江苏省无锡市2024年高考全国统考预测密卷数学试卷含解析

江苏省无锡市2024年高考全国统考预测密卷数学试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.已知点A（2&,3&6）在双曲线方方=1e>0）上，则该双曲线的离心率为（）

A.叵B.叵C.屈D.2710

32

x-y+l40,

2.已知所为圆（尤—仔+（y+炉=1的一条直径，点M（羽y）的坐标满足不等式组2x+y+320,则破.板的

取值范围为()

一91

A.-,13B.[4,13]

「7

C.[4,12]D.-,12

r\•

3.i是虚数单位，2=」-则|z|=()

1-z

A.1B.2C.y/2D.2V2

4.已知。，b为两条不同直线，a,0,7为三个不同平面，下列命题：①若。〃/?,ally,则2〃7；②若alia,

a/1/3,则M/万；③若C7,f3Vy,则。，尸；④若a_La,b±a,则。〃从其中正确命题序号为（）

A.②③B.②③④C.①④D.①②③

5.函数/（力=5m21+侬m工+3%在［三二］上单调递减的充要条件是（）

63

A.m<-3B.m<—^C.m<--------D.m<4

3

6.AA5C中，AB=3>,BC=JI5,AC=4,则AABC的面积是()

A.3A/3B.半C.3D.I

7.在正方体ABCD-中，E,尸分别为CG，。。的中点，则异面直线AF,。石所成角的余弦值为（）

A1RA/1502#n1

4455

22

8.已知椭圆=+[=l（a〉6〉0）的左、右焦点分别为片、F2,过点耳的直线与椭圆交于P、。两点.若的

ab

内切圆与线段PK在其中点处相切，与R2相切于点片，则椭圆的离心率为（）

A.正B.且C.也D.B

2233

9.某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1）,则这个几何体的体积是（）

10.某程序框图如图所示，若输出的S=120,则判断框内为（）

A.k>7?B.k>6?C.k>57D.k>4?

2

11.若z=l-i+邑则z的虚部是

1

A.3B.-3C.3iD.-3i

22

12.已知双曲线。：\-孑=1（。>0）〉0）的右焦点为£。为坐标原点，以。产为直径的圆与双曲线C的一条渐

近线交于点。及点A,则双曲线C的方程为（）

2222X2匚1

AA•x2---丁----_11B口・-％------丁-----_11C「・--％----y2—_1D.

326362

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在平面直角坐标系x0y中，点A的坐标为（0,5）,点3是直线/：y=gx上位于第一象限内的一点.已知以A3

为直径的圆被直线/所截得的弦长为2逐，则点3的坐标

14.平面向量4=（1,2）,6=（4,2）,c=ma+b（meR）,且c与。的夹角等于c与匕的夹角，则加=

15.已知集合A={x[O<x<2},B=^x|-l<x<l},则AB=.

16.在三棱锥P—A5C中，ABLBC,三角形P4C为等边三角形，二面角P—AC—5的余弦值为-逅，当三棱

3

锥P-ABC的体积最大值为1时，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，已知在三棱锥P—ABC中，平面ABC,石，F,G分别为AC,PAPB的中点，且AC=23E.

C

(1)求证：PB±BC；

(2)设平面跳G与交于点求证：H为的中点.

18.(12分)已知函数/(%)=」.

X

(1)求函数/(同的极值；

(11)若加>〃>0,且m"="团,求证：mn>e1■

222

19.(12分)已知抛物线V=4x的准线过椭圆C：三+斗=1(°>6>0)的左焦点F,且点歹到直线/：x=—(c

a"b"c

为椭圆焦距的一半)的距离为4.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点尸做直线与椭圆C交于A,B两点,尸是A3的中点，线段的中垂线交直线,于点Q.若俨。|=2a邳，求

直线A3的方程.

20.(12分)已知椭圆。的中心在坐标原点C,其短半轴长为1,一个焦点坐标为(1,0),点A在椭圆C上，点3在直

线>=应上的点，且Q4LO3.

(1)证明：直线A3与圆必+/=1相切；

(2)求AO3面积的最小值.

+

21.(12分)已知数歹U{a〃}满足q=l,tz„+1=an+^-,neN*.

(I)证明：当"22时，an>2(neN*)；

111cl

(II)证明：ani=—ai+^~i,a-+-(+2(“eN*)；

+1-z2-3n-^n+ljz

43l

(皿证明：/为自然常数.

x=2coscr,

22.(10分)在平面直角坐标系xQy中，曲线(a为参数)，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为

[y=sin«

极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为。=-2sin，.

(1)求曲线G的普通方程和曲线的普通方程;

(2)若P,Q分别为曲线G，G上的动点，求IPQI的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.

【详解】

22

将x=2J?,y=3可代入方程东一方=1(6>0)得6=3，而双曲线的半实轴a=屈，所以c=J=10，

得离心率e=f=加,故选C.

a

【点睛】

此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.

2、D

【解析】

首先将板.板转化为只需求出MT的取值范围即可，而表示可行域内的点与圆心T(l,-1)距离，数

形结合即可得到答案.

【详解】

作出可行域如图所示

设圆心为,则ME・MR=(MT+rE>(MT+7F)=

22.2

(MT+TE)•(MT—TE)=MT-TE="-1，

过T作直线x—y+l=。的垂线，垂足为凰显然MBWMTWM4,又易得4-2,1),

所以=-(一2)]2+(_1_1)2=不，TB=m+(二)2=下，

-27

故ME.MF=MT-le[-,12].

故选：D.

【点睛】

本题考查与线性规划相关的取值范围问题，涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化

与划归的思想，是一道中档题.

3、C

【解析】

由复数除法的运算法则求出z,再由模长公式，即可求解.

【详解】

由z=2：。：=—1+i,IZ1=夜.

1—I

故选:C.

【点睛】

本题考查复数的除法和模，属于基础题.

4、C

【解析】

根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可.

【详解】

根据面面平行的性质以及判定定理可得，若。〃四，ally,则，〃7,故①正确;

若R/e,a!1/3,平面。，分可能相交，故②错误;

若则。，分可能平行，故③错误;

由线面垂直的性质可得，④正确；

故选：C

【点睛】

本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.

5、C

【解析】

先求导函数，函数在［2,2］上单调递减则/(x)<0恒成立，对导函数不等式换元成二次函数，结合二次函数的性质

63

和图象，列不等式组求解可得.

【详解】

依题意，/(x)=2cos2x+mcosx+3=4cos2x+mcosx+1,

令cosx=r,贝且］,故4/2+V+IWO在2,上恒成立;

2222

“11,C

4x—+mx—+L,0孙，一4

42

结合图象可知，，厂，解得

36…

44x—+mx--Fl,0“，――3~

42

.-8百

rum<--------・

3

故选：C.

【点睛】

本题考查求三角函数单调区间.求三角函数单调区间的两种方法：

⑴代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角比(或力)，利用基本三角函数的单调性列不等

式求解；

⑵图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.

6、A

【解析】

由余弦定理求出角A,再由三角形面积公式计算即可.

【详解】

AB?+AC?-BC?1

由余弦定理得:cosA=

2ABAC2

又Ae（O,»）,所以得A=g,

故445c的面积S=L-AB-AC・sinA=3G.

2

故选：A

【点睛】

本题主要考查了余弦定理的应用，三角形的面积公式，考查了学生的运算求解能力.

7、D

【解析】

连接班，BD,因为尸，所以/BED为异面直线AF与OE所成的角（或补角），

不妨设正方体的棱长为2,取6。的中点为G,连接EG,在等腰△班。中，求出cos/BEG=生=组，在利用

BE6

二倍角公式，求出cosNBED,即可得出答案.

【详解】

连接BE,BD,因为BEHAF,所以/BED为异面直线AF与所成的角（或补角），

不妨设正方体的棱长为2,则5E=DE=6,BD=2s/2-

在等腰ABED中，取BD的中点为G,连接EG,

EG

则EG=15—2=73，cos/BEG=

~BE~15

所以cos/BED=cos2NBEG=2cos2ZBEG-1，

31

即：cosABED=lx——1=-,

55

所以异面直线AF,OE所成角的余弦值为g.

故选：D.

【点睛】

本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力.

8、D

【解析】

可设△尸鸟。的内切圆的圆心为/,设「耳|=%归闾=〃，可得〃z+〃=2a,由切线的性质：切线长相等推得机=9,

解得加、"，并设|Q周=/,求得/的值，推得APBQ为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所

求值.

【详解】

可设的内切圆的圆心为/,M为切点,且为中点，,IP周=归闸=四用，

设耳|=机，归闾="，则机=；〃，且有77z+〃=2a,解得7"=与，〃=与，

设|Q周=入|。笈1=2。—/,设圆/切Q8于点N,^]\NF2\=\MF2\=y,\QN\=\QF\^t,

由2a7=|Q&|=|QN|+|N4|=/+?,解得/=彳，.•.归@=>+\=?,

所以为等边三角形，

\PF2\=\QF2\=^,AP^Q

所以，2c=叵处,解得£=走.

23a3

因此，该椭圆的离心率为走.

3

故选：D.

【点睛】

本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属

于中档题.

9、A

【解析】

1132

几何体为一个三棱锥，高为4,底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4,所以体积是；义4*7*42=二，选A.

323

10、C

【解析】

程序在运行过程中各变量值变化如下表:

KS是否继续循环

循环前11

第一圈24是

第二圈311是

第三圈426是

第四圈557是

第五圈6120否

故退出循环的条件应为k>5?

本题选择C选项.

点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循

环次数.尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别.

11>B

【解析】

因为z=l-i-2i=l-3i,所以z的虚部是—3.故选B.

12、C

【解析】

根据双曲线方程求出渐近线方程：y=-x,再将点乎］代入可得6=立&,连接£4,根据圆的性质可得

-a122J3

从而可求出。，再由即可求解.

【详解】

V2

由双曲线c：二=1（。>0,b>0卜

a~

b

则渐近线方程：y=±—x,

a

,h6

..b=—a9

3

解得c=2,

所以02=/+/=4,解得片=3/2=1.

尤2

故双曲线方程为土-丁=1.

3-

故选：C

【点睛】

本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、（6,3）

【解析】

依题意画图，设根据圆的直径A5所对的圆周角为直角，可得AC=2«,

通过勾股定理得AB=1AC2+CB?，再利用两点间的距离公式即可求出/=6，进而得出B点坐标.

【详解】

解：依题意画图,设510,3%]，%〉0

以A5为直径的圆被直线/所截得的弦长为BC,

旦BC=2'

又因为AB为圆的直径，则AB所对的圆周角NACB=90,

则AC,CB,则AC为点A(0,5)到直线/：y=gx的距离.

|0xl-5x2|广

所以7

所以AC=二/可=26'

则AB=VAC2+CB2=,(2扃+(2可=2M.

又因为点3在直线/：V=上，

设小。,：/],则A3=jxo—Oy+'—s]=2回.

解得%=6,则3(6,3).

故答案为：(6,3)

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系，考查了两点间的距离公式，点到直线的距离公式，是基础题.

14、2

【解析】

试题分析：c=ma+Z>=7”(l,2)+(4,2)=(加+4,2加+2),c与a的夹角等于c与的夹角，所以

a-cb-cm+4+4m+44m+16+4m+4

==

—T~,—r—",—;--------------------------------------.-----------TH2

同IdW同75V20

考点：向量的坐标运算与向量夹角

15、(0,1)

【解析】

根据交集的定义即可写出答案。

【详解】

A={x|0<%<2},B={x|-l<x<l},A3=(0,1)

故填(0,1)

【点睛】

本题考查集合的交集，需熟练掌握集合交集的定义，属于基础题。

16、8"

【解析】

根据题意作出图象，利用三垂线定理找出二面角P-AC-B的平面角，再设出AB,BC的长，

即可求出三棱锥P—ABC的高,然后利用利用基本不等式即可确定三棱锥P-A5C的体积最大值，从而得出各棱的长

度，最后根据球的几何性质，利用球心距，半径，底面半径之间的关系即可求出三棱锥P-A3C的外接球的表面积.

【详解】

如图所示:

过点P作PE，面ABC,垂足为E，过点E作。£J_AC交AC于点。，连接PD.

则NPDE为二面角尸—AC—5的平面角的补角，即有cosNPDE=逅.

3

易证AC，面PDE,：.AC±死>,而三角形PAC为等边三角形，。为AC的中点.

设AB=a,BC=b,AC=y/a2+b2=c-

/.PE=PDsinZPDE=—xcx—=-.

232

故三棱锥P-ABC的体积为

〃117c17c.ca2+b2c3

V=—x—abx—=——abc=——xab<——x--------=——

322121212224

当且仅当。=6=也。时,匕1ax='=!，即。=人=后，C=2.

2243

/.B,D,E三点共线.

设三棱锥P-ABC的外接球的球心为。，半径为R.

过点。作，PE于尸,.••四边形ODEF为矩形.

则OD=EF=4^i，DE=OF=PDcosNPDE=退又旦=6，PE=1,

3

在HrP巳O中,尺2=2+(1—JR2—1J,解得火2=2.

三棱锥P—ABC的外接球的表面积为S=4%R2=8%.

故答案为：8».

【点睛】

本题主要考查三棱锥的外接球的表面积的求法，涉及二面角的运用，基本不等式的应用，以及球的几何性质的应用，意在考

查学生的直观想象能力，数学运算能力和逻辑推理能力,属于较难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

(1)要做证明只需证明3CL平面即可；

(2)易得PC〃平面ERG,PCu平面尸5C,利用线面平行的性质定理即可得到GH〃尸C,从而获得证明

【详解】

证明：(1)因为平面ABC,BCu平面ABC,

所以5c.

因为AC=25E,所以区4,6c.

又因为84cRl=A,B4u平面RIB,R4u平面从8,

所以BCL平面？A3.

又因为P3u平面R45,所以3c.

(2)因为平面跳G与BC交于点H,所以GHu平面P3C.

因为E,尸分别为4G24的中点，

所以EF〃PC.

又因为PC(Z平面EFG,EFu平面EFG,

所以PC〃平面即G.

又因为PCu平面「5C,平面P8C平面跳G=GH,

所以GH〃尸C,

又因为G是依的中点，

所以“为8C的中点.

【点睛】

本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.

18、(I)极大值为：-,无极小值；(II)见解析.

e

【解析】

(I)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可求出函数/(九)的极值；(II)得到

/(租)=/("),根据函数的单调性问题转化为证明m>—>e,即证则I二In"),令

nne

G(x)=e2lnx-2x2+x2lnx(l<x<e),根据函数的单调性证明即可.

【详解】

(I)f(x)=—的定义域为(0,+8)且7•'(x)=匕绊

XX

令r(x)>0,得0c令_f(x)<0,得x〉e

・・・/(X)在(O,e)上单调递增，在3”)上单调递减

二函数/(%)的极大值为/(e)=?=:,无极小值

(II)m>几>0,nt1=rT:.nlnm=m]nn

吗")=/(“)

mn

由(I)知/(尤)在(0,e)上单调递增，在(e,上单调递减

且=则l<〃vev加

、/(2、(2、

要证mn>/,即证机＞一＞e,即证—,即证/(〃)</—

n\n)\n)

日口、”〃〃(2—ln〃)

即证——<—―-——)-

ne

由于即Ovln〃<l,BPffie2lnn<2n2-n2lnn

令G(x)=/lnx-2x2+%21nMi<x<e)

“、/'、(e+x)(e-x]/、

贝！]G(x)=---4x+2xlnx+x=----x+2x(lnx-l)=-----------+2x(lnx-l)

xIX/X

l<x<e,仃。)〉。恒成立.'G(九)在(l,e)递增

.-.G(x)<G(e)=0在xe(1,e)恒成立

/.mn>e2

【点睛】

本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，考查运算

求解能力及化归与转化思想，关键是能够构造出合适的函数，将问题转化为函数最值的求解问题，属于难题.

22_

19、(1)—+^=1；(2)尤+收y+l=O或x—岳+1=0.

32

【解析】

2

(1)由抛物线的准线方程求出C的值，确定左焦点口坐标，再由点尸到直线/：》=幺的距离为4,求出。即可；

c

(2)设直线方程，与椭圆方程联立，运用根与系数关系和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得

到所求直线的方程.

【详解】

(1)抛物线/=4x的准线方程为x=-1,F(-l,0),

：.c=l,直线/：x=〃，点B到直线/的距离为储+1=4,

a=y/3,b1=a?—1=2,;.b=V2，

22

所以椭圆C的标准方程为土+匕=1；

32

（2）依题意A3斜率不为0,又过点设方程为工=阳-1,

x=my-\,,

联立〜2；，,，消去x得，(2疗+3)/—4w丫一4=0,

2x+3y~=6

A=16m2+16(2/+3)=48(—+1),设A&,%),3(々,当)，

4m4

「（不，为），乂+为

茄1TJ，x,2一茄布

_%+%_2根__3

°22疗+3°702疗+3

IAB1=J1+疗"义一%)2=Jl+LJ(X+%r-4%%

4A/3(OT2+1)

2m2+3

线段45的中垂线交直线,于点。，所以。横坐标为3,

|P01=J1+»?13—%1=6，1+后（府+0，|PQ|=2|A@,

2m+3

V3（m2+2）=47m2+1，平方整理得3m4-4m2-4=0,

2

解得冽2=2或加2=-耳（舍去），.•.加=±J^,

所求的直线方程为X+0+1=0或x-。+1=0.

【点睛】

本题考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，要熟练应用根与系数关系、相交弦长公式，合理运用两点间的距离

公式，考查计算求解能力，属于中档题.

20、⑴证明见解析；（2）1.

【解析】

（1）由题意可得椭圆C的方程为。+丁=1,由点3在直线y=&上，且Q4_L03知。4的斜率必定存在，分类讨论

当Q4的斜率为0时和斜率不为0时的情况列出相应式子，即可得出直线A6与圆V+y=1相切；

（2）由⑴知，AQB的面积为5=；|04|。耳.1

【详解】

解：（1）由题意，椭圆C的焦点在x轴上，且/?=c=l,所以应.

所以椭圆C的方程为弓+/=1.

由点3在直线y=应上，且OA_LC必知。4的斜率必定存在，

当。L的斜率为0时，|。叫=夜，1°国=拒，

于是|AB|=2,。到AB的距离为1,直线A3与圆好+/=1相切.

当Q4的斜率不为0时，设Q4的方程为了=依，与］+^=1联立得（1+2左2）^=2,

UG、I2222左-2+2.k~

所以％A=■；—TTT，y=-------5，从而OA=--------.

1+2左2人A1+242111+2左2

而05LQ4,故08的方程为％=一。，而3在＞=&上，故％=—叵，

,11।

从而|。5|=2+2画于是研+研二】•

此时，。到AB的距离为1,直线AB与圆d+V=i相切.

综上，直线AB与圆.5+丁=i相切.

（2）由⑴知，AQB的面积为

2±2/=1+0+2/)=J1

S^-\OA\.\OB\^

2J1+2左22,1+2左22(11+2左

上式中，当且仅当左=0等号成立，

所以AO3面积的最小值为1.

【点睛】

本题主要考查直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论