2024年中考数学总复习培优 倍长中线模型教师版

【压轴必刷专题】

倍长中线模型专练

1.在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线.

(1)如图1,AO是AABC的中线，A3=7,AC=5,求的取值范围.我们可以延长AD到点A/，使=

连接易证AADCMAMDB,所以3河=4?.接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AM的

取值范围，从而得到中线AD的取值范围是

(2)如图2,AO是ABC的中线，点E在边AC上，BE交AO于点尸，且AE=EF,求证：AC=BF；

(3)如图3,在四边形"CD中，AD//BC,点E是A8的中点，连接CE,ED且CELDE,试猜想线段

BC,CD,AD之间满足的数量关系，并予以证明.

图3

【分析】(1)延长AD到点M,i^DM=AD,连接即可证明AADC三AMO3,则可得3M=AC,在

A4BM中，根据三角形三边关系即可得到4以的取值范围，进而得到中线AD的取值范围；(2)延长到

点使=连接由(1)知一位>CFJWD3,则可得NM=/C4D,BM=AC,由AE=£F可

知，ZCAD=ZAFE,由角度关系即可推出/环值=/即"，故BM=BF,即可得到AC=3F；(3)延长

CE到歹，使EF=EC,连接AF,即可证明AAEF三ABEC,则可得NE4b=NBAT=BC,由AD//BC,

以及角度关系即可证明点凡A，。在一条直线上，通过证明用△£)£厂0RtADEC,即可得到ED=CZ),进

而通过线段的和差关系得到CD=BC+AD.

【解析】(1)延长AO到点使DW=AD,连接

：A£)是入45c的中线，Z.DC=DB,

在AADC和AMDB中，AD=MD,ZADC=ZMDB,DC=DB,

：.AADC=AMDB,：.BM=AC,

在AAW中，AB-BM<AM<AB+BM,

：.7—5VA0V7+5,即2<AM<12,

：.1<AD<6.

(2)证明诞长AD到点〃，使DW=AD,连接BAI,

由(1)知&ADC=MDB,：.ZM=ACAD,BM=AC,

AE=EF,：.ZCAD=ZAFE,

ZMFB^ZAFE,:.ZMFB=ZCAD,

ZBMF=ZBFM,:.BM=BF,：.AC=BF.

(3)CD=BC+AD,

延长CE到F,使EF=EC,连接AF,

F

AE=BE,NAEF=NBEC,:.MEF=2EC,:.ZEAF=ZB,AF=BC,

AD//BC,.-.Z5AD+ZB=180°,:.ZEAF+ZBAD=1SO°,

,.点F,A,。在一条直线上，

CE工ED,：.ZDEF=ZDEC=90°,

'.在用△£)砂和RtADEC中，EF=EC,NDEF=/DEC,DE=DE,

1.RtADEFgRtADEC,FD=CD,

：FD=AD+AF=AD+BC,:.CD=BC+AD.

2.如图，正方形ABC。中，E为BC边上任意点，AF平分/EA。，交CD于点F.

(1)如图1,若点厂恰好为CD中点，求证：AE=BE+2CE；

(2)在⑴的条件下，求子CF的值；

nC

(3)如图2,延长AF交BC的延长线于点G,延长AE交。C的延长线于点连接HG,当CG=D尸时,

求证：HGLAG.

D

BECH

图1图2

【分析】(1)延长BC交AF的延长线于点G,利用“AAS”证△ADFgZMSCF得AD=CG,据此知CG=BC

=BE+CE,根据EG=BE+CE+CE=BE+2CE=AE即可得证；(2)设CE=a,BE=b,贝UAE=2a+b,

AB=a+b,在RtAABE中，由AB2+BE2=AE2可得b=3a,据此可得答案；(3)连接DG,证AADFg4

2

AFFH

DCG得NCDG=NDAF,再证△AFHs^DFG得一二——,结合NAFD=NHFG,知△ADFs^HGF,从

DFFG

而得出NADF=NFGH,根据NADF=90。即可得证.

【解析】解：(1)如图1,延长交A尸的延长线于点G,

9：AD//CG,：.ZDAF=ZG,

又YA尸平分NZME,:・/DAF=/EAF,

：.ZG=ZEAF,：.EA=EG,

・・•点厂为CO的中点，：.CF=DF,

又•：NDFA=/CFG,ZFAD=ZG,：.AA£>F^AGCF(AAS),

:・AD=CG,：.CG=BC=BE+CE,

：.EG=BE+CE+CE=BE=2CE=AE；

(2)设CE=a,BE=b,则AE=2a+b,AB=a+b,

在R3A3E中，BP(tz+/?)W=(2«+/?)2,解得。=3m。=-〃(舍),

.CE_Q_1

••就一〃+厂"

(3)连接OG,*：CG=DF,DC=DA,ZADF=ZDCG,

：.AADF^ADCG(SAS),AZCDG=ZDAFf：.ZHAF=ZFDG,

AFFH

又,：/AFH=/DFG,:.AAFHs丛DFG,：.—=——，

DFFG

又•：/AFD=/HFG,：.AADF^AHGF,AZADF=ZFGH,

ZADF=90°,ZFGH=90°,

：.AG.LGH.

3.(1)阅读理解：

如图①，在..ABC中，若A5=8,AC=5,求5C边上的中线AO的取值范围.

可以用如下方法：将丛。。绕着点。逆时针旋转180。得到△fig。，在△/核中，利用三角形三边的关系即

可判断中线AO的取值范围是；

(2)问题解决：

如图②，在..ABC中，。是边上的中点，DELDF于点、D,。石交A5于点E,。方交AC于点尸，连

接EF,求证：BE+CF>EF；

3

(3)问题拓展:

如图③，在四边形A3co中，N5+/O=180。，CB=CD,ZSCZ)=100°,以C为顶点作一个50。的角，角

的两边分别交AB、40于E、P两点，连接EP,探索线段BE,DF,所之间的数量关系，并说明理由.

(图①)(图②)(图③)

【分析】(1)根据旋转的性质可证明,.ADC三EDB,AC=BE=6,AD=ED,在△ABE中根据三角形三边

关系即可得出答案；

(2)延长FD至M,使DF=DM,连接BM,EM,可得出CF=BM,根据垂直平分线的性质可得出EF=EM,

利用三角形三边关系即可得出结论；

(3)延长AB至N,使BN=DF,连接CN,可得ZNBC=/D,证明，NBC三.EDC,得出

CN=CF,ZNCB=ZFCD,禾用角的和差关系可推出NEOV=5()o=EB,再证明NCE^.FCE,得出

EN=EF,即可得出结论.

【解析】解：(1)|3<AO<1y3.

提示：AD=ED,CD=BD,ZADC=ABDE,ADC=EDB,AC=BE=5,AD=ED.

在ZWE中根据三角形三边关系可得出AB-BEcAFcAB+BE,即3<2AD<13.

(2)延长FD至M,使DF=DM,连接BM,EM,

同(1)可得出=FD=ATO,即/.EF=EM.

在中，BE+BM>EM,：.BE+CF>EF.

(3)EF=BE+DF.

理由：延长AB至N,使BN=DF,连接CN,

4

c

ZABC+zr>=180°,ZABC+ZNBC=180°,

/.ZNBC=ZD,：.NBC三.FDC,：.CF=CN,/NCB=2FCD.

•：ZBCD=100°,ZFCE=50°,:.NECN=54。=ECF,：.NCE三FCE(SAS)

:*EN=EF,：.EF=EN=BE+BN=BE+DF,

：.EF=BE+DF.

4.已知ASC中.

（1）如图1,点£为2C的中点，连AE并延长到点/，使=则族与AC的数量关系是

（2）如图2,若AB=AC,点E为边AC一点，过点C作BC的垂线交BE的延长线于点O,连接AD,若

NDAC=ZABD,求证：AE=EC.

（3）如图3,点。在ABC内部，且满足AD=BC,ZBAD=ADCB,点M在OC的延长线上，连A“交8。

的延长线于点N,若点N为4〃的中点，求证：DM=AB.

【分析】（1）通过证明ABE尸丝△CEA,即可求解；（2）过点A引4F〃CD交班于点R通过，ABP丝CAD

得到AF=CD,再通过..AFEWCDE即可求解；⑶过点〃作交3N的延长线于点T,MGAD,

在上取一点K,使得MK=CD,连接GK,利用全等三角形的性质证明=、DM=MT,即可

解决.

【解析】证明：（1）BF=AC.

（2）过点A引AF〃CD交BE于点尸，如图:

5

A

D

由题意可得CD_L3C,且/E4F=NACD,/.AF±BC

XVAB=AC,；.A/平分ZH4C,/.Z.BAF=ZEAF=ZACD.

AABF=ADAC

在一AB尸和CAD中，＜ABAC

ZBAF=ZACD

：,:ABF^CAD(ASA),：.AF=CD.

'NFAE=NDCE

在^AFE和Z\CDE中,,NAEF=ZCED

AF=CD

：.ZWE^ACDE(A4S),AE=EC.

(3)证明：过点M作血T〃AB交BN的延长线于点T,MGAD,在MT上取一点K,使得VK=CD

连接GK,如图：

'：AB//MT,：.ZABN=ZT.

VZANB=ZMNT,AN=MN,:.AANB%AMNT(AAS),

：.BN=NT,AB=MT.

,：MGAD,；.ZADN=ZMGN.

■：ZAND=NMNG,AN=NM,：.AANDm丛MNG(AAS),

:.AD=MG,DN=NG,：.BD=GT.

"/BAN=ZAMT,ADAN=ZGMN,ABAD=Z.GMT.

•：Z.BAD=Z.BCD,；.Z.BCD=ZGMK.

•；AD=BC,AD=GM,：.BC=GM.

又,：MK=CD,:.ABCDdGMK(SAS),：.GK=BD,ZBDC=ZMKG,

：.GK=GT,ZMDT=Z.GKT,：.ZGKT=ZT,：.DM=MT.

6

VAB=MT,：.DM=AB.

5.在等腰比一ABC和等腰用△ADE中，AB=AC,AE=AD,ZBAC=ZEAD=90°.

(1)如图1,延长OE交BC于点尸，若N3A£=68。，则ZDPC的度数为；

(2)如图2,连接EC、BD,延长交于点M,若NA£C=90。，求证：点M为8。中点；

(3)如图3,连接EC、BD,点G是CE的中点，连接AG,交BD于点H,AG=9,HG=5,直接写出△AEC

的面积.

［分析］(1)由已知条件可得ZD=ZC=45°,对顶角ZAQD=ZCQF,则ZDAC=ZDFC,根据ZDAE=ZCAB

即可的"PC=/54E；(2)过点B作腔的垂线交EM的延长线于N,证明AIEC丝△3N4,得AE=BN,

进而可得AD=A®,再证明丝△BMW即可得证点”为8。中点；(3)延长AG至K,使得

GK=AG=9,连接CK,设AE交BC于点尸，先证明△ABE四△ACD,进而证明A4EG之AKCG,根据

角度的计算以及三角形内角和定理求得NBAD=NKG4,进而证明八48。丝△［”，再根据

ZC4G=ZABD,ABAC=90。,证明A”，瓦)，根据已知条件求得SABD最后证明S$至。即可.

【解析】⑴68°.

提示：设。/交AC于。，ABC是等腰用ABC和一4组是等腰而△ADE,ZC=45°,

ZAQD=NCQF,ZDAQ=180-ZD-ZAQD,ZQFC=180-ZC-NCQF,

ZDAQ=ZQFC,ZBAC=ZEAD=90°,即ZBAE+/£4Q=ZE4Q+/QAZ),/.ZBAE=ZQAD,

:.ZDFC=ZBAE.ZBAE=68°,ZDFC=68°.

(2)如图2,过点8作ME的垂线交EM的延长线于N,;.NN=90。.

7

ZAEC=90°,:.ZN=ZAEC.

ABAC=90。，AEAC+ZNAB=90°.

ZNAC+ZACE=90°,:.ZNAB=ZECA.

ABC是等腰曲ABC和_ADE是等腰；.A8=AC,AD=AE.

又iAC=AB,AAEC^ABNA,:.NB=AE.

AE=AD,:.AD=NB.

ZDAE=90°,ADAM=90°,:.ZDAM=ZN.

又Z.DMA=ABMN,ADAM^ABNM,

:.DM=BM,即Af是血的中点.

(3)延长AG至K,使得GK=AG=9,连接CK,设交BC于点P,如图

ZBAC^ZEAD=90°,即N3AE+ZE4C=NE4C+NC4D,:.ZBAE=ZCAD.

ABC是等腰Rt.ABC和_ADE是等腰RtAADE，,AB=AC,AE=AD.

AE=AD

在△ABE与△AC。中，＜/BAE=NCAD,

AB^AC

AABE也AACD(SAS),,S^ABE=S^ABD,BE=CD.

G点是EC的中点，，EG=GC.

ZAGE=ZKGC,AG=GK,;.AAGE刍AKGC(SAS),

AE=CK,ZAEG=NKCG,

:.AE=KC=AD,ZACK=ZACB+NBCE+NKCG=45°+ZAEC+NBCE=45°+ZABC+ZBAP

=90°+ZBAE=ZBAD,

:.AAKC^AABD(SAS),.\BD=AK=18,ZCAK=ZABD.

ZBAG+ZCAG=90°,ZABD+ZBAG=90°,即Z/Uffi=90°.

AG=9,HG=5,:.AH=AG-HG=9-5=4,r.5AAM,=1■皿A"=；xl8x4=36

8

S^AEC=^AAEG+5"呢=$AGCK+*^AAGC=SAACK=^AABD=36,..SAEC=36.

6.课堂上，老师出示了这样一个问题:

如图1,点。是；ABC边2C的中点，AB=5,AC=3,求AD的取值范围.

图1图2

（1）小明的想法是，过点8作应V/AC交AO的延长线于点E,如图2,从而通过构造全等解决问题，请

你按照小明的想法解决此问题；

（2）请按照上述提示，解决下面问题：

在等腰及ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点。边AC延长线上一点，连接5£）,过点A作AELBD于

点E,过点A作AF_LAE,SLAF=AE,连接所交8C于点G,连接C「，求证BG=CG.

【分析】（1）根据已知证明△即进而求得AC=BE,根据三角形三边关系即可求得AO的取

值范围；（2）过点B作BM/ZFC交FE的延长线于证明VABE1咨VAB,得CF=BE,再证明8M=CE,

进而证明△BMG丝即可证明8G=CG

【解析】（1）BE//AC,:.ZE=ZEAC.

/BDE=ZADC,BD=CD,ABDE^AADC,/.AC=BE=3.

AB-BE<AE<AB+BE,即2<2AZ）<8,:.1<AD<4.

（2）如图，过点8作〃尸C交FE的延长线于V,二/2=/3.

9

A

M

AF=AE.AF±AE.：.Z4=ZAEF=45°,

­.Z1=180°-ZAEB-ZAEF=180°-90°-45°=45°,

AB=AC,AE=AF,ZBAC=ZEAF=90°,

■.ZBAC-ZEAC=ZEAF-ZEAC,ZBAE=ZCAF,

■.VABE^ACF,CF=BE,ZAEB=ZAFC=90°,:.Z3=90°-Z4=45°.

ZAEF=Z3=Z4=45°,AE1BD,Z2=Z3=Z1=45°

:.BE=BM,:.BM=CF.

又1ZBGM=ZCGF,:.△BMG"4CFG,:.BG=CG.

7.（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1,在AABC中，AB=8,AC=6,

求BC边上的中线AO的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）,

图1图2图3

①延长AD到使得

②连接通过三角形全等把A3、AC、2AO转化在AABM中；

③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB-BM<AM<AB+BM,从而得到AD的取值范围

是;

方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系.

（2）请你写出图2中AC与的数量关系和位置关系，并加以证明.

（3）深入思考：如图3,AO是AABC的中线，AB^AE,AC=AF,ZBAE=ZCAF^900,请直接利用（2）

的结论，试判断线段AD与斯的数量关系，并加以证明.

【分析】（1）延长AO到M,使得连接根据题意证明四△AOC,可知BM=AC,在

中，根据AB-即可求的；（2）由（1）知，AMDB/LADC,可知

10

AC=BM,进而可知AC〃BM；(3)延长到M,使得。M=A。，连接由(1)(2)的结论以及已

知条件证明AABM丝△EAE进而可得AM=2A。，由AM=EF,即可求得AO与跖的数量关系.

【解析】(1)1<AD<7.

提示：如图2,延长AD到使得DM=AD,连接BM,'：AD是"BC的中线，.•.BD=CD在和"DC

BD=CD

中，J.ZBDM=ZCDA,.,.△MDB^AADCQSAS),；.BM=AC=6,

DM=AD

在AABM中，AB-BM<AM<AB+BM,A8-6<AM<S+6,2VAM<14,.\1<AD<7.

(2)AC//BM,^.AC=BM.

理由：由(1)知，^MDB^AADC,：.ZM=ZCAD,AC=BM,

J.AC//BM.

(3)EF=2AD.

理由：如图2,延长4。到M,使得。连接BM,

图2

由(1)知ABCMg/XCDACSAS),J.BM^AC,

•：AC=AF,：.BM=AF,

由(2)知AC〃3M,ZBAC+ZABM=1SO°,

'：ZBAE=ZFAC=90°,：.ZBAC+ZEAF=180°,：.ZABM=ZEAF,

'AB=EA

在AABM和AEAF中，\^ABM=NEAF,

BM=AF

：.AABM^AEAF(SAS),：.AM=EF,

,：AD^DM,：.AM^2AD,

•：AM=EF,：.EF=2AD,即EP=2AD

8.问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1,AABC中，若AB=4,AC=3,求3c

11

边上的中线A。的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长4。到点E,使DE

=AD,则得到"OC丝△EDB,小明证明"ED之△C4。用到的判定定理是：(用字母表示)；

问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分

散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.请写出小明解决问题的完整过程；

拓展应用：以AABC的边AB,AC为边向外作zxABE和△AC，AB=AE,AC=AD,ZBAE=ZCAD=90°,

M是BC中点，连接AM,DE.当AM=3时，求。E的长.

【分析】问题背景：先判断出BD=CD,由对顶角相等NBOE=NCD4,进而得出AAQC也△EOB(S4S)；

问题解决：先证明AAOCg/\EOB(SAS),得出BE=AC=3,最后用三角形三边关系即可得出结论；

拓展应用：如图2,延长AM到N,使得连接BN,同(1)的方法得出ABMN咨ZkCMA(SAS),

则BN=AC,进而判断出NABN=NE4£>,进而判断出AABN也△E4O,得出4V=ED,即可求解.

【解析】问题背景：延长AO到点E,使DE=AO,连接BE,

是AABC的中线，:.BD=CD,

AD=ED

在AAOC和AEDB中，\ZCDA=NBDE,二AADC"AEDB(&4S),

CD=BD

故答案为：SAS；

问题解决：如图1,延长AO到点E,使连接BE,

：A。是A4BC的中线，：.BD=CD,

AD=ED

在/\EDB中，<NCDA=ZBDE,

CD=BD

：.AADC^AEDB(SAS),：.BE=AC,

在"BE中，AB-BE<AE<AB+BE,

：AB=4,AC=3,A4-3<A£<4+3,即1<AE<7,

•：DE=AD,：.AD=^-AE,：.~<AD<-；

222

拓展应用：如图2,延长AM到N,使得MN=AM,连接BN,

12

D

E

图2

由问题背景知△5MN名△CAM(SAS),

：.BN=AC,NCAM=/BNM,：.AC//BN,

•：AC=AD,:.BN=AD,

■:ACIIBN,：.ZBAC+ZABN=ISO0,

9：ZBAE=ZCAD=90°,：.ZBAC+ZEAD=1SO°,:・NABN=NEAD,

'AB=EA

在“附和△EA0中，］/ABN=NEAD,

BN=AD

：.^ABN^^EAD(SAS),：.AN=DE,

°：MN=AM,：.DE=AN=2AM,

,.,AM=3,：.DE=6.

9.(1)基础应用：如图1,在△ABC中，AB=5,AC=7,A0是8C边上的中线，延长AO到点E使。石=

A0,连接CE,把ASAC,2A0利用旋转全等的方式集中在中，利用三角形三边关系可得A0的取

值范围是:

(2)推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2,在△ABC中，AO是5。边上的中线，点E,尸分别

在A3,AC上，_aDELDF,求证：BE+CF>EF；

(3)综合应用：如图3,在四边形A3CD中，AB=AD,N3+NADC=180。且NEA尸=gNBA。，试问线段

EF、BE、具有怎样的数量关系，并证明.

【分析】(1)先证明△COE名△3DA(SAS)可得CE=A3=5,在^ACE中，利用三角形的三边关系解答即

13

可；

(2)如图2中，延长即到“，使得。H=OE,连接FH.再证明ABOE也△CD”(SAS)可得BE=

CH,再证明后/=切，利用三角形的三边关系解答即可；

(3)如图3,作辅助线，构建AABG,同理证明AABG等△AD尸和AAEG等ZVIEH可得新的结论：EF=BE

-DF.

【解析】(1)1<AD<6.

提示：如图1：'：CD=BD,AD=DE,ZCDE=ZADB,：./\CDE^/\BDA(SAS'),：.EC=AB=5,V7-

5<A£<7+5,：.2<2AD<12,：A<AD<6.

(2)证明：如图2中，延长即到“，使得DH=DE,连接D”，FH.

图2

"：BD=DC,ZBDE=ZCDH,DE=DH,：./\BDE^ACDH(SAS),：.BE=CH,

•：FD±EH.DE=DH,：.EF=FH,

在ACFH中，CH+CF>FH,

•：CH=BE,FH=EF,：.BE+CF>EF.

(4)结论：EF=BE-FD

证明：如图3中，在BE上截取BG,使3G=DE连接AG.

:ZB+ZADC=1SO°,ZADF+ZADC=180°,ZB=ZADF,

■：AB=AD,BG=DF,：.AADF(5AS),

ZBAG=ZDAF,AG=AF,

：.NBAG+/EAD=ZDAF+ZEAD=ZEAF=《ABAD,：.ZGAE=ZEAF,

'：AE=AE,：.AAEG^AAEF(SAS),:.EG=EF,

•：EG=BE-BG,：.EF=BE-FD.

14

10.(1)阅读理解：如图1,在AABC中，若AB=5,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围.小聪同

学是这样思考的：延长AD至E,使。E=AD,连接BE.利用全等将边AC转化到BE,在△BAE中利用

三角形三边关系即可求出中线的取值范围.在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是

,中线的取值范围是;

(2)问题解决：如图2,在AABC中，点。是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若

DN.求证：BM+CN>MN；

(3)问题拓展：如图3,在AABC中，点。是BC的中点，分别以AB,AC为直角边向AABC外作出AABM

Rt^ACN,其中NBAM=NM4C=90°,AB^AM,AC=AN,连接MN,探索A。与MN的关系，并说明

理由.

【分析】(1)阅读理解：由&4s证明AACO丝△£»£),得出2E=AC=8,在AABE中，由三角形的三边关系

即可得出结论.

(2)问题解决：延长ND至点兄使FD=ND,连接BEMF,同(1)得：ABFD空ACND,由全等三角

形的性质得出B4CN,由线段垂直平分线的性质得出在中，由三角形的三边关系即可得

出结论.

(3)问题拓展：延长A。至E,使OE=A。，连接CE,由(1)得：4BAD/ACED,由全等三角形的性质

得出N2AD=/E,AB=CE,证出/ACE=NMAN,证明△ACEg/SNAM得出A£=MN,ZEAC=ZMNA,贝ij

2AD=MN.延长D4交MN于G,证出NAGN=90。，得出AO_LMN即可.

【解析】解：(1)SAS,=

22

提示:如图1中，YA。是BC边上的中线，.•.3ZXCD,•.•AD=Z)ET,ZADC=ZBDE,：./\ACD^/\EBDQSAS),

：.BE=AC=8,在△ABE中，由三角形的三边关系得

313

.\8-5<AE<8+5,即3<AE<13,A-<AD<—.

22

(2)证明：如图2中，延长ND至点、F,使FD=ND,连接BGMF,

15

图2

同(1)得ABFD咨ACND(SAS),：.BF=CN,

,:DMLDN,FD=ND,：.MF=MN,

在ABFM中，由三角形的三边关系得：BM+BF>MF,：.BM+CN>MN.

(3)解：结论：2AD=MN,AD工MN.

理由：如图3中，延长40至E,使DE=AD,连接CE,延长D4交MN于G.

由(1)得ABAD咨ACED,：.ZBAD=ZE,AB=CE,

VZBAM=ZNAC^O°,：.ZBAC+ZMAN=180°,即/3A£)+/CA4D+/MAN=180°,

VZE+ZCAD+ZACE=1SQ°,：.ZACE=ZMAN,

•.•△ABM和AACN是等腰直角三角形，：.AB=MA,AC=AN,

：.CE=MA,:AACE妾ANAM(SAS),

:.AE=MN,ZEAC=ZMNA,：.2AD=MN.

:ZNAC=90°,：.NEAC+/M4G=90°,

ZMNA+ZNAG=90°,：.ZAGN=90°,

：.AD±MN.

11.(1)方法呈现：

如图①：在AABC中，若AB=6,AC=4,点。为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围.

解决此问题可以用如下方法：延长到点E使DE=AD,再连接BE,可证从而把A3、

AC,2AD集中在△河中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是,这

种解决问题的方法我们称为倍长中线法；

(2)探究应用：

如图②，在AABC中，点。是BC的中点，DE1DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接

EF,判断3E+CF与EF的大小关系并证明；

16

(3)问题拓展:

如图③，在四边形ABC。中，AB//CD,A/与。C的延长线交于点足点E是BC的中点，若AE是ZBAF

的角平分线.试探究线段AB,AF,CP之间的数量关系，并加以证明.

【分析】(1)由已知得出AC-CE<AE<AC+CE,即5-4<AE<5+3,据此可得答案；

(2)延长至点Af,使DM=DF,连接BW、EM,同(1)得ABMD0Z\CFD,得出BM=CF,由线段

垂直平分线的性质得出EM=EF,在ABME中，由三角形的三边关系得出BE+BM>EM即可得出结论；

(3)如图③，延长AE,DF交于点G,根据平行和角平分线可证AF=FG,易证△ABEgZXGEC,据此知

AB^CG,继而得出答案.

【解析】解：(1)KATX5.

(2)BE+CF>EF；

证明：延长KD至点〃，使DM=D尸,连接BM、EM,如图②所示.

同(1)得：4BMD/4CFD(SAS),：.BM=CF,

"：DE_LDF,DM=DF,：.EM=EF,

在ABME中，由三角形的三边关系得：.BE+CF>EF-

M

(3)AF+CF=AB.

如图③，延长AE,DF交于点G,

'：AB//CD,：.ZBAG=ZG,

在△ABE和AGCE中，CE=BE,ZBAG=ZG,ZAEB=ZGEC,

:.AABE经LGEC(A4S),：.CG=AB,

是NBA厂的平分线，ZBAG=ZGAF,

：.ZFAG=ZG,：.AF=GF,

17

'：FG+CF=CG,：.AF+CF=AB.

12.阅读理解:

(1)如图1,在.ABC中，若AB=10,AC=6,求3c边上的中线A£>的取值范围.解决此问题可以用如

下方法：延长A£)到点E,使得&£>=£>«,再连接BE,把AB,AC,2AD集中在△ABE中，利用三角形

三边关系即可判断中线A£>的取值范围是.

(2)解决问题：如图2,在ABC中，。是BC边上的中点，DELDF,DE交AB于点、E,3尸交AC于

点、F,连接所，求证：BE+CF>EF.

(3)问题拓展：如图3,在ABC中，。是2c边上的中点，延长D4至E,使得AC=3E,求证：

NCAD=NBED.

【分析】(1)如图1延长4。到点E,使得AD=DE,再连接BE,由AD为中线，推出BD=CD,可证AACD

^△EBD(SAS)得AC=EB,在"BE中，由三边关系4<2AD<16即可，

(2)如图2延长FD到G,使DG=FD,连结BG,EG由D为BC中点，BD=CD可证AFCD2ZkGBD(SAS)

得FC=GB,由DE，。尸，DF=DG得EF=EG,在ABEG中由三边关系，

(3)如图3,延长AD到G使DG=AD,连结BG,由。是8C边上的中点，得BD=CD,可证AACD^A

GBD(SAS)得AC=GB,/DAC=NG,利用BE=BG即可推得答案，

【解析】(1)如图1延长AC到点E,使得AD=DE,再连接BE,

：AD为中线，.\BD=CD,

在AADC和AEDB中，：CD=BD,ZADC=ZEDB,AD=ED,

.,.△ACD^AEBD(SAS),；.AC=EB=6,

在A4BE中，AB-BE<AE<AB+BE,

4<2AD<16,2<AD<8,

18

C

A

"AE

图1B

(2)如图2延长FD到G,使DG=FD,连结BG,EG,

由D为BC中点，BD=CD,

在AFDC和AGDB中，：CD=BD,ZFDC=ZGDB,FD=GD,

.,.△FCD^AGBD(SAS),；.FC=GB,

VDEIDF,DF=DG,；.EF=EG,

在ABEG中EG<EB+BG,即BE+CF>EF,

(3)如图3,延长AD至!JG使DG=AD,连结BG,

由。是3c边上的中点，；.BD=CD,

在AADC和AGDB中，VCD=BD,ZADC=ZGDB,AD=GD,

.,.AACD^AGBD(SAS),

；.AC=GB,ZDAC=ZG,

VBE=AC,.,.BE=BG,ZBED=ZG=ZCAD.

19

E

A

C

图3

13.已知，在Rt^ABC中，Z&4c=90。，点。为边AB的中点，AELCD分别交8,8C于点/，E.

(1)如图1,①若AB=AC,请直接写出NK4C—N3CO=；

②连接DE,若AE=2DE,求证：ZDEB=ZAEC；

(2)如图2,连接EB,若EB=AC,试探究线段CF和。尸之间的数量关系，并说明理由.

【分析】(1)①利用直角三角形两个锐角相加得90。和三角形的外角等于不相邻的两个内角和的性质结合题

干已知即可解题.

②延长ED至点G,使得DG=DE,连接AG,从而可证明-AOG0,BDE(SAS),再利用全等的性质，可

知〃G4=NO£B,即可知道4G〃BC,所以NG4E=NAEC,根据题干又可得到AE=EG,所以

ZDGA^ZGAE,从而得出结论.

(2)延长CD至点”，使得=D厂，连接8”，从而可证明Z印加2ATOA(SAS),再利用全等的性质，

可知=A尸，ZH=ZAFD=ZAFC=90°,根据题干即可证明RtAHB尸名RtZ\E4c(乩)，即得出结论.

【解析】(1)①：N£4C+ZACD=90。，ZAEC+ZBCD=90°,

：.NEAC-Z.BCD=ZAEC-AACD.

"ZEAC+NBAE=90°,：.ZACD=ZBAE.

又：ZAEC=ZB+ZBAE,：.ZEAC-ZBCD=ZB+ZBAE-ZACD

：.ZEAC-ZBCD=ZB=45°.

故答案为45。.

②如图，延长即至点G,使得DG=DE,连接4G,

20

•.•点。为43的中点，ABD=AD,

又,：ZADG=ZBDE,：.ADG沿,BDE,

：.ZDGA=NDEB,：.AG//BC,；.Z.GAE=AAEC,

又：AE=2DE,：.AE^EG,

：.ZDGA=ZGAE,；.ZDEB=ZAEC.

(2)CF=2DF.

如图，延长8至点”，使得DH=DF,连接

VAD=BD,ZADF^ZBDH,二HDB^AFDA,

：.BH=AF,ZH=ZAFD=ZAFC=90°,

'：BF=AC,：.RtAHBF2RtA/vlC,

CF=HF=2DF.

14.请阅读下列材料：

问题：在四边形ABCD中，M是BC边的中点，且/AMD=90。

(1)如图1,若AB与CD不平行，试判断AB+CD与AD之间的数量关系；

小雪同学的思路是：延长DM至E使DM=ME,连接AE,BE,构造全等三角形，经过推理使问题得到解

决请你参考小雪的思路，在图1中把图形补充完整，并直接写出上面问题AB+CD与AD之间的数量关系：

(2)如图2,若在原条件的基础上，增加AM平分/BAD,(1)中结论还成立吗？若不成立，写出AB+CD

与AD之间的数量关系，并证明.

【分析】⑴根据条件作出