专题七第一讲

专题七概率与统计第一讲常见概率类型及统计方法【考情快报】

(1)该部分常考内容为分层抽样、系统抽样，随机事件的概率、古典概型、几何概型，频率分布直方图、用样本估计总体等；经常在知识交汇点处命题，如分层抽样与概率交汇，用样本估计总体与概率交汇命题等.

(2)从考查形式上来看，选择题、填空题、解答题都可能出现，突出考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，属于中低档题.【核心自查】一、主干构建二、概念理解1.古典概型(1)试验中所有可能出现的基本事件只有_______；(2)每个基本事件出现的可能性_____；将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.有限个相等2．几何概型如果每一个事件发生的概率只与构成事件区域的_____(_____或_____)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.长度面积体积三、重要公式1．古典概型的概率公式P(A)＝____________________.2.几何概型的概率公式P(A)＝_____________________________________________.提醒：几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，因此它的概率与所在的区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关.热点考向一对抽样方法概念的理解【典例】1.(2013·合肥模拟)某校500名学生中,O型血有200人,A型血有125人,B型血有125人,AB型血有50人,为了研究血型与色弱的关系,需从中抽取一个容量为20的样本,按照分层抽样方法抽取样本,则从O型血、A型血、B型血、AB型血的人中分别抽

人.2.高三(1)班共有56人,学号依次为1,2,3,…,56,现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本,已知学号为6,34,48的同学在样本中,那么还有一个同学的学号应为

.【解题指导】1.由学生总体中四种血型的人数不同,应采用分层抽样方法抽取样本;2.先确定抽取的间隔,所求应为第2次抽取的学号,初次抽取的学号加间隔即为所求.【解析】1.由已知得分层的抽样比为：所以抽取O型血人数为：抽取A型血人数为：抽取B型血人数为：抽取AB型血人数为：答案：8，5，5，22.从56人中抽取一个容量为4的样本，用系统抽样抽取的间隔为＝14,又学号为6,34,48的同学在样本中，可知初次抽取的学号为6,还有一个同学的学号应为6+14＝20.答案：20【拓展提升】解答与抽样方法有关的问题时的注意点(1)要深刻理解各种抽样方法的特点和实施步骤.(2)熟练掌握系统抽样中被抽个体号码的确定方法.(3)熟练掌握分层抽样中各层人数的计算方法.热点考向二用样本估计总体【典例】1.(2012·江西高考)小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为()

(A)30％(B)10％(C)3％(D)不能确定2.(2013·北京模拟)某市电视台为了宣传环境保护举办问答活动,随机对该市15～65岁的人群抽样了n人回答问题.统计结果如所给频率分布表和频率分布直方图所示.组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组[15,25)50.5第2组[25,35)a0.9第3组[35,45)27x第4组[45,55)b0.36第5组[55,65]3y(1)分别求出a,b,x,y的值.(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,则第2,3,4组每组应各抽取多少人?【解题指导】1.由图2可得出鸡蛋占食品开支的比例,由图1可得一个星期鸡蛋开支所占的比例;2.(1)由第一组的回答正确的人数5及占本组的频率,再加上本组占样本的频率求得样本容量可求出a,b,x,y.(2)由(1)知三组的人数,算出比例,求得应抽取的人数.【解析】1.选C.由图2可知，鸡蛋占食品开支的比例为

=10%，结合图1可知小波一个星期的鸡蛋开支占总开支的比例为30%×10%＝3%，选C.2.(1)第1组人数5÷0.5=10,所以n=10÷0.1=100.第2组人数100×0.2=20,所以a=20×0.9=18,第3组人数100×0.3=30,所以x=27÷30=0.9,第4组人数100×0.25=25,所以b=25×0.36=9,第5组人数100×0.15=15,所以y=3÷15=0.2.(2)第2,3,4组回答正确的人数比为18∶27∶9=2∶3∶1,所以第2,3,4组每组应各依次抽取2人,3人,1人.【互动探究】题2在(2)的前提下,电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖,则抽取人中第2组至少有一人获得幸运奖的概率为多少?【解析】记抽取的6人中,第2组的记为a1,a2,第3组的记为b1,b2,b3,第4组的记为c,则从6人中任取2名的所有可能的情况有15种,它们是:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,c),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,c),(b1,b2),(b1,b3),(b1,c),(b2,b3),(b2,c),(b3,c),其中第2组至少有1人的情况有9种,它们是:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,c),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,c)故所求概率为【拓展提升】1.用样本估计总体的两种方法(1)用样本的频率分布(频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等)估计总体的频率分布.(2)用样本的数字特征(众数、中位数、平均数、方差、标准差)估计总体的数字特征.2.方差的计算与含义计算方差首先要计算平均数,然后再按照方差的计算公式进行计算,方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数,标准差大说明波动大.3.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系(1)众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标.(2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标.(3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.【变式备选】(2013·辽宁高考)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为

.【解析】由定义知,样本的方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数,若设互不相同的样本数据分别为x1,x2,x3,x4,x5,且x1<x2<x3<x4<x5(xi∈N,i=1,2,3,4,5),则有[(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2]=4,即(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=20,若样本数据中的最大值为11,不妨设x5=11,则可得(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2=4,由于样本数据互不相同,这是不可能成立的;若样本数据为4,6,7,8,10,代入验证可知符合题目要求,此时x5的最大值为10.故样本数据中的最大值为10.答案:10热点考向三几何概型、古典概型的概率问题【典例】1.(2012·辽宁高考)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为()2.(2012·江西高考)如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0,),B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点.(1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；(2)求这3点与原点O共面的概率.【解题指导】1.设其中一段长为xcm，则另一段长为(12-x)cm，其中0＜x＜12，利用x(12-x)＜32求得x的取值范围，利用几何概型求得概率；2.如何将从6个点中随机选取3个点的所有结果列举出来？可分类讨论，然后找出(1)(2)情况中所包含的基本事件的个数，最后把比值求出得所求概率.【解析】1.C.设其中一段AC长为xcm，则另一段BC长为(12-x)cm，其中0＜x<12,由题意x(12-x)<32，解得0<x<4或8<x<12，则点C的取值长度为4+4=8cm，故所求概率为2.从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是x轴上取2个点的有A1A2B1,A1A2B2,A1A2C1,A1A2C2,共4种；y轴上取2个点的有B1B2A1,B1B2A2,B1B2C1,B1B2C2,共4种；z轴上取2个点的有C1C2A1,C1C2A2,C1C2B1,C1C2B2,共4种；所选取的3个点在不同坐标轴上的有A1B1C1,A1B1C2,A1B2C1,A1B2C2,

A2B1C1,A2B1C2,A2B2C1,A2B2C2,共8种.因此,从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种.(1)选取的这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有:A1B1C1,A2B2C2,共2种,因此,这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为(2)选取的这3个点与原点O共面的所有可能结果有A1A2B1,A1A2B2,A1A2C1,A1A2C2,B1B2A1,B1B2A2,B1B2C1,B1B2C2,C1C2A1,C1C2A2,C1C2B1,C1C2B2,共12种,因此,这3个点与原点O共面的概率为【拓展提升】1.求古典概型的概率的基本步骤(1)算出所有基本事件的个数n；(2)求出事件A包含的所有基本事件数m；(3)代入公式P(A)＝求出P(A).2.解答几何概型、古典概型问题时的注意事项(1)解答有关古典概型的概率问题,关键是正确列举出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数,这常用到分类讨论思想.(2)在求基本事件的个数时,要准确理解基本事件的构成,这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性.(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时,应考虑使用几何概型求解.(4)利用几何概型求概率时，关键是构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.提醒：当直接求解有困难时，可考虑其对立事件的概率.【思想诠释】与古典概型有关问题中的分类讨论思想(1)题2中的分类思想主要体现在：①将已知条件中的6个点，按在空间直角坐标系中的不同位置分类；②从6个点中选取3个点时，按点分布在x轴上两个点、y轴上两个点、z轴上两个点以及3个点都在不同坐标轴上分类讨论.(2)与古典概型有关问题中的分类讨论思想主要体现在：①用直接法解决至多、至少这类问题时，可依据题设中的情境，将问题看作几类；②对于复杂的古典概型问题，应从问题出发，注意事件的构成过程，可将事件分解成几个互斥事件的和；③在列举基本事件总数时，往往按照某一标准分类去写，这样才能做到不重不漏.

1.已知集合A＝{(x，y)|x-2y-1＝0},B＝{(x，y)|ax-by+1＝0}，其中a，b∈{1,2，3，4，5，6}，则A∩B＝

的概率为()【解析】选A.∵A∩B=，∴直线x-2y-1=0与直线ax-by+1=0平行.∴b=2a,这样的(a,b)有：(1,2),(2,4),(3,6)共3个,∴P(A)=2.一个盒子里装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，无放回地随机选取两张标签，则这两张标签上的数字为相邻整数的概率是()【解析】选C.易知本题为古典概型.其基本事件有12，13，14，15，23，24，25，34，35，45共有10种.其中两张标签上的数字为相邻整数的事件有12，23，34，45共4种，∴所求概率为3.若利用计算机在区间(0，1)上产生两个不等的随机数a和b，则方程有不等实数根的概率为()【解析】选B.∵方程

等价于=0(x≠0)∵=0(x≠0)有两个不等实根.∴Δ=-4·2b=8a-8b>0，即a>b.又∵a,b在(0，1)上取值，∴该概率可转化为几何概型.如图，a,b的取值可构成正方形OABC.其面积为1；而满足a>b的点应落在△OAB内，其面积为∴符合条件的概率为4.某集团进行职业技术考试，将员工的成绩进行整理后分成5组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组.已知第二小组的频数是400，则成绩在70～90分的员工人数是______.【解析】∵第二小组的频率为0.04×10=0.4，而第二小组的频数为400，∴总人数为=1000(人).又∵70～90分员工的频率为(0.015+0.01)×1