专题06 乘法公式压轴五大类型（原卷版）

专题06乘法公式压轴五大类型题型一：展开式是完全平方问题题型二：利用乘法公式化简求值问题题型三：利用完全平方配方法求最值值问题题型四：平方差公式在几何图形中的应用题型五：完全平方公式在几何图形中的应用题型一：展开式是完全平方问题【典例1】（2023秋•宁强县期末）已知（3x+a）2＝9x2+bx+4，则b的值为（）A．6 B．±6 C．12 D．±12【变式1-1】（2023秋•望城区期末）若（x﹣3）2＝x2+kx+9，那么k的值是（）A．﹣6 B．﹣3 C．6 D．﹣9【变式1-2】（2023•任丘市模拟）小刚把（2022x+2021）2展开后得到ax2+bx+c，把（2021x+2020）2展开后得到mx2+nx+q，则a﹣m的值为（）A．1 B．﹣1 C．4043 D．﹣4043【变式1-3】（2023秋•松江区月考）若（x+m）2＝x2﹣6x+n，则m+n＝．题型二：利用乘法公式化简求值问题【典例2】（2023秋•衡阳期末）先化简，再求值：（x+2）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1），其中x＝．【变式2-1】（2023春•道县期中）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣（x﹣2）2﹣3x2，其中x＝﹣．【变式2-2】（2022秋•东莞市期末）先化简，再求值：（2x﹣3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中x＝﹣，y＝﹣2．【变式2-3】（2022秋•郸城县期中）先化简，再求值：[（x+y）（x﹣y）+2y（x﹣y）﹣（x﹣y）2]÷（2y），其中x＝1，y＝2．题型三：利用完全平方配方法求最值问题【典例3】（2022秋•偃师市期末）（1）用等号或“＞”、“＜”填空，探究规律并解决问题：比较a2+b2与2ab的大小．①当a＝3，b＝3时，a2+b2＝2ab；②当a＝2，时，a2+b22ab；③当a＝﹣2，b＝3时，a2+b22ab．（2）通过上面的填空，猜想a2+b2与2ab的大小关系，并证明你的猜想；（3）如图，直线l上从左至右任取A、B、G三点，以AB，BG为边，在线段AG的两侧分别作正方形ABCD，BEFG，连接CG．设两个正方形的面积分别为S1，S2．若△BCG的面积为2保持不变，请直接写出S1+S2的最小值．【变式3-1】（2022秋•硚口区期末）a、b为实数，整式a2+b2﹣4a+6b的最小值是（）﹣13 B．﹣4 C．﹣9 D．﹣5【变式3-2】（2022春•庐阳区校级期中）用四个长为m，宽为n的相同长方形按如图方式拼成一个正方形．（1）根据图形写出一个代数恒等式：；（2）已知3m+n＝9，mn＝6，试求3m﹣n的值；（3）若m+n＝1，求m2+n2的最小值．【变式3-3】（2023春•龙岗区校级期中）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，换句话说，“算两次”的思想是，对一个具体的量用方法甲来计算，得到的答案是A，而用方法乙计算则得到的答案是B，那么等式A＝B成立．例如，我们运用“算两次”的方法计算图1中最大的正方形的面积，可以得到等式（a+b）2＝a2+2ab+b2．理解：（1）如图2，四个完全一样的长方形摆成一个大的正方形，长方形的长和宽分别为a和b，运用“算两次”的方法计算图2中最大的正方形的面积，可以得到的等式是（用a、b表示）应用：（2）利用（1）中的结论解决问题：若x+y＝8，xy＝4，则（x﹣y）2＝；拓展：（3）如图3，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点D是AB上一动点．求CD的最小值．题型四：平方差公式在几何图形中的应用【典例4】（2022秋•任泽区期末）乘法公式的探究及应用．【探究】（1）将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的长方形，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式；【应用】（2）运用你所得到的乘法公式，完成下列齐题：①若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；②计算：102×98．【拓展】（3）计算：．【变式4-1】（2023春•高密市月考）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是；（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a+ab2＝a（a+b）D．a2﹣b2＝（a﹣b）2（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．②计算：（22+42+62+82+102+122+…1002）﹣（12+32+52+72+92+112+…992）．【变式4-2】（2023秋•林州市期末）（1）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式（用式子表达）．（2）运用你所得到的公式，计算（a+2b﹣c）（a﹣2b﹣c）．【变式4-3】（2022秋•杜尔伯特县月考）如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：，；（2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？；（3）试利用这个公式计算：①（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）②③（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．题型五：完全平方公式在几何图形中的应用【典例5】（2023秋•清原县期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为4n，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形．（1）【知识生成】请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）：方法一：；方法二：；（2）【得出结论】根据（1）中的结论，请你写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系为；（3）【知识迁移】根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知实数a，b满足：a+b＝8，ab＝7，求a﹣b的值．【变式5-1】（2023秋•大安市期末）完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：∵a+b＝3，ab＝1，∴（a+b）2＝9，2ab＝2，∴a2+b2+2ab＝9，∴a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝6，x2+y2＝28，则xy＝；（2）如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝44，求△AFC的面积．【变式5-2】（2022秋•宁乡市期末）【阅读理解】若x满足（32﹣x）（x﹣12）＝100，求（32﹣x）2+（x﹣12）2的值．解：设32﹣x＝a，x﹣12＝b，则（32﹣x）（x﹣12）＝a•b＝100，a+b＝（32﹣x）+（x﹣12）＝20，（32﹣x）2+（x﹣12）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×100＝200，我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．【解决问题】（1）若x满足（100﹣x）（x﹣95）＝5，则（100﹣x）2+（x﹣95）2＝；（2）若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2000）2＝229，求（2023﹣x）（x﹣2000）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝24cm，点E，F是边BC，CD上的点，EC＝12cm，且BE＝DF＝xcm，分别以FC，CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN，若长方形CBQF的面积为320cm2，求图中阴影部分的面积和．【变式5-3】（2023春•揭阳期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1．若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2．（2）若a+b＝9，ab＝21，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．一．选择题（共2小题）1．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（）A．10 B．20 C．30 D．402．已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（）A．5 B．9 C．13 D．17二．填空题（共6小题）3．若规定符号的意义是：＝ad﹣bc，则当m2﹣2m﹣3＝0时，的值为．4．已知（a﹣4）（a﹣2）＝3，则（a﹣4）2+（a﹣2）2的值为．5．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如3＝22﹣12，7＝42﹣32，16＝52﹣32，3，7，16就是三个智慧数．在正整数中，从1开始，第2022个智慧数是．6．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+2b）20的展开式中第二项的系数为．7．已知m2+2km+16是完全平方式，则k＝．8．计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝．三．解答题（共11小题）9．先化简，后求值：[（2a﹣b）2﹣（b+2a）（b﹣2a）]÷（4a），其中．10．阅读材料：若x满足（x﹣3）（x﹣5）＝16，求（x﹣3）2+（x﹣5）2的值．解：设x﹣3＝a，x﹣5＝b，则ab＝（x﹣3）（x﹣5）＝16，a﹣b＝（x﹣3）﹣（x﹣5）＝2，∴（x﹣3）2+（x﹣5）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝22+2×16＝36．请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（x﹣2）（x﹣5）＝10，求（x﹣2）2+（x﹣5）2的值；（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，分别以MF、DF为边长作正方形MFRN和正方形DFGH．①MF＝，DF＝；（用含x的代数式表示）②若长方形EMFD的面积为24，则阴影部分的面积为．11．有一系列等式：1×2×3×4+1＝52＝（12+3×1+1）22×3×4×5+1＝112＝（22+3×2+1）23×4×5×6+1＝192＝（32+3×3+1）24×5×6×7+1＝292＝（42+3×4+1）2…（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．12．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是（写成平方差的形式）（2）将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是（写成多项式相乘的形式）（3）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式．（4）利用所得公式计算：2（1+）（1+）（1+）（1+）+．13．已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．（1）已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为；（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求（m+n）（m﹣n）的值；（3）已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n和﹣3x＝mn+m都是“恰解方程”，求代数式4（mn+n）2﹣6（mn+m）﹣（m﹣n）的值．14．如图所示，图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个全等的小长方形，再按图2围成一个较大的正方形．（1）请用两种方法表示图2中阴影部分的面积（只需表示，不必化简）；（2）比较（1）的两种结果，你能得到怎样的等量关系？（3）请你用（2）中得到的等量关系解决下面问题：如果m﹣n＝4，mn＝12，求m+n的值．15．阅读理解：①32+42＞2×3×4②32+32＝2×3×3；③（﹣2）2+42＞2×（﹣2）×4；④（﹣5）2+（﹣5）2＝2×（﹣5）×（﹣5）（1）观察以上各式，你发现它们有什么规律吗？请用含有a、b的式子表示上述规律；（2）运用你所学的知识证明你发现的规律；（3）已知a+b＝4，求ab的最大值．16．已知（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝49，求