2023年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟数学试卷A（北京数学试卷）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12023年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷A（北京卷）数学第一部分（选择题共40分）一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集，，，则集合等于（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗，则.故选C．2．已知i是虚数单位，复数z满足，则（

）A．2 B．1 C． D．〖答案〗D〖解析〗法一：因为，所以，所以；法二：因为，所以，所以.故选：D.3．下列函数中是奇函数，且在区间上是增函数的是（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗对于A，根据奇函数定义可知不是奇函数，所以A错误；对于B，易知图象关于原点对称，是奇函数，但其在区间上不是增函数，即B错误；对于C，函数是奇函数，且时，是增函数，所以C正确；对于D，易知为偶函数，故D错误.故选：C4．在的展开式中，若二项式系数的和为，则的系数为（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗二项式系数的和为，所以，展开式的通项为，令，则，所以的系数为．故选：A5．已知双曲线经过点，其渐近线方程为，则的标准方程为（

）．A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗双曲线的渐近线方程为，设双曲线的方程为：，双曲线经过点，，双曲线的方程为：，故选：D.6．《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，不易之率也.”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个鳖臑的体积是1，则原长方体的体积是（

）A．8 B．6 C．4 D．3〖答案〗B〖解析〗如图所示，原长方体，设矩形的面积为，，鳖臑的体积为，即，所以，即原长方体的体积是.故选：B.7．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作）的乘积等于常数．已知pH的定义为，健康人体血液的pH保持在7．35～7．45之间，那么健康人体血液中的可以为（）（参考数据：，）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗由题设有，又，所以，所以．又，只有在范围之中，故选C．『点石成金』：利用之间的关系把转化为，再利用指对数的关系求出，从而得到的范围，依次检验各值是否在这个范围中即可．8．已知函数的部分图象如图所示，则（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由题图，，则，可得，又，故，，所以，，又，则.综上，，.故选：A.9．设函数，则“”是“与”都恰有两个零点的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗显然是的最小值，若有两个零点，设，且，由得或，由题意只有两个零点，因此无解，有两个不等实根，即，，必要性得证，若，由于，因此有两个零点，设为，不妨设，由得或，显然无解，有两个不等实根，即有两个零点，充分性得证，故题中是充分必要条件，故选C.10．在平面直角坐标系中，和是圆上的两点，且，点，则的取值范围是（）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗，取中点为，，且，延长至，使得，所以，因为，所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆，因为，所以.故选：A.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11．已知点，点，向量，若，则实数y的值为______.〖答案〗7〖解析〗由题意，，，因为，所以，解得.故〖答案〗为：7.12．各项都为正数的等差数列中，，则___________.〖答案〗8.〖解析〗∵为各项都为正数的等差数列，又∴，即，∴.故〖答案〗为：8.13．抛物线上一点到点与到准线的距离和最小，则点的坐标为______________〖答案〗〖解析〗由题知，如图，连接，由抛物线的定义得点到准线的距离等于，即，所以，当且仅当三点共线时，等号成立，此时点在点的位置.此时直线的方程为，即，所以联立方程得，解得或，根据题意得，所以，，所以点的坐标为.故〖答案〗为：.14．已知函数其中.若，则函数的值域是______；若函数有且仅有2个零点，则的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗（1）时，，当时，，当时，，综上：，即函数的值域是.（2），当时，令，得，故在上，函数有一个零点，当时，设，由题意可知：在上有且仅有一个零点，所以或，解得或，所以的取值范围是.故〖答案〗为：；.15．已知函数满足，，则下列各式恒成立的是__________．①；②；③；④．〖答案〗①②③〖解析〗①，∴，故①正确；②，故②正确；③，故③正确；④，，，故④错误；故〖答案〗为：①②③．三、解答题：共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在．（1）求函数的〖解析〗式；（2）求在区间上的最大值和最小值．条件①：；条件②：的最大值为；条件③：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．解：（1）若选择条件①，因为，所以，由可得对恒成立，与矛盾，所以选择条件②③，由题意可得，设，由题意可得，其中，，因为的最大值为，所以，解得，所以，，由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得，所以解得，所以.（2）由正弦函数的图象可得当时，，，所以在区间上的最大值为，最小值为.17．如图，在三棱柱中，底面为等腰直角三角形，侧面底面为中点，.（1）求证：；（2）再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值.条件①：；条件②：.（1）证明：因为，为中点，所以，又因为面面，面面，面，所以平面，又平面，所以；（2）解：选①，取的中点，连接，则且，所以四边形为平行四边形，所以，因为，为的中点，所以，又平面，所以平面，又，所以平面，又平面，所以，因为，所以，如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，由，得，则，则，因为平面，所以即为平面的一条法向量，设平面的法向量为，则有，可取，则，由图可知，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.选②，取的中点，连接，则且，所以四边形为平行四边形，所以且，因为且，所以四边形为平行四边形，所以且，又因为，所以，又，，所以，则，在中，因为，所以，如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，下同选①的〖答案〗.18．为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展了“航天知识”讲座，为了解讲座效果，从高一甲乙两班的学生中各随机抽取5名学生的测试成绩，这10名学生的测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．（1）若，分别为甲、乙两班抽取的成绩的平均分，，分别为甲、乙两班抽取的成绩的方差，则______，______．（填“>”或“<”）（2）若成绩在85分（含85分）以上为优秀，（ⅰ）从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生，则恰有1人成绩优秀的概率；（ⅱ）从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人，则甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的概率．解：（1）由茎叶图知，，，所以<；，，所以>.（2）（ⅰ）抽取的两名学生成绩分别为，把他们记为，从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生，他们的成绩组成的不同结果：，共10个，恰有1人成绩优秀的事件有：，共6个，所以恰有1人成绩优秀的概率.（ⅱ）依题意，甲班成绩优秀学生有2人，成绩分别为，乙班成绩优秀学生有4人，成绩分别为，从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人，按甲班的在前、乙班的在后写在括号内，不同结果有：，共8个，甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的事件有：，共5个，所以甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的概率.19．已知椭圆经过两点，设过点的直线椭圆交E于M，N两点，过M且平行于y轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．（1）求椭圆E的方程：（2）证明：直线HN过定点．（1）解：因为椭圆E的方程为经过两点，则，解得，，所以椭圆E的方程为：.（2）证明：因为，所以，①假设过点的直线过原点，则，代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，过点.②分析知过点的直线斜率一定存在，设.联立得，可得，所以，，且因为点H满足，所以为的中点，联立可得可求得此时，假设直线HN过定点，将，代入整理得，将代入，得显然成立，综上，可得直线HN过定点.20．已知函数.（1）求在点处的切线方程；（2）求证：当时，.（3）若时，恒成立，求实数的取值范围.（1）解：由题意，，又由导数的几何意义，，所以在点处的切线方程：，即；（2）证明：当时，恒成立，等价于恒成立，设，则，当时，，所以，即在上为增函数，所以，即恒成立，恒成立，所以当时，，问题得证；（3）解：若时，恒成立，等价于恒成立，令，则，令，得，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，故当时，原不等式恒成立.21．记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，则称是“极差数列”.（1）若，求的前项和；（2）证明：的“极差数列”仍是；（3）求证：若数列是等差数列，则数列也是等差数列.（1）解：∵无穷数列的前项中最大值为，最小值为，，，是递增数列，∴，∴的前项和.（2）证明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴的“极差数列”仍是（3）证明：当数列是等差数列时，设其公差为，，根据，的定义，得：，，且两个不等式中至少有一个取等号，当时，必有，∴，∴是一个单调递增数列，∴，，∴，∴，∴是等差数列，当时，则必有，∴，∴是一个单调递减数列，∴，，∴，∴.∴是等差数列，当时，，∵，中必有一个为0，根据上式，一个为0，为一个必为0，∴，，∴数列是常数数列，则数列是等差数列.综上，若数列是等差数列，则数列也是等差数列.2023年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷A（北京卷）数学第一部分（选择题共40分）一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集，，，则集合等于（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗，则.故选C．2．已知i是虚数单位，复数z满足，则（

）A．2 B．1 C． D．〖答案〗D〖解析〗法一：因为，所以，所以；法二：因为，所以，所以.故选：D.3．下列函数中是奇函数，且在区间上是增函数的是（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗对于A，根据奇函数定义可知不是奇函数，所以A错误；对于B，易知图象关于原点对称，是奇函数，但其在区间上不是增函数，即B错误；对于C，函数是奇函数，且时，是增函数，所以C正确；对于D，易知为偶函数，故D错误.故选：C4．在的展开式中，若二项式系数的和为，则的系数为（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗二项式系数的和为，所以，展开式的通项为，令，则，所以的系数为．故选：A5．已知双曲线经过点，其渐近线方程为，则的标准方程为（

）．A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗双曲线的渐近线方程为，设双曲线的方程为：，双曲线经过点，，双曲线的方程为：，故选：D.6．《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，不易之率也.”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个鳖臑的体积是1，则原长方体的体积是（

）A．8 B．6 C．4 D．3〖答案〗B〖解析〗如图所示，原长方体，设矩形的面积为，，鳖臑的体积为，即，所以，即原长方体的体积是.故选：B.7．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作）的乘积等于常数．已知pH的定义为，健康人体血液的pH保持在7．35～7．45之间，那么健康人体血液中的可以为（）（参考数据：，）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗由题设有，又，所以，所以．又，只有在范围之中，故选C．『点石成金』：利用之间的关系把转化为，再利用指对数的关系求出，从而得到的范围，依次检验各值是否在这个范围中即可．8．已知函数的部分图象如图所示，则（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由题图，，则，可得，又，故，，所以，，又，则.综上，，.故选：A.9．设函数，则“”是“与”都恰有两个零点的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗显然是的最小值，若有两个零点，设，且，由得或，由题意只有两个零点，因此无解，有两个不等实根，即，，必要性得证，若，由于，因此有两个零点，设为，不妨设，由得或，显然无解，有两个不等实根，即有两个零点，充分性得证，故题中是充分必要条件，故选C.10．在平面直角坐标系中，和是圆上的两点，且，点，则的取值范围是（）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗，取中点为，，且，延长至，使得，所以，因为，所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆，因为，所以.故选：A.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11．已知点，点，向量，若，则实数y的值为______.〖答案〗7〖解析〗由题意，，，因为，所以，解得.故〖答案〗为：7.12．各项都为正数的等差数列中，，则___________.〖答案〗8.〖解析〗∵为各项都为正数的等差数列，又∴，即，∴.故〖答案〗为：8.13．抛物线上一点到点与到准线的距离和最小，则点的坐标为______________〖答案〗〖解析〗由题知，如图，连接，由抛物线的定义得点到准线的距离等于，即，所以，当且仅当三点共线时，等号成立，此时点在点的位置.此时直线的方程为，即，所以联立方程得，解得或，根据题意得，所以，，所以点的坐标为.故〖答案〗为：.14．已知函数其中.若，则函数的值域是______；若函数有且仅有2个零点，则的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗（1）时，，当时，，当时，，综上：，即函数的值域是.（2），当时，令，得，故在上，函数有一个零点，当时，设，由题意可知：在上有且仅有一个零点，所以或，解得或，所以的取值范围是.故〖答案〗为：；.15．已知函数满足，，则下列各式恒成立的是__________．①；②；③；④．〖答案〗①②③〖解析〗①，∴，故①正确；②，故②正确；③，故③正确；④，，，故④错误；故〖答案〗为：①②③．三、解答题：共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在．（1）求函数的〖解析〗式；（2）求在区间上的最大值和最小值．条件①：；条件②：的最大值为；条件③：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．解：（1）若选择条件①，因为，所以，由可得对恒成立，与矛盾，所以选择条件②③，由题意可得，设，由题意可得，其中，，因为的最大值为，所以，解得，所以，，由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得，所以解得，所以.（2）由正弦函数的图象可得当时，，，所以在区间上的最大值为，最小值为.17．如图，在三棱柱中，底面为等腰直角三角形，侧面底面为中点，.（1）求证：；（2）再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值.条件①：；条件②：.（1）证明：因为，为中点，所以，又因为面面，面面，面，所以平面，又平面，所以；（2）解：选①，取的中点，连接，则且，所以四边形为平行四边形，所以，因为，为的中点，所以，又平面，所以平面，又，所以平面，又平面，所以，因为，所以，如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，由，得，则，则，因为平面，所以即为平面的一条法向量，设平面的法向量为，则有，可取，则，由图可知，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.选②，取的中点，连接，则且，所以四边形为平行四边形，所以且，因为且，所以四边形为平行四边形，所以且，又因为，所以，又，，所以，则，在中，因为，所以，如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，下同选①的〖答案〗.18．为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展了“航天知识”讲座，为了解讲座效果，从高一甲乙两班的学生中各随机抽取5名学生的测试成绩，这10名学生的测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．（1）若，分别为甲、乙两班抽取的成绩的平均分，，分别为甲、乙两班抽取的成绩的方差，则______，______．（填“>”或“<”）（2）若成绩在85分（含85分）以上为优秀，（ⅰ）从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生，则恰有1人成绩优秀的概率；（ⅱ）从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人，则甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的概率．解：（1）由茎叶图知，，，所以<；，，所以>.（2）（ⅰ）抽取的两名学生成绩分别为，把他们记为，从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生，他们的成绩组成的不同结果：，共10个，恰有1人成绩优秀的事件有：，共6个，所以恰有1人成绩优秀的概率.（ⅱ）依题意，甲班成绩优秀学生有2人，成绩分别为，乙班成绩优秀学生有4人，成绩分别为，从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人，按甲班的在前、乙班的在后写在括号内，不同结果有：，共8个，甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的事件有：，共5个，所以甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的概率.19．