安徽省高中2024届高三年级下册数学联考试题 含解析

2024年安徽省示范高中皖北协作区第26届高三联考

数学试卷

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘

贴在答题卡上的指定位置

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无数.

3.考试后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知集合人=卜—内},人3—3或%>3},则&A)U6=()

A.[—3,—2]B.(——3>(―2,+oo)C.[—2,3]D.(―8,—2)u(3,+oo)

【答案】D

【解析】

【分析】求出函数定义域化简集合A,再利用补集、并集的定义求解即得.

【详解】由>=而1,得尤2—2,因此A=[—2,+oo),=(-oo,-2),

而5=(-<»,—3升(3,+8),所以(14)。5=(70,—2)。(3,+8).

故选：D

2.已知复数z=1+2"则z-1+31在复平面内对应的点的坐标为()

4i-l

A.信A)B.信q)仁卜白《)D12得)

【答案】B

【解析】

【分析】用复数的运算法则化简即可求得.

z-1+31l-2i-l+3i4-i

【详解】由复数z=l+2i,则』=1—2i，

4i-l4i-l—17

故复数zT+31在复平面内的点的坐标为.

4i-lU717；

故选：B

3.若a〉0,b>0,贝广夜+扬<2”是"a+Z?Wl”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】B

【解析】

【分析】借助充分条件与必要条件的定义，先借助特值排除充分性，再借助基本不等式验证必要性即可得.

【详解】当。=/?=1时，«"+后<2成立，而a+bWl不成立，

故"G+新<2”不是“a+Z?W1”的充分条件；

当a+bWl时，有a+b22瓢,当且仅当a=b时等号成立，

则G+扬=+=\la+b+2s/ab<+=y/2<2>

故"血+新<2”是“a+bW1”的必要条件.

故选：B.

4.已知在单调递增的等差数列｛4｝中，。3与内的等差中项为8，且出・。8=-17,则｛%｝的公差4=

()

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，列出关于4,d方程组，求得d的值，即可得到答案.

【详解】由等差数列｛4｝为单调递增数列，可得公差d>0,

因为。3与%的等差中项为8，可得。3+%=2%=8x2,可得生=8,即q+4d=8,

又因为g,。8=—*,可得(%+d)(%+7d)=-17,

即64—9Q2=—17,解得2=3或d=—3(舍去).

故选：C.

5.科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的

频数约为总数的三成，并提出定律：在大量6进制随机数据中，以w开头的数出现的概率为

^（n）=log——，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律

fcn

kIn6-In2

来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若£片0（〃）=（左wN*，左＞4）,则左

〃=4In2+ln5

的值为（）

A.11B.15C.19D.21

【答案】A

【解析】

【分析】根据条件中的概率公式，结合求和公式，以及对数运算，即可求解.

j6八/\〔5.6〔7［左+1In6-In2

【详解】自片。(〃)=叼+%+/+-+坨丁=1^^?

口r1k+1In3TC+lc.,「

即ig—=—=ig3,则—二3,Z得l=上二n.

4In104

故选：A

3

6.已知tan(cr—万)=/，sin(cr-/7)=3cos(cr+/?),贝［|tana-tan)=

365

A-—2B.-C.一D.

553

【答案】C

【解析】

【分析】由两角和与差的正弦，余弦，正切公式求解即可.

/、/、sinfcif-/?)

【详解】由于sin(a—^)=3cos(a+尸)，所以----；------r=3,

Jcos(o+,)

sinacosB-cosasinBtan戊一tan〃

所以------------------------二3,所以=3,

cosacosp-sinorsinp1一tanatan/?

3tan。一tan/3

又tan(o—/?)=］,所以

1+tanatanP4

4(tana-tan〃)tana-tan4,-口小0

所以--------------2=------------j由题设显然tanawtan/?,

1+tanortanp1-tanatanp

所以4(1-tanatan4)=1+tanatan/,

3

所以tanatan/?=一，

6

所以tan二一tan/=3(1-tanatan用咚

3T5

故选：C.

7.设P—ABCD与Q-ABC。为两个正四棱锥，正方形A8CD的边长为后且NPCQ=90。，点M在

线段AC上，且3cM=AM,将异面直线PQ,QM所成的角记为夕，则sin。的最小值为（）

「V31

B\_____D.-

A-T-I33

【答案】A

【解析】

【分析】建立适当空间站直角坐标系后，借助空间向量表示出。的余弦值，结合基本不等式计算即可得解.

【详解】连接3。交AC于点。，以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

因为正方形ABCD的边长为0,所以Q4=OB=OC=OD=1,

因为3CW=AM,所以M为0C的中点,

设OP=h,在直角△PCQ中，^OPOQ=OC2=1,故。。=工,

h

所以「(0,0出,1)(-1,0,0),010,0,—'),"(0；10],

2

则PD=(―1,o,,Q"=,

当且仅当5=即〃=后时等号成立，所以|cos6»|的最大值为：，

因此sin。的最小值为且

3

8.已知点M是直线［:奴+y-2a=0和4：1一纱+2=0（aeR）的交点，A（-l,0）,B（m,0）,且

点M满足=可恒成立.若C（2,2）,则2|阿+|MC|的最小值为（）

A.76B.276C.回D.2A/10

【答案】B

【解析】

r\。。I。

【分析】联立方程组求得M（出工,‘一），根据已知条件，求得加的取值范围，当三点共线

a—1a—1

时，即可求得最小值.

2a—2

X一

ax+y-2a=Q〃—1P22d+2

【详解】由直线方程联立＜得，c,c即1N/(-J

x-ay+2=02。+2a—1a—1

>-i

L<2-1

2a+2_V

^\MA\=^\MB\,即

1.”1J

化简整理得，(2-根)2a2+4(2-7〃)a+47〃2-4m+4=0,因为aeR,

所以A=16(2—根了—16(2—m)(山2-根+1)20,解得加之2,

又因为2|M4|+|MC|=|Affi|+|MC|,

所以当M,5c三点共线时，2\MA\+\MC\取得最小值，

所以21M4|++\MC\=BC=J(2-mf+4>246.

所以21M4|+|MC|的最小值为2m.

故选：B

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知样本数据%,%，%3,%，/(%<0,々，％3，》4，工5>°)的方差为平均数最>0，贝！|()

A.数据3%—2,3X[-2,3%-2,3x4-2,3/一2的方差为9s?

B.数据3%—2,3%-2,3x3-2,3x4-2,3%—2的平均数大于0

C.数据％2，%,14，工5的方差大于52

D.数据々,退,Z，毛的平均数大于x

【答案】AD

【解析】

【分析】根据方差、平均数的定义和性质，结合题意，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：数据3%—2,3X2-2,3退—2,3%—2,3%-2的方差为9s2,A正确；

对B：数据3%—2,3X[-2,3当一2,3x4-2,3%—2的平均数为3元—2,

当0〈亍<2时，3x-2<0,故B错误；

3

对C：去掉一个最小(特异值)的数据，剩下的数据的方差有可能更小，故C错误；

对D：因为元=石+々+；+%+了>0,数据的平均数々+\%+工5

因为药<0,故数据々，了3，％4，匕的平均数大于元，故D正确.

故选：AD.

10.如图，函数/(x)=Asin(ox+0)1A〉0,o〉0,|dW鼻的图象与x轴的其中两个交点为A,B,与

y轴交于点C,。为线段2C的中点，OB=6OC，OA=2,AO=翌"，则()

'3

A.的最小正周期为12兀B.“X)的图象关于直线％=8对称

C.”可在[5,7]单调递减D./(—X+2)为奇函数

【答案】CD

【解析】

【分析】结合题意计算可得/(x)=gsin三，结合正弦型函数的性质逐项判断即可得.

【详解】由题可A(2,0),312H—,o1,C(0,Asin,则+T—t,Asin^9

2

有Q|Asind=2+—,sin(20+0)=0,

CD

2A2sin>_28

AD-巫1-1+

343

把|Asin。2+二代入上式，得I-2x--24=0,解得工=6(负值舍去),

①)CDco

71由解得夕=一三，二石Asin

co——,sin仁+0)=0,=8,

6

解得A=£,二/(x)=4sin7171

—X-----

63

2兀

=12

对A,7(%)的最小正周期为万，故A错误;

6

fsin(/x8—1]=0,故B错误;

对B:/⑻=7171

3\6633)

对C：当5Vx<7时，彳在［5,7］单调递减，故C正确;

2636

兀/兀16.彳九，为奇函数，故D正确.

对D：/(-%+2)=^-sin一(—x+।2)------sm

6V733

故选：CD.

11.在棱长为1的正方体A5C。—4与G2中，以A,G为焦点的椭圆，绕着轴AG旋转180。得到的旋

转体称为椭球AG，椭圆的长轴就是椭球的长轴，若椭球AG的长轴长为2,则下列结论中正确的是

()

A.椭球AG的表面与正方体ABC。-A与G0的六个面都有交线

B.在正方体ABC。-A耳G2的所有棱中，只有六条棱与椭球AG的表面相交

C.若椭球AG的表面与正方体ABC。-A4G2的某条棱相交，则交点必是该棱的一个三等分点

D.椭球AG的表面与正方体ABC。-ABJGR的一个面的交线是椭圆的一段

【答案】ABD

【解析】

【分析】对A：根据题意画图即可判断；对BC：假设存在椭球与棱相交的点，根据椭圆的定义，列方程求

解，即可判断；对D：以正方形ABCD的中心建立空间直角坐标系，设出交点坐标，根据其在椭圆上，求

得其轨迹方程，即可判断.

【详解】对A：根据题意，画图易知A正确；

对B,C：假设尸是椭球的表面与棱A3的交点，设=

则PA+PC,=X+J（1-X）2+（V2）2=2.解得x=g，

故棱AB上有一点P（AB的中点）满足条件；

同理在AD,44,G4,GO,CG上各有一点满足条件；

设Q是椭球AC］的表面和棱BBX的交点，则QA+QG=11+BQ2+3+与捕＞2,

故棱8月上不存在满足条件的点Q；

同理在棱BC,4。,C。,4男上也不存在满足条件点，故B正确，C错误；

对D：连接AC,5。交于点。，连接AG，4°I交于点。1，连接。01，以。为坐标原点，建立如下所示

空间直角坐标系：

在正方形A6CD内（含边界），设〃（羽y,0）是椭球AC】的表面和正方体的表面的交点,

+/+1=2,

x----

两边平方整理得：I4J,r_i,

也即+/+1=2------------....-1

11

48

显然点M的轨迹为椭圆的一部分，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：解决D选项的关键是建立坐标系，根据交点M满足的条件，求得M的轨迹方程,

进而进行判断.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.[«+之]的展开式中广7的系数是.

【答案】240

【解析】

【分析】根据二项式展开式的通项公式，利用赋值法，即可求得对应的系数.

【详解】的展开式的通项公式IM,6，

令3—gr=-7,解得厂=4,又C>24=240,则该二项式展开式中的系数是240.

故答案为：240.

13.已知数列｛4｝满足（—l）'+%+2+（T）“4=3（T）"+l（〃eN*）,若勾=出=1，贝乂%｝的前20项

和$20-------

【答案】-250

【解析】

【分析】根据给定条件，按奇偶讨论求出出“一1，%〃，再分组求的即得.

+1

【详解】数列｛4｝满足:（-irtz„+2+（-ira„=3（-ir+i,

当九为正奇数时，。"+2-。“=-2,即数歹打。2"一』是以％=1为首项，—2为公差的等差数列,

于是。2〃一1=1+（〃_1）,（-2）=-2n+3,

当〃为正偶数时，一4+2+4=4,即4+2—%=-4,

则数列｛%"是以外=1为首项，T为公差的等差数列，于是?”=1+(”—1＞(-4)=一4〃+5,

所以｛4｝的前20项和S20=1+(”xl0+1+(-35)xl0=-250.

故答案为：—250

14.已知抛物线C:/=4x的焦点为R过尸的直线/与C交于A,B两点.过A作C的切线机及平行

于X轴的直线加，过方作平行于机的直线交加于过8作C的切线〃及平行于X轴的直线4,过方

Q

作平行于”的直线交，于N.若忸N|=§,则点A的横坐标为.

【答案】3

【解析】

【分析】利用导数的几何意义，求切线私〃的斜率，并利用直线的交点求点的坐标，再根据方程

Q

\AM\-\BN\=~,求点A的坐标.

【详解】设4(%,%),3(々,丁2)，不妨设点A在第一象限，点8在第四象限，

所以过点b(1,0)且与直线机平行的直线为丁=了(无一1)，当＞=%时，得x=y嘉+1=2%+1,

即M（2x{+LyJ

/—f—1-1

当＞=-2«时，丁二一尸，所以点A处切线的斜率为

所以过点尸(1,0)且与直线n平行的直线为y二x—1），当y=%时，得%==2马+1

即NOW+I,%），

所以|=2玉+1—%=%+1,忸N|=2/+1一/=W+1

sin皿C=^^=口3

BD4V34

【小问2详解】

在△ABD和△BCD中，由余弦定理得

BD2=AB2+AD2-2ABADcosA=42+42-2x4x4xcosA=32-32cosA，

BD2=CB2+CD2-2CB-C£>cosC=62+22-2x6x2xcosC=40-24cosC,

得4cosA—女osC=—1,又cosA=3cosC,得cosA=-,，cosC=—,

39

则sinA=2^Z，sinC=&6,

39

四边形43C。的面积S=SABn+SRrn=-ABADsinA+-CB-CDsmC

1//2夜1,4751672+875

=—x4x4义-----1——xoAx2x------=----------------.

23293

16.2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示.某

地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚.如图所示的七面体ANG-CDE/m

是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABC。是矩形，AB=8m,AD=4m,ED=CF=lm,

且即，CF都垂直于平面ABC。，G4=GB=5m,HE=HF，平面ABG,平面ABCD

(1)求点H到平面ABC。的距离；

(2)求平面BfWG与平面AG8E所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)4

⑵—

13

【解析】

【分析】(1)取A5,CD的中点证得平面ADE//平面肱VHG,得到AE//GH,再由平面

ABG//平面CDEHG,证得AG//EH,得到平行四边形AGHE,得到G〃=AE,求得HN=4,结

合平面ABC。，即可求解；

(2)以点N为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面3EHG和平面AGUE的法向量

)=(1,3,4)和浣=(1,—3,4),结合向量的夹角公式,即可求解.

【小问1详解】

如图所示，取A5CD的中点连接GM,MN,HN,

因为G4=GB,可得

又因为平面ABG_L平面ABCD,且平面ABGc平面A5CD=AB,GMu平面ABG,

所以GM,平面ABCD,同理可得：平面ABCD,

因为平面ABCD,所以ED//HN,

又因为石。仁平面ACVHG,HNu平面MNHG,所以ED//平面肱VHG,

因为上W//AD,且平面ACVHG,MNu平面MNHG,所以A。//平面MNWG,

又因为ADcDE^D，且AD.DEu平面ADE,所以平面ADE7/平面ACVHG,

因为平面AEHG与平面ADE和平面MNHG于AE,GH,可得AE//GH,

又由GMUHN,AB//CD,且AB=M和CDHN=N,

所以平面ABG//平面CDEHG,

因为平面AEHG与平面ABG和平面CDEHF于AG,EH,所以AG//EH,

可得四边形AGHE为平行四边形，所以G//=AE,

因为AE=JAD2+£>E2=142+肝=而,所以GH=屈，

直角_AMG,可得GM=侬2_(苧2=后—42=3,

在直角梯形GMNH中，可得珈=3+J17-4z=4,

因为平面ABCD,所以点H到平面ABCD的距离为4.

【小问2详解】

解：以点N为原点，以MI7,NC,NH所在的直线分别为x,%z轴，建立空间直角坐标系，

如图所示，则E(0,-4,1),F(0,4,1),G(4,0,3),H(0,0,4),

可得HE=(0,-4,-3),HF=(0,4,-3),HG=(4,0,-1),

〃•H(Jr-4x—2—0

设平面的法向量为〃=(Xy,z),贝!J<,

ri-HF=4y-3z=0

取z=4,可得x=Ly=3,所以川=(1,3,4),

m-HG=4a—c=0

设平面AGHE的法向量为m=(a,b,c),贝卜

m-HE=-4b—3c=0

取c=4,可得a=l,Z?=—3,所以zn=(1,—3,4),

/，\m-n1-9+164

贝、/卜桐71+9+16-71+9+1613，

4

即平面BFHG与平面AGHE所成锐二面角的余弦值二.

17.已知双曲线—1=1(a〉0,b>0)的左、右焦点分别为E，F,,离心率为2,P是E的右

a23b1

支上一点，且尸片，尸耳，△尸片鸟的面积为3.

(1)求E的方程；

(2)若E的左、右顶点分别为A,B,过点B的直线/与£的右支交于M,N两点，直线AM和的斜

2

率分别即为和%v，求KM+§ABN的最小值.

2

【答案】(1)d—21=1

3

(2)-1

【解析】

【分析】(1)由三角形面积及双曲线的定义，利用勾股定理求解即可；

(2)设直线方程，联立双曲线方程，由根与系数的关系及斜率公式化简可得心，代入

扁/+-kBN中化简即可得出最值.

【小问1详解】

设双曲线的半焦距为c(c>0),

-3t

.也==%（。2+1）=取％+y==_1

kBN%（%1+1）%（。1+3）。1%+3%9t+3y3'

3r-172

…^BN~,^AM+§^BN=（^AW-D-,

直线AM与E的右支有交点，.♦.—g＜勤＜JL

2

，当上3=1,kBN=一3时，k1M+-kBN取得最小值，且最小值为-1.

18.某校在90周年校庆到来之际，为了丰富教师的学习和生活，特举行了答题竞赛.在竞赛中，每位参

赛教师答题若干次，每一次答题的赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分，从第2次答

题开始，答对则获得上一次答题所得分数两倍的得分，答错得10分，教师甲参加答题竞赛，每次答对的

概率均为《，每次答题是否答对互不影响.

（1）求甲前3次答题得分之和为70分的概率.

（2）记甲第i次答题所得分数X,（ieN*）的数学期望为E（Xj.

（i）求E（Xj,E（X2）,E（X3）,并猜想当此2时，E（XJ与E（X”）之间的关系式;

(ii)若fE(Xj>320,求”的最小值.

i=\

【答案】（1）-

4

（2）（i）E（Xi.）=E（X,._1）+5,z＞2;（ii）10

【解析】

【分析】（1）由题意，得到前3次的得分分别为20（对），40（对），10（错）或10（错），20（对），40

（对），进而求得得分之和为70分的概率；

（2）（i）根据题意，分别求得£（Xj=15,E（X2）=20,E（X3）=25,结合题意，得到

£（Xj=£（X"J+5,即可完成猜想；

（ii）由⑴得到｛£（*）｝为等差数列，求得之E（XJ=5〃~：25〃,结合火石区）=315和

z=l2z=l

10

£E（X,）=375,即可求解.

Z=1

小问1详解】

解：由题意，前3次的得分分别为20（对），40（对），10（错）或10（错），20（对），40（对），所以

甲前3次答题的得分之和为70分的概率为P=2x（-）3=

【小问2详解】

解：（i）甲第1次答题得分20分，10分的概率分别为则E（Xj=20xg+10xg=15,

甲第2次答题得分40分，20分，10分的概率分别为

442

甲第3次答题得分80分，40分，20,10嗯分的概率分别为,

8842

则E（XJ=80XL+40XL