内蒙古赤峰市宁城县2024届数学八年级上册期末考试试题含解析

内蒙古赤峰市宁城县2024届数学八上期末考试试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如果点P（。,2019）与点。（2020,6）关于x轴对称，那么人方的值等于（）

A.-4039B.-1C.1D.4039

-r3%Zab%一ya+b,

2.在分式一,，229―T中，最简分式有（）

9xycr-b2%-ya-b

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.已知：如图，A。是ABC的中线，Z1=2Z2,CE±AD,BF±AD,点E、/为垂足，EF=6cm,则的

长为（）

F

A.6cmB.12cmC.18cmD.24cm

x+3

4.若分式M1）有意义，则X的取值范围是（）

A.xwOB.xwlC.xw3D."0且xwl

5.如图，已知等边三角形ABC边长为26，两顶点4、5分别在平面直角坐标系的X轴负半轴、轴的正半轴上滑动,

点C在第四象限，连接0C,则线段0C长的最小值是（）

A.73-1B.3-^/3C.3D.若

6.已知：AABC^ADCB,若BC=10cm,AB=6cm,AC=7cm,则©口为（）

A.10cmB.7cmC.6cmD.6cm或7cm

7.将两块完全一样（全等）的含30。的直角三角板按如图所示的方式放置，其中交点〃为AC和AC'的中点，若

BC=2,则点A和点4之间的距离为（）

A.2B.73C.1D.昱

2

mx+n>kx+b,

8.如图，直线y=+〃与，=履+6的图像交于点（3,-1）,则不等式组《的解集是（）

mx+n<0

A.x<3B.x>----C.-----D.以上都不对

mm

9.在平行四边形ABC。中，NA、£）3的度数之比为3:1,则NC的度数为（）

A.135°B.130°C.50°D.45°

10.国际数学家大会的会标如图1所示，把这个图案沿图中线段剪开后能拼成如图2所示的四个图形，则其中是轴对

称图形的有（）

11.某校要明买一批羽毛球拍和羽毛球，现有经费850元，已知羽毛球拍150元/套，羽毛球30元/盒，若该校购买了

4套羽毛球拍，x盒羽毛球，则可列不等式（）

A.150x+30x4<850B.150x+30x4<850

C.150x4+30x<850D.150x4+30x0180

12.现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，设用x张铁

皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（）

x+y=190x+y=190

A.<B.《

2x8x=22y2x22=8x

2y+x=190[2y+x=190

C.<D.〈

8%=22y[2xSx=22y

二、填空题（每题4分，共24分）

13.已知等腰三角形一个外角的度数为108，则顶角度数为.

14.已知2"=18，2=3,贝（12"口+|的值为.

15.分解因式：3am2-27a=.

16.当x=l时，分式土心无意义；当x=2时，分式生心的值为0,则a+b=__.

x+a3x+a

17.计算：-4（层工i）2+8a加=.

18.9的平方根是；-125的立方根是.

三、解答题（共78分）

19.（8分）为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成.已知

甲队的工作效率是乙队工作效率的士倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天.

2

（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？

（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不

超过145万元，至少安排甲队工作多少天？

20.（8分）知识背景

我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质

和判定，在十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定.在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而

解决问题

问题初探

如图（1）,AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点。是BC上一点，连接AO,以AO为一边作AADE,使NZME=90。,

AD^AE,连接3E,猜想BE和CZ＞有怎样的数量关系，并说明理由.

类比再探

如图（2）,AA5C中，NA4c=90。，AB^AC,点M是A3上一点，点。是5c上一点，连接拉。，以为一边作

4MDE,使NOME=90。，MD=ME,连接BE,则NE3Z）=.（直接写出答案，不写过程，但要求作出辅助线）

方法迁移

如图（3）,ZkABC是等边三角形，点。是5C上一点，连接A。，以4。为一边作等边三角形AOE,连接BE,则3。、

BE、3c之间有怎样的数量关系？（直接写出答案，不写过程）.

拓展创新

如图（4）,A4BC是等边三角形，点M是48上一点，点。是3c上一点，连接MO,以MZ＞为一边作等边三角形MDE,

连接5E.猜想NE5。的度数，并说明理由.

21.（8分）先阅读后作答：我们已经知道.根据几何图形的面积可以说明完全平方公式，实际上还有一些等式也是可

以用这种公式加以说明.例如勾股定理a2+b2=c2就可以用如图的面积关系来说明.

图1图2

(1)根据图2写出一个等式：；

(2)已知等式(％+力(*-4)=%2+(2—4卜一的，请你画出一个相应的几何图形加以说明.

22.(10分)已知3瓶+〃=1,且机之〃.

(1)求m的取值范围

(2)设y=3m+4〃，求y的最大值

23.(10分)已知A、B两点在直线/的同侧，试在/上找两点C和D(CD的长度为定值4),使得AC+CD+DB最短

(保留作图痕迹，不要求写画法).

24.(10分)仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值.

解：设另一个因式为(x+n),得

x2-4x+m=(x+3)(x+n)

贝！Ix2-4x+m=x2+(n+3)x+3n

(n+3=-4

/.{m=3n.

解得：n=—7,m=—21

另一个因式为(x—7),m的值为—21

问题：仿照以上方法解答下面问题：

已知二次三项式2x2+3x_k有一个因式是(2x-5),求另一个因式以及k的值.

25.(12分)今年我市某公司分两次采购了一批大蒜，第一次花费40万元，第二次花费60万元.已知第一次采购时

每吨大蒜的价格比去年的平均价格上涨了500元，第二次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格下降了500元，第

二次的采购数量是第一次采购数量的两倍.

(1)试问去年每吨大蒜的平均价格是多少元？

(2)该公司可将大蒜加工成蒜粉或蒜片，若单独加工成蒜粉，每天可加工8吨大蒜，每吨大蒜获利1000元；若单独

加工成蒜片，每天可加工12吨大蒜，每吨大蒜获利600元.由于出口需要，所有采购的大蒜必需在30天内加工完毕,

且加工蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，为获得最大利润，应将多少吨大蒜加工成蒜粉？最大利润

为多少？

26.我们提供如下定理：在直角三角形中，30。的锐角所对的直角边是斜边的一半,

请利用以上定理及有关知识，解决下列问题:

如图(2),边长为6的等边三角形ABC中，点D从A出发，沿射线AB方向有A向B运动点F同时从C出发，以相同

的速度沿着射线BC方向运动，过点D作DEJ_AC,DF交射线AC于点G.

(1)当点D运动到AB的中点时，直接写出AE的长；

(2)当DF1AB时，求AD的长及△BDF的面积；

⑶小明通过测量发现，当点D在线段AB上时，EG的长始终等于AC的一半，他想当点D运动到图3的情况时，EG

的长始终等于AC的一半吗?若改变，说明理由；若不变，说明理由.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、C

【分析】利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数.即点M(x,y)关于x轴的对称点M，的坐标

是(x,-y),进而得出答案.

【详解】解：；点P(a,2019)与点Q(2020,b)关于x轴对称，

a=2020,b=-2019,

.•.5=2020+(-2019)=1,

故选：c.

【点睛】

此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键.

2、B

【分析】利用最简分式的定义判断即可得到结果.

3xzzx-y1

，则最简分式有2个,

【详解】旃二万47x+y

故选：B.

【点睛】

此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键.

3、B

【分析】先证4BDF四4CDE,得到DE=3,再证/2=60°,根据30°角所对的直角边是斜边的一半，求出DC的长,

再求BC的长即可

【详解】解：；AD是△ABC中线，

^△BDF^ACDE中，

BD=CD

<ZBDF=ZCDE

NBFD=NCED

：.ABDF^ACDE(AAS).

/.DF=DE,

VEF=6,

；.DE=3,

VZ1=2Z2,Z1+Z2=18O°,

/.Z2=60°,

AZDCE=30°,

/.DC=6,

.\BC=12,

故选B.

【点睛】

本题考查全等三角形的判断和性质，垂直的定义，中线的定义，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定.

4、D

x+3

【解析】•••分式有意义,

x(x-l)

/.x(x—1)w0,

，xwO且x-lwO,解得xwO且xwl.

故选D.

5、B

【解析】利用等边三角形的性质得出C点位置，进而求出OC的长.

【详解】解：如图所示：过点C作于点E,连接OE,

•；△ABC是等边三角形，

/.CE=ACxsin60°=2A/3x—=3,AE=BE,

2

■:ZAOB=90°,

:.EO=gAB=6，

.,.EC-OE>OC,

...当点GO,E在一条直线上，此时OC最短，

故OC的最小值为：OC=CE-EO=3—6

故选反

【点睛】

本题主要考查了勾股定理以及等边三角形的性质，得出当点c,O,E在一条直线上，此时OC最短是解题关键.

6、C

【分析】全等图形中的对应边相等.

【详解】根据AABCgaDCB,所以AB=CD,所以CD=6,所以答案选择C项.

【点睛】

本题考查了全等，了解全等图形中对应边相等是解决本题的关键.

7、B

【分析】连接A'A，AC和C'C，根据矩形的判定可得：四边形AACC'是矩形，根据矩形的性质可得：AA=CC，

ZACC=90°,然后根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出A2',再根据勾股定理即可求出AC',然后根

据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出CC,从而求出A'A.

【详解】解：连接A'A，4C和C'C

f/'V

1r、-、-、-JT.KU

4：

•・•点M为AC和AC的中点

二四边形AACC是平行四边形

根据全等的性质AC=AC,BC=B'C=2

二四边形AACC是矩形

AA=C'C，ZACC'=90°

在Rt^CW'A中，ZA'=30°

:.AB'=2B'C'=4

根据勾股定理，AC=y/AB'2-B'C'2=2^3

在RtZ\ACC'中，NA'=30°

C'C=-A'C'=y/3

2

，A'A=CC=百

故选B.

【点睛】

此题考查的是矩形的判定及性质、直角三角形的性质和勾股定理，掌握矩形的判定及性质、30。所对的直角边是斜边

的一半和用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键.

8、C

【分析】首先根据交点得出"：=3,判定加<0,左>。，然后即可解不等式组.

m-k

【详解】・・•直线〃与>=辰+人的图像交于点（3,4）

:.3m+n=—l,3k+b=­l

b—n

/.3m+n=3k+b,即-----=3

m-k

由图象，得加<0,左>0

/.mx+n>kx+b,解得％<3

n

mx+n<0,解得％2-----

m

二不等式组的解集为：-一<%<3

m

故选：C.

【点睛】

此题主要考查根据函数图象求不等式组的解集，利用交点是解题关键.

9、A

【分析】由四边形ABCD为平行四边形，可知NA+NB=180。，NA=NC,依据NA:NB=3：1可求得NA的度数,

即可求得NC的度数.

【详解】解：•••四边形ABCD为平行四边形，

,,.ZA+ZB=180°,ZA=ZC,

VZA:ZB=3;1,

3

/.ZA=180°x-=135°

4

•*.ZC=135°,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查平行四边形的性质：（1）邻角互补；（2）平行四边形的两组对角分别相等.

10、C

【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形，逐一

判断即可.

【详解】解：①是轴对称图形，故符合题意；

②不是轴对称图形，故不符合题意；

③是轴对称图形，故符合题意；

④是轴对称图形，故符合题意.

共有3个轴对称图形

故选C.

【点睛】

此题考查的是轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解决此题的关键.

11、C

【分析】根据题意，列出关于X的不等式，即可.

【详解】根据题意：可得：150x4+30%<850,

故选C.

【点睛】

本题主要考查一元一次不等式的实际应用，根据题意，找到不等量关系，列出不等式，是解题的关键.

12、A

【分析】此题中的等量关系有：①共有190张铁皮；②做的盒底数等于盒身数的2倍时才能正好配套.由此可得答案.

【详解】解：根据共有190张铁皮，得方程x+y=190；

根据做的盒底数等于盒身数的2倍时才能正好配套，得方程2x8x=22y.

x+y=190

列方程组为

2x8%=22y

故选：A.

【点睛】

本题考查的是二元一次方程组的应用，找准等量关系是解应用题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、72。或36。

【分析】等腰三角形的一个外角等于108，则等腰三角形的一个内角为72°,但已知没有明确此角是顶角还是底角，

所以应分两种情况进行分类讨论.

【详解】•••一个外角为108，

.•・三角形的一个内角为72°,

当72°为顶角时，其他两角都为54。、54°,

当72°为底角时，其他两角为72°、36°,

所以等腰三角形的顶角为72。或36°.

故答案为：72。或36。

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质,

很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要

仔细认真，避免出错.

14、1

【分析】直接利用同底数塞的乘除运算法则将原式变形进而得出答案.

【详解】："=18,2b=3,

=2a4-(2b)2X2

=184-32X2

故答案为：L

【点睛】

此题主要考查了同底数第的乘除运算，解题关键是将原式进行正确变形.

15、3a(“2+3)(772-3).

【分析】先提公因式，再利用平方差公式分解即可.

【详解】解：3am2-27«=3a(m2-9)=3a(m+3)(/n-3).

故答案为：3ao+3)(m一3).

【点睛】

本题考查的是提公因式法与利用平方差公式进行因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键.

16、3

【分析】先根据分式无意义的条件可求出a的值，再根据分式值为0的条件可求出b的值,最后将求出的方代入计算即

可.

x—卜

【详解】因为当X=1时，分式—无意义，

所以1+Q=0,

解得:a=-l,

2x—h

因为当％=2时,分式^——的值为零,

4-b=0

所以

2+。R0’

解得：b=4,

所以a+b=-l+4=3,

故答案为：3.

【点睛】

本题主要考查分式无意义和分式值为0的条件，解决本题的关键是要熟练掌握分式无意义和分式值为0的条件.

【分析】利用塞的乘方与积的乘方运算法则，以及整式的除法法则计算即可得到结果.

i3

【详解】解：原式=-4a廿-2+8.2=--

22b4

3

故答案为：-条

【点睛】

本题考查了积的乘方、塞的乘方、以及单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

18、±3-5

【分析】根据平方根和立方根的定义，即可得到答案.

【详解】解：9的平方根是±3；-125的立方根是-5；

故答案为：±3,-5.

【点睛】

本题考查了平方根的定义和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握定义进行解题.

三、解答题（共78分）

19、（1）乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米.（2）10天.

3

【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为X米，则甲工程队每天能改造道路的长度为一X米，根据工作时间=

2

工作总量+工作效率结合甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之

经检验后即可得出结论；

（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作120°—60加天,根据总费用=甲队每天所需费用x工作时间+乙队每天所

40

需费用x工作时间结合总费用不超过145万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结

论.

3

【详解】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为大x米，

2

-36-0--3-60--j

根据题意得：X3,

一龙

2

解得：x=40,

经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意，

33

:.—x=—x40=60,

22

答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米；

（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作120°—60"?天,

40

1200-60m

根据题显得：7m+5x----------------<145,

40

解得：m>10,

答：至少安排甲队工作10天.

【点睛】

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（D找准等量关系，正确列出分式方程；（2）

根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式.

20、问题初探：BE=CD,理由见解析；类比再探：ZEBD=9Q°,辅助线见解析；方法迁移：BC=BD+BE；拓展创

新：NEBO=120。，理由见解析

【分析】问题初探：根据余角的性质可得NR4E=NCW,然后可根据SAS证明△BAEg△CW,进而可得结论；

类比再探：过点M作M尸〃AC交于点F,如图（5）,可得△5MF是等腰直角三角形，仿问题初探的思路利用SAS

证明可得NM5E=NMFO=45。，进而可得结果；

方法迁移：根据等边三角形的性质和角的和差关系可得NR4E=NC4O,然后可根据SAS证明△BAEgACAO,进而

可得结论；

拓展创新：过点M作MG〃AC交于点G,如图（6）,易证△5MG是等边三角形，仿方法迁移的思路利用SAS证

明△BMEg/kGM。，可得N2W5E=NMG3=60。，进而可得结论.

【详解】解：问题初探：BE=CD.

理由：如图（1）,,：ZDAE=ZBAC=90°,：.ZBAE=ZCAD,

'：AB=AC,AE^AD,

：./\BAE^ACAD（SAS）,

:.BE=CD；

类比再探：

在图（2）中过点M作M/〃AC交3c于点尸，如图（5）,则N3拉尸=NA=90。，ZBFM=ZC=45°,：.MB=MF,

VZDME=ZBMF=9Q°,：.ZBME=ZDMF,

\'MB^MF,ME=MD,

:./XBMEm/XFMD(SAS),

:.ZMBE=NMFD=45°；

：.NEBD=ZMBE+ZABC=90°.

故答案为：90°；

方法迁移：BC^BD+BE.

理由：如图(3),'.'△ABC和AIDE是等边三角形，AZDAE=ZBAC=60°,：.ZBAE=ZCAD,

'：AB^AC,AE^AD,：./\BAE^/\CAD(SAS),

：.BE=CD,：.BC=BD+CD=BD+BE；

图（3）

拓展创新：ZEBD=12d°.

理由：在图(4)中过点M作拉G〃AC交3c于点G,如图(6),则/3"6=/4=60。，ZBGM=ZC=60°,

二ABMG是等边三角形,：.BM=GM,

'：ZDME=ZBMG=60°,:.ZBME=ZDMG,

,：ME^MD,(SAS),

二ZMBE=ZMGB=60°,

ZEBD^ZMBE+ZMBG^120°.

【点睛】

本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和

性质等知识，添加辅助线构造全等三角形、灵活应用上述知识和类比的思想是解题的关键.

21、(1)(a+b)2=(a-4+4血(2)见解析

【分析】(1)根据图2中大正方形的面积的两种算法，写出等式即可；

(2)根据已知等式得出相应的图形即可.

【详解】(1)根据图2得：(a+b)2=(a—刀2+4仍；

故答案为：(a+/?)2=(。一。)2+4aZ?；

(2)等式(％+夕)(％-4)=%2+(夕一4卜一的可以用以下图形面积关系说明：

大长方形的面积可以表示为：长x宽=(x+p)(x-q),

大长方形的面积也可以表示为：一个正方形的面积+1个小长方形的面积-2个小长方形的面积

=x2+px-qx-pq=x2+(<p-q^x-pq,

:.(x+/?)(x-^)=x2+(p_q)x_pq.

【点睛】

本题考查了多项式乘多项式，正确利用图形结合面积求出是解题关键.

17

22、(1)m>-(2)-

44

【分析】(1)把n用m表示，再代入机沙即可求解；

(2)先表示为y关于m的函数，再根据一次函数的性质即可求解.

【详解】(1)V3m+n=l

:.n=-3m+l

■:m>n

:.m>-3m+l

解得加

4

(2)y=3m+4n=3m+4(-3m+l)=-9m+4

,.,-9<0,.*.y随m的增大而减小,

117

...当m=：时，y的最大值为-9X：+4=—

444

【点睛】

此题主要考查一次函数与不等式，解题的关键是熟知一次函数的性质及不等式的求解.

23、作图见解析.

【解析】先作出点B关于I的对称点B，，A点向右平移到E（平移的长度为定值a）,再连接EB，，与1交于D,再作

AC〃EB，，与1交于C,即可确定点D、C.

【解析】根据例题中的已知的两个式子的关系，二次三项式x2-4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项

系数也是1,利用待定系数法求出另一个因式•所求的式子2x2+3x-k的二次项系数是2,因式是（2x-5）的一次项

系数是2,则另一个因式的一次项系数一定是1,利用待定系数法，就可以求出另一个因式.

【详解】解：设另一个因式为（x+a）,得

2x2+3x-k=（2x-5）（x+a）

贝！］2x~+3x—k=2x~+（2a—5）x—5a

（2a-5=3

J-5a-—k

解得：a=4,k=20

故另一个因式为（x+4）,k的值为20

【点睛】

正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键.

25、（1）去年每吨大蒜的平均价格是3500元；（2）应将120吨大蒜加工成蒜粉，最大利润为228000元.

【分析】

(1)设去年每吨大蒜的平均价格是X元，则第一次采购的平均价格为(X+500)元，第二次采购的平均价格为(x-500

)元，根据第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍，据此列方程求解；

(2)先求出今年所采购的大蒜数，根据采购的大蒜必需在30天内加工完毕，蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜

数量的一半，据此列不等式组求解，然后求出最大利润.

【详解】(1)设去年每吨大蒜的平均价格是丈元,

400000c600000

由题意得,