2022年北京中考数学模拟试卷及答案解析

2022年北京师大附属实验中学中考数学模拟试卷（四）

一、选择题（本题共24分，每小题3分）

1.（3分）如图是圆规示意图，张开的两脚所形成的角大约是（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

2.（3分）若后I在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）

A.B.xWlC.x<lD.xWl

3.（3分）实数〃、尻c在数轴上的对应点的位置如图所示，若同=|臼，则下列结论中错误

的是（）

-----11-------►

a------bc

A.a+b>0B.a+c>0C.b+c>0D.ac<0

4.（3分）若正多边形的内角和是540。，则该正多边形的一个外角为（）

A.45°B.60°C.72°D.90°

5.（3分）反比例函数y=K（左为正整数）在第一象限的图象如图所示，已知图中点A的

x

坐标为（2,1）,则攵的值是（）

x

A.1B.2C.3D.4

22

6.（3分）如果屋-必-i=o,那么代数式-1—・Q+b-2ab）的值是（）

a-ba

A.-1B.1C.-3D.3

7.（3分）某餐厅规定等位时间达到30分钟（包括30分钟）可享受优惠.现统计了某时段

顾客的等位时间，（分钟），如图是根据数据绘制的统计图.下列说法正确的是（）

A.此时段有1桌顾客等位时间是40分钟

B.此时段平均等位时间小于20分钟

C.此时段等位时间的中位数可能是27

D.此时段有6桌顾客可享受优惠

8.（3分）如图，一架梯子A8靠墙而立，梯子顶端8到地面的距离2C为2加，梯子中点处

有一个标记，在梯子顶端B竖直下滑的过程中，该标记到地面的距离y与顶端下滑的距

A.正比例函数关系B.一次函数关系

C.二次函数关系D.反比例函数关系

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

10.（3分）如图是玉渊潭公园部分景点的分布示意图，在图中，分别以正东、正北方向为X

轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，当表示西桥的点的坐标为（-6,1）,表示中堤

桥的点的坐标为（1,2）时，表示留春园的点的坐标为.

西华4

M

・中提桥

留存同

11.（3分）用一组42的值说明命题“若。＞6,则42＞庐”是错误的，这组值可以是〃=,

b=.

12.（3分）初三（8）班体委用划记法统计本班40名同学投掷实心球的成绩，结果如表所

成绩（分）

则这40名同学投掷实心球的成绩的众数是,中位数是.

13.（3分）如图,AB是。0的直径,C.D为。）0上的点，若/C4B=20°,则/£）=

14.（3分）如图，在矩形ABCQ中，E是边CQ的延长线上一点，连接BE交边AO于点F,

若A8=4,BC=6,OE=2,则AF的长为.

E

B

15.（3分）2019年2月，全球首个5G火车站在上海虹桥火车站启动，虹桥火车站中5G网

络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输8千兆数据，5G网络快720

秒，求这两种网络的峰值速率，设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆，依题意，可列

方程为.

16.（3分）小宇计划在某外卖网站点如下表所示的菜品，已知每份订单的配送费为3元，

商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满

60元减30元，满100元减45元，如果小宇在购买下表中所有菜品时，采取适当的下订

单方式，那么他点餐总费用最低可为元.

菜品单价（含包装费）数量

水煮牛肉（小）30元1

醋溜土豆丝（小）12元1

豉汁排骨（小）30元1

手撕包菜（小）12元1

米饭3元2

三、解答题（本题共52分，第17,18,19题，每题5分，第20-24题，每小题5分，第

25题最多8分）

17.（5分）计算：（―^-）1+VT2+|V3-1|-2tan600,

18.（5分）解分式方程：工£_1」一

x-22-x

19.（5分）先化简再求值：（“-1）2-2“（a-1）,其中a=-V3.

20.（5分）关于x的一元二次方程7-，〃x+2〃?-4=0.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根小于1,求m的取值范围.

21.（6分）如图1,△ABC中，力为AC边上一动点（不含端点），过点。作£>E〃AB交8c

于点E,过点E作E/〃AC交AB于点F,连接AE,QF.点O运动过程中，始终有AE

=DF.

（1）求证：ZBAC=90°；

（2）如图2,若AC=3,tanB=3,当AF=A。时，求A。的长.

4

AA

D

图1图2

22.(6分)在平面直角坐标系M万中，直线y=-x与双曲线丫=上(ZW0)的一个交点为

X

P(V6,IT).

(1)求k的值；

(2)将直线)，=-x向上平移b(6>0)个单位长度后，与x轴，y轴分别交于点A,点

B,与双曲线)=区(/#0)的一个交点记为Q.若8Q=2AB,求b的值.

x

23.(6分)如图，AB,4。是。。的弦，A。平分NBA。.过点8作。。的切线交A。的延

长线于点C,连接CD,80.延长B。交于点E,交A。于点凡连接4E,DE.

(1)求证：8是00的切线；

(2)若AE=OE=3,求AF的长.

24.(6分)在平面直角坐标系X。〉中，抛物线)，=/-2«1叶川与y轴的交点为4过点A

作直线/垂直于y轴.

(1)求抛物线的对称轴(用含，"的式子表示)；

(2)将抛物线在y轴右侧的部分沿直线/翻折，其余部分保持不变，组成图形G.点M

(xi,yi),N(X2,”)为图形G上任意两点.

①当〃?=0时，若xi<x2,判断yi与"的大小关系，并说明理由；

②若对于xi=n?-2,xi—m+2,都有yi>",求〃?的取值范围.

25.(8分)在平面直角坐标系xOy中，OC的半径为r,P是与圆心C不重合的点，点P

关于0C的限距点的定义如下：若P为直线PC与0c的一个交点，满足rWPP'W2r,

则称P'为点P关于OC的限距点，如图为点P及其关于OC的限距点尸'的示意图.

(1)当。。的半径为1时.

①分别判断点M(3,4),N(§,0),T(1,A/2)关于。。的限距点是否存在？若存

2

在，求其坐标；

②点。的坐标为(2,0),DE,QF分别切。。于点£,点F,点尸在的边上.若

点P关于。。的限距点P'存在，求点尸’的横坐标的取值范围；

(2)保持(1)中力，E,尸三点不变，点P在的边上沿E-FfOfE的方向运

动，OC的圆心C的坐标为(1,0),半径为r,请从下面两个问题中任选一个作答.

问题I问题2

若点P关于OC的限距点P存在，且P'若点P关于(DC的限距点P不存在，则r

随点P的运动所形成的路径长为nr,则r的的取值范围为

最小值为.

2022年北京师大附属实验中学中考数学模拟试卷（四）

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共24分，每小题3分）

1.（3分）如图是圆规示意图，张开的两脚所形成的角大约是（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

【解答】解：通过测量张开的两脚所形成的角大约是60°,

故选：B.

2.（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）

A.QIB.xWlC.x<lD.xWl

【解答】解：由题意可知：x-120,

解得

故选：A.

3.（3分）实数从c在数轴上的对应点的位置如图所示，若⑷=|例，则下列结论中错误

的是（）

A.a+b>QB.a+c>0C.6+c>0D.ac<0

【解答】解：•..|a|=|b|,

原点在a,6的中间，

如图，

-a-0~b~

由图可得：同<|c|,a+c>0,b+c<0,ac<0,a+b=0,

故选项A错误，

故选：A.

4.（3分）若正多边形的内角和是540°,则该正多边形的一个外角为（）

A.45°B.60°C.72°D.90°

【解答】解：：正多边形的内角和是540°,

.•.多边形的边数为540°4-180°+2=5,

:多边形的外角和都是360°,

正多边形的一个外角=360+5=72°.

故选：C.

5.（3分）反比例函数丫=区（4为正整数）在第一象限的图象如图所示，已知图中点A的

X

坐标为（2,1）,则攵的值是（）

x

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：假设点A(2,1)在反比例函数y=K为正整数)第一象限的图象上,

X

则1=—.

2

：.k=2,

但是点A在反比例函数y=K(%为正整数)第一象限的图象的上方，

X

:・k<2,

故选：A.

22

6.(3分)如果"2-i=o,那么代数式2q+b-2ab)的值是()

a-ba

A.-1B.1C.-3D.3

22

b2ab

【解答】解：_a_.(a-p-)

a-ba

22,i2ni

_--a---■--a--+--b---J--a-b-

a-ba

22

ar(a-b)

a-ba

—a(a-b)

=a-ah,

'Jc^-ab-1=0,

Aa2-ab=l,

，原式=1,

故选：B.

7.（3分）某餐厅规定等位时间达到30分钟（包括30分钟）可享受优惠.现统计了某时段

顾客的等位时间/（分钟），如图是根据数据绘制的统计图.下列说法正确的是（）

A.此时段有1桌顾客等位时间是40分钟

B.此时段平均等位时间小于20分钟

C.此时段等位时间的中位数可能是27

D.此时段有6桌顾客可享受优惠

【解答】解：A.由直方图可知：有1桌顾客等位时间在35至40分钟，不能说是40分

钟，故4选项错误；

B.平均等位时间：

工=_1_（2X10+15+6X15+20+J2X20+25+9X^5+30+5x30+35+j*35+40）

35222222

«24.2>20,故8选项错误；

C.因为样本容量是35,中位数落在20WxV25之间，故C选项错误；

D.30分钟以上的人数为5+1=6,故。选项正确.

故选：D.

8.（3分）如图，一架梯子AB靠墙而立，梯子顶端3到地面的距离8c为2机，梯子中点处

有一个标记，在梯子顶端B竖直下滑的过程中，该标记到地面的距离y与顶端下滑的距

离x满足的函数关系是（）

B.一次函数关系

C.二次函数关系D.反比例函数关系

【解答】解：如图所示,

设梯子中点为0,下滑后为O',过。'作MLA'C,

：BC=2,BB'=x,

：.B'C=2-x,

'：0'为A'B'中点，O'MIA'C,

.MC=1-呆

.,.y=l-Ax，为一次函数.

故选：B.

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9.（3分）如图为某几何体的展开图，该几何体的名称是圆柱

【解答】解：•.•圆柱的展开图为两个圆和一个长方形,

.•.展开图可得此几何体为圆柱.

故答案为：圆柱.

10.（3分）如图是玉渊潭公园部分景点的分布示意图，在图中，分别以正东、正北方向为x

轴、），轴的正方向建立平面直角坐标系，当表示西桥的点的坐标为（-6,1）,表示中堤

桥的点的坐标为（1,2）时，表示留春园的点的坐标为（9,-1）.

【解答】解：根据题意可建立如下所示平面直角坐标系,

则表示留春园的点的坐标为（9,-1）,

故答案为（9,-1）.

11.（3分）用一组心匕的值说明命题''若则/>庐”是错误的，这组值可以是。=

-1,b=-2.

【解答】解：当”=-1,方=-2时，满足但是次<必，

命题“若a>b,则/>y”是错误的.

故答案为：7、-2.（答案不唯一）

12.（3分）初三（8）班体委用划记法统计本班40名同学投掷实心球的成绩，结果如表所

示：

则这40名同学投掷实心球的成绩的众数是9分，中位数是8分.

【解答】解：投掷实心球的成绩最多的是9分，共有14人，

所以，众数是9分，

把这40名同学投掷实心球的成绩从小到大排列，第20,21人的成绩是8分，

所以中位数是8分.

故答案为：9分，8分.

13.（3分）如图,48是0。的直径，仁£>为0。上的点，若/。5=20°，则/£>=110°.

一

【解答】解：；48为O。直径，

AZACB=90°,

VZCAB=20°,

AZB=90°-20°=70°,

在圆内接四边形A8CQ中，

/A£>C=180°-70°=110°.

故答案是：110.

14.（3分）如图，在矩形48C。中，E是边CD的延长线上一点,连接BE交边AD于点F,

若AB=4,BC=6,DE=2,则A尸的长为4.

E

【解答】解：•••四边形ABC。是矩形，

：.BC=AD=6,AB//CE,设AF=x,则。尸=6-x,

'JAB//DE,

：.△ABFsADEF,

•AB=AF

"DEDF"

•••4--一---x-,

26-x

•・X=4,

：.AF=4.

故答案为4

15.（3分）2019年2月，全球首个5G火车站在上海虹桥火车站启动，虹桥火车站中5G网

络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输8千兆数据，5G网络快720

秒，求这两种网络的峰值速率，设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆，依题意，可列

方程为a.-_g_=720.

-x-10x

【解答】解：设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆，则5G网络的峰值速率为每秒传

输10x千兆，

根据题意，得旦-旦=720.

x10x

故答案为旦-旦=720.

x10x

16.（3分）小宇计划在某外卖网站点如下表所示的菜品，已知每份订单的配送费为3元，

商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满

60元减30元，满100元减45元，如果小宇在购买下表中所有菜品时，采取适当的下订

单方式，那么他点餐总费用最低可为皂元.

菜品单价（含包装费）数量

水煮牛肉（小）30元1

醋溜土豆丝（小）12元1

豉汁排骨（小）30元1

手撕包菜（小）12元1

米饭3元2

【解答】解：小宇应采取的订单方式是60一份，30一份，所以点餐总费用最低可为60

-30+3+30-12+3=54元,

答：他点餐总费用最低可为54元.

故答案为：54.

三、解答题（本题共52分，第17,18,19题，每题5分，第20-24题，每小题5分，第

25题最多8分）

17.（5分）计算：（号।_]|_2tan60°,

【解答】解：原式=-2+2A/3+V3-1-2X73

=-3+V3.

18.（5分）解分式方程：匹

x-22-x

【解答】解：原方程可化为：x-3-（x-2）=旦,

x-22-x

即」

2-x2-x

整理得：2-x=3（2-x）,

解得：x=2,

检验：把x=2代入得：x-2—0,

此方程无解.

19.（5分）先化简再求值：（a-1）2-2〃（〃-1）,其中a二八年.

【解答】解：（。-1）2-2。（o-l）

=cr-2（7+1-2a2^-2a

=-a2+l,

当秆-^时，原式=-<-V3）2+1

=-3+1

=-2.

20.(5分)关于x的一元二次方程/-〃优+2〃?-4=0.

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程有一个根小于1,求机的取值范围.

【解答】(1)证明：Va=l,b--m,c=2m-4,

:.△=b2-4ac

=(-m)2-4(2机-4)

=/n2-8m+16

=(/n-4)22o,

・・・此方程总有两个实数根.

(2)解：V△=(m-4)220,

.丫―-b±vb^-4ac

••A--------=m土|m-4|

2a2

•»X\=fT1-2,X2=2•

;此方程有一个根小于1.

21.(6分)如图1,△ABC中，。为4c边上一动点(不含端点)，过点。作。E〃AB交8c

于点E,过点E作£F〃AC交AB于点F,连接AE,OF.点。运动过程中，始终有AE

=DF.

(1)求证：ZBAC=90°；

(2)如图2,若AC=3,tanB=§,当AF=A。时，求A£)的长.

4

图1图2

【解答】(1)证明："：DE//AB,EF//AC,

:.四边形AOEF是平行四边形.

\'AE=DF,

.“AOEF是矩形.

AZBAC=90Q.

(2)解：当AF=AD时，

由(1)知，此时四边形4DEF是正方形.

方法1.

\'DE//AB,

:.ZDEC=NB,/EDC=/BAC=90°.

tanZDEC—tanB=—.

4

在RtZsOEC中，设£>C=3x,则OE=4x.

•.•四边形AOEF是正方形，

.\AD=DE=4x,

•*»AC=AD+DC=7x=3.

・丫_3

7

.'.4£>=4X=A^_.

7

方法2：

在RtZXABC中，ZBAC=90°,tanB=3,AC=3,

4

，AB=4.

•.•四边形AQ£尸是正方形，设AD=CE=x.

'：DE//AB,

：./\CED^/\CBA.

•••-C-D~-D-E-,

CAAB

即三上

34

解得x=£,

7

：.AD=^.

7

22.(6分)在平面直角坐标系x0)'中，直线y=-x与双曲线、=上(ZW0)的一个交点为

X

P(V6,ir).

(1)求攵的值；

（2）将直线y=-x向上平移方（8＞0）个单位长度后，与x轴，y轴分别交于点A,点

B,与双曲线〉=四（％彳0）的一个交点记为Q.若BQ=2AB,求匕的值.

X

【解答】解：（1）•・•直线y=-工经过户（&，n）.

/.m=-V6»

・・,点尸（戈，-戈）在丁=乂1W0）上，

x

'•k=yf^）X（-）=-6.

（2）如图，：直线＞=-光向上平移6（匕＞0）个单位长度后的解析式为y=-x+b,

.'.OA=OB=b,

'：BQ=2AB,

.,.池_=工或池_=1,

AQ3AQ

作QCLx轴于C,

，QC〃y轴，

/XABO^^AQC,

.OB=OA=AB=1nvOB=OA=AB=i

QCACAQ3QCACAQ

，点。坐标—2b,3b）,或（2b,-b）

-6/?2=-6或-2h2=-6,

h=±l或〃=土我，

»0,

：.b=\或鱼.

y

23.（6分）如图，AB,AZ）是OO的弦，AO平分NBA。.过点8作。。的切线交AO的延

长线于点C,连接CD,BO.延长BO交。。于点E,交于点凡连接4E,DE.

（1）求证：C。是。。的切线；

：BC为圆O的切线，

...NCBO=90°.

：A。平分/BA。，

J.ZOAB^ZOAF.

；OA=OB=OD,

：.ZOAB=ZABO=ZOAF=ZODA,

'：ZBOC=ZOAB+ZOBA,ZDOC=ZOAD+ZODA,

：./BOC=NDOC,

在△COB和△CO力中，

fco=co

<ZC0B=ZC0D«

OB=OD

...BOC丝△OOC,

:.NCBO=/CDO=90°,

.,.CD是。。的切线；

(2)'：AE=DE,

•*-AE=DE-

：.ZDAE^ZABO,

：.NBAO=ZOAD=ZABO

：.ZBAO^ZOAD^ZDAE,

：BE是直径，

AZBAE=90°,

ZBAO=ZOAD=ZDAE=ZABO=30°,

AZAFE=90°,

在RtZ\AFE中，'：AE=3,ND4E=30°,

:.EF=1AE=^-,

22_

•1-AF=VAE2-EF2=^-

24.(6分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线)，=/-Imx+m2与y轴的交点为4过点A

作直线/垂直于y轴.

(1)求抛物线的对称轴(用含，"的式子表示)；

(2)将抛物线在y轴右侧的部分沿直线/翻折，其余部分保持不变，组成图形G.点M

(xi,yi),NQxi,")为图形G上任意两点.

①当〃?=0时、若制V九2,判断yi与"的大小关系，并说明理由；

②若对于x\=m-2,xi=m+2,都有ji>y2,求m的取值范围.

【解答】解：(1)抛物线y=/-2g+混的对称轴为直线冗=-二细=团.

(2)①yi>”.

理由：当相=0时，二次函数解析式是y=/,对称轴为y轴;

所以图形G上的点的横纵坐标x和y,满足y随尤的增大而减小;

\UX\<X2y

**.yi>y2.

②通过计算可知，尸（〃?-2,4）,Q（〃?+2,4）为抛物线上关于对称轴x=m对称的两点,

下面讨论当，〃变化时，y轴与点P,。的相对位置：

如图2,当y轴在点P左侧时（含点P）,

经翻折后，得到点M,N的纵坐标相同，yi=",不符题意;

如图3,当了轴在点Q右侧时（含点Q）,

点M,N分别和点P,Q重合，yi=”，不符题意;

如图4,当y轴在点尸，。之间时（不含P,Q）,

经翻折后，点N在/下方，点、M,P重合，在/上方，yi>>'2,符合题意.

此时有m-2<0</n+2,即-2<m<2.

综上所述，机的取值范围为-2<,“<2.

25.（8分）在平面直角坐标系xOy中，0c的半径为r,P是与圆心C不重合的点，点P

关于OC的限距点的定义如下：若P为直线PC与（DC的一个交点，满足，WPP'W2r,

则称P'为点P关于0C的限距点，如图为点P及其关于。C的限距点P的示意图.

（1）当。。的半径为1时.

①分别判断点M（3,4）,N（5,0）,T（1,近）关于。。的限距点是否存在？若存

2

在，求其坐标；

②点。的坐标为（2,0）,DE,。尸分别切。。于点E,点凡点P在△£）《尸的边上.若

点P关于。。的限距点P'存在，求点P的横坐标的取值范围；

（2）保持（1）中。，E,F三点不变，点P在的边上沿E一/一。一£的方向运

动，0C的圆心C的坐标为（1,0）,半径