2024年中考数学复习（全国版） 一次函数的图像与性质【十大题型】（解析版）

专题12一次函数的图像与性质【十大题型】

＞题型梳理1

【题型1一次函数的相关概念】.................................................................2

【题型2判断一次函数图象】....................................................................5

【题型3探究一次函数经过的象限与系数之间关系】...............................................8

【题型4一次函数与坐标轴交点问题】...........................................................9

【题型5探究一次函数的增减性与系数之间关系】................................................13

【题型6求一次函数解析式】...................................................................14

【题型7一次函数的规律探究问题】............................................................19

【题型8一次函数的新定义问题】..............................................................25

【题型9求两直线与坐标轴围成的图形面积1...............................................................................29

【题型10探究函数与方程、不等式之间的关系】..................................................35

►举一反三

【知识点一次函数的图像与性质】

1.定义

定义1：一般地，形如尸质（左是常数，厚0）的函数叫做正比例函数，其中左叫做比例系数。

定义2：一般地，形如尸a+6（左，6是常数，#0）的函数叫做一次函数。当6=0时，y=kx+bBPy=kx,是

正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

2.一次函数的图象及其性质

正比例函数的图象及性质：正比例函数y=kx（k是常数，上0）的图象是一条经过原点的直线，称为直线

y=kxo

y=kx图像经过象限升降趋势增减性

k>0匚二—.从左向右上升y随着x的增大而增大

k<0从左向右下降

V二.四y随着x的增大而减小

一次函数的图象及性质：一次函数产质+仪左方是常数，原0）的图象是一条直线，称为直线广质+瓦当k

＞0时，直线广履+6从左向右上升，即y随着龙的增大而增大；当上＜0时，直线广质+6从左向右下降，

即y随着x的增大而减小。

y=kx+b图像经过象限升降趋势增减性

k>3b>0一二三

从左向右上升y随着x的增大而增大

k>0,b<0一三四

k<0,b>Q一二四

从左向右下降y随着尤的增大而减小

k<0,b<Q二三四

3.待定系数法

定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做

待定系数法。

函数解析式满足条件的两定点-----*一次函数的图象

■（X1,%）与（X2,）/2）

y=kx+b◄------直线/

4.一次函数与方程（组）及不等式（组）

方程（组）的解与相应函数的交点坐标是相对应的。找到函数的交点坐标，也就找到了对应方程（组）的解,

反之一样。对于不等式（组）的解集也可以通过其对应的函数图象来解决。

【题型1一次函数的相关概念】

【例1】（2023•湖南邵阳•校联考二模）若一次函数y=k久+6的图像如图所示，则下列说法正确的是（）

C.y随x的增大而增大D.x=3时，y=0

【答案】B

【分析】首先根据图像中过两点(0,2),(4,0),求出一次函数的解析式，然后根据函数的性质进行判断即可.

【详解】首先将(0,2),(4,0)代入一次函数解析式y=kx+b,得

=2

Ub=0'

解得卜=一上

(b=2

所以解析式为y=-1%+2；

A、k>0,由求出的k=一5可知此选项错误；

B、b=2,由求出的b=2,可知此选项正确；

C、因为无<0,所以y随X的增大而减小，故此选项错误；

D、将广3代入，y=~lx3+2=1,故此选项错误；

故选：B.

【点睛】本题考查一次函数y=kx+b(k大0)图像的性质和求一次函数解析式，熟练掌握函数图像与函数解

析式中系数k,b的关系是解题关键.

【变式1-1](2023•陕西西安•校考一模)若正比例函数的图象经过点(4成3m)(机力0),则下列各点也在该

正比例函数图象上的是()

A.B.(-12,-1)C.(1,|)D.(3,4)

【答案】C

【分析】由点的坐标，利用正比例函数图象上点的坐标特征，可求出正比例函数解析式，代入各选项中点的

横坐标，求出y值，再将其与纵坐标比较后，即可得出结论.

【详解】解：设正比例函数解析式为丫=kx(k十0),

•・•正比例函数的图象经过点（4m,3m）（mH0）,

/.3m=4mk,

：.k=-

4f

.♦•正比例函数解析式为y=

4

A.当汽=—1时，y=三x（—1）=—三H—之选项A不符合题意；

443

B.当第=—12时，y=|X（-12）=-9W—1,选项B不符合题意；

C.当％=1时，y=Ix1=p选项C符合题意；

44

D.当尤=3时，y=^x3=?44,选项D不符合题意.

“44

故选：C.

【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征,牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx”

是解题的关键.

【变式1-2]（2023•江苏扬州・统考二模）已知一次函数y=x—1的图象经过点（犯2）,则租=.

【答案】3

【分析】把点（犯2）代入一次函数y=x-l,列出关于机的一元一次方程，解之即可得相的值.

【详解】解：•••一次函数y=x—l的图象经过点（小,2）,

，把点（TH,2）代入一次函数，得TH-1=2,

解得：m=3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式.根据一次函数

图像上点的特征得出关于m的一元一次方程是解题的关键.

【变式1-3]（2023•陕西西安・高新一中校考模拟预测）若方程2%-6=0的解，是一个一次函数的函数值为

2时，对应的自变量的值，则这个一次函数可以是（）

A.y=2%—4B.y=—2x+4C.y=2x—6D.y=-2x+6

【答案】A

【分析】由2x-6=。得x=3,再分别求出各选项在x=3时的函数值，即可得到答案.

【详解】解：由2尤一6=0得x=3,

当x=3时,

y=2x-4=2x3-4=2,故A符合题；

y——lx+4=—2x3+4=—2,故B不符合题意；

y=2x—6=2x3—6=0,故C不符合题意；

y--lx+6=-2x34-6=0,故D不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查一次函数的表达式及解一元一次方程，根据题意得出x=3是解题的关键.

【题型2判断一次函数图象】

【例2】（2023•浙江丽水・统考一模）将一圆柱体从水中匀速提起，从如图所示开始计时，直至其下表面刚好

离开水面，停止计时.用光表示圆柱体运动时间，y表示水面的高度，则y与x之间函数关系的图象大致是（）

【分析】设刚开始时水高为八,大水桶底面积为S],圆柱体底面积为S2,速度为。，当圆柱体上表面未离开水

面时，体积不变，水高不变，y=h,当上表面开始离开水面，直至其下表面刚好离开水面时，由题意得,

=S1/i-S2vx,整理得，y=-^x+h,根据函数解析式确定函数图象即可.

【详解】解：设刚开始时水高为h，大水桶底面积为Si，圆柱体底面积为S2,速度为"，

当圆柱体上表面未离开水面时，体积不变，水高不变，y=h,

当上表面开始离开水面，直至其下表面刚好离开水面时，由题意得，S,=Si%-S2Wc,整理得，y=-竽x+

h,

♦.•一型<0,

Si

随汇的增大而减小，

.••可知y与x之间函数关系的图象大致为y先保持不变，然后y随工的增大而减小，

故选：C.

【点睛】本题考查了一次函数的图象.解题的关键在于正确的表示数量关系.

【变式2-1]（2023•北京延庆•统考一模）如图，用绳子围成周长为10机的矩形，记矩形的一边长为;mi,它的

邻边长为pn,当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与尤满足的函数关系是（）

x

y

A.一次函数关系B.二次函数关系

C.正比例函数关系D.反比例函数关系

【答案】A

【分析】设另一边为y,矩形的周长为2（x+y）=10,可用x来表示y,即可得到y关于x的函数关系式.

【详解】解：设另一边为“

由题意得，2（x+y）=10,

x+y=5,

••y=5-xJ

即满足一次函数关系，

故选：A.

【点睛】本题考查了函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握一次函数的解析式形式是解

题的关键.

【变式2-2]（2023•陕西・统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax和y=K+a（a#0）的图象

可能是（）

【答案】D

【分析】本题主要考查正比例函数的系数和一次函数常数项决定图象所过象限的知识点.

【详解】解：A.由函数y=ax得a〉0,与丫=x+a（a片0）图象的a<0矛盾，故本选项不符合题意；

B.函数y=x+a（a70）所过象限错误，故本选项不符合题意；

C.函数y=x+a（a5t0）所过象限错误，故本选项不符合题意；

D.由函数y=ax得a<0,与丫=x+a（a力0）图象的a<0一致，故本选项符合题意.

故选：D.

【变式2-3］（2023•福建漳州•统考模拟预测）如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平

面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为为=自/%=k2%，则关于比与后的关

系，正确的是（）

A.k2<0<B.<0<k2C.k1<k2<0D.k2<<0

【答案】D

【分析】利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解.

【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为机（瓶<0）的两个点A和8,

则A（m,kj/n）,B（m,k2m）,

k±m<k2m,

••k]>k2，

当取横坐标为正数时，同理可得七>k2,

综上所述，0>七>忆2

故选：D

【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得到

比例系数的关系.

【题型3探究一次函数经过的象限与系数之间关系】

【规律方法】对于y=kx+b与y轴交于（0,b）,当b>0时，（0,b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；

当b<0时，（0,b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴；当k>0,b>Ouj产kx+b的图象在一、二、三象

限;k>0,b<O<=^=kx+b的图象在一、三、四象限;k<0,b>O<=^=kx+b的图象在一、二、四象限;k<0,b<O<^=kx+b

的图象在二、三、四象限.

【例3】（2023•贵州毕节•统考中考真题）已知一次函数y=fcc+b（k,b为常数，#0）的图象经过一、三、

四象限，则下列结论正确的是（）

A.kb>0B.kb<0C.k+b>0D.k+b<0

【答案】B

【分析】根据一次函数经过一、三、四象限，可知k>0,b<0,即可求得答案.

【详解】y=kx+b的图象经过一、三、四象限，

/.k>0,b<0,

.*.kb<0,

故选B.

【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数y=kx+b（k/）,k,b为常数）的的图象为一条直线，当

k>0,图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大；当k<0,图象经过第二，四象限，y随x的增大而减

小；当b>0,图象与y轴的交点在x轴的上方；当b=0,图象过坐标原点；当b<0,图象与y轴的交点在

X轴的下方.

【变式3-1］（2023•陕西•中考真题）若一次函数y=（2m-1）x+3-2m的图象经过一、二、四象限，则m

的取值范围是.

【答案】m<|

【详解】■：、=（2m-1）x+3-2m的图象经过一、二、四象限，

（2m-1）<0,3-2m>0

解不等式得：m<|,m<|,

.4.m的取值范围是m<|.

故答案为m<1.

【变式3-2］（2023•天津・统考中考真题）若一次函数y=x+b（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，

则b的值可以是（写出7个即可）.

【答案】1（答案不唯一，满足6>0即可）

【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，可得6>0,进而即可求解.

【详解】解：：一次函数y=x+b（匕是常数）的图象经过第一、二、三象限，

：,b>0

故答案为：1答案不唯一，满足6>0即可）

【点睛】本题考查了已知一次函数经过的象限求参数的值，掌握一次函数图象的性质是解题的关键.

【变式3-3］（2023•广东•中考真题）已知直线丫=1«+1）,若k+b=—5,kb=6,那么该直线不经过第象限.

【答案】一.

【详解】试题分析：首先根据k+b=-5、kb=6得到k、b的符号，再根据图象与系数的关系确定直线经过的象

限，进而求解即可.

试题解析：k+b=-5,kb=6,

.*.k<0,b<0,

.•.直线丫=1«+15经过二、三、四象限，即不经过第一象限.

考点：一次函数图象与系数的关系.

【题型4一次函数与坐标轴交点问题】

【例4】（2023•陕西西安•校考二模）在平面直角坐标系中，将函数y=-2x-4的图象向右平移3个单位长

度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为（）

A.(-1,0)B.(1,0)C.(-5,0)D.(5,0)

【答案】B

【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可.

【详解】解：将函数y=-2x-4的图象向右平移3个单位长度，得到y=-2(%-3)—4=-2x+2,

当y=0时，-2%+2=0

解得：X=1

平移后的图象与x轴的交点坐标为(1,0)，

故选：B.

【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点问题，掌握平移规律是解题的关键.

【变式4-1](2023•陕西咸阳•校考三模)若一次函数y=­+b与y=-2久+1的图象关于y轴对称，则Kb

的值分别等于.

【答案】2,1

【分析】由直线y=-2x+l,知与x轴交于(go),与y轴交于(0,1),根据轴对称性质，直线y=kx+b经

过点(-表0)，(。，1)，建立二元一次方程组求解•

【详解】解：直线y=—2x+1,x-。时，y-1；y-0时，x=3

二直线y=-2x+l与无轴交于G，0),与y轴交于(0,1).

直线y=kx+b经过点(―三,0),(0,1).

'{VW°，解得{:二]

故答案为：2,1.

【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标，轴对称性质，待定系数法求函数解析式；根据轴对称性质

求点坐标是解题的关键.

【变式4-2](2023•河北唐山•模拟预测)已知，一次函数的图象经过点(3,3)和点—

(1)求这个一次函数的表达式，并求出图象与x轴、y轴的交点坐标，

(2)如果正比例函数y=七X与所求的一次函数平行，请直接写出灯的值、

(3)在同一平面直角坐标系中画出(1),(2)中的一次函数图象和正比例函数图象.

【答案】⑴y=2x—3,乂轴、y轴的交点坐标分别为：(|,0),(0,-3),图象见详解

(2)fci=2

(3)见详解

【分析】(1)利用待定系数法即可求出一次函数的表达式，问题随之得解；

(2)将(1)中所得直线函数，再通过平移即可得到y=七万，可知两个直线的自变量系数相同，问题随之得

解；

(3)按要求作图即可.

【详解】(1)设一次函数解析式为：y=k久+b,

•••一次函数的图象经过点(3,3)和点(1,—1),

.(3k+b=3

F+b=-l，

解得：｛j=2

即一次函数的解析式为：y=2%—3,

当汽=0时，y=-3,

当y=0时，2%-3=0,解得：％=|，

即图象与X轴、y轴的交点坐标分别为：(0,-3),

(2)将一次函数y=2x-3向上平移3个单位可得正比例函数y=2x,

•・•平行的两条直线通过平移可以重合，

又,正比例函数y=之逐与一次函数y=2x-3平行，

・•・一次函数y=2x-3通过平移得到正比例函数y=krx,

,正比例函数y=Zq%的解析式为:y=2x,

/.k、=2；

(3)作图如下:

【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求解一次函数解析式，一次函数的平移等知识，掌握平行的两条直

线通过平移可以重合，待定系数法，是解答本题的关键.

【变式4-3］（2023•广东东莞・东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，直线y久+4交两坐标轴于力，B

【分析】根据点到直线的最小距离CP1AB,再根据一次函数与坐标轴的交点坐标得到。8=4,0/1=3,最

后利用勾股定理得到力B=5即可解答.

【详解】解：当CP148时，0P的值最小，

...0P1为最小值，

:直线y=（无+4交两坐标轴于4,B两点，

4）,A（-3,0）,

：.OB=4,0A=3,

：.AB=y/OB2+0A2=5,

^AOB=90°,

•'•SAAOB=2'OB■OA,S-OB=~,AB-

11

OB-0A=--AB•。尸i，

221

12

：.0P1=y,

【点睛】本题考查了点到直线的最小距离，一次函数与坐标轴的交点坐标，勾股定理，直角三角形的面积，

学会求一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键.

【题型5探究一次函数的增减性与系数之间关系】

【例5】（2023.甘肃兰州.统考中考真题）一次函数旷=/^—1的函数值y随x的增大而减小，当x=2时，y

的值可以是（）

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】D

【分析】根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把乂=2代入函数丫=kx-1,从而判断函数值》的取

值.

【详解】•••一次函数y=kx-1的函数值y随尤的增大而减小

：.k<0

当x=2时，y=2fc—1<—1

故选：D

【点睛】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键.

【变式5-1］（2023•内蒙古包头•中考真题）在一次函数y=—5ax+b（a力0）中，y的值随x值的增大而增大,

且ab>0,则点力（a,b）在（）

A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限

【答案】B

【分析】根据一次函数的性质求出。的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断A点所处的象限即可.

【详解】.在一次函数y=-5ax+力0）中，y的值随x值的增大而增大，

.*.-5a>0,即a<0,

又■:ab>0,

：,b<0,

.,.点4（a,b）在第三象限,

故选：B

【点睛】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键.

【变式5-2]（2023•陕西宝鸡・统考一模）已知A（xi，竺）,B（龙2,以）是一次函数y=2）x+1图象

上不同的两个点，若（XLX2）（"一>2）<0,则。的取值范围是（）

A.a<0B.a>0C.a<2D.a>2

【答案】C

【分析】根据一次函数的性质知，当K0时，判断出y随彳的增大而减小，即可求解.

【详解】（xi-X2）（yi—^2）<0,

二打一尤2与"一异号，

二在一次函数y=（a—2）x+l中，y的值随x值的增大而减小，

：.a-2<0,

解得a<2.

故选：C

【点睛】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要根据函数的增减性进行推理，是一道基础题.

【变式5-3]（2023•广东广州•统考模拟预测）若力（2,%），B（T,%）是一次函数V=（必+l）x+2图象上

的两点，则（）

A.<y2B.yr<y2C.>y2D.>y2

【答案】D

【分析】易求出卜2+1>0,即可判断该一次函数y值随尤值的增大而增大.再根据孙=2>小=-1，即得

出%>力.

【详解】解：•••1+1>0,

...一次函数y=（fc2+l）x+2,y值随x值的增大而增大.

又..“4=2>=-1,

•*-71>y2-

故选D.

【点睛】本题考查比较一次函数值.熟练掌握一次函数的性质是解题关键.

【题型6求一次函数解析式】

[例6]（2023・北京・统考中考真题）在平面直角坐标系久Oy中，函数y=kx+b（k*0）的图象经过点4（0,1）和

B(l,2),与过点(0,4)且平行于无轴的线交于点C.

(1)求该函数的解析式及点C的坐标；

(2)当尤<3时，对于x的每一个值，函数y=|x+71的值大于函数y=左比+b(k大0)的值且小于4,直接写

出n的值.

【答案】(l)y=x+LC(3,4)；

(2)n=2.

【分析】(1)利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4,代入函数解析式求出点C

的横坐标即可；

(2)根据函数图象得出当y=|x+n过点(3,4)时满足题意，代入(3,4)求出w的值即可.

【详解】(1)解：把点4(0,1),B(l,2)代入y=依+K0)得：A?：1。，

l/c+b=2

解得:*=

3=1

・,・该函数的解析式为y=%+1,

由题意知点C的纵坐标为4,

当y=%+1=4时,

解得：x=3,

・"(3,4)；

(2)解：由(1)知：当汽=3时，y=x+l=4,

因为当％<3时，函数y=|%+九的值大于函数y=%+1的值且小于4,

所以如图所示，当丫=|久+几过点(3,4)时满足题意，

代入(3,4)得：4=|x3+n,

解得：n=2.

【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形

结合的思想是解题的关键.

【变式6-1](2023•江苏苏州•统考中考真题)己知一次函数y=kx+b的图象经过点(1,3)和(—1,2),则—

b2=.

【答案】-6

【分析】把点(1,3)和(一1,2)代入y=kx+b,可得[J=3,再整体代入求值即可.

【详解】解：二•一次函数y=Zcx+b的图象经过点(1,3)和(一1,2),

,•t-fc+h=2'即限-b=-2'

：.k2-Z)2=(fc+b)(k-b)=3x(-2)=-6；

故答案为：-6

【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平方差公式分解因式,

熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键.

【变式6-2](2023•山东・统考中考真题)一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程y(千米)与行驶时间》(小时)

之间的函数关系如图所示.当04%W0.5时，y与％之间的函数表达式为y=60%；当0.54％42时，y与无之

【答案】y=80%-10(0.5<x<2)

【分析】先把％=0.5代入y=60%,求得y=30,再设当0.5<%<2时，y与久之间的函数表达式为y=kx+b,

然后把(0.5,30),(2,后0)分别代入,得［竽:心尤?,求解得［占=87即可求解.

"%+。=150lb=-10

【详解】解：把％=0.5代入y=60%,得

y=60X0,5=30,

设当0.5<%<2时,y与％之间的函数表达式为y=kx+b,

把(0.5,30),(2,150)分别代入，得

｛限：13柒解得:｛尸?，

+b=1503=-10

与％之间的函数表达式为y=80%-10(0.5<%<2)

故答案为：y=80比一10(0.5<x<2).

【点睛】本题考查函数的图象，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式是

解题的关键.

【变式6-3］(2023•内蒙古通辽•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0,l),点4(4,1),以

点P为中心，把点A按逆时针方向旋转60。得到点B,在场(-1,一码,场(-y,0),M3(l,V3-1),M4(2,2V3)

A.%B.M2C.M3D.M4

【答案】B

【分析】根据含30。角的直角三角形的性质可得B(2,1+2E)，利用待定系数法可得直线的解析式，依次

将Mi，M2,M3,M4四个点的一个坐标代入y=V5x+1中可解答.

【详解】解：；点4(4,1),点P(0,l),

.♦.PA_Ly轴，PZ=4,

由旋转得：UPB=60°,AP=PB=4,

如图，过点8作BCly轴于C,

:.乙BPC=30°,

：.BC=2,PC=2V3,

1+2V3））,

设直线P8的解析式为：y=kx+b,

贝°,2k+b=1+2V3,

Ib=1

•ffc=V3

b=1

直线PB的解析式为：y=Wx+l,

当x=-1时，y=-y/3+1,

二点%（-1,一百）不在直线PB上，

当x=一/时，y=V5x（―?）+1=0,

-今°）在直线即上，

当x—1时y=A/3+1,

1）不在直线PB上，

当％=2时，y=2V3+1,

%（2,28）不在直线PB上.

故选：B.

【点睛】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B的坐标是解本题的关键.

【题型7一次函数的规律探究问题】

【例7】（2023•黑龙江•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，AABC的顶点A在直线k：y=上，

顶点8在苫轴上，48垂直》轴，且。8=2/，顶点C在直线"：y=b乂上，BC1Z2；过点2作直线"的垂线,

垂足为G，交x轴于名，过点名作A/1垂直x轴，交k于点连接&Ci，得到第一个AAiBiCi；过点儿作

直线"的垂线,垂足为心，交无轴于殳，过点当作4当垂直无轴，交，1于点4，连接42c2，得到第二个△A2B2c2;

如此下去’’则△4202382023c2023的面积是.

【分析】解直角三角形得出乙4OB=30。，ABOC=60°,求出SA^C=8，证明△4BC&当6,LABC-

=2n2

△4282c2,得出SAABIG=4S&ABC，^AA2B2C24,S&4BC=(2?)2,SAABC，总结得出SA4nB=(2)SAytBC=

2x20234046

22"SAABC，从而得出SM2023B2023c2023=2X^3=2V3.

【详解】解：：OB=2VL

.,.B(2V2,0),

"：AB1x轴，

.••点4的横坐标为2VL

••1V3

.，i：y=三%，

点A的纵坐标为Rx2a=手

2V6广

.,4ccAB募一V3

・・tdmZ-AOB=—=--p——

OB2\J23

J./-AOB=30°,

•.”2：y=A/3%,

...设C(%c，yc)，则yc=b%c，

・"Bf3

：.ABOC=60°,

Z.OC=OBxcos60°=2V2xi=V2,

BC=OBxsin60°=2V2Xy=V6,

VzXOCi=乙BOC-Z.AOB=30°,

.'./-AOB=乙4OC「

。4平分NBOC,

'：ACr1l2,AB1OB,

：.ACr=AB=手，

"：AB=ACX,OA=OA,

：.Rt△OAB三RtAOAC1,

：.OCr=OB=2V2;

CC1=OC1-OC=2V2-V2=V2,

••S4ABC=2sA04B-SAACQ-S^BOC

1L2爬\L2声\Lr~

—2x—,x2v2x——-----xv2x——------xv2xv6

=V3,

•：BC1l2,

:•(BCO=90°,

・・・乙。8。=90。-60。=30。，

VBiCi1Z2,BCll2,82c21%，

・・・BC||BiC11132c2,

Z.C1B1O=Z-C2B2O=Z.CBO=30°,

:•乙C]Bi。=Z-C2B2O=Z-CBO=Z-AOB,

.\AO=ABr,ArO=ArB2y

•••)Bl%轴,A1B11xtt，

ii

：.OB=；OB],OBr=^OB2,

*：AB1%轴，A1B11%轴,A2B21%轴，

：.AB\\A1B1\\A2B2f

.AB_OB_1AB_0B__1

OB[2^2^2OB?4

•「BCIIBiC11152c2，

.BC_OB_1BC_OB_1

BiG.OB^2B2c2OB?4

,AB_BC

41%B1C1

•:乙ABC==90°-30°=60°,

△ABCA/iCi,

同理△ABC-^A2B2C2,

•=4s△ABC，

^LA2B2C2=42-ABC=(2?)2.SLABC,

^LABCn222nsXABC，

nnn=(2)SAi4BC=

Bc=2x20234046

1'S”△^2023^2023^20232XV3=2V3.

故答案为：24046V3.

【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解直角三角形，三角形面积的计算，平行线的判定和性

质，一次函数规律探究，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是得出一般规律S-/n&=

n222ns△ABC•

(2)SAi4FC=

【变式7-1](2023•山东东营・统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，直线/：y=巡1-遮与x轴交

于点久，以。必为边作正方形Z/iCi。点G在y轴上，延长C/i交直线/于点①，以为边作正方形

”2殳。2。1，点。2在>轴上，以同样的方式依次作正方形4383c3c2，正方形人2023殳023c202302022，则点殳023

z底、2022

【答案】(1+胃)

2

【分析】分别求出点点/的横坐标是1,点&的横坐标是1+f，点生的横坐标是等+9=（1+日），找到

规律，得到答案见即可.

【详解】解：当y=0,0=V3x-V3,解得汽=1,

工点4式1,0）,

是正方形，

0Ar==0Q=1,

・,•点/(LI),

・••点殳的横坐标是1,

当y=l时，1=百%-遮，解得％=1+?，

・,•点“2(1+1),

2cl是正方形，

•,A2B2—=42。1=1+

.♦.点/(1+?,2+彳)，

即点殳的横坐标是1+日，

当y=2+g时，2+g=V5x—值，解得x=|(V5+2),

・・•点4(竽+Q+?，

•.•&B3c3c2是正方形，

：.A3B3=C2c3=43c2=苧+%

2

点殳的横坐标是竽+;(1+乎)，

2022

以此类推，则点殳023的横坐标是（1+F）

z氏\2022

故答案为：（1+石）

【点睛】此题是点的坐标规律题，考查了二次函数的图象和性质、正方形的性质等知识，数形结合是是解题

的关键.

【变式7-2]（2023・湖北荆门•统考中考真题）如图，过原点的两条直线分别为"：y=2x,5y=-x,过点

A(1,0)作无轴的垂线与〃交于点4，过点4作y轴的垂线与b交于点A2，过点4作x轴的垂线与〃交

于点4，过点4作y轴的垂线与L交于点A《，过点4作x轴的垂线与乙交于点A5，…，依次进行下去，则

点的坐标为.

【分析】首先把x=l代入。：y=2x,可得点4的坐标为(1,2),把y=2代入L：y=-尤，可得点4的坐

标为(-2,2),据此即可求得4,4,4,4,A7,4,4的坐标，即可找到规律，据此即可求得.

【详解】解：当x=l时，y=2,

，点4的坐标为(1,2)；

当y=-x—2时，X--2,

二点4的坐标为(-2,2)；

同理可得：Aj(-2,-4),A4(4,-4),A5(4,8),Ag(-8,8),A7(-8,-16),As(16,-

16),A9(16,32),

.'.A4n+i(22n,22n+1),A^n+2(-22n+1,22n+1),

A411+3(-22H+;,-22n+2),A411+4(22n+2,-22n+2)(〃为自然数).

V20=4x4+4,

1010

二点A20的坐标为(22*4+2,-22x4+2),即(2,-2).

故答案为：(210,-210).

【点睛】本题考查了坐标与图形，坐标的规律，根据函数图象找到坐标规律是解决本题的关键.

【变式7-3](2023•山东东营・统考中考真题)如图，△481&公41殳42公42/4,…是等边三角形，直线y=

y%+2经过它们的顶点4,&,A2,砥…，点%B2,%…在X轴上，则点4022的横坐标是.

【分析】如图，设直线y=?x+2与x轴交于点C,求出点A、C的坐标，可得04=2,。。=2代，然后解

直角三角形求出NACO=30。，可得NC/Zi=90°,=30°,然后求出C/=20B1=4V3=22xV3,

342023

CB2=2CB1=8V3=2XV3,CB3=2CB2=16V3=2XV3,nT^CB2022=2XV3,再求

出。殳022即可•

【详解】解：如图，设直线y=曰x+2与x轴交于点C,

在旷=?乂+2中，当x=0时，y=2；

当y=0时，即RX+2=0,解得：x=-2V3,

.,.A(0,2)，C(-2V3,0),

：.OA=2,OC=2^3,

・+/同「八一°"_2_V3

••tan2-A.CO一尸一

OC2V33

/AC。=30°,

•••△4/公是等边三角形,

Z-AA1B1=Z-ABrAr=60°,

=90°,

：.^CBrA=30°,

9

..AC=AB19

：.OB1=0C=2V3,

2

CB1=20B]=4V3=2xV3,

34

同理可得：CB?=2cBi=8V3=2XV3,CB3=2CB2=16V3=2XV3,

•••CB2022=22°23x次，

0B2022=22023xV3-2V3=02023_2)73,

点42022的横坐标是(22°23-叱,

【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，等边三角形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质

等知识，通过解直角三角形求出NACO=30。是解题的关键.

【题型8一次函数的新定义问题】

【例8】(2023•上海杨浦・统考二模)定义：对于函数y=/(x),如果当aSxWb时，根0方〃，且满足〃-切=左

(b-a)(%是常数)，那么称此函数为〃级函数”.如：正比例函数y=-3x,当上烂3时，-9弊-3,则

-3-(-9)=%(3-1),求得k=3,所以函数y=-3x为"3级函数如果一次函数y=2x-l(l<x<5)

为级函数”，那么左的值是—.

【答案】2

【分析】先根据一次函数的性质求出对应的y的取值范围，再根据上级函数的定义解答即可.

【详解】解：：一次函数y=2x-l,1.5,

l<y<9,

,一次函数y=2x-1(l<x<5)为"％级函数”，

：.9-l=k(5-1),解得:k=2；

故答案为：2.

【点睛】本题是新定义试题，主要考查了对〃级函数”的理解和一次函数的性质，正确理解Z级函数”的概念、

熟练掌握一次函数的性质是解题关键.

【变式8-1](2023•广东深圳•统考二模)定义：点A(x,y)为平面直角坐标系内的点，若满足x=y,则把点

A叫做“平衡点”.例如：M(l,l),N(-2,-2),都是“平衡点”.当—1WXW3时，直线y=2%+加上有“平衡点”，

则租的取值范围是（）.

A.0<m<1B.—3<m<1

C.—3<m<3D.—1<m<0

【答案】B

【分析】根据新定义“平衡点”，找出工与加之间的关系，利用工的范围，确定根的不等式，然后解不等式即

可.

【详解】解：•・•当一14%<3时，直线y=2%+m上有“平衡点”，

••I两足x=y9

即久=-m,

V-l<%<3,

/.—1<—m<3,

—3<m<1,

故选择8.

【点睛】本题考查新定义“平衡点”问题，仔细阅读定义内容，抓住定义特征，利用新定义找出x与根之间的

关系是解题关键.

【变式8-2】（2023•广西钦州•统考一模）定义一种运算：a⑤5={a；［2,3：?则函数）/=（久+2）国

0—1）的图象大致是（）

_____________I------1_____1_____I______I_____►

-1o12345X

【答案】A

【分析】根据分两种情况：当烂4时和当x>4时，分别求出一次函数的关系

(.a+o-6(a<2b)

式，然后判断即可得出结论.

【详解】解：•..当x+2N2(x-1)时，即烂4,

・••当时，(龙+2)0(x-1)=(x+2)-(x-1)=x+2-x+l=3,

即：y=3,

当尤+2<2(x-1)时，即x>4时，(尤+2)0(x-1)=(x+2)+(x-1)-6=x+2+x-1-6=2x-5,

即：y=2x-5,

'：k=2>0,

.•.当x>4时，y=2x-5,函数图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大，

综上所述，只A选项符合题意.

故选：A.

【点睛】本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键.

【变式8-3](2023・四川成都・统考二模)定义：点尸与图形卬上各点连接的所有线段中，若线段方最短，

则线段PA的长度称为点P到图形卬的距离，记为d(P,图形W).例如，在图1中，原点。(0,0)与直线=3

的各点连接的所有线段中，线段OA最短，长度为3,贝Ud(O,直线x=3)=3.特别地，点P在图形W

上，则点尸到图形的距离为0,即d(P,图形W)=0.

图1图2

①在平面直角坐标系中，原点。(0,0)与直线上y=%的距离d(O,y=x)=；

②如图2,点P的坐标为(0,m)且d(p,y=2%-2)=遮，则血=.

【答案】03或-7/-7或3

【分析】①根据题意知，点。在直线上，则易得点。到图形的距离；

②过点尸作直线y=2%-2的垂线，求得直线与两坐标轴的交点，利用三角形相似即可解决.

【详解】①丁点O在直线产i上，

・••点O到直线yr的距离为0,

即d(O,y=x)=0,

故答案为：0；