2023届四川省成都市名校高三下期4月定时训练数学试题（文）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省成都市名校2023届高三下期4月定时训练数学试题（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.1.满足等式的集合X共有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个〖答案〗D〖解析〗方程的实数根有，解集构成的集合为，即，则符合该等式的集合为，，，，故这样的集合共有4个.故选：D.2.法国数学家棣莫弗发现的公式推动了复数领域的研究.根据该公式，可得（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根据题意可知，故，故选：B.3.已知建筑地基沉降预测对于保证施工安全，实现信息化监控有着重要意义．某工程师建立了四个函数模型来模拟建筑地基沉降随时间的变化趋势，并用相关指数、误差平方和、均方根值三个指标来衡量拟合效果．相关指数越接近1表明模型的拟合效果越好，误差平方和越小表明误差越小，均方根值越小越好．依此判断下面指标对应的模型拟合效果最好的是（）A.相关指数误差平方和均方根值0.9498.4910.499B.相关指数误差平方和均方根值0.9334.1790.436C.相关指数误差平方和均方根值0.9971.7010.141D.相关指数误差平方和均方根值0.9972.8990.326〖答案〗C〖解析〗相关指数越接近于1，拟合效果越好，比较相关指数知，可选C，D，误差平方和及均方根值都越小，拟合效果越好，观察误差平方和和均方根值，知C的拟合效果最好．故选：C.4.截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上．被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST），是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望远镜（图1）．观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作拋物线的一部分．某学校科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面所在的抛物线（图2）的顶点到焦点的距离为（）A.1 B.2 C.4 D.8〖答案〗A〖解析〗如图，以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则设抛物线的方程为，由题可得抛物线上一点，代入抛物线方程可得，所以，即抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为，故顶点到焦点的距离为.故选：A.5.已知x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（）．A. B. C.2 D.4〖答案〗B〖解析〗画出约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．目标函数，即，平移直线，当其过点A时纵截距最小，即z最小．由，可得即点，所以．故选：B6.“”是“圆：与圆：有公切线”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，若两圆有公切线，则，即，解得或，所以“”是“圆：与圆：有公切线”的充分而不必要条件.故选：A.7.设向量满足，，若，，则向量与的夹角不等于（）A.30° B.60° C.120° D.150°〖答案〗C〖解析〗设向量与的夹角为，，由向量数量积的运算律可将原问题转化为，，即，根据题意整理得有解，所以，解得，故选：C8.在区间与内各随机取1个整数，设两数之和为M，则成立的概率为（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设从区间，中随机取出的整数分别为x，y，则样本空间为，共8种情况，设事件A表示即，则，共5种情况，所以．故选：B9.已知函数的部分图象如图所示，其中.在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根据图象可知，函数的图象是由向右平移个单位得到的；由图可知，利用整体代换可得，所以，若为已知，则可求得.故选：B10.已知是抛物线的焦点，抛物线上动点，满足，若，的准线上的射影分别为，且的面积为,则A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗过点A作轴的垂线垂足于C，交NB的延长线于点D．设，则.①，即②③联立①②③解得，，故选D11.正方体的棱长为2，正方形的心分别是，，且分别是棱上的动点（含端点），其中关于点对称，关于点对称，，则下列结论错误的是（）A.若四点都在球上，则球表面积最大值为B.若四点都在球上，则球体积的最小值为C.四面体的所有棱长都相等D.直线与所成角的余弦值的取值范围是〖答案〗C〖解析〗因为分别是棱上的动点（含端点），其中关于点对称，关于点对称，，若四点都在球上，则球心在线段上，且是线段的中点，故以线段的中点为坐标原点，如图建立直角坐标系，其中轴，轴分别与平面，平面垂直，不妨设，，，球的半径，球表面积当时，取最大值，选项A正确；当时，球的半径，最小，最小值为，球体积的最小值为，选项B正确；，故当时，，当时，，选项C错误；设直线与所成角，选项D正确.故选：C12.对于恒成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题得恒成立，因为函数互为反函数，所以原命题等价于恒成立，即恒成立，令，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以.所以.故选：D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.13.已知某中学老年教师的“亚健康”率为50％，中年教师的“亚健康”率为30％，青年教师的“亚健康”率为15％．若该中学共有60名老年教师，100名中年教师，200名青年教师，则该校教师的“亚健康"率为______．〖答案〗〖解析〗根据题意，该校教师的“亚健康”率为：％．故〖答案〗为：.14.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边与平行于轴.已知四边形的面积为，则原平面图形的面积为__________.〖答案〗〖解析〗根据题意得，原四边形为一个直角梯形，且，，，，则，所以.故〖答案〗为：.15.已知等腰的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，成等差数列，点D为外接圆劣弧上一点（不含端点），若，则______．〖答案〗5〖解析〗因为，，成等差数列，所以，即，即，因为，所以，因为是等腰三角形，所以是正三角形，设的边长为x，，易得，根据圆周角定理，有，所以，，中，根据正弦定理有，同理在中，，，所以．故〖答案〗为：516.已知是圆上的两点，，记，，向量，若实数满足，则的最大值为______．〖答案〗〖解析〗，，由圆的方程知：圆的半径，．设，则，为线段的中垂线，，，即，；，，解得：，.故〖答案〗为：.三、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本次考试不设选考题，第17～22题均为必考题，每个试题考生都必须作答.17.在数列中，，.（1）求的通项公式；（2）设前项和为，证明：.（1）解：，，即.又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，从而，则.（2）证明：，，设，则，两式相减得：，即.从而，故.18.年月日，由工业和信息化部、安徽省人民政府共同主办的第十七届“中国芯”集成电路产业大会在合肥成功举办．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.年，全国芯片研发单位相比年增加家，提交芯片数量增加个，均增长超过倍.某芯片研发单位用在“芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比（）如表所示.年份年份代码（1）根据表中的数据，作出相应的折线图；并结合相关数据，计算相关系数，并推断与线性相关程度；（已知：，则认为与线性相关很强；，则认为与线性相关一般；，则认为与线性相关较弱）（2）求出与的回归直线方程（保留一位小数）；（3）请判断，若年用在“芯片”上研发费用不低于万元，则该单位年芯片研发的总费用预算为万元是否符合研发要求?附：相关数据：，，，.相关计算公式：①相关系数；在回归直线方程中，，.解：（1）折线图如下：由题意得：，，，，，与线性相关很强.（2）由题意得：，，关于的回归直线方程为.【小问3详析】年对应的年份代码，则当时，，预测年用在“芯片”上的研发费用约为（万元），，符合研发要求.19.如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形CDEF为平行四边形，平面平面ABCD，．（1）证明：平面ABE；（2）若，，，求三棱锥的体积．（1）证明：连接交于点，取的中点，连接，因为四边形为平行四边形，所以为的中点，所以，因为，，所以，所以四边形为平行四边形，所以，即，因为平面，平面，所以平面ABE，（2）解：取的中点为，连接，因为，，所以为等边三角形，所以，，因为平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面，所以平面，所以点到平面的距离为，因为，平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离为，因为是直角梯形，，，，，所以，所以.20.已知函数，，.（1）若，求证：；（2）若函数与函数存在两条公切线，求实数的取值范围.解：（1）当时，记，则，记，因为，所以在上单调递增又所以当时，，单调递减，当时，，单调递增所以当时，取得最小值，即所以当时（2）设函数与函数的公切线分别相切于点和点因为，，所以l的方程可表示为或则有...①，...②由①可得，代入②可得：即记，，则记，因为，所以单调递减又，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，由上可知，要使函数与函数存在两条公切线，只需直线与函数图象有两个交点，因为，由图可知a的取值范围为21.已知圆：，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过点的直线m交椭圆C于点M､N，且满足（E为圆E的圆心），求直线m的方程.解：（1）因为点在圆内，所以，圆内切于圆，设圆的半径为，则，，所以点的轨迹是以､为焦点长轴长为的椭圆，设椭圆方程为：，则，，从而，故点的轨迹的方程为.（2）①当直线的斜率存在时，设，､代入整理得，则，.所以，.点到直线的距离.因为，所以，.而，，即，解得，此时；②当直线的斜率不存在时，，直线交椭圆于点､.也有经检验，上述直线均满足.综上：直线的方程为、或.【选修4－4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy中，曲线E的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E上A，B两点所在直线的极坐标方程为．（1）求曲线E的普通方程和直线AB的倾斜角；（2）若曲线E上两点C，D所在直线的倾斜角为，直线AB与CD相交于点P，且P不在曲线E上，求的取值范围．解：（1）由（为参数），平方得到，两式相减得，曲线的普通方程为．令可得直线的直角坐标方程为，故直线的倾斜角为.（2）设，则直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．将直线的参数方程代入曲线的方程可得．设，对应的参数分别为，，根据参数的几何意义，可得．同理可得．所以．因为，所以，所以，故的取值范围为四川省成都市名校2023届高三下期4月定时训练数学试题（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.1.满足等式的集合X共有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个〖答案〗D〖解析〗方程的实数根有，解集构成的集合为，即，则符合该等式的集合为，，，，故这样的集合共有4个.故选：D.2.法国数学家棣莫弗发现的公式推动了复数领域的研究.根据该公式，可得（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根据题意可知，故，故选：B.3.已知建筑地基沉降预测对于保证施工安全，实现信息化监控有着重要意义．某工程师建立了四个函数模型来模拟建筑地基沉降随时间的变化趋势，并用相关指数、误差平方和、均方根值三个指标来衡量拟合效果．相关指数越接近1表明模型的拟合效果越好，误差平方和越小表明误差越小，均方根值越小越好．依此判断下面指标对应的模型拟合效果最好的是（）A.相关指数误差平方和均方根值0.9498.4910.499B.相关指数误差平方和均方根值0.9334.1790.436C.相关指数误差平方和均方根值0.9971.7010.141D.相关指数误差平方和均方根值0.9972.8990.326〖答案〗C〖解析〗相关指数越接近于1，拟合效果越好，比较相关指数知，可选C，D，误差平方和及均方根值都越小，拟合效果越好，观察误差平方和和均方根值，知C的拟合效果最好．故选：C.4.截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上．被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST），是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望远镜（图1）．观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作拋物线的一部分．某学校科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面所在的抛物线（图2）的顶点到焦点的距离为（）A.1 B.2 C.4 D.8〖答案〗A〖解析〗如图，以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则设抛物线的方程为，由题可得抛物线上一点，代入抛物线方程可得，所以，即抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为，故顶点到焦点的距离为.故选：A.5.已知x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（）．A. B. C.2 D.4〖答案〗B〖解析〗画出约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．目标函数，即，平移直线，当其过点A时纵截距最小，即z最小．由，可得即点，所以．故选：B6.“”是“圆：与圆：有公切线”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，若两圆有公切线，则，即，解得或，所以“”是“圆：与圆：有公切线”的充分而不必要条件.故选：A.7.设向量满足，，若，，则向量与的夹角不等于（）A.30° B.60° C.120° D.150°〖答案〗C〖解析〗设向量与的夹角为，，由向量数量积的运算律可将原问题转化为，，即，根据题意整理得有解，所以，解得，故选：C8.在区间与内各随机取1个整数，设两数之和为M，则成立的概率为（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设从区间，中随机取出的整数分别为x，y，则样本空间为，共8种情况，设事件A表示即，则，共5种情况，所以．故选：B9.已知函数的部分图象如图所示，其中.在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根据图象可知，函数的图象是由向右平移个单位得到的；由图可知，利用整体代换可得，所以，若为已知，则可求得.故选：B10.已知是抛物线的焦点，抛物线上动点，满足，若，的准线上的射影分别为，且的面积为,则A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗过点A作轴的垂线垂足于C，交NB的延长线于点D．设，则.①，即②③联立①②③解得，，故选D11.正方体的棱长为2，正方形的心分别是，，且分别是棱上的动点（含端点），其中关于点对称，关于点对称，，则下列结论错误的是（）A.若四点都在球上，则球表面积最大值为B.若四点都在球上，则球体积的最小值为C.四面体的所有棱长都相等D.直线与所成角的余弦值的取值范围是〖答案〗C〖解析〗因为分别是棱上的动点（含端点），其中关于点对称，关于点对称，，若四点都在球上，则球心在线段上，且是线段的中点，故以线段的中点为坐标原点，如图建立直角坐标系，其中轴，轴分别与平面，平面垂直，不妨设，，，球的半径，球表面积当时，取最大值，选项A正确；当时，球的半径，最小，最小值为，球体积的最小值为，选项B正确；，故当时，，当时，，选项C错误；设直线与所成角，选项D正确.故选：C12.对于恒成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题得恒成立，因为函数互为反函数，所以原命题等价于恒成立，即恒成立，令，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以.所以.故选：D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.13.已知某中学老年教师的“亚健康”率为50％，中年教师的“亚健康”率为30％，青年教师的“亚健康”率为15％．若该中学共有60名老年教师，100名中年教师，200名青年教师，则该校教师的“亚健康"率为______．〖答案〗〖解析〗根据题意，该校教师的“亚健康”率为：％．故〖答案〗为：.14.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边与平行于轴.已知四边形的面积为，则原平面图形的面积为__________.〖答案〗〖解析〗根据题意得，原四边形为一个直角梯形，且，，，，则，所以.故〖答案〗为：.15.已知等腰的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，成等差数列，点D为外接圆劣弧上一点（不含端点），若，则______．〖答案〗5〖解析〗因为，，成等差数列，所以，即，即，因为，所以，因为是等腰三角形，所以是正三角形，设的边长为x，，易得，根据圆周角定理，有，所以，，中，根据正弦定理有，同理在中，，，所以．故〖答案〗为：516.已知是圆上的两点，，记，，向量，若实数满足，则的最大值为______．〖答案〗〖解析〗，，由圆的方程知：圆的半径，．设，则，为线段的中垂线，，，即，；，，解得：，.故〖答案〗为：.三、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本次考试不设选考题，第17～22题均为必考题，每个试题考生都必须作答.17.在数列中，，.（1）求的通项公式；（2）设前项和为，证明：.（1）解：，，即.又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，从而，则.（2）证明：，，设，则，两式相减得：，即.从而，故.18.年月日，由工业和信息化部、安徽省人民政府共同主办的第十七届“中国芯”集成电路产业大会在合肥成功举办．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.年，全国芯片研发单位相比年增加家，提交芯片数量增加个，均增长超过倍.某芯片研发单位用在“芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比（）如表所示.年份年份代码（1）根据表中的数据，作出相应的折线图；并结合相关数据，计算相关系数，并推断与线性相关程度；（已知：，则认为与线性相关很强；，则认为与线性相关一般；，则认为与线性相关较弱）（2）求出与的回归直线方程（保留一位小数）；（3）请判断，若年用在“芯片”上研发费用不低于万元，则该单位年芯片研发的总费用预算为万元是否符合研发要求?附：相关数据：，，，.相关计算公式：①相关系数；在回归直线方程中，，.解：（1）折线图如下：由题意得：，，，，，与线性相关很强.（2）由题意得：，，关于的回归直线方程为.【小问3详析】年对应的年份代码，则当时，，预测年用在“芯片”上的研发费用约为（万元），，符合研发要求.19.如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形CDEF为平行四边形，平面平面ABCD，．（1）证明：平面ABE；（2）若，，，求三棱锥的体积．（1）证明：连接交于点，取的中点，连接，因为四边形为平行四边形，所以为的中点，所以，因为，，所以，所以四边形为平行四边形，所以，即，因为平面，平面，所以平面ABE，（2）解：取的中点为，连接，因为，，所以为等边三角形，所以，，因为平面平面ABCD，平面平