广东省佛山市2024届高三教学质量检测（一）数学试题 答案

2023〜2024学年佛山市普通高中教学质量检测（一）

局二数学

2024.1

本试卷共4页，22小题.满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

L答卷前，考生要务必填涂答题卷上的有关项目.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如

需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求

作答的答案无效.

4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合人={引x>2},B={x|x<l},则（赠匐c（RB）=（）

A.0B.{x|l<x<2}C.{x|l<%<2}D.R

【答案】C

【解析】

【分析】求出集合A3的补集，根据集合的交集运算，即可得答案.

【详解】由于A={x|x>2},B={x|x<l},

故瘠A={x|x<2},RB={X|XN1},

所以(翻)c(RB)={4<X<2},

故选：C

2.复数牛勺=()

V3+i3

CD+i

A.-iB.i*iT

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数运算法则直接计算.

1+V3i1+/

【详解】由题意得,

^+i3V3-i

故选：B

3.已知双曲线£的实轴长为8,且与椭圆汇+三=1有公共焦点，则双曲线E的渐近线方程为()

4924

A.3x±4y=0B.4x土3y=0

C.4x±5y=0D.5x±4y=0

【答案】B

【解析】

【分析】根据条件分别求双曲线的a,"c,再代入渐近线方程.

【详解】椭圆工+二=1的焦点在V轴上，其中片=49，/=24，C2=25)

4924

所以焦点坐标为(0,—5)和(0,5),

双曲线的焦点为(0,—5)和(0,5),即c=5,实轴长2a=8,则a=4,

那么b=1C2-a2=3

a4

所以双曲线£的渐近线方程为y=±-x=±-x,即4%±3y=0.

b3

故选：B

4.已知/(x)=(x+l)(x+a)(x+，)为奇函数，则y=/(x)在％=0处的切线方程为()

A.x+y=0B.x-y=0

C.3x+y=0D.3x-j=0

【答案】A

【解析】

【分析】根据奇函数定义求出函数表达式，再结合导数和切线相关知识求解切线方程即可.

【详解】因为/(%)=(x+l)(x+a)(x+b)=(%+1)[犬+(〃+人)%+"]

=x3+(4z+/7+l)x2+^a+b+ab)x+ab,

所以/(-x)=-x3+(4z+/?+l)x2-(^a+b+ab^x+ab,

因为/(x)为奇函数，所以/(-%)+/(X)=2(Q+b+l)%2+2必=0对leR恒成立，

所以1,C,代入函数表达式得/(九)=尤3—%,

所以/'(%)=3三—1,则y(o)=o,r(o)=-1,

所以y=/(%)在x=0处的切线方程为丁=一％，即x+y=o.

故选：A

5.设抛物线。：、2=2/(〃〉0)的焦点为尸，准线为是。上一点，N是/与入轴的交点，若

\MN\=4sf2,\MF\=4,贝叱()

A.72B.2C.2-72D.4

【答案】D

【解析】

【分析】根据抛物线定义和图形中的几何关系直接计算求解即可.

【详解】如图所示，作

由抛物线定义可知，

在RtAffiTV中，|HN|==4,

则M[4—在抛物线C:/=2px(p>0)上,

所以=16,即p2_8p+]6=0,则p=4.

故选：D

6.若古典概型的样本空间。={123,4},事件A={1,2},甲：事件3=0,乙：事件A3相互独立，则

甲是乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】结合独立事件的定义，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.

21

【详解】若3=0，A5={1,2},则B）=-=-.

21

而P（A）=Z=5,尸（B）=I,

所以P（A）尸（5）=尸（AB）,所以事件相互独立，

反过来，当3={1,3},AnJB={l},

此时P（AB）=1,P（A）=P（B）=1,满足P（A）P（B）=P（AB）,

事件A3相互独立，所以不一定3=o,

所以甲是乙的充分不必要条件.

故选：A

7.对于任意非零向量a,6,c,若。力在：上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是（）

A.（a-b^l/cB.（a+6）//c

C.（a_6）_LcD.{a+b^Lc

【答案】D

【解析】

【分析】根据投影向量和投影的关系以及投影的计算方法直接求解即可.

【详解】由题意得，4在"上的投影为忖

b-c

同理，b在之上的投影为仃，

因为任意非零向量。力在C上的投影向量互为相反向量,

所以在c上的投影互为相反数,

a-cb-c/rr\r/\•

所以>「+田-=。，贝!!(a+O)・C=O,即(a+6)_Lc.

故选：D

8.2023年中央金融工作会议于10月30日至31日在北京举行，会议强调坚持把金融服务实体经济作为根本

宗旨.现有某高新企业向金融机构申请到一笔800万元专项扶持贷款资金，该贷款资金分12期发放完毕，考

虑到企业盈利状况将逐步改善，前11期放款金额逐期等额递减发放，每期递减10万元，第12期资金不超

过10万元一次性发放.假设每期放款金额均为以万元为单位的正整数，则第1期和第12期放款金额之和为

()

A.128B.130C.132D.134

【答案】B

【解析】

分析】首先设第一期发放x万元，再根据等差数列求前11项和，由题意得到不等式，即可求解.

【详解】设第一期发放尤万元，第二期发放X-10万元，第三期发放X-20万元，依次类推，第11期发放

%-100万元，

,,.…4“llx(x+x—100)ll(2x-100),一

前11期共发放一------12—^=11(》—50)万兀，

则0<800—ll(x—50)410,解得：詈(詈，xeN*，

所以％=122,

则第12期发放数为800—11(122—50)=8万元，

所以第1期和第12期共发放122+8=130万元.

故选：B

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知角。的终边过点？(3,4),贝|()

724

Acos26—------B.13n2。-----

257

°e2小„,_i

C.cos一=----D.tan-=一

2522

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据三角函数定义求出cos。、sin。和tan。，结合二倍角公式直接计算判断A和B,通过角的范

nnn

围可以判断角一的终边位于第一象限或第三象限，进而得到cos—〉0或cos—<0进而判断C,通过

222

°

tan->0并结合正切二倍角公式判断D.

2

【详解】因为角。的终边过点P（3,4）,

△33.0444

所以cos6=/,=£,sin6）==工,tan6>=-,

A/32+425V32+4253

Q7

所以cos28=2cos20-l=2x----1=----,

2525

2xf

2tan。324

tan2^=-----T—=—――=----,故A和B正确，

1-tan2^j_167

~~9

因为2左兀<8<24兀+'（左eZ）,

所以E<3<E+e（左eZ）,即角：的终边位于第一象限或第三象限，

所以tan—>0,但cos—〉0或cos—<0均满足题意，故C错误，

222

2tan54QQ

由tan0—-------———,得2tun2—F3tan—2=0,

l-tan2^322

2

Q6]

解得tan—=-2（舍去）或tan—=—，故D正确.

222

故选：ABD

10.在正方体ABCD—4与。1。中，点E、E分别是3。和耳。的中点，则（）

A.EF±BD

B.即与A?所成角为60

C.EF工平面4cA

D.石尸与平面ABC。所成角为45

【答案】BD

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用空间向量的数量积可判断空间位置关系，即可判断A；

利用空间角的向量求法可判断B；结合A的分析，采用反证法，可判断C；确定平面ABCD的法向量，利

用空间角的向量求法可判断D.

【详解】如图，以。为坐标原点，以DA。。,。。所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

设正方体棱长为2,则D(0,0,0),B(2,2,0),0),F(l,2,1),A(2,0,0),D,(0,0,2),

4(2,2,2,),C(0,2,0)

故防二(0,1,1,),瓦二(2,2,0),

则EFDB=(0,1,1,)-(2,2,0)=2^0,故EF,DB不垂直，

即EB,不垂直，A错误；

ADEF21

1

又物=(―2,0,2)，故cos〈AR,EF)==不1T=-，

IADj||EF|272722

由于异面直线所成角的范围为大于0小于等于90，

故石尸与A，所成角为60，B正确；

由A的分析可知EF,BD不垂直，又DD{//BB{,DD,=BB1,

即四边形DBBQi为平行四边形，则BD//BR,

故石尸,与A不垂直，

若EF工平面耳Au平面4CD],则

这与后户,与。1不垂直矛盾，故族和平面不垂直，C错误；

平面ABCD的法向量可取为〃=(0,0,1),

H•FF1

则cos〈〃,M〉=—~「=-7==乂一，而线面角范围为大于等于0小于等于90，

|n||EFI1V22

故EF与平面ABCD所成角的正弦值为二，则所与平面ABCD所成角为45，D正确，

2

故选：BD

11.有一组样本数据0,1,2,3,4,添加一个数X形成一组新的数据，且p(X=左)=*(左e{0,1,2,3,4,5}),

则新的样本数据()

31

A.极差不变的概率是一

32

3

B.第25百分位数不变的概率是一

16

C.平均值变大的概率是g

7

D.方差变大的概率是一

32

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题意得到X取各个值的概率，结合极差、百分位数、平均数以及方差的概念与计算公式逐一

判断即可.

C°1C15C210

【详解】由题意得，尸（X=0）=4=L,P（X=1）=4=3,p（x=2）=y=»,

''3232''3232''3232

C310C45C51

p（X=3）===——，P（X=4）===——，P（X=5）='=——，

'73232v73232v73232

31

对于A,若极差不变，则X=0,l,2,3,4,概率为1—p(x=5)=记，故A正确;

对于B,由于5x25%=1.25,6x25%=1.5,所以原数据和新数据的第25白分位数均为第二个数,

所以X=l,2,3,4,5,第25百分位数不变的概率是1—P(X=0)=记，故B错误；

对于C,原样本平均值为0+1+2+3+4=2,平均值变大，则X=3,4,5,概率为3+上+1=!，故

53232322

C正确；

对于D,原样本的方差为gx(22+F+02+i2+22)=2,

显然，当X=2时，新数据方差变小，当X=0,4,5时，新数据方差变大，

0+1+1+2+3+411

当X=1时，新数据的平均数为

6~6

二翁2,

同理，当X=3时，新数据的方差为——<2,

216

7

所以方差变大的概率为P(x=O)+P(X=4)+P(X=5)=—,故D正确.

故选：ACD

12.已知/(x)=ln%-ox+@有两个不同的极值点%,马，则()

X

A.玉+々<2B./广；〉0

)(*2)

C./(^)+/(%2)=0D.石)~<i-2a

再一工2

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出函数的导数，由题意可知依2-%+°=0有2个正数根%,%，从而可得根与系数的关系，结

合判别式求得。的范围，即可判断A；求出/|五芋］的表达式，构造函数，结合函数的单调性，即可判

断B；求出/(%)+/(%)的表达式，结合根与系数的关系式，即可判断C；将化简为

lux,-lnx与Inx,-lnx,

———~9~2a,再结合导数的几何意义判断———0-<1,即可判断D.

再一冗2再一“2

【详解】由题意/(%)=1皿_奴+二，(口>0)得/'(%)=)_"_三=_°厂：1—〃

%XXX

由于/'(力=1陵-奴+3有两个不同的极值点不，尤2，

X

即依2-x+a=0有2个正数根丹,电，则不+羽=,

玉％=1，

a

A=l-4tz2>0

故需满足工〉0,解得0<。<!，

2a2

a>0

对于A,玉+%=—>2,A错误;

a

对于B,故于「i：々]=/(})=_2a—；+2〃,

22a\2J2a1112

令g(a)=-ln2a--+2a,0<«<—,g\d)=--+4o=———-<0,0<tz<—>

22aa2

1,11

即g(a)=—In2a-^+2/在(0,-)上单调递减,故g(a)>8弓)=0,

即/B正确；

对于c,/(x1)+/(x2)=1叫—"％+乌+lnx2-ax2+—

-玉一九2

=1叫％2—〃(玉+%2)+"~+'2)=ini-ax，+l=0,C正确;

xrx2a

1a1a

InXj-cix^H----lux?+tzx2---

对于D,/（%）一4%2）%x2

玉一%2玉-x2

[1/\。(々一七)

\wc1-lnx2+a(x2—%)+------—

%入2

玉-x2

_1叫-lnx_Inxj-]wc

---------2-ci—ci---------2-Za,

lux,-lnx9

--------可看作曲线y=inx上两点（x19ln玉）,（々Jnx2）连线的斜率,

X1~X2

由于％+马二工＞2,玉%2=1，故不妨设再＜1,%2〉1，

a

由于y=ln%,y=~,则曲线y=ln%在x=l处的切线斜率为1,

Inx,-ln%9,

由于玉cl,%〉]，故（王/n玉）,（九24n九2）连线的斜率小于1,即---------＜1，

X]—x2

所以In%—1吨—2a<l—2a,即工<i-2。，D正确,

x-x

12X]-x2

故选：BCD

【点睛】难点点睛：解答本题的难点时选项D的判断，解答时结合根与系数的关系将‘'（斗）转化

%-x2

lux,-lnx与lux,-Inx）,

为———9—a,再结合导数的几何意义判断———-<1,即可判断该选项.

X]-x2再一x2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在（1+。%）"（其中"eN*,a/0）的展开式中,尤的系数为—10,各项系数之和为—1,则〃=.

【答案】5

【解析】

【分析】由题意可根据二项式展开式中x的系数以及各项系数之和，列出关于的方程，即可求得答案.

【详解】由题意得（1+ax）"的展开式中x的系数为aC；=-10,即即=—10,

令1=1,得各项系数之和为（1+a）"=—1,则〃为奇数，且l+a=—1,

即得Q=—2,n=5,

故答案为：5

14.在正三棱台ABC-A4G中，=其外接球半径为石，则该棱台的高可以为

【答案】1（或填3）

【解析】

【分析】求出正棱台上下底面的中心到顶点的距离，即可求得外接球球心到上下底面中心的距离，考虑外

接球球心在棱台内还是棱台外，即可求得答案.

【详解】设。1为正三棱台ABC-的上底面的中心，。为下底面的中心，

连接。。1,即为棱台的高，

连接AO并延长交BC于D,则。为3c的中点，连接并延长交用G于。1，则2为瓦G的中点，

AO=—■AD=—x2乖>x=2,A,O,=—A,D.=—-xy/3x=1,

3321131132

设外接球球心为E,则E点位于直线。01上，

则在RtAAQE中，石。=，e―Q=j5—4=1，

在RtZ\AQ]E中，EQ=JAE?—=^7J=2,

故当外接球球心在正棱台内时，其高为OQ=EO+EO|=3；

当外接球球心在正棱台外时，其高为OO]=E«—EO=1；

故该棱台的高可以为3或1,

故答案为：1（或填3）

15.若A3分别是曲线y=e，与圆（尤-1）2+,2=1上的点，则|AB|的最小值为.

【答案】V2-1

【解析】

【分析】根据题意转化为求曲线上一点到圆心距离的最小值，找出取得最小值时候满足的条件，结合导数

计算法则列式求解答案即可.

【详解】设圆（尤-1>+>2=1圆心为M,如下图所示，

由题意可知，即取得最小值时，厂=|40卜1取得最小值,

当AM垂直于曲线y=ev在点A处的切线时，最小，

设A（0）,则对>=e，求导得/=e\

峭-0

所以e画------=-1,即e?再+看一1=0,

X,-1

由于西=0时满足上式,且y=e2x+X—1在(f),-+W)单调递增，

所以e2V|+Xj-1=0有唯一解为=0,

所以4(0,1),止匕时1mm=JL所以|AB1mm=|AML1m—1=夜—1

故答案：V2-1

16.己知；ABC中，AB=2BC=2,AB边上的高与AC边上的中线相等，贝haaB=.

【答案】—石

【解析】

【分析】通过已知条件得到Bbusin/ABC,通过平方关系对3尸进行转化解得

cosZABC=--即可得到答案.

2

【详解】如下图所示，设A3边上的高为CE,AC边上的中线为正，

在Rt_BCE中，CE=BCsinZABC=sinZABC,所以5F=CE=sin/ABC,

由奴=g网+BC),平方得BF'=；(+2网|闾cosZABC+,

代入得，4(1-cos2ZABC)=4+2x2xlxcosZABC+1,

化简得，4cos2ZABC+4cosZABC+1=0.解得cos/ABC=-,，

2

又因为0</ABC<7i,所以NABC=g,所以tan/ABC=—

故答案为：-G

【点睛】关键点睛：本题关键点在于通过平方将=转化为数量关系，结合图形关系得到

BF=sin/ABC代入求解即可.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，直三棱柱ABC-A与G中，A&=2,A3=3,AC=4,NAC3=30.过点A,男,。1的平面和平面

ABC的交线记作/.

(1)证明：IBC；

(2)求顶点G到直线/的距离.

【答案】17.答案见解析

18.272

【解析】

【分析】(1)由已知，可根据与G//BC，利用线面平行的判定定理证明与CJ/平面ABC,在使用线面

平行的性质定理可证明4G/〃；

(2)由已知，可作CEJJ交平面AB[C]和平面ABC的交线/于E，利用线面垂直的判定和性质证明

QE1Z,从而GE即为点G到直线/的距离，然后在利用勾股定理求解边长，即可求解.

【小问1详解】

证明：由题知与。"ABC,6Cu平面ABC,用C平面ABC,

所以4G//平面ABC,又因为平面ABC】c平面ABC=I,

用C1U平面A4G，所以耳C"〃.

【小问2详解】

EA

作CE，/交直线/于点E，连接GE，因为ABC是直三棱柱，

所以平面ABC,/u平面ABC,所以A&，/,

又因为CE，/,且CGcCE=E,CC”CEu平面GCE,所以/，平面G°E，

因为GEU平面GCE,所以GE，/,所以GE就是点G到直线/的距离，

作交BC于点。，因为BC/〃，CELI,所以CE//A。，

又因为CD//AE,所以四边形AECD是矩形，所以CE=AZ）,

在Rt_ACD,ZACB=3Q°,AC=4,所以AD=2=CE,

在RtEC©,C]E=JcQ+CE?=物+2?=2直,

所以点G到直线/的距离为2直.

18.高中进行体育与健康学业水平测试，有利于提升学生身体素质和健康水平，培养学生创新精神和实践能

力.某学校对高三年级学生报名参加体育与健康学业水平测试项目的情况进行了普查，全年级1070名学生中

有280名报名参加羽毛球项目，其中530名女生中有64名报名参加羽毛球项目.

（1）从该校高三年级中任选一名学生，设事件A表示“选到的学生是女生"，事件B表示“选到的学生报名参

加羽毛球项目“，比较P（叫A）和尸（3度）的大小，并说明其意义；

（2）某同学在该校的运动场上随机调查了50名高三学生的报名情况，整理得到如下列联表：

羽毛球

性别合计

报名没报名

女12820

男131730

合计252550

根据小概率值。=0.05的独立性检验，能否认为该校高三年级学生的性别与羽毛球的报名情况有关联？得

到的结论与第（1）问结论一致吗？如果不一致，你认为原因可能是什么？

附：

2_n{ad-bcf

(a+〃)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

2。。

【答案】（1）产（同力=赤，P仅同=丁尸（MR<P（B团，意义见解析

（2）不能认为该校高三年级学生的性别与羽毛球的报名情况有关联，结论不一致，原因见解析

【解析】

【分析】（1）运用条件概率公式，结合题意直接计算求解；

（2）根据题意进行小概率值a=0.05的独立性检验，结合题意说明原因即可.

【小问1详解】

由题意得,…需。（外需。（即黑1（许渭姿

所以W黯=益=装山4尸（通）2162

P（A）-540-5

则网8同<网8词）,

意义为女生想要报名参加羽毛球项目的人数比男生想要报名参加羽毛球项目的人数少

【小问2详解】

提出假设Ho:该校高三年级学生的性别与羽毛球的报名情况无关,

50x（17x12-13x8）24

则/=--1.333<3.841

20x25x25x303

所以根据小概率值a=0.05的独立性检验，不能认为该校高三年级学生的性别与羽毛球的报名情况有关联,

得到的结论与第（1）问结论不一致，可能原因是调查的50名高三学生样本容量小，结论具有随机性

19.记Sn为数列｛%｝的前几项和，且满足2s.M=3S〃+2an.

（1）试问数列｛S"+4｝是否为等比数列，并说明理由;

（2）若％=2,求｛a“｝的通项公式.

,2（1

【答案】（1）见解析（2）=—I+2"

【解析】

【分析】（1）首先将等式变形为邑+i+a“MnZB'+q）,再讨论a”=0和a,产0两种情况，判断数列否

为等比数列;

n+1

（2）由（1）的结果可知，Sn+an=2,再利用〃之2,S,—S.T=a〃，得4+2e，再利用

构造法，即可求数列｛4｝的通项公式.

【小问1详解】

由已知2s“+i=3S"+2an,得Sn+l+Sn+an+l=3Sn+2an,

整理为邑+]+%+i=2（S,+%）,

若4=0,则S〃=0,S,+4=0,此时数列｛S“+%｝不是等比数列，

若若5"+。〃=0,贝I]Si+q=26=0,与矛盾，所以5"+。”#0,

S+a

则比%=2,数列｛s“+为｝是公比为2的等比数列；

综上可知，当4=0,数列｛S“+%｝不是等比数列，

当4h0,数列｛SR+%｝是公比为2的等比数列；

【小问2详解】

若q=2,数列｛S“+an]的首项为&+%=26=4,

所以S“+a“=4x2"T=2"M,①

当"22时，S,i+a“T=2”,②

①-②得an+an-*=2",即4=g唠+2日，

则…）得/2,

2

所以彳.2"-2一42=20T,得2=—

2c”

所以——|一二弓，

a_4.2'T2

-13

所以数列14—是首项为％—：=|,公比为的等比数列，

咐”2c“2（1X~'2（1Y1-12〜，

所以/—不2=---，即Bn4二鼻.|5|+三2，

JJ\乙JJ\乙JJ

21

所以""=3吩h+2"

r2=1（。〉6〉0）的离心率为手，直线/:y=M%+l）与:T交于两点，与X轴

20.已知椭圆「：二+

a

交于点C,0为坐标原点.

2

2k

（1）证明：b>------------7

1+442

（2）若AC=2C3，求ULOfi面积取得最大值时椭圆F的方程.

【答案】（1）证明见解析

22

土+匕=1

⑵55

4

【解析】

分析】（1）根据椭圆离心率得到〃=4/，联立直线方程和椭圆方程，根据

A=64Z:4-16（4^+l）（A:2-&2）=-16（^V+Z:2-^2）>0代入计算即可得证;

21

（2）由题意得到％=-2%,进而得到（％+%）一=-J%%，通过直线方程和韦达定理代入求解得到

9

4吩"『,再结合弦长公式和点到直线的距离求得三角形面积的表达式，根据基本不等式即可

求解答案.

【小问1详解】

r21—4='^，所以片=462,

因为椭圆F：F+与=l（a>b〉0）的离心率£=

abaa22

22

所以椭圆「：。+3=1,

4b2b2

X2,2

联立1赤+%—1

一,得（4左2+1）龙？+8左2工+4（左2一人2）=0,

y=左（％+1）

因为直线/:y=M%+l）与：T交于A3两点,

所以△=64/—16（4左2+1）（42一/）=_16（-4左2从+左2一/）>0,

即F</（4左2+1）,则〃>、2得证

【小问2详解】

设4（石,%）,5（々,%），由题意知C（TO）

因为Ad=2CB，所以（一1一七,一%）=2（%2+1，%），所以％=—2%,

所以@±迪1=』涯+2=_2」+2」,

%%y2yl22

21

所以（％+%）-=一]%%,

因为%+%=左（再+%）+2左=云告+2左=云告

^TK十1^TK十1、

4公0_4/）

%%=左2（%+1）（々+1）=42+—+1

4k2+14左2+1

7

4k之1左2（1—4/）

代入上式得，（4丁+1）22.-~412+1

化简得，（4/—1）（4公+1）=8,gp4k~b2+b2-k2=|,

因为|AB\=JR+1|斗-/1=y/k2+1-J（X]+々）--4卒2

―8516化一"）一4，1+iJ4k汨+Z?2—>2_61k2+1

=\jk2+1-Y

、4左2+1,4k2+1—4-2+1—442+I

点。到直线位—y+左=0的距离

显然，若A。,3三点能构成三角形，则左wo,

S」以剧亚亘③＜-3__3

所以幺OB面积212442+17正平|+八一2M."

当且仅当山女|=百，即廿=；时等号成立，AOB面积取得最大值，

91Q5

此时，由4储〃+尸—左2=—,得一―=_,解得。2=一，则/=4/=5,

4444

22

土+匕=1

所以JLOB面积取得最大值时椭圆F的方程为55~

4

【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：

(1)结合几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；

(2)将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角

函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.

51

21.记T为函数/(尤)=sin(s+0的最小正周期，其中。＞0,0＜。＜兀，且/⑼=32,直线x=—T为

212

曲线y=/(X)的对称轴.

(1)求。；

(2)若“力在区间［兀,2可上的值域为,求/(九)的解析式.

7T

【答案】(1)(P=~

3

71

(2)/(x)=sinXH-----

3

【解析】

【分析】(1)根据题意由/⑼=［可得sin0=白，再结合x=*T为曲线y=/(x)的对称轴即可确

定。的值;

(2)由题意确定区间［兀,2可的长度小于一个周期，即可确定0＜。＜2,分类讨论，讨论函数在何时取最

值，结合正弦函数的性质，求出口，经验证即可确定其值，从而求得答案.

【小问1详解】

）的最小正周期，故，兀;

由题意知T为函数/（X）=sin（5+0T=0,0T=2

G）

由/（0）=得sin。=，而。＜。（兀，故。二§■或。二3-；

1rT'

又直线x=—T为曲线y=/（尤）的对称轴，即@一+e=^+e='+E（keZ）,

121262

兀7L

则夕=§+左兀（左^工），结合。＜夕＜兀，可知9=耳；

【小问2详解】

由⑴可知/（x）=sin［ox+1J,/（x）在区间［兀,2可上的值域为

2JT

可知区间［兀,2可的长度小于一个周期，即T=—＞兀,二0＜。＜2,

G）

「cl/口兀兀c兀

由工£［兀,2兀J,得GX+—£环+―,20兀+—,

JTJT5

①若/（兀）=-1,则G7i+—=----\-2kn（kGZ）,即0=-----卜2k,keZ,

326

兀兀兀

则0=一7，此时。X+3乎8，一，函数最大值为1，不符合题意；

63|_23_

IT7T5

②若/（2兀）=一1,则2①兀+§=-5+2k71（左wZ）,即@=一五+左，左EZ,

7兀「11兀3兀1G

当。=G■时，+—G——,函数取不到最大值—，不符合题意,

123_1，/_2

1o兀23兀7兀

当①二—时，CDX+—E.,函数最大值为1，不符合题意;

123122

③若/（兀）=弓，JIJI1JI/111

则①兀+—=一+2hi或5+—=---b2kn.keZ,

3333

则co-2k,左£Z或co——F2k,kGZ,则6?=—,

33

兀2兀