山西省2024届中考适应性考试数学试题含解析

山西省晋中学市榆社县市级名校2024届中考适应性考试数学试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.某厂进行技术创新，现在每天比原来多生产30台机器，并且现在生产500台机器所需时间与原来生产350台机器

所需时间相同.设现在每天生产x台机器，根据题意可得方程为（）

500350500350500350500350

A.---------B.=-----C.---------D.

x%-30x-30xx%+30x+30x

2.如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（）

3.二次函数7=如2+加；+。（存0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac-Z>2<0；②劝+2cV0；③4Q+CV2岳®mCam+b）

D.4

4.如图，函数y=kx+b（k#））与y=—（m#0）的图象交于点A（2,3）,B（-6,-1）,则不等式kx+b>—的解集为（）

xx

A.x<-6^0<x<2B.-6vx（0^x>2C.x>2D.x<-6

b

5.已知一次函数y=kx+b的图象如图，那么正比例函数丫=1«和反比例函数y=—在同一坐标系中的图象的形状大致是

x

()

2

6.关于反比例函数丫=-,下列说法中错误的是

A.它的图象是双曲线

B.它的图象在第一、三象限

C.y的值随x的值增大而减小

D.若点（a,b）在它的图象上，则点（b,a）也在它的图象上

7.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a-b,x-y,x+y,a+b,x?-y2,a?-b2分别

对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2-y2）a?-（x2-y2）b?因式分解，结果呈现的密码信息可能是

（）

A.我爱美B.宜晶游C.爱我宜昌D.美我宜昌

8.如图，在5x5的方格纸中将图①中的图形N平移到如图②所示的位置，那么下列平移正确的是（）

B.先向下移动1格，再向左移动2格

C.先向下移动2格，再向左移动1格D.先向下移动2格，再向左移动2格

9.如图，在矩形ABCD中，AB=&,AD=2,以点A为圆心，AD的长为半径的圆交BC边于点E,则图中阴影部

A.2V2-1--B.2V2-1--C.2V2-2--D.2V2-1--

3224

10.如图，在4x4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,AAO3的三个顶点都在格点上，现将AAO5绕点。

逆时针旋转90。后得到对应的△C。。，则点A经过的路径弧AC的长为（）

A.—71B.nC.2nD.3n

2

11.单项式2a3b的次数是（）

A.2B.3C.4D.5

12.关于左的方程（a—5）/—4x—1=0有实数根，则。满足（）

A.a＞lB.。＞1且aw5C.aNl且“w5D.a,丰5

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.用科学计数器计算：2xsinl5»cosl5o=（结果精确到0.01）.

14.将三角形纸片（AABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上,记为点B,,折痕为所，已知AB=AC=3,

BC=4,若以点9，F,C为顶点的三角形与AABC相似，则5尸的长度是.

15.如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60。角

时，第二次是阳光与地面成30。角时，两次测量的影长相差8米，则树高米（结果保留根号）.

16.如图，若双曲线y=A（左＞0）与边长为3的等边AA03（0为坐标原点）的边。4、A5分别交于C、O两点,

且OC=28。，则左的值为

17.某排水管的截面如图，已知截面圆半径OB=10cm,水面宽AB是16cm,则截面水深CD为

18.二次根式JT工中字母x的取值范围是.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)先化简，再求值：(4^2二1,)---其中a=g+L

a—aa—2a+1a

20.(6分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数丫=(x-a)(x-3)(0<a<3)的图象与x轴交于点A、B(点A在点B

的左侧)，与y轴交于点D,过其顶点C作直线CPLx轴，垂足为点P,连接AD、BC.

(1)求点A、B、D的坐标；

(2)若△AOD与△BPC相似，求a的值;

(3)点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.

21.(6分)先化简，再求值：x(x+1)-(x+1)(x-1),其中x=l.

22.(8分)如图，30是△A5C的角平分线，点E,歹分别在5C,AB1.tKDE//AB,BE=AF.

⑴求证：四边形AOE尸是平行四边形；

(2)若N4BC=60。，BD=6,求Z>E的长.

A

23.（8分）抛物线y=-73x2+bx+c（b,c均是常数）经过点O（0,0）,A（4,46），与x轴的另一交点为点B,

且抛物线对称轴与线段OA交于点P.

（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）过点P作x轴的平行线1,若点Q是直线上的动点，连接QB.

①若点O关于直线QB的对称点为点C,当点C恰好在直线1上时，求点Q的坐标；

②若点O关于直线QB的对称点为点D,当线段AD的长最短时，求点Q的坐标（直接写出答案即可）.

24.（10分）解方程:x2-4x-5=0

25.（10分）计算：-22+（7：-2018）°-2sin60°+|l-不\

26.（12分）一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球（不

放回），再从余下的2个球中任意摸出1个球.用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；求两次摸到的球的颜

色不同的概率.

27.（12分）已知：如图，在AABC中，NACB=90。，以BC为直径的。O交AB于点D,E为台。的中点.

求证：ZACD=ZDEC；（2）延长DE、CB交于点P,若PB=BO,DE=2,求PE的长

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、A

【解析】

根据现在生产500台机器所需时间与原计划生产350台机器所需时间相同，所以可得等量关系为：现在生产500台机

器所需时间=原计划生产350台机器所需时间.

【详解】

现在每天生产x台机器，则原计划每天生产(x-30)台机器.

故选A.

【点睛】

本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.

2、B

【解析】

由三视图可知此几何体为圆锥，.•.圆锥的底面半径为3,母线长为5,

•.•圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，

二圆锥的底面周长=圆锥的侧面展开扇形的弧长=27Tr=2kx3=6jt,

二圆锥的侧面积=,lr=L*6/5=15兀，故选B

22

3、C

【解析】

试题解析：•••图象与x轴有两个交点，

...方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，

.\b2-4ac>0,

/.4ac-b2<0,

①正确；

b

2a

/.b=2a,

*.*a+b+c<0,

，1b+b+cVO,3b+2c<0,

2

②是正确；

,当x=-2时，y>0,

•*.4a-2b+c>0,

/.4a+c>2b,

③错误；

•.•由图象可知x=-1时该二次函数取得最大值，

•*.a-b+c>am2+bm+c(m#-1).

Am(am+b)<a-b.故④正确

.•.正确的有①②④三个，

故选C.

考点：二次函数图象与系数的关系.

【详解】

请在此输入详解！

4、B

【解析】

根据函数的图象和交点坐标即可求得结果.

【详解】

解：不等式kx+b>—的解集为：-6<x<0或x>2,

X

故选B.

【点睛】

此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用.

5、C

【解析】

试题分析：如图所示，由一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，可得k>l,b<l.因此可知正比例函数y=kx

b

的图象经过第一、三象限，反比例函数y=2的图象经过第二、四象限.综上所述，符合条件的图象是C选项.

x

故选C.

考点：1、反比例函数的图象；2、一次函数的图象；3、一次函数图象与系数的关系

6、C

【解析】

2

根据反比例函数片一的图象上点的坐标特征，以及该函数的图象的性质进行分析、解答.

x

【详解】

2

A.反比例函数y=—的图像是双曲线，正确；

x

B.«=2>0,图象位于一、三象限，正确；

C.在每一象限内，y的值随x的增大而减小，错误；

D.•..而=加1,...若点(a,b)在它的图像上，则点(b,a)也在它的图像上，故正确.

故选C.

【点睛】

本题主要考查反比例函数的性质.注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内.

7、C

【解析】

试题分析：(x?-y2)a2-(x2-y2)b2=(x2-y2)(a2-b2)=(x-y)(x+y)(a-b)(a+b),因为x-y,x+y,a+b,

a-b四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，所以结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故答案选C.

考点：因式分解.

8、C

【解析】

根据题意，结合图形,由平移的概念求解.

【详解】

由方格可知，在5x5方格纸中将图①中的图形N平移后的位置如图②所示，那么下面平移中正确的是：先向下移动2

格，再向左移动1格，故选C.

【点睛】

本题考查平移的基本概念及平移规律,是比较简单的几何图形变换.关键是要观察比较平移前后物体的位置.

9,B

【解析】

先利用三角函数求出NR4E=45。，则8E=A8=&，ZDAE=45°,然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积

=S矩形A5C0-SAABE-S扇形£40进行计算即可.

【详解】

解：'：AE^AD^2,而43=行，：.cosZBAE^—=4,/.ZBAE=45°,：.BE=AB=d2,ZBEA=45°.

AE2

.•.NZME=NBEA=45°,...图中阴影部分的面积=S矩形ABCD-SAABE-S扇形EAD=2X&--

气KY

故选B.

【点睛】

本题考查了扇形面积的计算.阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法.求阴影面积的主要思路是将不

规则图形面积转化为规则图形的面积.

10、A

【解析】

根据旋转的性质和弧长公式解答即可.

【详解】

解：；将^AOB绕点0逆时针旋转90。后得到对应的△COZ>,

ZAOC=90°,

；OC=3,

qQ4x33

.•.点A经过的路径弧AC的长-71,

1802

故选：A.

【点睛】

此题考查弧长计算，关键是根据旋转的性质和弧长公式解答.

11、C

【解析】

分析：根据单项式的性质即可求出答案.

详解：该单项式的次数为：3+1=4

故选C.

点睛：本题考查单项式的次数定义，解题的关键是熟练运用单项式的次数定义，本题属于基础题型.

12、A

【解析】

分类讨论：当a=5时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当a声时，根据判别式的意义得到吟1且a”时，

方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的a的范围.

【详解】

当a=5时，原方程变形为-4x-l=0,解得x=--；

4

当a#5时，△=(-4)2-4(a-5)x(-1)>0,解得a?l,即吟1且a#5时，方程有两个实数根,

所以a的取值范围为a>l.

故选A.

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的根的判别式△=b2-4ac：当4>0,方程有两个不相等的实数根；当A=0,

方程有两个相等的实数根；当△<(),方程没有实数根.也考查了一元二次方程的定义.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、0.50

【解析】

直接使用科学计算器计算即可，结果需保留二位有效数字.

【详解】

用科学计算器计算得0.5,

故填0.50,

【点睛】

此题主要考查科学计算器的使用，注意结果保留二位有效数字.

12-

14、一或2

7

【解析】

由折叠性质可知B，F=BF,△B，FC与△ABC相似，有两种情况，分别对两种情况进行讨论，设出B，F=BF=x,列出比

例式方程解方程即可得到结果.

【详解】

由折叠性质可知B，F=BF,设B，F=BF=x,故CF=4-x

、„.‘B'FCFx4-x5的1212

当△B'FCs^ABC,有=—,得到方程一=,解得x=—,故BF=一；

ABBC3477

B'FFCr4-r

当△FB，CS/\ABC,有——=—,得到方程史=-解得x=2,故BF=2；

ABAC33

12

综上BF的长度可以为亍或2.

【点睛】

本题主要考查相似三角形性质，解题关键在于能够对两个相似三角形进行分类讨论.

15、473

【解析】

设出树高，利用所给角的正切值分别表示出两次影子的长，然后作差建立方程即可.

解：如图所示，

J6O；\30S.P

DI*'C

*»ABABx

在RtABC中，tanZACB=——，.\BC=

BCtanZACBtan60°

X

同理:BD=----------

tan30°

xx

・・,两次测量的影长相差8米,-----------n----------------Fi-=8

tan30°tan60°

•*.X=4A/3，

故答案为4G.

“点睛”本题考查了平行投影的应用，太阳光线下物体影子的长短不仅与物体有关，而且与时间有关，不同时间随着光

线方向的变化，影子的方向也在变化，解此类题，一定要看清方向.解题关键是根据三角函数的几何意义得出各线段

的比例关系，从而得出答案.

360

25

【解析】

过点C作CE±x轴于点E,过点D作DF_Lx轴于点F,

在RtAOCE中，ZCOE=60°,则OE=x,8=岛,

则点C坐标为（x,y/3x）»

在R3BDF中，BD=x,/DBF=60。，贝!!BF='x,DF=—%,

22

则点D的坐标为（3-3x,3x），

22

将点C的坐标代入反比例函数解析式可得：左=追/，

将点D的坐标代入反比例函数解析式可得：k=^x—昱X1,

24

则氐2=延』一旦2,

24

解得：％=g,%=0（舍去），

故左=底2=竺叵.故答案为史1.

2525

考点：L反比例函数图象上点的坐标特征；2.等边三角形的性质.

17、4cm.

【解析】

由题意知ODLAB,交AB于点C,由垂径定理可得出BC的长，在R3OBC中，根据勾股定理求出OC的长，由

CD=OD-OC即可得出结论.

【详解】

由题意知ODJ_AB,交AB于点E,

VAB=16cm,

11

BC=—AB=—xl6=8cm,

22

在RtAOBE中，

VOB=10cm,BC=8cm,

•*-OC=7OB2-BC2=7102-82=6(cm),

.*.CD=OD-OC=10-6=4(cm)

故答案为4cm.

【点睛】

本题考查的是垂径定理的应用，根据题意在直角三角形运用勾股定理列出方程是解答此题的关键.

18、x<l

【解析】

二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解.

【详解】

根据题意得：1-xK),

解得xWL

故答案为：x<l

【点睛】

主要考查了二次根式的意义和性质.性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

【解析】

根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题.

【详解】

6l+lci—1a—1

解：(----------)———

a—aa—2a+la

(a+1)(〃—1)——1)a

4Z(6Z—1)Cl—1

a?—1—/+aCl

—1)2ci—1

a-1a

I)?6Z—1

1

L11

当a=6+l时，原式=(6+口)2二屋

【点睛】

本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.

7

20、(1)(1)A(a,0),B(3,0),D(0,3a).(2)a的值为孑.(3)当2=逐时，D、O、C、B四点共圆.

【解析】

【分析】(1)根据二次函数的图象与x轴相交，则y=0,得出A(a,0),B(3,0),与y轴相交，贝！Ix=0,得出D(0,

3a).

2

Q+3,AO=a,OD=3a,代入求得顶点C(竺^3-a

(2)根据(1)中A、B、D的坐标，得出抛物线对称轴X=-------I)，

22~2~

。+33—。

从而得PB=3-；再分情况讨论：①当△AODs^BPC时，根据相似三角形性质得

22

a3a

2

3-a3-a解得：a=-3(舍去);

-2­

a3a

；-,解得：(舍)，；

②△AODs/\CPB,根据相似三角形性质得p-a3-aai=3a2--

!。3

33—

(3)能；连接BD,取BD中点M,根据已知得D、B、O在以BD为直径，M(-,-a)为圆心的圆上，若点C

22

也在此圆上，则MC=MB,根据两点间的距离公式得一个关于a的方程，解之即可得出答案.

【详解】(1)Vy=(x-a)(x-3)(0<a<3)与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),

AA(a,0),B(3,0),

当x=0时，y=3a,

.\D(0,3a)；

。+3

(2)VA(a,0),B(3,0),D(0,3a)..•.对称轴x=-------,AO=a,OD=3a,

2

2

、匕。+3H.3-a

ax=时,y=-

~2~

2

/Q+33-a

AC(-------I)，

2~2~

2

a+33-a3—ci

.•.PB=3--------=-------,PC=

222

①当△AOD^ABPC时,

.AOOP

••—,

BPPC

a_3a

即3-a,

27

解得：a==3（舍去）；

②△AODs/\CPB,

.AOOP

••—f

CPPB

a_3a

即（3-吟2~3-a,

72

7

解得：ai=3（舍），a2=—.

3

7

综上所述：a的值为一；

3

（3）能；连接BD,取BD中点M,

若点C也在此圆上,

化简得：a4-14a2+45=0,

（a2-5）（a2-9）=0,

Aa2=5或a2=9,

；・a尸石,a2=-sj5>as=3（舍）,a4=-3（舍）,

V0<a<3,

..a=

...当a=J?时，D、O、C、B四点共圆.

【点睛】本题考查了二次函数、相似三角形的性质、四点共圆等，综合性较强，有一定的难度，正确进行分析，熟练

应用相关知识是解题的关键.

21、x+1,2.

【解析】

先根据单项式乘以多项式的运算法则、平方差公式计算后，再去掉括号，合并同类项化为最简后代入求值即可.

【详解】

原式=X?+X-(X2-1)

=x2+x-x2+l

=x+l,

当x=l时，原式=2.

【点睛】

本题考查了整式的化简求值，根据整式的运算法则先把知识化为最简是解决问题的关键.

22、(1)证明见解析；(2)2/.

【解析】

(1)由BD是△ABC的角平分线，DE〃AB,可证得△BDE是等腰三角形，且BE=DE；又由BE=AF,可得DE=AF,

即可证得四边形ADEF是平行四边形；

(2)过点E作EHLBD于点H,由NABC=60。，BD是NABC的平分线，可求得BH的长，从而求得BE、DE的长,

即可求得答案.

【详解】

(1)证明：；BD是AABC的角平分线，

ZABD=ZDBE,

；DE〃AB,

:.ZABD=ZBDE,

.*.ZDBE=ZBDE,

.\BE=DE；

VBE=AF,

,\AF=DE；

二四边形ADEF是平行四边形；

(2)解：过点E作EHJ_BD于点H.

VZABC=60°,BD是NABC的平分线,

.,.ZABD=ZEBD=30°,

11

；.DH=—BD=—x6=3,

22

VBE=DE,

；.BH=DH=3,

-粤厂=20，

cos30

，DE=BE=2折

【点睛】

此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识.注意掌握辅助线的作法.

2入⑴…2+筝;f*⑵①(一♦岁)或母斗);②(0,容;

【解析】

1)把0(0,0),A(4,4v3)的坐标代入

y=-小2+bx+c,转化为解方程组即可.

⑵先求出直线OA的解析式，点B坐标，抛物线的对称轴即可解决问题.

(3)①如图1中，点O关于直线BQ的对称点为点C,当点C恰好在直线1上时，首先证明四边形BOQC是菱形，设Q(m,

巫)，根据OQ=OB=5,可得方程加+(亚)2=52,解方程即可解决问题.

22

②如图2中，由题意点D在以B为圆心5为半径的OB上运动，当A,D、B共线时，线段AD最小，设OD与BQ交于点H.

先求出D、H两点坐标，再求出直线BH的解析式即可解决问题.

【详解】

(1)把O(0,0),A(4,4证)的坐标代入y=-J^x2+bx+c,

得上，

\-16V3+4b+c=473

解得之时

Ic=0

二抛物线的解析式为y=-舟+5吐-M(K-等2+竺乂乡.

4S

所以抛物线的顶点坐标为(3，史3);

24

(2)①由题意B(5,0),A(4,4j$),

AB=

，直线OA的解析式为y=、/永，712+(4>/3)2=7,

•.•抛物线的对称轴X=-1,

.--p(―,员3.

22

如图1中，点O关于直线BQ的对称点为点C,当点C恰好在直线1上时,

ZCQB=ZQBO=ZQBC,

.\CQ=BC=OB=5,

・・・四边形BOQC是平行四边形，

VBO=BC,

・•・四边形BOQC是菱形，

设Q(m,也)，

2

.*.OQ=OB=5,

/.