五大类立体几何题型-2024年高考数学最后冲刺题型专项训练（新高考新题型专用）含答案

专题03五大类立体几何题型-2024年高考数学大题

秒杀技巧及专项训练（解析版）

高考大题题型归纳为

[醒1线面平行问题（刻度尺平移大法）】

【醒2线面垂直问题（勾股定理妙解）】

[93点面距离（体积求算）问题】

【题型4线面夹角问题（两大法）】

面面夹角问题（两大法）】

秒杀秘籍

基础工具：法向量的求算

待定系数法：步骤如下：

①设出平面的法向量为〃=（x,y,=）.

②找出（求出）平面内的两个不共线的向蚩a=（q，4，q）,b=（a2,b2,c2）.

fn-J=0

朗艮据法向量的定义建立关于x，M二的方程组--八

④解方程组，取其中的一个解，即得法向量.

fn-J=0

注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组,rC有无数多个解，只需给

工乂二中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法

向量就不同，但它们是共线向量.

秒杀大法：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减）

向量4=（2,F1，二I）,1（孙必，二2）是平面a内的两个不共线向量，则向量

方=b'l二2一,2二卜电二I一七二2,再当一巧"）是平面a的一个法向量.

特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离歹正个方程求解.

几何法:线面平行问题

线面平行：关键点=①嫩将刻度尺与所证线重合，然后平移落在所证平面且留下痕迹②

眼神法：现察采用哪一瞰巧（五种方法）（记住六大图像）

:中位牺

如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥尸-且3CD中，点E是尸0的中点.求证：PB!!平

面JEC.

laimu)

分析:

校里二：敬钮raw

如图⑵，平行四边形且BC。和梯形BEFC所在平面相交，BE//CF,求证：AE〃平面

DCF.

分析：过点E作EG//且D交产。于G,DG就是平面HEG。

与平面。。尸的交线，那么只要证明NE//OG即可。

如例⑵

>•

模型三:作辅助面使两个平面是平行

如图⑶，在四棱锥中，底面XBCQ为菱形，”为QW的中点，N为3C的中

点，证明：直线MN4平面。CD

分析：：取0B中点E,连接ME,NE,只需证平面MENII平面OCD。

模型四：利用平行线分线段成比例定理的逆谈谑断有。

已畛共边为期的两个全等的矩形而D和出时不在同一平面内,P,0分别是对角线AE,

劭上的点，且川=8（如图）.求证：股M平面CBS.

如图⑸，已知三棱锥P-HBC,H、B'、C'是APBC,APC4,AP48的重心.⑴求证:

如图⑹

A'B'11^ABC}

向量法、（向量法）所证直线^已畔面的法向量垂直，关键：毂空间坐标

系（或找空间一组基底）及平面的法向量0

如图⑹，在四棱锥S-ABCD中，底面J5C。为正方形，侧接SD1底面,"CD,E,F

分别为AB,SC的中点.证明EFII平面SAD；

分析：因为侧棱SD1底面N58,底面H5C。是正方形，所以很容易建立空间直角

坐标系及相应的点的坐标。

证明：如图，建立空间直角坐标系。-即，二.

设次a0,0),S(0,ft母，则B(a,a0>C(ft«0)

片吗0),耳吟J)，EF=\,

因为y轴垂直与平面SAD,故可设平面的法向量为n=(0,1,0)

则：EFn=\1,0)=0因此而_1_)，所以EF“平面屋仞.

模型演炼

如图，三棱柱.4BC-HBG中，。为底面△44C的重心，DeCC^CD.DC^l.l.

(1球证：8〃平面44。;

(2港小，底面44c,且三棱柱.use-d4c的各校长均为6,设直线以耳与平面44。所

成的角为6,求sine的值.

曲i模型演炼

如图，平行六面体4B8-4MGA中,EF分别为HBCC的中点，N在上.

OiC,

AEB

Q或证：即/平面3c3

(2惜DC=DD、=2.4D=4,/D、DC=y,JDJ•平面DCCR，率?=5初，求平面瓯V与平面

OCCQ胡四喉弦值.

模型演炼

如图，改四核台-婚8-4及G9的上、下底面分另提边长为2和4的正方形，平面

AA[D^D平面ABCD,AyA=D1D=^/r7>点、P是棱DD的中点，点。在棱5c上.

4J_____o,

M

BQC

Q港即=3。。，证明：PQH平面

(2港二面角P-QD-C的正弦值为婆，求3。的长.

ONEFINEDAY'、

。专工项满分必用)

1.如图，在直三棱柱乂因-44G中，一4513C,=3C=34=2,N,P分别为T及,

AC,BC的中点.

求证：A£V〃平面SCC4；

2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA^^ABCD,.4BLAD,ADIiBC,BC=；5,

PA=.4B=2,E为棱功的中点.

求证：EC〃平面RIB;

3.如图，在四棱锥P-ABCD中，取，平面4B8,PA=.4D=CD=2,BC=3,PC=2^.

(1或证：CDd■平面BID;

(2消从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面P8C与平面所成锐二

面角的大小.

条件①：AB=5

条件②：BC〃平面R1D.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解

答，按第一个解答计分.

4.如图，S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心，.43,8是长度为2的底面圆的两条直

径，ABCCD=O,且SO=3,尸为母线SB上一点.

求证：当尸为S3中点时，$4〃平面PCD;

5.如图，在四棱锥P-4BCD中，PC，平面一-点E在棱尸3上，PE=2EB,

点尸,目是棱PA上的三等分点，点G是棱PD的中点.R?=CB=CD=全铝=2,HC=6.

证明：加"平面CFG,且ZCV/尸G;

6.如图,在四棱锥P-ABCD中，底面488为正方形，PD_L,平面PAD_L平面4BCD,

PD=AD=2,E是R7的中点，作回UPB交融于尸.

求证：E4//平面BDE;

7.在四棱锥P-JBCD中，底面.45CD为平行四边形，PA=PC,PB±AC.

（1证明：四边形.458为菱形;

（2犯为棱P5上一点（不与P,5重合），证明：.4E不可能与平面PCD平行.

8.如图，在平行六面体且BCD-4及G9中，AB=AD=A4=1,ZD.4B=90°,

cos<AA^,AB>=>8s苴）>=5>点V为中点.

2-

证明：4M〃平面4CQ：

秒杀秘籍

线面垂直问题（勾股定理妙解）

几何法

必谖论：①特殊的平行四边形二边长之比1:2,夹角为60°,则对角线与边垂直

②特殊的直角梯形口边长之比1：1：2,对角线与腰垂直

③等腰三角形三线合一，三线与底垂直

@直径所对的圆周角为直角⑤菱形和正方形：对角线互相垂直

⑥特殊的矩形：边长之比1：2或1：及有明显的直角关系

向量法

要证线面垂直，只需让线垂直于平面内两条相交直线即可

如：要证.4CJ•平面BDE;

第一步：表示XC,表示(BDDEBE)中的两个

第二步:怪尬汨\AC±BD„

4cBDr\DE=D:.AC±2F®BDE

模型演炼

如图，在四棱锥尸一,"CD中，产a«L平面底面J5CD是菱形，，"=2,

ZR4D=60°.

求证:3DJ■平面E4C.

!模型演炼

如图，在三棱柱JBC-431G中，331_1平面，四。，，必_13。也4=且3BC=2.

34_1平面乂4。；

模型演炼

三棱柱J5C-44G中，制棱与底面垂直，乙你7=90。，AB=BC=BB\2,M,N

朋提那，4。的中点.

AW_L平面H4c.

02ONEFINEDAY

专项满分必刷

1.在长方体-"8-gca中，E是上的点,，且GKM,的长成等比数列，又M

是34所在的直线/上的动点.

求证：■平面5CE

2.如图，在三棱柱NBC-d4c中，5C/平面必。£,D是必的中点，△月CD是边长为

2的等边三角形.

证明：C、DLBD.

3.如图，在三棱台.4BC-H4c中，平面.433TJ•平面

AB、C,BB±AB},AB=4,AAt=典=2,ZBAC=g.

证明：平面

4.如图，在四棱锥P-4BCD中，穴?_1_平面-45。。，.43//(?。，点£1在棱用上，PE=2EB,

点尸，H是棱以上的三等分点，点G是棱功的中点.R?=CB=CO=亨痛=2,月C=旧.

(1)证明：即“平面CFG,且C,E,尸，G四点共面：

(2)证明：平面平面P3C;

5.如图，在四棱锥P--458中，底面AB8是正方形，侧面R4D，侧面R13,尸为BD中

点，E是R4上的点，PA=PD=2,PA±PD.

求证：平面RLDJ•平面AB8；

_1F

6.如图，四棱锥A-BCDE,AB=BC=AC=CD=2BE=2,BEllCD,£BCD=-,平面ABC1

2

平面5CD瓦尸为BC中点.

D

证明：平面4ECJ•平面.W；

7.如图几何体中，底面A5C是边长为2的正三角形，NE_L平面W3C,若AEH3BF,

4E=5,CD=4>BF=3.

B

求证：平面皿平面4ERB;

8.如图，在直四棱柱4B8-481G9中,底面为矩形，4B=/JD="a,高为3。，E

分别为底面的中心和8的中点.

Dy

B

求证：平面4。£*1•平面CDRG;

秒杀秘籍J

点面距离问题

结论1：《能康离》d==《异面量球距离的》

空?结论3：《线面距离》d=

结论2：《点面距离》d=

同

结论4:《面面距离》d=f犁

结论5：《点点d=｛（巧-巧『+（比一以＞+（二1一二2、

模型演炼

在棱长为1的正方体J5C。一W4G4中,E为的中点，则点G到直线CE的距离

为

模型演炼

在棱长为1的正方体-加CD-a/iGA中，则平面J5。与平面HC。之间的距离为（）

模型演炼

已知正方形的边长为1,W_L平面JBCD,且尸。=1,E,产分别为45,BC

的中点.（1）求点。到平面阻的距离；（2）求直线XC到平面诲的距离.

03ONeFINlDA^

专项满分必刷

1.如图，在平行六面体.45CDTBC,D中，E在线段4D,上，且AEDA=AE.4D,F,G

分别为线段5C,4D的中点，目底面.458为正方形.

（1速证:平面BCC,B」平面EFG

（2港所与底面WB8不垂直，直线ED与平面RC所成角为45。,且£8=J5=2,求点

A到平面XBCQ,的距离一

2.如图,四边形AB8是圆柱OE的轴截面,点尸在底面圆O上，圆。的半径为1,N尸=用,

点G是线段跖的中点.

(1»正明：EG#平面DJF;

(2港直线。尸与圆柱底面所成角为45。，求点G到平面DEF的距离.

3.如图，在直三棱柱形木料-45C-A4c中，D为上底面WBC上一点.

(1羟过点。在上底面."C上画一条直线/与4。垂直，应该如何画线，请说明理由；

(2期床=理=1,.43=2,44C=[,E为乂及的中点，求点3到平面.4CE的距离.

4.如图，在直四棱柱438-4^69中，底面-45CD为菱形，ABAD=60,AB=2,

，4=40,E是DR的中点.

(1)证明：即//平面.4C,E；

(2球点5到平面的距离.

5.图，在四棱锥P-.的D中，R4_L平面AB8,底面-"8是正方形，点E在棱PD上,

AD=AP=2,.4E±CE.

(戊正明：AE1PD)

(2冰点C到平面B4E的距离.

6.设四边形AB8为矩形，点尸为平面4BCD外一点，且R(_L平面WB8,若

PA=AB=\,BC=2.

p

(1或PC与平面PAD所成角的正切值；

Q庭BC边上是否存在一点G,使得点。到平面PAG的距离为V2，若存在，求出BG的值,

若不存在，请说明理由；

7.如图，在四棱锥P-ABCD中，.4Q//3C,AD±PD,平面RLD，平面PCD.

(1通明：5c1平面PCD；

(2)已知4D=PD=DC=：BC=2,且ZDPC=30。，求点。到平面RIB的距离.

8.如图，在三棱柱4BC-44c中，ZCzU,=60°,,4B=BC,AC=CCxf&E,尸分别为

BC,4c的中点.

（1球证：所//平面.4544：

（2港底面ABC是边长为2的正三角形，目平面.4CCY_L平面4BC,求点C到平面^^耳4

的距离.

秒杀秘籍

线面夹角问题（两大法）

向量法

结论1：异面直线所成角cos6=

①能建空间直角坐标系时，写出相关各点的坐标，然后利用结论求解

②不能建空间直角坐标系时，取基底的思想，在由公式cost万＞=求出

关键是求出作3及同与w

结论2：线面角3。=血8=胆」6晟0,竽］

,13.那I2〃

几何法

结论：sina=彳｛/=点面距离（d往往用等体积法计算），/=线自身长度｝

模型演炼

如图，在四棱锥尸，婚。中，四边形.四。。是菱形，HCcBZ）=。，AR4c为正三角

形，AC=2.

求直线PA与平面PBD所成角的大小;

模型演演

四棱锥尸-4BCD中，24，平面,折8,四边形“伤CD为菱形，ZADC=60°,

PA=.4D=2,E为HD的中点.

模型演炼

如图，在直三棱柱，西C-44G中，HC=且8=AAX,NCLB=90°,河是&G的中点,

N是MC的中点.

求直线与平面BCC^所成的角的大小.

模型演练

在长方体.四CD-431GA中，.e=2,3c=441=1,则4G与平面43G所成角的

正弦值为-

04ONIFINlDAY

专项满分必刷

•••

1.如图，在几何体.43CDE尸中，皿尸为等腰梯形，488为矩形，ADHEF,.45=1,

一”>=3,0E=0,EF=1,平面盘百_L平面

(1加明：BF±CF}

(2或直线与平面CEF所成角的余弦值

2.如图,三棱柱KBC-耳3£中，四边形ACC^BCC.B,均为正方形，QE分别是棱AB,用、

的中点，N为CE上一点.

(1)证明：RV/"平面4。。；

(2港AB=AC,QE=3空，求直线DV与平面4DC所成角的正弦值.

3.如图，在四棱锥Q-ABCD中，四边形AB8为直角梯形,CDiiAB,5C_LJ5,平面QAD1

平面488,。.4=05,点"是题的中点.

(1应［明：QMLBD.

(2)点N是C。的中点，4D=JB=2CD=2,当直线MV与平面纳所成角的正弦值为当

时，求四棱锥。-加⑵的体积.

4.如图，四边形488是圆柱OE的轴截面,点尸在底面圆。上,圆O的半径为1,1尸=用,

点G是线段船的中点.

A殳亍…

F

(l)i正明：EG"平面DJF;

(2港直线。尸与圆柱底面所成角为45。，求点G到平面DEF的距离一

5.如图，在三棱柱K5C-H4G中，d在底面.45C上的射影为线段5c的中点，”为线段

4c的中点，且=2.1ff=2.4C=4,ZZUC=90.

(1或三棱锥"-4仄？的体积;

(2球MC与平面,凶3所成角的正弦值.

6.如图，已知三棱锥P-JBC,P3_L平面RlCRl_LPC,Rt=P3=PC,点O是点尸在平面

WBC内的射影，点。在棱Rt上，且满足卜0=3|坦

e

(1球证：BC1OO}

Q就00与平面5C。所成角的正弦值.

7.如图，在三棱台月5C-44G中，叫"L平面ABC,乙1BC=9O。，必=d4=4C="

.45=2.

(1球证：平面.4期4J•平面BCQB、；

(2或HC与平面BCC、B、所成角正弦值.

8.如图，在多面体.4BCDE尸中，四边形A38为平行四边形，旦

BD=*D=1,BD工CDDE，平面ABCD，且DE=：BF=®DE"BF.点H,G分别为线段

OCE尸上的动点，满足DH=EG=〃O</1<2)

（1加明：直线S//平面BC尸;

（2堤否存"使得直线GH与平面的所成角的正弦值为普？请说明理由.

秒杀秘籍

面面夹^问题（两大法）

向量法

结论：二面角的平面角《«8=得皆（6e（0,兀））

hlhl

提示：a是二面角的夹角，具体cos8取正取负完全用眼神法!见察，若为锐角则取

正，若为钝角则取负.

几何法

结论：任意二面角的平面角a满足cosa=9理如（M-aB—Nncosa：》^）

注意：N为原图上的点，而分子是N点在面双婚的投影点

模型演炼

在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，.""C。，皿铝=60°,RC，平

面ABCD.AE±BD,CB=CD=CF.

求二面角尸的余弦值.

模型演练

如图，在三棱柱.四c-W4G-中，^BAC=90°,.4B=AC=2,\A=4,4在底面ABC

的射影为3c的中点，。为31G的中点.

求二面角d-BdB的平面角的余弦值.

模型演炼/

四棱锥P-且BCD中，R41平面且BCD,四边形-43CD为菱形，Z.4DC=60°,P^AD=2,E

为一4D的中点.

求二面角.4-PDC的正弦值.

D

B

05ONEFINEDAV

专项满分必刷j

1.如图，三棱台.4BC-44c中，75c是边长为2的等边三角形，四边形.4CCA是等腰

梯形，且4c=幺=LD为4c的中点.

(1应［明：AC±BDi

(2港直线必与平面BB£C所成角的正弦值为等，求二面角A-AC-B的大小.

2.如图，在三棱锥D-NBC中，.48=^=_BD=30*C=7,BC=CD=5.

(1)1正明：平面月CDJ•平面ABC;

(2港E是线段CD上的点，目而=几死，求二面角七-且5-。的正切值.

3.如图，在四棱锥尸-4BCD中，底面J5c。为直角梯形，45c=/5CD=90,P.4_L平

面ABCD,PA=AB=BC=4,CD=3,A/为侧棱PC的中点.

(1球点D到平面P5C的距离；

(2球二面角M-AD-B的正切值.

4.如图，在正四面体尸-4纥中，反尸是棱比的两个三等分点.

(戊正明：-1B_LPC；

(2就出二面角「--45-瓦£-13-尸,尸-13-(？的平面角中最大角的余弦值.

5.如图，已知PD，平面ABCD,CD=2AB=2AD=ZABiiCD,.4D±CD,PC与底面4B8所

成角为，，目tan，

2

(1球证：(28_1平面尸3。；

(2冰二面角P-5C—。的大小.

6.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形为梯形，其中金「CD,

3CD=600.1B=25C=2CD=4,平面PSD_L平面一458.

(戊正明：AD±PD}

(,2^AB±PD,且R?与平面X58所成角的正切值为2,求平面所C与平面R1D所成二

面角的正弦值.

7.如图，在三棱柱.45C-HBC中，必，平面,仍&4。4。1仍=/。=244=4刀是线

段34上的一个动点，EJ分别是线段BC,AC的中点，记平面诋与平面45.C,的交线为1.

(1冰证：EFIIh

Qa二面角。-即-C的大小为120时，求50.

27T

8.如图，在梯形HBCD中，A3//CD,AB=BC=-CD=2,乙15。=岁将小处沿对角

线AC折到&4PC的位置，点P在平面且BC内的射影H恰好落在直线.45上一

（1球二面角P-NC-B的正切值；

Q）点尸为棱压'上一点，满足尸F=2FC,在棱BC上是否存在一点。，使得直线股与平面

.43月所成的角为g带存在，求出薨的值；若不存在，请说明理由.

专题03五大类立体几何题型-2024年高考数学大题

秒杀技巧及专项训练（解析版）

高考大题题型归纳为

[醒1线面平行问题（刻度尺平移大法）】

【醒2线面垂直问题（勾股定理妙解）】

[93点面距离（体积求算）问题】

【题型4线面夹角问题（两大法）】

面面夹角问题（两大法）】

秒杀秘籍

基础工具：法向量的求算

待定系数法：步骤如下：

①设出平面的法向量为〃=（x,y,=）.

②找出（求出）平面内的两个不共线的向蚩a=（q，4，q）,b=（a2,b2,c2）.

fn-J=0

朗艮据法向量的定义建立关于x，M二的方程组--八

④解方程组，取其中的一个解，即得法向量.

fn-J=0

注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组,rC有无数多个解，只需给

工乂二中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法

向量就不同，但它们是共线向量.

秒杀大法：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减）

向量4=（2,F1，二I）,1（孙必，二2）是平面a内的两个不共线向量，则向量

方=b'l二2一,2二卜电二I一七二2,再当一巧"）是平面a的一个法向量.

特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离歹正个方程求解.

几何法:线面平行问题

线面平行：关键点=①嫩将刻度尺与所证线重合，然后平移落在所证平面且留下痕迹②

眼神法：现察采用哪一瞰巧（五种方法）（记住六大图像）

:中位牺

如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥尸-且3CD中，点E是尸0的中点.求证：PB!!平

面JEC.

laimu)

分析:

校里二：敬钮raw

如图⑵，平行四边形且BC。和梯形BEFC所在平面相交，BE//CF,求证：AE〃平面

DCF.

分析：过点E作EG//且D交产。于G,DG就是平面HEG。

与平面。。尸的交线，那么只要证明NE//OG即可。

如例⑵

>•

模型三:作辅助面使两个平面是平行

如图⑶，在四棱锥中，底面XBCQ为菱形，”为QW的中点，N为3C的中

点，证明：直线MN4平面。CD

分析：：取0B中点E,连接ME,NE,只需证平面MENII平面OCD。

模型四：利用平行线分线段成比例定理的逆谈谑断有。

已畛共边为期的两个全等的矩形而D和出时不在同一平面内,P,0分别是对角线AE,

劭上的点，且川=8（如图）.求证：股M平面CBS.

如图⑸，已知三棱锥P-HBC,H、B'、C'是APBC,APC4,AP48的重心.⑴求证:

如图⑹

A'B'11^ABC}

向量法、（向量法）所证直线^已畔面的法向量垂直，关键：毂空间坐标

系（或找空间一组基底）及平面的法向量0

如图⑹，在四棱锥S-ABCD中，底面J5C。为正方形，侧接SD1底面,"CD,E,F

分别为AB,SC的中点.证明EFII平面SAD；

分析：因为侧棱SD1底面N58,底面H5C。是正方形，所以很容易建立空间直角

坐标系及相应的点的坐标。

证明：如图，建立空间直角坐标系。-即，二.

设次a0,0),S(0,ft母，则B(a,a0>C(ft«0)

片吗0),耳吟J)，EF=\,

因为y轴垂直与平面SAD,故可设平面的法向量为n=(0,1,0)

则：EFn=\1,0)=0因此而_1_)，所以EF“平面屋仞.

模型演炼

如图，三棱柱.4BC-HBG中，。为底面△44C的重心，DeCC^CD.DC^l.l.

(1球证：8#平面4>C；

(2港小，底面44c,且三棱柱.use-d4c的各校长均为6,设直线以耳与平面44。所

成的角为6,求sine的值.

破解：(1)连接C。交H用于E点，连接CE.

因为。为底面4c的重心，则EO:OC]=1:2,

又因为DeCC，CD:Dq=l:2,则即：。£=CD:Z>C,可知OD"EC,

因为OD<Z平面乂目C,ECu平面44C,

所以OD4平面44c.

（2）取43的中点尸，连接时.

因为小，底面H3C，且三棱柱乂因-AB©的各棱长均为6,

可知射线3.EC、，即两两垂直，

以EB},EC,，所所在直线分别为xj二轴建立空间直角坐标系,

则4(3,0,0)空(-3,0,6)1(0,366)第0,0,0),

所以函=(6,0,-6卜函=(3,0,0),筋=e,3a6),

H-ER=3x=0

设平面44c的法向量为n=（“，,；）,贝」—厂,

万衣=3扬+6:=0

令1=一2,可得》=0,二=/，可得万=（0,-2,招）,

所以即叫8s无网=瑞=堵%=普.

Ei模型演炼

如图，平行六面体，88-4及GA中，£尸分别为.45、CC的中点，N在43上.

(1球证：K尸〃平面.仞G；

(2错DC=DD,=2AD=4,QDC=y,ADl平面DCC,D},B^=5NB,求平面EFN与平面

DCCQ的夹角喉弦值.

破解：(1)证明：如图，设CD的中点为O,连接。尸3。.

•.•尸为CG的中点，

.".OFH8且。尸=；CD.

又•••£为.43的中点，目四边形-458是平行四边形，

：.AEHOF且=

...四边形4。也为平行四边形..JO〃EF.

又.〜。匚平面.icqE尸(z平面.i£>c,:.EFH平面JZ)C.

(2)解：在平面DCCQ中，作交CA于乩

40_L平面DCCR,DHu平面DCC、D,,DCu平面DCC,D,,

：.AD1DH,AD1DC.

：..4D.DC.DH两两互相垂直.

分别以射线以。C、DA为K轴、J轴、二轴的非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系

D一平，

在平行六面体■空8-4及GR中，由皿，平面DCCR得平行四边形是矩形.

•••DC=DD、=2AD=4,/D、DC=y,

二D,H=DRsin(ZD,DC-NHDC)=4sin^=2,

DH=DD,cos(ZD,DC-ZHDC)=48s.=4xg=2后

C、H=C\D、-D、H=2

根据已知可得00。0)，42,0,0),3(240)£(0,4,0)6(0224)，

。(0-2,2^)J£(2,Z0),F(0J3J>/3).

.-.j5=(-2,0,0),^=(-2,l,s/3)IjB=(0J4J0)I55；=(0J-2,2>/3).

•.•斯=5丽二丽=丽+前=：茄+；丽=：石+,叩

由M_L平面DCC.D得用是平面DCCQ的法向矍

正手=京+生=。

设n=（x,j二）是平面西V的法向量,则V

nEF=-2x+y+6；=0

取『=-75,得二=5,x=2/一

/.H=（23-35）是平面EFW的法向量

cos(*.40)=",竺=2^3x(-2)+(-^~)x0+5x0回

'71训⑷I25/10x2To"

设平面4N与平面DCC}D的夹角为，，则8s3=|ss（瓦石）卜甯

二平面E与平面DCCA的夹角的余弦值为喀.

模型演炼

如图，四四棱台”8-4瓦GA的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面

平面4BCD,WD=此点P是棱DD的中点，点。在棱5c上.

（1港%=3。。，M：理。平面4网同；

（2港二面角尸-QD-C的正弦值为粤，求5。的长.

20

破解：（1）证明：取皿的中点M,连接MP,MB.

在四棱台-如8-451GA中，四边形4曲；是梯形，44=2,.切=4,

又点跖P分别是棱44。。的中点，所以MP〃功，且必=隼2丝=3.

在正方形工5。中，BCII.4D,5c=4,又3。=3。（7,所以50=3.

从而30〃3。且20=3。，所以四边形5MPQ是平行四边形，所以W〃MB.

又因为MBu平面.4BB、A，卬＜Z平面.43与耳，所以PQH平面ABB^:

(2)在平面中，作d。*1•■必于。.

因为平面必DQ_L平面ABCD,平面.4.4。。c平面438=40,AplAD,40u平面

.4AD,D,所以4。_L平面.4B8.

在正方形ABCD中，过。作一43的平行线交BC于点N,则ON±OD.

以｛而，历，而｝为正交基底，建立空间直角坐标系。-不二.

因为四边形，4。。是等腰梯形，44=2,3=4,所以.40=1,又4A=D、D=而，所

以4。=4.

易得用4T0),0(030),C(430),川024),P„2),所以比=(4.0,0),

丽=；0,-；2；,C3=(01-4.0).

：设&=/1而=（0,-4右0）（04/141）,所以双=灰+&=（4,-4几0）.

r*1

设平面P。。的法向量为历=(xj,二)，由I"竺=°,得|一t’-2二=0,取而=(444」),

[mDO=04x-4Ay=Q

另取平面DCQ的一个法向量为«=(0,0,1).

设二面角P-QD-C的平面角为8,由题意得k>sq="-sin：e=

IKII加训111

x|cos.|=|coSffl,H|=-=^_=,所以币许二花,

解得3（舍负），因此C°=3]x4=3,BO=1.

44

所以当二面角P-QD-C的正弦值为婆时，5。的长为1.

叙：设。（4/0）（-1W3）,所以双=（4/一3小）.

mDP=0

设平面P。。的法向量为而=（尤丁二），由—，得;2",取而=(3-

mDQ=04x+(Z-3)y=0

另取平面DC。的一个法向量为万=（0。1）.

设二面角P-QD-C的平面角为8,由题意得|coseb，l-sin*=

[小III加司111

又|8刈=|8s机/丽:不不行，所以产匚丁布,

解得f=0或6（舍），因此3Q=1.

所以当二面角P-QD-C的正弦值为这？时，3。的长为1.

26

-2

B、4

在平面T4DA中，作PHL4D,垂足为H.

因为平面&ADD、，平面ABCD,平面H4DRD平面WBCD=4D,PHLAD,PHu平面

4皿、,

所以PH_L平面ABCD,又DOu平面438,所以PH±DQ.

在平面.4BCD中，作HG_LD。，垂足为G,连接PG.

因为用_LD。，HG1D0,PHCHG=H,PH,HGu平面PHG,

所以DQ_L平面PHG,又PGu平面用G,所以。Q_LPG.

因为HG_LD。，PGLDQ,所以ZPGH是二面角P-QD-月的平面角.

在四棱台-451Go中，四边形A的：是梯形，

4^=2,.10=4,44=。。=旧，点P是棱DQ的中点，

所以用=2,DH='.

设即=x(04x44),则CQ=4-x,Z)Q=+(4-x『=6-8。+32,

2

在△?加中，lxlx4=lxVx-8x+32x/fG,从而的=jr_£_32.

因为二面角P-QD-C的平面角与二面角尸一。。一月的平面角互补，

目二面角P-QD-C的正弦值为士争,所以sinNPGH=曙，从而tanZPGH=5.

2020

PH----------------

所以在RtA阳G中，—=VX2-8>+32=5,解得X=1或X=7(舍).

Z7Cr

所以当二面角P-0D-C的正弦值为年时，3。的长为1.

20

02ONEFINEDAY

专项满分必刷‘

---

1.如图，在直三棱柱ABC-&B、C中，AB_LBC,AB=BC=BB、=2,M,N,P分别为AA,

AC,BC的中点.

求证：w〃平面3CC4；

【详解】...直三棱柱AM-44c中，M为H及的中点,

所以B、M=；4旦=；而，旦B.MHAB,

・•・因为尸，N分别BC,.4C的中点、，

.,.PNiiAB,PN=^AB,

:一PNiiB、M,PN=B、M,

二•四边形34WP为平行四边形，二卬〃4P,

又；MVN平面B£CB,31Pu平面B、C\CB,

故MV//平面4CCB.

2.如图，在四棱锥P-W5CD中，PAL^-^ABCD,.4BLAD,ADUBC,BC=\.4D

PA=.4B=2,£为棱功的中点.

p

求证：EC〃平面RIB：

【详解】取PA中点为M,连接\史，卜出,如下所示：

在中，因为ME分别为以心的中点，故ME，依=:功；

又AD"BC,BC=：AD,板MEfiBC4史=BC,则四边形MBCE为平行四边形，ECilMB?

又A。u面PAB,EC<Z0P.4B,故EC「湎R4B.

3.如图，在四棱锥尸-且88中，〃_L平面4B8,PA=.4D=CD=2,BC=3,PC="•

(1或证：CDJ•平面RLD;

(2病从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面所C与平面RLD所成锐二

面角的大小.

条件①：48=小；

条件②：BC〃平面AID.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解

答，按第一个解答计分.

【答案】(1)证明见解析(2)所选条件见解析，3

【详解】(1)如图，连接.4。因R1_L平面一月CCDu平面458,则以L4C,

PA±CD.

又PC=PA=2,贝i」AC=20.

注意到且D=DC=2,则小小?为等腰直角三角形，其中乙1CD=J,乙!DC=g.

42

所以CDL4D,又因为Rl_L8,4D,21u平面RID,ADcPA=A,

所以8,平面RLD；

(2)若选条件①，由余弦定理可得，

cosZACB=的==*,结合N/CB为三角形内角，

2AC-BC2x2V2x32

得4cB=1,又ZJCD=1,贝i[ZBCD=g,gp5C±CD.

442

若选条件②，因BC〃平面PAD,BCu平面ABCD,平面ABCDc平面PAD=AD,则

BCII.4D,

又乙iDC=三,贝iJZBCD=；,gpBCXCD.

22

故建立以.4为坐标原点，如下图所示空间直角坐标系(x轴所在直线与0c平行)

又PA=AD=CD=IfBC=3,AB=^/5,

则4(0,0,0),3(2-kO),C(ZZO)，D(0,2,0),P(0s0,2),

则反1=(0,3,0),CP=(^2-2,2),^=(2,0,0).

平面RED法向量为DC=(2,0,0),

设平面MC法向量为13)，则匕nB而C=0味f32j'”=02丁+2.0-

令X=l,贝心，=0,二=1,所以方=(L0,l),

设面P5C与平面RLD所成角为8,cos^=|cosn,DC|=iiDC2

|s||5c|41-2

根据平面角的范围可知eg

4.如图，S为圆锥顶点，O