2024年中考数学一轮复习讲义 二次函数的图像和性质 专项练习

二次函数的图像和性质专项练习

一、课标导航

课标内容课标要求目标层次

了解二次函数的意义：会用描点法画出二次函数的图像★

能从图像上认识一次函数的性质；会根据一次函数的解析式求其图像与坐标轴

的交点坐标，会确定图像的顶点、开口方向和对称轴；能通过分析实际问题的情★★

二次函数的图像和性质

境确定二次函数的表达式

能根据二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综合的有关问题★★★

二、核心纲要

1.二次函数的定义

一般地，形如y=ax?+bx+c(a,b,c是常数，且aH0)的函数，叫做二次函数.

注：⑴函数关系式必须是整式.

(2)自变量x的取值范围为全体实数，且最高次数是2.

(3)a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，写各项系数时包括它前面的符号.

(4)二次项系数a不等于0.

2.二次函数解析式的表示方法

(1)—S殳式:y=ax2+bx+ca,b,c为常数,a40).

(2)顶点式:y=a(x-/i)2+fc(a,h,k为常数,a丰0),,其中(h,k)为顶点坐标.

(3)交点式(两根式):.y=a(x-xt)(x-x2)(a丰0,%i,应是抛物线与x轴两交点的横坐标，即一元二次方程ax?+bx

+c=0的两个根，对称轴为x=卫产).

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线

与x轴有交点，即从-4ac20时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.

3.二次函数的图像和性质

⑴二次函数y=ax2y[y=ax2+k和y=a(x-h)2的图像和性质

函数y=ax2(a#0)y=ax2+k(ar0)y=a(x-h)2(a#0,h>0)

a>0a<0a>0,k>0a<0,k<0a>0a<0

4,『A巾/

图像J,17

TfV—

开口方向向上向下向上向下向上向下

性对称轴y轴(x=0)y轴(x=0)y轴(x=0)y轴(x=0)x二hx=h

质

顶点坐标(0.0)(0.0)(0,k)(0,k)(h,0)(h,0)

当x>0时,y随x当x>0时,y随x当x>0时,y随x当x>0时,y随x当x>h时,y随x当X>h时,y随x

y随x变化的增大而增大;的增大而减小;的增大而增大;的增大而减小;的增大而增大;的增大而减小;

的趋势当x<0时,y随x当x<0时,y随x当x<0时,y随x当x<0时,y随x当x<h时,y随x当x<h时，y随

的增大而减小的增大而增大的增大而减小的增大而增大的增大而减小X的增大而增大

当x=0时,y最小当x=0时,当x=0时，当x=0时,当x=h时,y最小当x=h时,y最

最大(小)值

值=0值=0大值二0

y最大值=0y最小值二ky最大值二k

(2)二次函数y=a(x-h)2+k和y=ax?+打+c的图像和性质

函数y=a(x-h)2+k(a#：0)y=ax2+bx+c(a^0)

a>0a<0a>0a<0

图像JZyn-jpyH

开口方向向上向下向上向下

对称轴x=hx=hx=-b/2ax=-b/2a

顶点坐标(h,k)(h,k)(-2a.4ac-b2)(-b,4ac-b2)

当x>h时,y随x的增大当x>h时,y随x的增大当x>-b/2a时，y随x的当x>-b/2a时,y随x

性y随x变化的而增大；而减小；增大而增大；的增大而减小；

质

趋势

当x<h时,y随x的增大当x<h时,y随x的增大当.x<-b/2a时，y随x的当x<-b/2a时,y随x

而减小而增大增大而减小的增大而增大

当x=-b/2a时,y最小值_当x=-b/2a时,y最大

最大(小)值当x=h时,y最小值二k当x=h时,y最大值二k

4ac-b2H4ac-b2

4.二次函数解析式的确定

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,

选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：

(1)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式.

(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式.

(3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式(两根式).

(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.

2

5.二次函数y=a.t+bx+c(a,b,c为常数且a#))的图像与各项系数之间的关系

(1)二次项系数a:a的正负决定开口方向，间的大小决定开口的大小

①当a>0时，抛物线开口向上，当a<。时，抛物线开口向下；

②|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大.

(2)一次项系数b:在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.若a>0，则

①当b>0Ht-£<0,即抛物线的对称轴x=-盘在y轴左侧.

②当b=O时，-方=0,即抛物线的对称轴就是y轴.

③当b<o时.-《>o,即抛物线的对称轴久=-专在y轴的右侧.

注左同右异”,即当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧.

(3)常数项c:决定抛物线与y轴交点的位置

①当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴的正半轴相交.

②当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线经过原点.

③当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴的负半轴相交.

总之，只要a,b,c都确定，那么这条抛物线的形状及在坐标平面中的位置就是唯一确定的.

6.抛物线的特殊位置与系数的关系

(1)顶点在x轴上<b2-4ac=0;(2)顶点在y轴上ob=0;(3)顶点在原点ob=c=0;

(4)抛物线经过原点0c=0.

7.二次函数图像的变换

(1)二次函数的平移变换，平移规律：'上加下减、左加右减”.

①一般式的平移

将抛物线y=ax2+bx+c向上平移m个单位，得y=ax2+bx+c+m.

将抛物线y=ax2+bx+c向下平移m个单位，得y=ax2+bx+c—

将抛物线y=ax2+bx+c向左平移m个单位，得y=a(x+m)2++m)+c.

将抛物线y=ax2+bx+c向右平移m个单位，得y=a(x—m)2+b(x—m)+c.

②顶点式的平移

将抛物线y=a(久-/i)2+k向上平移m个单位，得y=a(x—h)2+k+m.

将抛物线y=a(x-h)2+k向下平移m个单位，得y=a(x—K)2+k—m.

将抛物线y=a(x-h)2+/c向左平移m个单位，得y=a(x-h+m)2+k.

将抛物线y=a(久-/i)2+k向右平移m个单位，得y=a(x-h-m)2+k.

(2)二次函数的对称变换

①关于x轴对称

抛物线y=a/+bx+c关于x轴对称后，得到的抛物线是y=-ax2-bx-c.

抛物线y=a(x-hY+k关于x轴对称后，得到的抛物线是y=-a(x-h)2-k.

②关于y轴对称

抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称后，得到的抛物线是y=ax?-bx+c.

抛物线y=a(x-hY+k关于y轴对称后，得到的抛物线是y=a(x+h)2+k.

③关于原点对称

抛物线y=ax2+bx+c关于原点对称后，得到的抛物线是y=-ax2+bx-c.

抛物线y=a(x-h)2+k关于原点对称后，得到的抛物线是y=-a(x+h)2-k.

④关于顶点对称

抛物线y=ax2+bx+c关于顶点对称后，得到的抛物线是y=-ax2-bx+c

抛物线y=a(x-hY+k关于顶点对称后，得到的抛物线是y=-a(x-h)2+k.

"⑤关于点(m,n)对称

抛物线y=a(x-h)2+k关于点(m,n)对称后，得到的抛物线是y=-a(x+h-2m)2+2n-k.

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此间永远不变.求抛物线的对称抛

物线的表达式时，一般先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标

及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.

8.求抛物线y=ax?+bx+c(a丰0)的顶点和对称轴的方法

(1)公式法:y=ax2+bx+c{a*0)的顶点是(-5，竺炉)，对称轴是直线x=$

⑵配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a(x-/I)?+k的形式，得到顶点为(h,k),对称轴是直线

⑶运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴是抛物线与x轴的两交点所连线段

的垂直平分线，对称轴与抛物线的交点是顶点.

9.求二次函数y=ax2+b.t+c(a丰0)最值的方法

(1)若自变量x的取值范围是全体实数，则函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即

4ac-b2b4ac-b2

①若a>0,当x=-/时,与次；②若avO,当X=-时，匕次

4a2a4a

⑵若自变量的取值范围是Xi<%<%2,且a>0.

①若X=一方在自变量取值范围.X1<%<%2内，如下左图，当％=一方时，yR^=当X=小时,ymi(m=a

+bxr+c.

②若x=-5不在自变量取值范围X】wX%内，如下右图，当x=小时，YR对面=axl+bX1+好当x=也时,

yfl.m=axj+bx2+c.

10.数学思想

⑴数形结合；(2)分类讨论.

本节重点讲解：一个定义，一个性质(二次函数的图像和性质),一个关系(图像与系数之间的关系),两个方法(求对

称轴、顶点和最值的方法),两个变换(平移和对称变换),两个思想，三个形式(解析式的形式).

三、全能突破

基础演练

1.若y=(jn+1)久7nj所5是二次函数则m=().

A.7B.-lC.-1或7D.以上都不对

2.(1)抛物线y=-3(久+6)2-1的对称轴是直线().

A.x=-6B.x=-lC.x=lD.x=6

(2)若抛物线y=x2+2x+a的顶点在x轴的下方，则a的取值范围是().

A.a>lB.a<lC.a>lD.a<l

(3)已知抛物线.y=a(x-I)2+h(a丰0)与x轴交于A(Xi,0),B(3,0)两点则线段AB的长度为().

A.lB.2C.3D.4

z

3.设AG2,yi),B(l,yz),C(2,y3)是抛物线.y=-(x+l)+a上的三点，则ylxy2,丫3的大小关系为().

A.yt>y2>y3>y3>y2C.y3>y2>yiD.y3>yt>y2

4.⑴要得到y=-2(x+3¥-4的图像，需将抛物线y=-2/作如下平移().

A.向右平移3个单位，再向上平移4个单位B.向右平移3个单位，再向下平移4个单位

C.向左平移3个单位，再向上平移4个单位D.向左平移3个单位，再向下平移4个单位

(2)已知y=2/的图像是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物

线的解析式是().

A.y=2(x-2)2+2B.y=2(x+2)2-2C.y=2(x-2)2-2O.y=2(x+2)2+2

(3)顶点为(-5z-l),且开口方向、形状与函数y=-[/的图像相同的抛物线是().

A.y=1(x-5)2+1B.y=——5

C.y=-1(x+5下一1D.y=|(x+5)2-1

5.二次函数y=x2-2x-3的最小值是__,此时x=_____.

6.(1)请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数.y=ax2+bx+c(aW0)的图像同时满足下列条件：①开口向下，

②当x<2时，y随x的增大而增大；当x>2时，y随x的增大而减小.这样的二次函数的解析式可以是—.

⑵二次函数y=4x2-mx+5,当x<-2时，y随x的增大而减小；当x>-2时，y随x的增大而增大,则当x=-l时,y的值

是—.

8.已知，图22-1-1所示是二次函数丫=ax2+bx+c的图像，判断以下各式的值是正数还是负数.

(1)a;(2)b;(3)c;(4)b2-4ac;(5)2a+b;(6)a+b+c;(7)a-b4-c.

9.根据给定条件求出下列二次函数解析式：图22-1-1

(1)已知二次函数图像的顶点是(-2,1),且过点(

(2)已知二次函数y=x2+mx+w的图像过((-4,0),(-1?0).

(3)二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点(0,-1),(3,2),(1,-2).

能力提升

10如图22-1-2所示.在RtAABC中,〜=90。,4B=5cm,BC=3on,动点P从点A出发,以每秒1cm的速度，沿A—B-C

的方向运动，到达点C时停止.设y=PC2,,运动时间为t秒，则能反映y与t之间函数关系的大致图像是().

图22-1-2

11.如图22-1-3所示抛物线yx=a(x+2/-3与y?=久丫-3尸+佼于点A(l,3),过点A作x轴的平行线，分别交两条抛

物线于点B、C.则以下结论：①无论x取何值，以及的值总是正数②a=1.③当x=0时,yz-yi=4.④2AB=3AC.其中正

确结论是().

12.若二次函数y=x2-(2p+l)x-3P在一1<X<1的范围内至少有一个x的值使.y>0成立，则p的取值范围是().

A.p>2B.p>0C.p<2D.O<p<2

13.已知二次函数y=-|x2+%，若存在实数m,n使得当自变量x的取值范围是：血<无<九时，函数值y的取值范围恰

好是3mWy43n,则m=___,n=

14.把抛物线y=2d-4x-5绕原点旋转180。得到抛物线Cx,再绕抛物线g的顶点旋转；180°,,则所得新的抛物线解

析式为一.

15.⑴抛物线y=ax2+bx+c(a丰0)满足条件：((l)4a-b=0;(2)a-b+c>0;(3)与x轴有两个交点，且两交点间的距离小于2.以

下有四个结论:①a<0;②c>0;③a+b+c<0;④*a<［其中所,有正确结论的序号是____.

43

(2)已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于(1,0)和&,0),其中-2<均<-1,,与y轴交于正半轴上一点.下

列结论：①b>0;②ac<abz；③a>b;④-a<c<-2a.其中所有正确结论的序号是—.

16.如图22-1-4所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c(a*0)的图像过正方形ABOC的三个顶点A、B、C,

则ac的值是一

17.阅读下面的材料：

2

小明在学习中遇到这样一个问题：若l<x<m,求二次函数y=x-6x+7的最大值.如

图22-1-5所示，画图研究后发现，x=l和x=5时的函数值相等，于是他认为需要对m进

行分类讨论.

他的解答过程如下：

••.二次函数y=x2-6x+7的对称轴为直线x=3,

..•由对称性可知，x=l和x=5时的函数值相等.

...若lWm<5,则x=l时,y的最大值为2.

若m25,则x=m时,y的最大值为m2-6m+7.

请你参考小明的思路，解答下列问题：

(1)当-2Wx“时，二次函数y=2必+4x+1的最大值为___.

⑵若pSxS2,求二次函数y=2/+4x+1的最大值.

⑶若t<x<t+2时,二次函数y=2/+4x+1的最大值为31,贝h的值为.

18.已知二次函数y=x2+2(m+l)x—m+1.

(1)随着m的变化，该二次函数图像的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的表达式；如果不是,

请说明理由.

(2攻口果直线y=x+1经过二次函数y=x2+2(m+l)x-m+1图像的顶点P,求此时m的值.

19.已知抛物线y=kx2+(k-2)x-2(其中k>0).

(1)求该抛物线与x轴的交点坐标及顶点坐标(可以用含k的代数式表示).

(2)若记该抛物线的顶点坐标为P(m,n),直接写出网的最小值.

(3)将该抛物线先向右平移.9个单位长度，再向上平移个单位长度，随着k的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个

新函数的图像上，求这个新函数的解析式(不要求写自变量的取值范围).

20.二次函数y=ax2+bx+l(a0)的图像的顶点在第一象限，且过点(-1,0).设t=a+b+1,则t值的变化范围是().

A.0<t<lB.0<t<2C.l<t<2D.-l<t<l

21如图22-1-6所示，已知抛物线y=|x2+bx与y=2x交于点0(0,0),A(a,12).点B是抛物线上OA之间的一个动点，过点

B分别作x轴、y轴的平行线与直线AO交于点C、E,

(1)求抛物线的函数解析式.

⑵若点C为OA的中点，求BC的长.

⑶以BC、BE为边构造矩形BCDE段点D的坐标为(m,n),求出m、n之间的关系式.

22.我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是y=ax2+bx(a*0).

(D对于这样的抛物线：

当顶点坐标为(1,1)时,a=_;

当顶点坐标为(m,m),m^O时，a与m之间的关系式是__.

(2)继续探究：如果厚0,且过原点的抛物线顶点在直线丫=kx(k+0)±,请用含k的代数式表示b.

⑶现有一组过原点的抛物线，顶点Ai,Az,…,AU在直线y=x上,横坐标依次为l,2,....n(n为正整数，且n<12),分别过每

个顶点作x轴的垂线，垂足记为4,当,…,B”,以线段ADB□为边向右作正方形AnBnCnDn.若这组抛物线中有一条

经过点Dn,求所有满足条件的正方形的边长.

巅峰突破

23.不论m取任何实数，抛物线y=/++巾?+山-1的顶点都在一条直线上，则这条直线的解析式为一

24.设a,b,c是△4BC的三边长，二次函数y=(a-g)久2-“-。-［在x=1时取最小值-1b,则△48。是().

A.等腰三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形

基础演练

l.A2.(l)A(2)B(3)D3.A

4.(1)D(2)B(3)C5.-4;l

6.⑴答案不唯一,只要满足对称轴是x=2,a<0.(2)-7

7.A

8.⑴负;⑵正;⑶正;(4)正;⑸负;⑹正;⑺负

D.(l)y=-2x2—8x—7;(2)y=x2+5%+4;

(3)y=x2—2x—1.

能力提升

10.A11.D12.C13.-4.014.y=2x2+4x+9

15.⑴②④⑵②④16.-2

17.(1)49

(2厂・,二次函数.y=2x2+4x+l的对称