山东省济南市2023-2024学年高二年级上册期末考试数学试题

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2024年1月高二期末学习质量检测

数学试题

本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.直线x—y+i=°的倾斜角是（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

2.已知双曲线必一匕=1,则其渐近线方程为（）

2

[5

Ay=±—xB.y=±Y_%C.y=±42xD.y=±2x

22

3.已知正项等比数列｛4｝中，则%等于（）

A.2B.4C.5D.8

4.在三棱柱ABC-AqG中，若=AB=b»=c,则Cg：()

iiiiii

A.a+b—cB.a—b+cC.-a+b-cD.-a+b+c

5.2023年10月29日，“济南泉城马拉松”在济南大明湖路拉开序幕，约3万名选手共聚一堂，在金秋十月

享受了一场酣畅淋漓的马拉松盛会.某赞助商在沿途设置了10个饮水补给站，第一个补给站准备了1千瓶

饮用水，第二站比第一站多2千瓶，第三站比第二站多3千瓶，以此类推，第n站比第n-1站多n千瓶

且〃eN*），第10站准备的饮用水的数量为（）

A45千瓶B.50千瓶C.55千瓶D.60千瓶

6.已知A（2,0）,5（8,0）,若直线y=日上存在点M使得则实数上的取值范围为（

3344

A.B.

4?4

22

7.已知双曲线=-1=1（。>0,6>0）,其中A、工分别为双曲线的左顶点、右焦点，尸为双曲线上的点,

ab

满足Pg垂直于无轴且I伍|=2|PE|,则双曲线的离心率为（）

,34

A.—B.—C.2D.3

23

8.如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形，在该几何体中，尸为

直线DE上的动点，则尸到直线AB距离的最小值为（）

A逝R巫「币V10

A.D.C.nU.-------

2345

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.一条光线从点A-2,3）射出，射向点3（1,0）,经x轴反射后过点C（a』），则下列结论正确的是（）

A.直线A2的斜率是-IB.AB1BC

C.a=3D.\AB\+\BC\=442

22

10.已知白，B分别是椭圆。：亳+汽=1的左，右焦点，尸为椭圆c上异于长轴端点A,8的动点，则下

列结论正确的是（）

A.椭圆C的焦距为6B.APg的周长为16

C.2<|P7^|<8D.APGB的面积的最大值为16

11.在棱长为1的正方体ABC。—a/G。中，点尸，。分别满足。下=九24，£）Q=ZDA,则（）

A.32e（0,1）,使PQLAQ且

B.V2G（0,1）,PQ//平面A54A

C.32e（0,1）,使尸。与平面ABCD所成角正切值为:

D.V2e（0,l）,5F与AQ是异面直线

12.已知集合4=卜,=2九一1,“€?4*｝,5=｛x,=3"—2/eN"｝.将Au5的所有元素从小到大依次

排列构成一个数列｛4｝,记用为数列｛4｝的前〃项和，则下列说法正确的是()

A.a2=3B.an+4-an=6C.tz2023=3035D.若S〃>2024,贝ij

n>52

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知a—(2,1,1),b=(-6,/I,—3)，若4〃6，则2的值为.

14.已知等差数列｛4｝首项q=7,公差d=—2,则前〃项和S”的最大值为.

15.已知圆。：/+/=4,直线/："a+y—m—1=0,直线/被圆C截得的最短弦长为.

16.已知抛物线C:=4x的焦点为F,过点尸作与x轴不垂直的直线/交C于点A,B,过点A做垂直于

\AB\

x轴的直线交C于点。，若点M是△ABD的外心，则六六的值为_______.

\MF\

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.己知等差数列｛。.｝,满足2a2+%=15,4=7.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵令勿=(-IVa.，求也｝前2〃项和&.

18.己知圆心为C圆经过0(0,0),A倒,2⑹两点，且圆心C在直线/：>=瓜上.

(1)求圆C的标准方程；

⑵点尸在圆C上运动，求的取值范围.

19.已知抛物线的准线方程为1=-2,直线/与抛物线交于A3两点，。为坐标原点.

(1)若Q4B为等腰直角三角形，求的面积；

(2)若。1,03,证明：直线/过定点P,并求出定点尸的坐标.

20.如图(1)所示,上钻中，AP±AB，AB=AP=12.分别为丛,出中点.将△?DC沿。。

向平面ABCD上方翻折至图⑵所示的位置，使得PA=642-连接PN，P&PC得到四棱锥P-ABCD.记

P3的中点为N,连接CN.

(1)证明：CN_L平面R45；

(2)点。在线段CN上且QC=2QN,连接AQ,PQ,求平面P4Q与平面A3CD的夹角的余弦值.

2

21.设数列｛4｝,其前〃项和为S“，2Sn=3n+3n,也｝为单调递增的等比数列，她&=729,

4+%=4-6•

(1)求数列｛4｝,｛4｝的通项公式；

(2)记％为也｝在区间(0,4“］何eN*)中的项的个数，求数列｛cm｝的前100项和Tl00.

22.在平面直角坐标系.xOy中，设A，4两点的坐标分别为(-2,0),(2,0).直线A/，4”相交于点

M,且它们的斜率之积是-1.

2

(1)求动点M的轨迹方程；

(2)记动点M的轨迹为曲线E,过P(L0)作两条互相垂直的直线小4，4与曲线E交于A、2两点，12

与曲线E交于C、。两点，求AC-3D的最大值.

绝密★启用并使用完毕前

2024年1月高二期末学习质量检测

数学试题

本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.直线x—y+i=°的倾斜角是（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】B

【解析】

【分析】根据直线的一般方程与斜率的关系，结合斜率与倾斜角的关系求解即可.

【详解】直线x-y+l=0的斜率为1,故倾斜角为45°.

故选：B

2

2.已知双曲线必—匕=1,则其渐近线方程为（）

2

【答案】C

【解析】

【分析】利用双曲线方程，求解渐近线方程即可.

2

【详解】由于双曲线为炉―5=1,所以其渐近线方程为y=±0x.

故选：C.

3.已知正项等比数列｛4｝中，则%等于()

A.2B.4C.5D.8

【答案】B

【解析】

【分析】根据等比中项的性质计算即可.

【详解】由题意易知的=0；=16，

又｛%｝各项为正数，所以%=4.

故选：B

4.在三棱柱ABC-4gG中，若AC=〃，AB=b,4^=。，则。4=()

iiiiii

A.a+b-cB.a-8+cC.-a+b-cD.-a+/?+c

【答案】D

【解析】

【分析】利用空间向量的线性运算计算即可.

【详解】由题可知CB；=CCx+CB^A\+AB-AC=-a+b+c.

故选：D

5.2023年10月29日，“济南泉城马拉松”在济南大明湖路拉开序幕，约3万名选手共聚一堂，在金秋十月

享受了一场酣畅淋漓的马拉松盛会.某赞助商在沿途设置了10个饮水补给站，第一个补给站准备了1千瓶

饮用水，第二站比第一站多2千瓶，第三站比第二站多3千瓶，以此类推，第n站比第n—1站多n千瓶

("22且〃eN*)，第10站准备的饮用水的数量为()

A.45千瓶B.50千瓶C.55千瓶D.60千瓶

【答案】C

【解析】

【分析】设第九站的饮用水的数量为45=1,2,3,…,10),由题意得：4=1,出一%=2,%-。2=3，

L,aw-a9=10,然后利用累加法即可求解.

【详解】设第九站的饮用水的数量为45=1,2,3,,10),由题意得：％=1,g―4=2,

%一g=3,L,aw-a9=10,以上等式相加得：，

1+（a,—a1）+（%—a,）++（q。-。9）=1+2+3++10=---------=55，

即q。=55.

故选：C

6.已知A（2,0）,3（8,0）,若直线y=依上存在点M使得用0-820=0，则实数上的取值范围为（

3344

A.B.

454

4

D.—,+oo

3

【答案】A

【解析】

【分析】由题可得点M轨迹方程，再由直线与圆有公共点建立不等式，求解即可.

【详解】因为所以则点M在以AB为直径的圆上，

因为A3的中点坐标为（5,0）,|A@=6,所以点/的轨迹方程为（》-5）2+旷=9,

|5用33

由题可知，直线y=近与圆（》-5）2+产=9有公共点，所以吉上43,解得：—

ViTF44

故选：c

22

7.已知双曲线-—与=1（。>0,6>0）,其中A、工分别为双曲线的左顶点、右焦点，尸为双曲线上的点,

ab

满足尸工垂直于X轴且|/闾=2归可，则双曲线的离心率为（）

..34

A.—B.—C.2D.3

23

【答案】A

【解析】

【分析】设P（c,%），代入双曲线方程求出|为|，根据|9|=2］。6|可得答案.

22/2/2

【详解】设尸（G%），则JT=1,解得尻|=£_,即|尸闾=幺，|Ag|=a+c,

abaa

因为与I=2|尸耳］,所以4+（?=22，可得〃2+QC=2卜2-〃2）,

3

2e2-e-3=0>解得e=

故选：A.

8.如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形，在该几何体中，尸为

直线。E上的动点，则P到直线AB距离的最小值为（）

A四V6「近A/W

A.DR.C.LNf.------

2345

【答案】B

【解析】

【分析】作出该几何体，确定直线。E和直线为异面直线，再根据平面ABC//平面DEF,结合等体积

法求得D到平面ABC的距离即可.

【详解】把平面展开图还原为空间八面体，如图所示：

由题意，P到直线AB距离的最小值即直线。产到直线AB的距离，

XDF//AC,ACu平面ABC,。尸平面ABC,故。歹〃平面ABC.

又BC=BD=EC=ED=1,故四边形BCED为菱形，则。石〃BC.

5。u平面ABC,平面ABC,故DE//平面ABC.

又DFDE=D,DfDEu平面DEE,故平面。跖〃平面ABC.

故直线。产到直线AB的距离为平面DEF到平面ABC的距离.

则。到平面ABC的距离即为尸到直线A8距离的最小值.

设■与CD交于。，则易得。为正四棱锥3—AOFC中心.

则BA=BC=5D=AC=AO=1，CD=yjAC2+AD2=S/2=^BC2+BD2-故△BCD为直角三角

形，故也.

2

设£>到平面ABC的距离为〃，则由％.ACO=%.ABC，故gs4CD-30=gsABC.鼠

—xlxlx^^=^-/z,解得h=揖-.

2243

故选：B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.一条光线从点A-2,3)射出，射向点2(1,0),经x轴反射后过点C(a,D,则下列结论正确的是()

A.直线A2的斜率是-IB.AB1BC

C.a=3D.|AB|+|BC|=4V2

【答案】ABD

【解析】

【分析】选项A应用斜率公式计算即可；选项B,先求得点A关于x轴的对称点，进而求得反射光线所在

直线的斜率，应用两条直线垂直的斜率公式判断即可；选项C,求得反射光线所在直线的方程，进而求得点

C的坐标；选项D应用两点间距离公式求解即可.

,0-3,

【详解】由于4-2,3)、8(1,0),由斜率公式得：k==-1,选项A正确；

AB1-(-2)

点4-2,3)关于x轴的对称点人的坐标为(-2,-3),经x轴反射后直线BC的斜率为：

0-(-3)

kBc=kA、B=、且即C«AB=T，所以AB15C，选项B正确；

1一(一2)

直线即直线48的方程为：y—0=lx(x—1),即y=x-l,

将y=l代入得：尤=2,所以点C(2,l),a=2,选项C不正确；

由两点间距离公式得：

\AB\+\BC\=7[1-(-2)]2+(0-3)2+7(2-1)2+(1-0)2=4形，

选项D正确；

故选：ABD.

22

10.已知6，工分别是椭圆。：言+汽=1的左，右焦点，P为椭圆c上异于长轴端点A,8的动点，则下

列结论正确的是()

A.椭圆C的焦距为6B.的周长为16

C.2<|P^|<8D.△「£区的面积的最大值为16

【答案】AB

【解析】

【分析】由椭圆方程求得a,b,。的值，根据椭圆的几何性质结合选项即可逐一求解.

【详解】由椭圆C:二+匕=1,得。=5,6=4,c=3,

2516

，椭圆C的焦距为2c=6,故A正确；

又P为椭圆C上异于长轴端点A,B的动点，耳玛的周长为2。+2c=16,故B正确；

2=a-c<\PFl\<a+c=8,故C错误；

当尸为椭圆C的短轴的一个端点时，△。耳工的面积取最大值为gx2cxz7=bc=12,故D错误.

故选：AB.

11.在棱长为1的正方体—44中，点P,。分别满足D]P=；LD]4,DQ=2D4>则（

A.32e（0,1）,使PQ_LAQ且

B.V2e（0,l）,PQ//平面ABB】A

C.m2e（0,1）,使尸。与平面ABCD所成角的正切值为：

D.V2G（0,1）,5F与AQ是异面直线

【答案】BCD

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量一一计算判定选项即可.

B

如图所示，建立空间直角坐标系,

根据题意可知P(441),。(4(U),A(1,0,1),^(0,0,1),5(1,1,0),A(l,0,0),

则。。=(0,一％彳一1)皿=(l,o,l)加=("L"l,l),AQ=(/l-1,0,2),

平面ABB^的一个法向量为m=（1,0,0）,平面ABCD的一个法向量为n=（0,0,1）,

对于A,若则PQ•必=（0,-4彳―1）-（1,0,1）=彳-1=0

=4=1生（0,1）,故A错误；

对于B,易知。。・m=（0,-4彳一1>。,0,0）=0恒成立，且PQ<Z平面ABBiA，

则P。//平面A3旦A，故B正确；

对于C,设尸。与平面ABCD所成角为。0,］］）

2.2

若tan。=—=>sma=—=,

有39，

即."MP。,"［岗］亚宗7=庶'解之得人：或六3'

显然三几G（0,1）,使得结论成立，故C正确；

对于D,因为3P=（彳-1,彳-l』）,AQ=（X—l,0,X）,

4-1=左（4-1）

若5P,A。共线，则存在实数左，使得3P=kAQn<；l—l=Zrx0,解得4=1生（0,1）,

1=kA

所以V/LG（（U）,BP,A。不共线，故D正确.

故选：BCD

12.己知集合4=,卜=2〃—l,aeN*｝,3=卜k=3〃—27eN*｝.将AuB的所有元素从小到大依次

排列构成一个数列｛%｝，记5“为数列｛4｝的前”项和，则下列说法正确的是（）

A.a2—3B,an+4—an—6C.o2023=3035D,若Sn〉2024,贝ij

n>52

【答案】ABD

【解析】

【分析】求得AB,A5中的一些元素，结合等差数列的定义、通项公式、求和公式，对选项逐一判断即

可.

【详解】由题意可得：Ac3={xk=6〃-5,〃eN*},

可得AuB={l,3,4,5,7,9,10,11,13,15,16,17,19,},

则4=1,a2=3,%=4,%=5,%=7,%=9,%=1。,。8=1L,

对于选项A:易得。2=3,故A正确；

对于选项B:易得。叶4-4=6,故B正确；

对于选项C:由。〃+4-％=6,可得“2023=。3+505x6=4+3030=3034,故C错误；

对于选项D:易得数列{4}每隔四个一组求和，可构成等差数列，其首项为13,公差为24，

由13xl2+\12xllx24=1070<2024,

2

13xl3+-xl3xl2x24=2041>2024,贝|S”>2024,此时有〃之52,故D正确.

2”一

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：关键是通过q=1,4=3,%=4%=5,%=7,g=9,%=1°，1=11，，，找到

。“+4-4=6，由此借助等差数列的相关知识，进而求解即可•

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知&=(2,1,1),Z?=(-6,Z,-3),若a〃6，则2的值为.

【答案】-3

【解析】

【分析】根据向量共线即可求解.

【详解】由a=(2,1,1),b=(-6,A,—3),a//b,可得Z?=—3a，故X=—3,

故答案为：-3

14.已知等差数列{a,}首项q=7,公差d=—2,则前“项和S,的最大值为.

【答案】16

【解析】

【分析】利用等差数列前九项和公式和，结合二次函数的性质即可求解.

【详解】等差数列｛4｝首项6=7,公差d=—2,

2

Sn=ln+“。丁)x(-2)=-rr+8〃=-(n-4)+16.

则前几项和S”的最大值为16.

故答案为：16.

15.己知圆。：/+/=4,直线/：7nx+y-机—1=0,直线/被圆C截得的最短弦长为.

【答案】272

【解析】

【分析】先求出直线/过定点4(1,1)，数形结合得到当AC与故直线/垂直时，直线/被圆C截得的弦长最

短，求出最短弦长.

【详解】/：7nx+y—7〃—1=0变形为"«%-1)+丁-1=0,故直线/过定点4(1,1),

故当AC与故直线/垂直时，直线/被圆C截得的弦长最短，

其中。：/+,2=4的圆心为。(0,0),半径为2,

此时弦长为2,4TAe『=20.

故答案：2日

16.已知抛物线C：V=4x的焦点为R过点F作与x轴不垂直的直线/交C于点A,B,过点A做垂直于

\AB\

x轴的直线交C于点若点M是△ABZ)的外心，则FT；的值为________.

\MF\

【答案】2

【解析】

【分析】设直线/：%=冲+1(机/0),联立方程，利用韦达定理求|4回以及点M的坐标，即可得结果.

【详解】由题意可知：抛物线C：V=4x的焦点厂(1,0),可知直线/与抛物线必相交，

设直线/：x=7盯+l(mw0),,可得

联立方程〈,,消去尤得/—4my—4=0,

b=4x

则%+%=4W=-4，

22

可得|AB|=Vl+mV16m+16=4（疗+1）,

巧^=2相，且曰2=2疗+1,即线段AB的中点（2疗+1,2m），

则线段A3的中垂线方程为y-2m=-m（x-2m2-1）,

由题意可知：点M在％轴上，

令y=0,可得％=2加+3，BPM（2m2+3,0）,®|MF|=2（m2+1）,

（2）

所以\AB\="4m+l=

故答案为：2.

【点睛】方法点睛：对于弦中点问题常用“根与系数的关系”求解，在使用根与系数的关系时，在解决有关弦

中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算，但要注意直线斜率是否存在.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.己知等差数列｛。〃｝,满足2a2+%=15,%=7.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）令2=（一1）%”,求也｝的前2〃项和凡.

【答案】（1）=2/7-1

(2)T2n=2/1

【解析】

2（4+d）+〃]+4d=15

【分析】（1）由题意得《'一，代入等差数列通项公式即可求解;

4+34=7

（2）由么=（—1）'（2"-1）,代入求和即可.

【小问1详解】

2(%+d)+q+4d=15CL=1

由己知，得＜a,+3d=7'解译d=2'故…T

【小问2详解】

由(1)得％=(-1厂(2〃-1),

所以优〃+=(-1)2"(4〃-1)+(-I)2"-1(4〃-3)=4〃-1—(4〃-3)=2,

得&=（4+仇）+（4+d）+-+（怎_1+砥）=2〃.

18.已知圆心为C的圆经过0（0,0）,A（0,2道）两点，且圆心C在直线/：＞=氐上.

（1）求圆c的标准方程；

⑵点尸在圆C上运动，求忸0「+|瓶「的取值范围.

【答案】⑴（x—1『+卜一百『=4

（2）[8,24]

【解析】

【分析】（1）利用圆的对称性先确定圆心，再求半径即可；

（2）设P坐标，利用两点距离公式及点在圆上消元转化为函数求值域求范围即可.

【小问1详解】

圆经过0（0,0）,4（0,26）两点，得圆心在Q4的中垂线》=括上，

「\y=43x=1

又圆心C在直线/：＞=氐上，联立直线方程有《「，得＜

y=6

又，=4,

故圆C的标准方程为（x—1）2+卜一=4.

【小问2详解】

设〃（得，兀），易知飞4―L3],

则|尸0「+归川2=考+尤+¥+（%—2百『=2焉+2卜0_6『+6（*），

因为点尸在圆C上运动，贝乂/—1）2+b0—百『=4,

故（*）式可化简为，|PO『+|P4|2=2x：+2[4-（%-1门+6=4王）+12,

由尤oe[-l,3]^|PO|2+|PA|2的取值范围为[8,24].

19.已知抛物线的准线方程为x=-2,直线/与抛物线交于A3两点，。为坐标原点.

（1）若『。钻为等腰直角三角形，求,。A3的面积；

（2）若。4,03,证明：直线/过定点P,并求出定点P的坐标.

【答案】（1）64

（2）证明见解析，P（8,0）

【解析】

【分析】（1）先根据准线方程求得抛物线方程，再由抛物线及等腰直角三角形对称性得NAOB=90，

OA=OB,从而求得A3坐标计算面积即可；

（2）设直线/方程及A,3坐标，与抛物线方程联立，由垂直关系及韦达定理计算即可

【小问1详解】

因为抛物线的准线为x=-2,可得抛物线的方程为：V=8x,

又JL03为等腰直角三角形，

根据抛物线及等腰直角三角形对称性可知：AAOB=90，OA=OB,

且两点关于横轴对称，则直线OA:y=x.

y=x,、/、1

于是12得A（8,8）,则8（8,—8）,所以S.AB=—x8x（8+8）=64.

y-ox2

【小问2详解】

设直线/：%=冲+",A（%，x）,B（x2,y2）,

x=my+n

联立2.,

[y=8%

得/一8根>—8〃=0,A=64/找2+32〃>0，且%+%=8根，

又因为则左OA,eB=T^=—1，即%%+%%2=0.

2222

由/=8%,得％,%=&，xx=—=n2，

18281264

即％%+-8"=0，解得〃=8或〃=0（舍去）.

当〃=8时，满足A>0.此时，直线/的方程x=my+8.

则/过定点P（8,0）.

20.如图（1）所示，,上钻中，AP±AB，AB=AP=12.分别为尸4尸§中点.将△PQC沿。C

向平面A3CD上方翻折至图（2）所示的位置,使得PA=6®.连接PA,PC得到四棱锥P-ABCD.记

网的中点为N,连接CN.

（1）证明：CNL平面R43；

（2）点Q在线段CN上且QC=2QN,连接AQ,P。，求平面P4Q与平面A3CD的夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵亚

19

【解析】

【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证，

（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角.

【小问1详解】

取4B中点M,连接M0,CM.

则CD//AM,CD=AM,即四边形为平行四边形，

所以CM〃AE>,

又因为ABLAD,所以

由PD上CD,CD//AB,即

又ABLAD,PDcAD=D,PRADu平面

所以AB1平面PAD,又APu平面BLD,故ABLAP,

又因为NM〃AP,则ABJ.2W,

又NMCM=M,NM,CMu平面NCM

所以A31平面NOW,又CNu平面NCM,所以QVLAB,

又在PCD中，PD=CD=6且PDLCD,

在一BQVf中，CM=5M=6且

则PC=BC=6A/5，又N为尸3中点，所以CN_LP5,

又ABcPB=B，平面R43,所以CNL平面？AB.

【小问2详解】

由尸D=AD=6,AP=6①，则+=北2,

即PDLAZ）,又PDLCD,AD±CD,

故以。为坐标原点，以DA,DC,DP所在直线x分别为苍％z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则尸(0,0,6),D(0,0,0),C(0,6,0),A(6,0,0),3(6,12,0),N(3,6,3),

..2♦

故CN=(3,0,3),PA=(6,0,-6),因为CQ==(2,0,2),

所以。(2,6,2),PQ=(2,6,—4),

设平面PAQ的法向量4=a，%,zj,平面ABCD的法向量%=(x2,y2,z2),

PA-n=-6zt=0

则取士=3,解得“=(3/,3),

PQn=2x1+6%—4Z1=0

易知DP,平面A3CD,即％=(0,0,1),

所以cos(〃|,〃2)=/-3f_=3^/1^,

\/71x71919

所以平面PAQ与平面A3CD的夹角的余弦值为之叵.

19

2

21.设数列｛4,｝,其前〃项和为S“，2Sn=3n+3n,他,｝为单调递增的等比数列，bQ2b3=729,

4+%="3-R•

(1)求数列｛4｝,｛〃｝的通项公式；

(2)记c,“为也｝在区间(O,a,“](weN*)中的项的个数，求数列&｝的前100项和加.

【答案】(1)an=3n,2=3"0?eN*)

(2)384

【解析】

【分析】⑴根据4总的关系即可求解=3”，根据等比数列基本量的计算即可求解〃=3"(〃eN*),

(2)利用列举法即可逐一求解｛7｝的前100项，即可求和得解.

【小问1详解】

2

对于数列｛%｝,因为2Sn=3n+3n①，

所以2sM=35—1)2+35—1),n>2,〃eN*②

①-②得a“=3〃(“22,"©川)

由①式，当〃=1时，得％=3,也满足⑸=3〃,

所以aa=3〃("eN").

因为数列也｝为等比数列，由等比数列的性质得贴2&=尺=729,得2=9,

设数列｛勿｝的公比为4,又因为%=6，4=18,

91

所以4+4=4_。6即_+6=94—18,解得q=3或一金，

Q3

又因为｛0｝为单调递增的等比数列，所以4=3,

所以4=3"("eN*)

【小问2详解】

由于下=3，32=9,33=27，34=81，3‘=243，36=729-

所以q,。2对应的区间为(0,3],(0,6],则。=。2=1，即有2个1；

C4，…，8，C3482；

c3,。对应的区间为(。,9],(0,12],…(0,24],则=。=，一=。