则第一轮第一位报数同学的学号是9．【解答】解：设第一轮第一位报数同学的学号是a，则第一轮报号40的学号为a+39﹣40＝a﹣1，第二轮第一个报号的学号仍为a，则第二轮报号40的学号为a+39﹣39＝a，第三轮第一个报号的学号仍为a+1，则第三轮报号40的学号为a+1+39﹣38＝a+2，第四轮第一个报号的学号仍为a+3，则第四轮报号40的学号为a+3+39﹣37＝a+5，∴第五轮第一个报号的学号仍为a+6，则第五轮报号40的学号为a+6+39﹣36＝a+9，在第五轮中，恰好学号18的同学退出游戏，∴a+9＝18，∴a＝9，故答案为：9．三．解答题（共24小题）33．已知A（x1，y1），B（x2，y2），C（，y3），点A与点B不重合．（1）若点A，B，C都在函数y＝2x的图象上，计算﹣y3的值．（2）若点A，B，C都在函数y＝2x2的图象上，求证：﹣y3＞0．（3）若点A，B，C都在函数y＝（x＞0，常数k≠0）的图象上，判断与y3的大小关系，并说明理由．【解答】（1）解：∵点A，B，C都在函数y＝2x的图象上，∴y1＝2x1，y2＝2x2，y3＝x1+x2，∴﹣y3＝x1+x2﹣（x1+x2）＝0，∴﹣y3＝0；（2）证明：∵点A，B，C都在函数y＝2x2的图象上，∴y1＝2，y2＝2，y3＝2×（）2，∴﹣y3＝+﹣＝＝＞0，∴﹣y3＞0；（3）解：∵点A，B，C都在函数y＝（x＞0，常数k≠0）的图象上，∴y1＝，y2＝，y3＝，∴﹣y3＝﹣＝，∵x＞0，∴＞0，∴＞y3．34．已知二次函数y＝ax2﹣2x+2﹣a（a是常数，a≠0）．（1）若a＝﹣，求该函数图象顶点坐标．（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（1，﹣2），（2，﹣5）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．（3）若﹣5≤a≤﹣2，当﹣3≤x≤0时，y＝ax2﹣2x+2﹣a的最大值记为m，最小值记为n，求am﹣n的最小值．【解答】解：（1）当a＝﹣时，二次函数y＝﹣x2﹣2x+＝﹣（x+2）2+，∴顶点坐标为（﹣2，）；（2）∵y＝ax2﹣2x+2﹣a＝a（x2﹣1）﹣2（x﹣1）＝a（x+1）（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝（x﹣1）（ax+a﹣2），当x＝1时，y＝0≠﹣2，因此不过（1，﹣2）点，当x＝﹣1时，y＝4≠1，因此不过（﹣1，1）点，故抛物线过点（2，﹣5），代入得，4a﹣4+2﹣a＝﹣5，∴a＝﹣1，∴抛物线的关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；（3）∵二次函数y＝ax2﹣2x+2﹣a，∴对称轴为直线x＝，∵﹣5≤a≤﹣2，∴﹣≤≤﹣，抛物线开口向下，∵﹣3≤x≤0时，y＝ax2﹣2x+2﹣a的最大值记为m，最小值记为n，∴x＝时，y＝m，x＝﹣3时，y＝n，∴m＝﹣+2﹣a＝2﹣a﹣，n＝9a+6+2﹣a＝8a+8，∴am＝﹣a2+2a﹣1，∴am﹣n＝﹣a2+2a﹣1﹣8a﹣8＝﹣a2﹣6a﹣9＝﹣（a+3）2，∵﹣5≤a≤﹣2，∴当a＝﹣5时，am﹣n有最小值，为﹣4．35．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）．（1）求抛物线解析式；（2）若抛物线y＝x2+bx+c﹣2mx，当2m﹣1≤x≤2m+3时，y有最大值12，求m的值；（3）若将抛物线y＝x2+bx+c平移得到新抛物线y＝x2+bx+c+n，当﹣2＜x＜3时，新抛物线与直线y＝1有且只有一个公共点，直接写出n的取值范围．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线y＝x2+bx+c得，，解得：，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x﹣5；（2）由（1）知，抛物线y＝x2﹣4x﹣5﹣2mx＝x2﹣（4+2m）x﹣5，当2m﹣1≤x≤2m+3时，y有最大值12∵抛物线开口向上，∴最大值只能在x＝2m﹣1或x＝2m+3时取得，当x＝2m﹣1时，12＝（2m﹣1）2﹣（4+2m）（2m﹣1）﹣5，解得：m＝﹣；当m＝2m+3时，12＝（2m+3）2﹣（4+2m）（2m+3）﹣5，解得：m＝﹣10，∴m＝﹣或m＝﹣10；（3）由题意得，新抛物线为y＝x2﹣4x﹣5+n是把抛物线y＝x2﹣4x﹣5平移|n|个单位得到的，如图所示：①当﹣2＜x＜3时，新抛物线与直线y＝1相交且有一个交点时，则，解得：﹣6≤n≤9，②当抛物线与直线y＝1相切时，就是把抛物线y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9向上平移10个单位，即n＝10，∴n的取值范围为﹣6≤n≤9或n＝10．36．已知二次函数的图象经过原点O和点A（8+t，0），其中t≥0．（1）当t＝0时．①求y关于x的函数表达式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值为多少？②当x＝m和x＝n时（m≠n），函数值相等，求m，n之间的关系式．（2）当t＞0时，在0≤x≤8范围内，y是否存在最大值18？若存在，求出相应的t和x的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当t＝0时，A（8，0），①把O（0，0），A（8，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，∴y关于x的函数表达式为y＝﹣x2+2x；∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣4）2+4，∴当x为4时，y有最大值，最大值为4；②∵当x＝m和x＝n时（m≠n），函数值相等，∴﹣（m﹣4）2+4＝﹣（n﹣4）2+4，∴（m﹣n）（m+n﹣8）＝0，∵m﹣n≠0，∴m+n＝8；（2）在0≤x≤8范围内，y存在最大值18，理由如下：∵二次函数的图象经过原点O和点A（8+t，0），∴，解得，∴y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线y＝﹣x2+x的对称轴为直线x＝；①当≥8，即t≥8时，x＝8，y＝﹣x2+x取得最大值，∴﹣×82+×8＝18，解得：t＝9，∴当t的值为9，x的值为8时，y取得最大值18；②当＜8，即0＜t＜8时，y＝﹣x2+x在顶点处取最大值，∴＝18，解得：t＝﹣12﹣8（小于0，舍去）或t＝12﹣8（大于8，舍去），综上所述，当t的值为9，x的值为8时，y取得最大值18．37．定义：对于y关于x的函数，函数在x1≤x≤x2（x1＜x2）范围内的最大值，记作M[x1，x2]．如函数y＝2x，在﹣1≤x≤3范围内，该函数的最大值是6，即M[﹣1，3]＝6．请根据以上信息，完成以下问题：已知函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+a2﹣1（a为常数）．（1）若a＝2．①直接写出该函数的表达式，并求M[1，4]的值；②已知，求p的值．（2）若该函数的图象经过点（0，0），且M[﹣3，k]＝k，求k的值．【解答】解：（1）①∵a＝2，∴y＝x2﹣4x+3．∵[1，4]，∴1≤x≤4．∴当x＝4时，y＝x2﹣4x+3＝3，取得最大值，∴M[1，4]＝3；②∵，∴当p≤x≤时，函数y取得最大值3，令y＝3，则x2﹣4x+3＝3，∴x＝0或x＝4．∴p＝0．（2）∵该函数的图象经过点（0，0），∴a2﹣1＝0，∴a＝±1．当a＝1时，y＝﹣4x，∵M[﹣3，k]＝k，∴k＝﹣4×（﹣3）＝12，∴k＝12．当a＝﹣1时，y＝﹣2x2﹣4x．∵y＝﹣2（x+1）2+2，∴当x＝﹣1时，y取得最大值为2，∵M[﹣3，k]＝k，∴﹣2k2﹣4k＝k，∴k＝0（不合题意，舍去）或k＝﹣．∵当a＝﹣1时，y＝﹣2x2﹣4x．∵y＝﹣2（x+1）2+2，∴当x＝﹣1时，y取得最大值为2，∴k＝2．当﹣3≤x≤2时，函数的最大值为2，∴k＝2．综上，k的值为12或k＝﹣或k＝2．38．图1是某校园的紫藤花架，图2是其示意图，它是以直线AB为对称轴的轴对称图形，其中曲线AC，AD，BE，BF均是抛物线的一部分．素材1：某综合实践小组测量得到点A，B到地面距离分别为5米和4米．曲线AD的最低点到地面的距离是4米，与点A的水平距离是3米；曲线BF的最低点到地面的距离是米，与点B的水平距离是4米．素材2：按图3的方式布置装饰灯带GH，GI，KL，MN，HJ，布置好后成轴对称分布，其中GI，KL，MN，HJ垂直于地面，GI与HJ之间的距离比KL与MN之间的距离多2米．任务一：（1）在图2中建立适当的平面直角坐标系，求曲线AD的函数解析式；任务二：（2）若灯带GH长度为d米，求MN的长度．（用含d的代数式表示）；任务三：（3）求灯带总长度的最小值．【解答】解：（1）如图，以地面所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设曲线AD的函数解析式为y＝a（x﹣3）2+4，代入A（0，5）得：5＝a（0﹣3）2+4，解得：a＝，∴曲线AD的函数解析式为y＝（x﹣3）2+4；（2）∵GH长度为d米，∴xH＝，∵GI与HJ之间的距离比KL与MN之间的距离多2米，∴xM＝﹣1，则yM＝（﹣1﹣3）2+4＝d2﹣d+，∴MN＝d2﹣d+；（3）设曲线BF的函数解析式为：，代入B（0，4）得：，解得：，∴曲线BF的函数解析式为，设灯带总长度为w，GH＝d，则w＝2MN+2HJ+GH＝＝＝（d﹣2）2+，∵＞0，∴当x＝2时，w有最小值，最小值为．∴灯带总长度的最小值为米．39．根据以下素材，探索完成任务．设计跳长绳方案素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：（1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人；（2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．素材2：某班进行赛前训练，发现：（1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为6m，绳子最高点为2m，摇绳同学的出手高度均为1m，如图2；（2）9名跳绳同学身高如右表．身高（m）1.701.731.751.80人数2241素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现：（1）跳绳时，人的跳起高度在0.25m及以下较为舒适；（2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．问题解决任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式．任务2：确定排列方案．该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持0.45m的间距．请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学．任务3：方案优化改进．据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整．班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至0.85m．此时中段长绳将贴地形成一条线段（x线段AB），而剩余的长绳则保持形状不变，如图4．请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题．【解答】解：任务1：如图建立平面直角坐标系．设长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：y＝ax2+2（a≠0）．∵经过点（﹣3，1）．∴9a+2＝1．解得：a＝﹣．∴长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2．任务2．最右侧同学所在的横坐标为：0.45×4＝1.8．当x＝1.8时，y＝﹣×（1.8）2+2＝1.64．∵长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的，∴最右侧同学屈膝后的身高为：1.70×＝1.615．∵1.615＜1.64．∴绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学．任务3．当绳子摇至