山东省济南市2023-2024学年高二年级上册期末考试数学试题 附答案

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2024年1月高二期末学习质量检测

数学试题

本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.直线x—y+i=°的倾斜角是（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

2.已知双曲线匕=1,则其渐近线方程为（）

2

]A/2

Ay=+—xB.y=±-----xC.y=±V2xD.y—±2x

22-

3.已知正项等比数列｛4｝中，a2-as=16,则生等于()

A.2B.4C.5D.8

4.在三棱柱48C-/4G中，若/C=a，AB=b>441=c,则=()

A.a+b-cB.a-"。C.-a+b-cD.-a+l）+c

5.2023年10月29日，“济南泉城马拉松”在济南大明湖路拉开序幕，约3万名选手共聚一堂，在金秋十月

享受了一场酣畅淋漓的马拉松盛会.某赞助商在沿途设置了10个饮水补给站，第一个补给站准备了1千瓶

饮用水，第二站比第一站多2千瓶,第三站比第二站多3千瓶，以此类推，第〃站比第n-1站多〃千瓶（〃之2

且〃eN*），第10站准备的饮用水的数量为（）

A45千瓶B,50千瓶C.55千瓶D.60千瓶

6.已知/（2,0）,8（8,0）,若直线y=区上存在点M使得加.嬴=0,则实数左的取值范围为（）

331r44'

A.---B.--------------------------------------------

L44」L33」

（3]「3'C4]一「4）

I4」14JI3」|_3）

22

7.已知双曲线+-彳=1（。>0,6>0）,其中/、居分别为双曲线的左顶点、右焦点，P为双曲线上的点，

ab

满足尸耳垂直于x轴且|/月|=2|阴|,则双曲线的离心率为（）

34

A.-B.-C.2D.3

23

8.如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形，在该几何体中，P为

直线DE上的动点，则P到直线距离的最小值为（）

41R瓜「Sn丽

A---D.---V/.---LJ.----

2345

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.一条光线从点4-2,3）射出，射向点3（1,0）,经x轴反射后过点C（a,l）,则下列结论正确的是（）

A.直线AB的斜率是-1B.AB1BC

C.。=3D.\AB\+\BC\=4y[2

10.已知片，耳分别是椭圆C：[+\=l的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点a2的动点，则

下列结论正确的是（)

A.椭圆C的焦距为6B.△尸片鸟的周长为16

C.2<|P7^|<8D.祀的面积的最大值为16

11.在棱长为1的正方体48co—中，点P,0分别满足方/=%瓦瓦，DQ=WA.,则()

A.32e(0,1),使P0，40且尸0，用。1

B.V2e(O,l),PQ//平面28瓦4

C.32e(0,1),使尸。与平面48CD所成角的正切值为§

D.V2e(O,l),AP与/。是异面直线

12.已知集合/二「卜二？"—：[,”6]^*｝,8=｛x,=3〃—2,"eN*｝.将的所有元素从小到大依次

排列构成一个数列｛4｝,记S),为数列｛4｝的前"项和，则下列说法正确的是()

A.4=3B,an+4-an=6C.a2023=3035D.若S“〉2024,贝i]

«>52

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知1=(2,1,1),6=(-6,2,-3),若斤〃3，则丸的值为______.

14.已知等差数列｛%｝首项4=7,公差d=-2,则前〃项和S“的最大值为.

15.已知圆C:/+「=4,直线/：mx+y-加—1=0,直线/被圆。截得的最短弦长为.

16.已知抛物线C:y2=4x的焦点为R过点尸作与x轴不垂直的直线/交C于点/,B,过点/做垂直于

\AB\

X轴的直线交C于点D,若点M是△48。的外心，则匕二的值为

\MF\

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知等差数列｛a“｝,满足2a2+%=15,a4=7.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵令么=(-1)"%,求｛2｝的前2n项和&.

18.已知圆心为C的圆经过0(0,0),/(0,2百)两点，且圆心C在直线/：y=瓜上.

(1)求圆C的标准方程；

(2)点尸在圆C上运动，求的取值范围.

19.已知抛物线的准线方程为x=-2,直线/与抛物线交于48两点，。为坐标原点.

(1)若ACMB为等腰直角三角形，求A04B的面积；

(2)若CM，08,证明：直线/过定点P,并求出定点P的坐标.

20.如图(1)所示△尸45中，AP1AB,AB=AP=\2.£>,C分别为尸4尸8中点.将△PDC沿DC

向平面ABCD上方翻折至图⑵所示的位置,使得上4=60.连接尸4PB,PC得到四棱锥尸—ABCD.记

尸3的中点为N,连接CN.

(1)证明：CNL平面「48；

(2)点。在线段CN上且。C=2QN,连接Z。,P0,求平面R4。与平面/BCD的夹角的余弦值.

21.设数列｛4｝,其前"项和为S’,，2s:=3〃2+3〃,｛4｝为单调递增的等比数列,乙她=729,

bx+a2=b3-a6.

(1)求数列｛4｝,也｝的通项公式；

(2)记%为也｝在区间(0,盘］(加eN*)中的项的个数，求数列｛cm｝的前100项和工°。.

22.在平面直角坐标系.xOy中，设4，4两点的坐标分别为(-2,0),(2,0).直线4反，4M相交于点

M,且它们的斜率之积是-1.

2

(1)求动点"的轨迹方程；

(2)记动点M的轨迹为曲线£,过尸(1,0)作两条互相垂直的直线/「，2,4与曲线£交于/、8两点，,2与

曲线£交于C、。两点，求元.赤的最大值.

绝密★启用并使用完毕前

2024年1月高二期末学习质量检测

数学试题

本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.直线x—y+i=°的倾斜角是（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】B

【解析】

【分析】根据直线的一般方程与斜率的关系，结合斜率与倾斜角的关系求解即可.

【详解】直线x—.v+l=0的斜率为1,故倾斜角为45°.

故选：B

2.已知双曲线f—匕=1,则其渐近线方程为（）

2

]J2

A.y=+—xB.y=+----xC.y=±V2xD.y—±2x

'22.

【答案】C

【解析】

【分析】利用双曲线方程，求解渐近线方程即可.

【详解】由于双曲线为1=1,所以其渐近线方程为y=±&x.

故选：C.

3.已知正项等比数列｛4｝中，a2-as=16,则应等于（）

A.2B.4C.5D.8

【答案】B

【解析】

【分析】根据等比中项的性质计算即可.

【详解】由题意易知生=16,

又｛%｝各项为正数，所以%=4.

故选：B

4.在三棱柱4BC—451cl中，若/C=q,AB=b<441=c,则=（）

A.a+b—cB.a—b+cC.—a+b—cD.—a+6+c

【答案】D

【解析】

【分析】利用空间向量的线性运算计算即可.

【详解】由题可知函=出+而=而+方—4=—Z+B+".

故选：D

5.2023年10月29日，“济南泉城马拉松”在济南大明湖路拉开序幕，约3万名选手共聚一堂，在金秋十月

享受了一场酣畅淋漓的马拉松盛会.某赞助商在沿途设置了10个饮水补给站，第一个补给站准备了1千瓶

饮用水，第二站比第一站多2千瓶，第三站比第二站多3千瓶，以此类推，第〃站比第n-1站多n千瓶（〃》2

且〃eN*），第10站准备的饮用水的数量为（）

A.45千瓶B.50千瓶C.55千瓶D.60千瓶

【答案】C

【解析】

【分析】设第〃站的饮用水的数量为%（"=1,2,3,…,10）,由题意得：%=1,%一％=2，/一出=3,

L,«10-«9=10,然后利用累加法即可求解.

【详解】设第〃站的饮用水的数量为%（"=1,2,3,…,10）,由题意得：%=1,出一%=2,%—%=3,

L,。］0—。9=10,以上等式相加得：，

(l+10)xl0_

。10=41+(。2-"1)+(“3-〃2)+.,•+(%0-。9)=]+2+3+…+10=—55，

2

即a1。=55.

故选：C

6.已知2（2,0）,8（8,0）,若直线＞=丘上存在点M使得加.嬴=0,则实数上的取值范围为（）

3344

A.B.

4?4353

33MUt4+8

C.—co,---U-—,+GOD._oo,

44333

【答案】A

【解析】

【分析】由题可得点M的轨迹方程，再由直线与圆有公共点建立不等式，求解即可.

【详解】因为■•嬴=0，所以则点”在以48为直径的圆上,

因为的中点坐标为（5,0）,|48|=6,所以点M的轨迹方程为（x-5y+V=9,

5A；33

由题可知，直线＞=丘与圆（x-5『+/=9有公共点，所以—^＜3,解得：-一＜k＜~.

44

故选：C

22

7.已知双曲线二-5=1（。＞0,6＞0）,其中/、与分别为双曲线的左顶点、右焦点，尸为双曲线上的点,

ab

满足芈垂直于X轴且|/月|=2|时|,则双曲线的离心率为（）

34

A.—B.—C.2D.3

23

【答案】A

【解析】

【分析】设P（G%）,代入双曲线方程求出|比|,根据月|=2归耳|可得答案.

【详解】设P（c,%）,则《―胃.=1,解得尻|=匕，即忸园=乙，玛|=a+c,

abaa

因为H8|=2|尸鸟］,所以a+C=2—,可得〃+QC=2(02,

3

2e2—e—3=0»解得e=—.

故选：A.

8.如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形，在该几何体中，P为

直线上的动点，则尸到直线45距离的最小值为（）

,V2V6「SVio

v.LJR.--------------Un.

2345

【答案】B

【解析】

【分析】作出该几何体，确定直线。E和直线为异面直线，再根据平面45。//平面DEE,结合等体积

法求得。到平面ABC的距离即可.

【详解】把平面展开图还原为空间八面体，如图所示:

由题意，尸到直线距离的最小值即直线QE到直线N3的距离，

XDFUAC,ZCu平面48C,Db仁平面48C,故Z>R〃平面48c.

又BC=BD=EC=ED=1,故四边形8CED为菱形，则。E//BC.

BCu平面48C,£>£</平面48C,故。E//平面48c.

又DFC\DE=D,DF,DEu平面DEF,故平面DEE//平面48c.

故直线DF到直线AB的距离为平面DEF到平面ABC的距离.

则D到平面ABC的距离即为尸到直线AB距离的最小值.

设/方与3交于。，则易得。为正四棱锥8—ADFC中心.

则氏4=8C=8£>=ZC=ZD=1,CD=^AC2+AD2=41=^BC2+BD1>故△BC£>为直角三角

形，故0B二叶.

2

设。到平面Z5C的距离为3则由%TCD=/TBC，故;邑，8力。=；邑，BC•力，

故工x1x1x--h，解得h=--

2243

故选：B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.一条光线从点/(-2,3)射出，射向点8(1,0),经x轴反射后过点C(a,l),则下列结论正确的是()

A.直线A8的斜率是-1B.AB1BC

C.a=3D.\AB\+\BC\=442

【答案】ABD

【解析】

【分析】选项A应用斜率公式计算即可；选项B,先求得点A关于x轴的对称点，进而求得反射光线所在

直线的斜率，应用两条直线垂直的斜率公式判断即可；选项C,求得反射光线所在直线的方程，进而求得

点C的坐标；选项D应用两点间距离公式求解即可.

0-3

【详解】由于/(—2,3)、5(1,0),由斜率公式得：k=———=-l,选项A正确；

AB1一(一2)

点4(-2,3)关于x轴的对称点4的坐标为(-2,-3),经x轴反射后直线BC的斜率为：

0-(-3)

kBc=k&B=、且.左”二一1，所以4BJ.BC,选项B正确；

1一(一2)

直线3C即直线48的方程为：V—o=lx(x—1),即y=x—1,

将y=l代入得：X=2,所以点C(2,l),。=2,选项C不正确；

由两点间距离公式得：

\AB\+\BC\=7[1-(-2)]2+(0-3)2+'(2_产+(1-0)2=4后，

选项D正确；

故选：ABD.

下列结论正确的是()

A.椭圆C的焦距为6B.4Pg的周长为16

C.2<|P7^|<8D.八以祀的面积的最大值为16

【答案】AB

【解析】

【分析】由椭圆方程求得a,b,C的值，根据椭圆的几何性质结合选项即可逐一求解.

【详解】由椭圆C:二+匕=1,得。=5,6=4,c=3,

2516

，椭圆。的焦距为2c=6,故A正确；

又尸为椭圆。上异于长轴端点A,3的动点，丹的周长为2a+2c=16,故B正确;

2=a-c<\PFl\<a+c=S9故C错误；

当P为椭圆C的短轴的一个端点时，△PF\F2的面积取最大值为gX2cX6=be=12,

故D错误.

故选：AB.

11.在棱长为1的正方体48Go—44G0中，点尸，。分别满足不=24瓦，DQ2D4，贝卜)

A.32e(0,1),使且尸0，耳£(1

B.V2e(O,l),「0//平面28g4

C.32e(0,1),使尸。与平面48co所成角的正切值为］

D.V2e(O,l),AP与20是异面直线

【答案】BCD

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量一一计算判定选项即可.

根据题意可知P(4%I),Q(%O")，4(I,O,I)，A(O,O,I),B(I,I,O),/(I,O,O),

则加=(0,_42_1),南=(1,0,1),丽=(2-1,2-1,1),142=(2-1,0,2),

平面ABB4的一个法向量为m=(1,0,0),平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),

对于A,若尸则网•函=(0,—42——1=0

n4=l走(0,1),故A错误；

对于B,易知网•龙=(0,—X"—1>(1,0,0)=0恒成立，且平面28片4，

则P。//平面48与4,故B正确；

(「兀口

对于C,设尸。与平面48co所成角为aae0,-,

IL2JJ

22

若tana=]=>sina=—j=,

.I—►」~POn|2-1|23

即sina-cosPQ.n\=L——=/=—(=,解之得4=—或4=3,

1I卜耳・同"1)2+%Vi35

显然(0,1),使得结论成立，故C正确；

对于D,因为丽=(2—1,2—1,1),血=(2—1,0,2),

2—1=k（4-1）

若丽，而共线，则存在实数左，使得加=左而nX—1=左乂0,解得4=1e（0,1）,

1=kX

所以V2e（O,l）,而，而不共线，故D正确.

故选：BCD

12.已知集合/=卜卜=2〃-1,〃€]\*},8=卜卜=3〃—2,〃eN*}.将/口5的所有元素从小到大依次

排列构成一个数列{%},记S“为数列{%}的前〃项和，则下列说法正确的是（）

A.?=3B,an+4-an=6C.a2023=3035D.若S“〉2024,贝！]

n>52

【答案】ABD

【解析】

【分析】求得/nszuB中的一些元素，结合等差数列的定义、通项公式、求和公式，对选项逐一判断

即可.

【详解】由题意可得：Zc8={xk=6〃一5,〃eN*},

可得={1,3,4,5,7,9,10,11,13,15,16,17,19,…},

则4]=1,=3,%=4,%=5,%=7,4=9,%=10,。8=1L…，

对于选项A:易得2=3,故A正确；

对于选项B:易得a〃+4-a”=6,故B正确；

a

对于选项C:由an+4-an=6,可得出023=3+505x6=4+3030=3034,故C错误；

对于选项D:易得数列{4}每隔四个一组求和，可构成等差数列，其首项为13,公差为24,

由13xl2+Lxl2xnx24=1070<2024,

2

13xl3+|xl3xl2x24=2041>2024,则E,〉2024,此时有〃之52,故D正确.

故选：ABD.

=

【点睛】关键点点睛：关键是通过%=1,«23,%=4吗=5,%=7,%=9吗=10,a8=11,•••,找到

%+4-%=6,由此借助等差数列的相关知识，进而求解即可.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知@=(2,1,1),Z?=(―6,九—3)，若则X的值为.

【答案】-3

【解析】

【分析】根据向量共线即可求解.

一11

【详解】由1=(2/[)，b=(-6,2,-3)，a//b-可得6=—3a，故％=-3,

故答案为：-3

14.已知等差数列｛%｝首项4=7,公差d=-2,则前n项和的最大值为.

【答案】16

【解析】

【分析】利用等差数列前〃项和公式和，结合二次函数的性质即可求解.

【详解】等差数列｛%｝首项%=7,公差d=—2,

S=7n+x(-2)=-n2+8/7=-(〃-4了+16.

n"。7)

则前〃项和S“的最大值为16.

故答案为：16.

15.已知圆C:/+「=4,直线/:加x+y-•加一1=0,直线/被圆。截得的最短弦长为.

【答案】20

【解析】

【分析】先求出直线/过定点Z。/)，数形结合得到当/C与故直线/垂直时，直线/被圆C截得的弦长最

短，求出最短弦长.

【详解】/:“+》一加一1=0变形为加(x—l)+y—l=0,故直线/过定点幺(1,1),

故当NC与故直线/垂直时，直线/被圆。截得的弦长最短，

其中。:/+/=4的圆心为c(o,O),半径为2,

止匕时弦长为2,4_|时=272.

故答案为：2企

16.已知抛物线C:y2=4x的焦点为尸，过点尸作与x轴不垂直的直线/交C于点4B,过点/做垂直于

\AB\

x轴的直线交C于点。，若点M是△A5Q的外心，则匕二的值为

\MF\

【答案】2

【解析】

【分析】设直线/:》=叼+1（加*0）,联立方程，利用韦达定理求|45|以及点M的坐标，即可得结果.

【详解】由题意可知：抛物线C:y2=4x的焦点厂（1,0）,可知直线/与抛物线必相交，

设直线/：%=叼+1（加彳0）,/（和必）,3（%2，22），可得/（国,一乂），

x-my+\

联立方程〈2，消去X得/_4加y—4=0,

p=4%

则%+72=4加,=一4,

22

可得\AB\=71+mV16zM+16=4（加2+1）,

岁（2=2掰，且七强=2掰2+1,即线段的中点（2加2+1,2加）

则线段AB的中垂线方程为y-2m=-m（x-2m2-1）,

由题意可知：点M在x轴上，

令》=0,可得x=2加2+3,即凶（2丁+3,0）,^]\MF\=2（m2+1）,

\AB\4（/+1）

所以阿2（川+1）-

故答案为：2.

【点睛】方法点睛：对于弦中点问题常用“根与系数的关系”求解，在使用根与系数的关系时，在解决有关弦

中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算，但要注意直线斜率是否存在.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知等差数列{%},满足2a2+生=15,%=7.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)令3,求也｝的前2n项和T2n.

【答案】(1)an=2n-l

(2)T2n=2n

【解析】

2(Qi+d)+ai+4d=15

【分析】(1)由题意得《'C7一，代入等差数列通项公式即可求解;

%+3d=7

(2)由"=(—1)”(2〃—1),代入求和即可.

【小问1详解】

2(q+d)+%+4d=15a.—\

由已知，得＜,解得＜d=2'故…T

a、+3d=7

【小问2详解】

由⑴得4=(—1)"(2〃—1),

所以&”+K-X=(-1)2"(4〃_1)+(―1)2"T(4〃-3)=4〃-1—(4〃-3)=2,

得&=3i+b2)+(b3+”)+…+02〃—+&〃)=2n.

18.已知圆心为C的圆经过0(0,0),Z(0,2百)两点，且圆心C在直线/：了=屈上.

(1)求圆C的标准方程；

(2)点尸在圆C上运动，求|PO「+|PZ『的取值范围.

【答案】(1)(x—+—G『=4

(2)[8,24]

【解析】

【分析】(1)利用圆的对称性先确定圆心，再求半径即可；

(2)设尸坐标，利用两点距离公式及点在圆上消元转化为函数求值域求范围即可.

【小问1详解】

圆经过0(0,0),2(0,2g)两点，得圆心在。4的中垂线y=G上，

ly=7Sx=1

又圆心C在直线/：了=瓜上，联立直线方程有；L，得,

y=Cx3=下）

又/=仁0『=4,

故圆C的标准方程为(x-I)2+(J-V3)2=4.

【小问2详解】

设月(才0，几)，易知七4一1,3],

则|P0「+=x；+了：+X；+(为一=纭+2(九一+6(*),

因为点尸在圆C上运动，贝I(%—+(%—6了=4,

故(*)式可化简为，|PO『+|p/|2=2x：+2[4—(%—1『]+6=4XO+12,

由/e[-1,3]得|P0『+户旬2的取值范围为[8,24].

19.已知抛物线的准线方程为x=-2,直线/与抛物线交于48两点，O为坐标原点.

(1)若ACMB为等腰直角三角形，求ACMB的面积；

(2)若Q4LO8,证明：直线/过定点P,并求出定点尸的坐标.

【答案】(1)64

(2)证明见解析，尸(8,0)

【解析】

【分析】(1)先根据准线方程求得抛物线方程，再由抛物线及等腰直角三角形的对称性得NZ08=90°，

OA=OB,从而求得43坐标计算面积即可；

(2)设直线/方程及48坐标，与抛物线方程联立，由垂直关系及韦达定理计算即可

【小问1详解】

因为抛物线的准线为x=-2,可得抛物线的方程为：/=8x,

又为等腰直角三角形，

根据抛物线及等腰直角三角形的对称性可知：NAOB=90°，OA=OB,

且43两点关于横轴对称，则直线。4:y=x.

y=x/、/、1/、

于是《得4(8,8),则8(8,-8),所以邑.B=7X8X(8+8)=64.

y2=8ox2

【小问2详解】

设直线/：3=即+",4（再,必）,3（%2，%）,

x=my+n

联立

V=8x

2

得-8加y—8〃=0,A=64W+32M>0)且必+%=8加，y,-y2=-8n

又因为04,03,则七'•e8=里2=一1,即必%+工々=0・

XxX2

2222

，V?2

由y2=8x,得X]="，x2=—，x,x2==M>

,8281264

即必为+西X2=/-8〃=0,解得〃=8或〃=0(舍去).

当〃=8时，满足A>0.此时，直线/的方程》=叼+8.

则/过定点尸(8,0).

20.如图（1）所示△尸48中，APLAB,AB=AP=12.£>,C分别为尸4尸8中点.将△?DC沿。C

向平面ABCD上方翻折至图（2）所示的位置，使得PA=6日连接尸4PB,PC得到四棱锥P-ABCD.记

P8的中点为N,连接CN.

（1）证明：CN，平面「45；

（2）点。在线段CN上且。C=2QN,连接2。,尸。，求平面02。与平面/BCD的夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵巫

19

【解析】

【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证,

（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角.

【小问1详解】

取43中点M,连接NM,CM.

则CD///M,CD=,即四边形AMCD为平行四边形,

所以CW〃4D,

又因为所以48CM,

由PQ_LCD,CD//AB,即

又ABLAD,PDcAD=D,PD,ADu平面尸/£),

所以451平面P/。，又4Pu平面故48L4P,

又因为NM〃AP,则48J.7W,

又NMCCM=M,2W,CA/u平面NCW

所以AB1平面NCM，又CNu平面NCM,所以CN_L48,

又在APCD中，PD=CD=6且PDLCD,

在中，CM^BM=6SLCMLBM,

则PC=5。=6J2，又N为PB中点、,所以CVJ_PB,

又ABcPB=B,AB,PBu平面PAB,所以CN，平面PAB.

【小问2详解】

由=/£>=6,AP=6后，则PD-+AD2=AP2，

即尸QL4D,又PDA.CD,ADLCD,

故以。为坐标原点，以。4DC,Z)尸所在直线x分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则尸(0,0,6),£>(0,0,0),C(0,6,0),2(6,0,0),6(6,12,0),N(3,6,3),

__2_____________________________________.

故国=(3,0,3)，莎=(6,0,—6)，因为函=］国=(2,0,2),

所以。(2,6,2),PQ=(2,6,-4),

设平面产么。的法向量〃1=(X1,J1,Z1),平面48CD的法向量〃2=(》2，%，22)，

，----►

PA-n-6x.-6z.=0一

贝"一，取占=3,解得々=(3,1,3),

P。・万=2为+6%一44=0'

易知£(尸，平面48CD,即％=(0,0,1),

33M

所以cos(nn

1?2VlxV19-19

所以平面PAQ与平面ABCD的夹角的余弦值为独9.

19

21.设数列｛4｝,其前〃项和为S"，2s"=3/+3〃，也｝为单调递增的等比数列，4她=729,

bx+a2=b3-a6.

(1)求数列｛4｝,也｝的通项公式;

(2)记或为也｝在区间(0,%』(加eN*)中的项的个数，求数列｛q｝的前100项和几°.

【答案】(1)%=3〃，4=3"(〃eN*)

(2)384

【解析】

【分析】(1)根据4,S”的关系即可求解%=3〃，根据等比数列基本量的计算即可求解〃=3"

(2)利用列举法即可逐一求解｛%｝的前100项，即可求和得解.

【小问1详解】

对于数列｛%｝,因为2s“=3/+3〃①，

所以2s,i=3(〃—1)2+3(〃—1),n>2,〃eN*②

①一②得%=3〃(〃22,〃eN*)

由①式，当〃=1时，得q=3,也满足%=3〃，

所以%=3〃(〃eN*).

因为数列低｝为等比数列，由等比数列的性质得姑24=&=729,得&=9,

设数列｛〃｝的公比为9,又因为%=6，4=18,

91

所以=4—4即—+6=9q_18,解得g=3或一；，

一q3

又因为｛4｝为单调递增的等比数列，所以4=3,

所以4=3"(〃eN*)

【小问2详解】

由于31=3，32=9,33=27，34=81135=243-36=7291

所以G，。2对应的区间为(0,3]，(0,6],则4=02=1,即有2个1；

。3，。4，…，。8对应的区间为(°，9]，(0,12],…，(0,24],则03=。4=•••=/=2,即有6个2；

。9，。10，…，。26对应的区间为(°，27],(0,30],•••,(0,78],则C9=%=…=。26=3，即有18个3；

。27，。28，…，。80对应的区间为(°，81],(0,84],―,(0,240],则027=。28=…=。80=4，即有54个4；

C81,c82,…，对应的区间为(0,243],