高考数学一轮复习练案（66理）第十章计数原理概率随机变量及其分布（理）第一讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理（理）练习（含解析）新人教版

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布(理)第一讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理(理)A组基础巩固一、选择题1．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有(A)A．7种 B．8种C．6种 D．9种[解析]要完成的“一件事”是“至少买一张IC电话卡”，分3类完成：买1张IC卡、买2张IC卡、买3张IC卡，而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC卡有2种方法，买2张IC卡有3种方法，买3张IC卡有2种方法．不同的买法共有2＋3＋2＝7种．2．(2021·四川广安、眉山、内江、遂宁诊断)某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(B)A．15 B．30C．35 D．42[解析]发言的3人来自3家不同企业且含甲企业的人的情况有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)＝20(种)；发言的3人来自3家不同企业且不含甲企业的人的情况有Ceq\o\al(3,5)＝10(种)．所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有20＋10＝30(种)，故选B.3．(2021·辽宁省大连市模拟)把标号为1,2,3,4的四个小球分别放入标号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有(A)A．18种 B．9种C．6种 D．3种[解析]第一步：放1号球，有Ceq\o\al(1,3)＝3种方法；第二步：将剩余三个球分别放入剩余的三个盒子，有Aeq\o\al(3,3)＝6种方法；故符合题意的放法共有3×6＝18种．故选A.4．(2021·河南质检)从5名大学毕业生中选派4人到甲、乙、丙三个贫困地区支援，要求甲地区2人，乙、丙地区各一人，则不同的选派方法总数为(B)A．40 B．60C．100 D．120[解析]不同的选派方法有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝60种．5．(2011·金华模拟)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(A)A．12种 B．18种C．24种 D．36种[解析]由分步乘法计数原理，先排第一列，有Aeq\o\al(3,3)种方法，再排第二列，有2种方法，故共有Aeq\o\al(3,3)×2＝12种排列方法，选A.6．(2014·山东)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(B)A．243 B．252C．261 D．279[解析]由分步乘法计数原理知：用0,1，…，9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252，故选B.7．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(D)A．48 B．18C．24 D．36[解析]第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．8．(2021·四川省自贡市诊断)从1,3,5三个数中选两个数字，从0,2两个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为(C)A．6 B．12C．18 D．24[解析]由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇，因此总共有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(1,2)＋Aeq\o\al(2,3)＝18种．故选C.9．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为(D)A．56 B．54C．53 D．52[解析]在8个数中任取2个不同的数共有8×7＝56个对数值；但在这56个数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满足条件的对数值共有56－4＝52(个)．10．(2021·金安区模拟)2016里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛．若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有(B)A．6种 B．24种C．36种 D．42种[解析]4×3×2＝24，故选B.11．(2020·定州期末)将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只填入一个汉字，且任意的两个汉字即不同行也不同列，则不同的填写方法有(C)A.288种 B．144种C．576种 D．96种[解析]依题意可分为以下3步：(1)先从16个格子中任选一格放入第一个汉字，有16种方法；(2)任意的两个汉字即不同行也不同列，第二个汉字只有9个格子可以放，有9种方法；(3)第三个汉字只有4个格子可以放，有4种方法．根据分步乘法计数原理可得不同的填写方法有16×9×4＝576(种)．12．(2021·河北省唐山市一中冲刺)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(B)A．4种 B．10种C．18种 D．20种[解析]分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有Ceq\o\al(2,4)＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有Ceq\o\al(1,4)＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．13．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值日，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值日表共有多少种不同的排法．(B)A．1080 B．1280C．1440 D．2560[解析]完成一件事是安排值日表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行：第一天有5种不同排法，第二天不能与第一天已排的人相同，所以有4种不同排法，依次类推，第三、四、五天都有4种不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1280种不同的排法．14．下列说法不正确的是(C)A．4只相同的小球放入3个不同的盒子，共有12种不同放法B．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有54种C．将4封信投入到3个信箱中，共有64种不同的投法D．用0,1，…，9十个数字可以组成没有重复数字的三位偶数328个[解析]第1封信可以投入3个信箱中的任意一个，有3种投法；同理，第2,3,4封信各有3种投法．根据分步乘法计数原理，共有3×3×3×3＝34＝81种投法．故C错；将4个小球放入一个盒子有3种方法，将3个小球放入一个盒子，另1小球放另一只盒子有3×2＝6种放法，将2个小球放入一个盒子，另2小球放另一只盒子有3种放法，故共有12种放法，A正确；五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性．故B正确；个位为0的三位偶数有9×8＝72(个)，个位不为0的三位偶数有4×8×8＝256(个)，∴没有重复数字的三位偶数有256＋72＝328(个)．故D正确．二、填空题15．(2021·山东模拟)某元宵灯谜竞猜节目，有6名守擂选手和6名复活选手，从复活选手中挑选一名选手为攻擂者，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有36种．[解析]从6名守擂选手中选1名，选法有Ceq\o\al(1,6)＝6种；复活选手中挑选1名选手，选法有Ceq\o\al(1,6)种．由分步乘法计数原理，不同的构成方式共有6×6＝36种．16．(2021·江苏泰州期末)党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作．若将这5名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人最多分配2人，则分配方案的总数为90.[解析]将5名毕业生按2,2,1分组，则方法有eq\f(C\o\al(2,5)·C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))·Ceq\o\al(1,1)＝15，分配到3所乡村小学，共有Aeq\o\al(3,3)＝3×2×1＝6，所以分配方案的总数为15×6＝90.17．(2021·柳州模拟)4张卡片的正、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成168个不同的三位数．[解析]解法一：要组成三位数，根据首位、十位、个位应分三步：第一步：首位可放8－1＝7个数；第二步：十位可放6个数；第三步：个位可放4个数．故由分步计数原理，得共可组成7×6×4＝168个不同的三位数．解法二：0,1卡片不参加：Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)；0,1卡片参加：Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)(Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))．故共有48＋120＝168个．18．(2021·辽宁省大连市模拟)甲、乙等五名志愿者被分配到上海世博会中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有72种．(用数字作答)[解析]由题意知本题是一个分步计数问题，设5个志愿者为甲、乙、丙、丁、戊．甲在中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个地方选一个，有4种选择，乙在剩下的3个地方选一个，有3种选择，丙、丁、戊三人只能选择剩下的两个地方，每人有2个选择，总共有2×2×2＝8种，这8种里要去掉3个人都选择同一个地方的情况，即8－2＝6，∴方法数为4×3×6＝72种．B组能力提升1．(2021·贵阳模拟)现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数是(A)A．12 B．6C．8 D．16[解析]不同的考试安排方案共有Aeq\o\al(2,4)＝12(种)．2.(2021·江西省萍乡市模拟)如图，给7条线段的5个端点染色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的染色方法种数有(C)A．24 B．48C．96 D．120[解析]由表端点ABECD涂法432与A同色12与A不同色12知不同的涂色方法共有4×3×2×1×(2＋2)＝96(种)，故选C.3．(2021·湖南长沙一中月考)某公司安排甲、乙、丙、丁4人去上海、北京、深圳出差，每人仅出差一个地方，每个地方都需要安排人出差，若不安排甲去北京，则不同的安排方法共有(C)A．18种 B．20种C．24种 D．30种[解析]解法一：若安排一人去北京，共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝18种；若安排两人去北京，共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6种，总共24种，故选C.解法二：Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)－Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)－Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝24.4．(2021·云南昆明一中摸底)数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343,12521等．两位数的回文数有11,22,33，……，99共9个，则在三位数的回文数中