2024年新高考新结构数学模拟卷（一）（原卷版+解析版）

2024年新高考新结构数学模拟卷（一）

（模拟测试）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的

指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.一组数据为148,150,151,153,153,154,155,156,156,158,163,165,则这组数据的上四

分位数是（）

A.151B.152C.156D.157

22

2.已知双曲线1一斗=1（4>0,6>0）的渐近线方程为产±3x,则双曲线的离心率是（）

ab

A.VioB.典「3M

L.-------D.3V10

1010

%+期

3.等差数列｛%｝和物/的前"项和分别记为S_与T”,若争,8”，则：=（）

Ln3〃+5年

12-32C,3

A.—B.—D.2

7177

4.设。，6是两条不同的直线,a,夕是两个不同的平面,给出下列四个命题：

①如果a//a,blla,那么。//力；②如果a〃尸，a&a,b&/3,那么。〃6；

③如果,那么a〃6；④如果auc,tz_L尸，那么

其中正确命题的序号是（）

A.①B.②C.③D.④

5.某中学于2023年4月25日召开春季运动会，在开幕式之前，由高一，高二学生自发准备了7个娱乐节

目，其中有2个歌曲节目，3个乐器独奏，2个舞蹈节目，要求舞蹈节目一定排在首尾，另外2个歌曲节目

不相邻.则这7个节目出场的不同编排种数为（）

A.288B.72C.144D.48

6.已知贝！=是"直线依+y—1=。和直线—2）y—1=。垂直"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知。£（0,兀）,5.8=^^-2以）5（5+胃以）5（号一野，贝1Jtang的值为（）

A.-也B.-0C.D.

342

8.双曲线C:f-y2=4的左，右焦点分别为久,鸟，过F?作垂直于无轴的直线交双曲线于A3两点,

的内切圆圆心分别为。,。2，。3，贝1],。。2。3的面积是（）

A.65/2-8B.6A/2-4C.8-472D.6-40

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）

9.已知函数/（x）=sin|x|+|cos2x|,下列说法正确的是（）

7T元

A.2兀是函数/⑺的一个周期B./（尤）在（*会上单调递增

C./（X）的最小值是-ID./（X）在（0,2兀）有3个零点

2

10.已知复数4名，满足㈤忆*0,下列说法正确的是（）

A.若㈤=忆|,则z；=Zz2B.Izj+zJ^lzJ+l^l

2

C.若z-eR,则D.-z21Tzi忆|

Z2

11.已知函数F（x）,g（x）的定义域为R,g'（x）为g（x）的导函数,且/（x）+g,x）-8=0,

/（x-2）-g,（6-x）-8=0,若g（x）为偶函数，则下列一定成立的有（）

A.g〈4）=0B./（1）+/（3）=16

20

C.”2023）=8D.=160

n-\

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.对于集合A,B,我们把集合{x|xwA,且xe母叫做集合A与8的差集，记作&-3若A={1,2,3,4,5},

3={4,5,6,7,8},则3—A=.

13.如图是我国古代米斗，它是随着粮食生产而发展出来的用具，是古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，

早在先秦时期就有，到秦代统一了度量衡，汉代又进一步制度化，十升为斗、十斗为石的标准最终确定下

来.已知一个斗型（正四棱台）工艺品上、下底面边长分别为2和4,侧棱长为2百，则其外接球的表面积

为.

14.已知当尤eR,㈤表示不超过x的最大整数，称y=㈤为取整函数，例如口.2]=1,[-2.3]=-3,若/（X）=[%],

且偶函数g（无）=一（尤-1）2+1（XN0）,则方程/（7'（x））=g（x）的所有解之和为.

四、解答题（本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，

19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.已知函数/（力=!》3+^./+（l）x+l.

⑴若曲线y=在点（2,〃2））处的切线与直线6x+y+l=0平行，求出这条切线的方程；

⑵讨论函数〃力的单调性.

16.A,B,C,。四人进行羽毛球单打循环练习赛，其中每局有两人比赛，每局比赛结束时，负的一方

下场，第1局由A,B对赛，接下来按照C,。的顺序上场第2局、第3局（来替换负的那个人），每次负的

人其上场顺序排到另外2个等待上场的人之后（即排到最后一个），需要再等2局（即下场后的第3局）才能

参加下一场练习赛.设各局中双方获胜的概率均为各局比赛的结果相互独立.

⑴求前4局A都不下场的概率；

⑵用X表示前4局中B获胜的次数，求X的分布列和数学期望.

17.在直角梯形ABCD中，AD//BC,BC=2AD=2AB=2^5,ZABC=90°,如图（1）.把沿3。翻

折，使得平面平面BCD.

ADA

图⑴图⑵

⑴求证：CDLAB-,

（2）在线段BC上是否存在点N,使得AN与平面ACO所成角为60。？若存在，求出B黑N的值；若不存在，说

nC

明理由.

18.已知抛物线C:/=4x的焦点为尸，过点F且斜率为左依/0）的直线与抛物线「交于A、8两点，分别

过A、B两点作抛物线的切线，两条切线分别与y轴交于C、。两点，直线C歹与抛物线「交于M、N两

点，直线。户与抛物线「交于P、。两点，G为线段的中点，a为线段尸。的中点.

11

⑴证明：网卡网为定值;

⑵设直线G”的斜率为人,证明：1为定值.

/\

4,14,2

19.已知4=%'的”\（机22）是疗个正整数组成的加行加列的数表，当

"加,2…）

根时，记4（4/，4,）=|%-4）+,,,「4）.设MN*,若4满足如下两个性质:

①&六｛1,2,3;,〃｝（，=1,2,，刑）=1,2,,机）；

②对任意左e{1,2,3/..,〃},存在任{1,2,,W},JG{1,2,，叫，使得%尸左，则称4为「“数表.

’123、

⑴判断4=231是否为心数表，并求1（%，%2）+"（%,2，%3）的值；

1312）

⑵若匕数表4满足〃（％，4+山）=1（1=1，2,3;/=1,2,3）,求人中各数之和的最小值；

（3）证明：对任意、数表4。，存在14<$41。,14/</410,使得"%"4',）=0.

2024年新高考新结构数学模拟卷（一）

（模拟测试）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的

指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3,非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.一组数据为148,150,151,153,153,154,155,156,156,158,163,165,则这组数据的上四

分位数是（）

A.151B.152C.156D.157

【答案】D

【分析】根据上四分位数的概念即可求得答案.

【详解】依题意，该组数据是从小到大排列，

又12x75%=9,所以所给数据的上四分位数是"笥里=157,

故选：D.

22

2.已知双曲线'一马=1（°>0,6>0）的渐近线方程为产±3尤，则双曲线的离心率是（）

ab

A.VioB.巫C.D.3Vw

1010

【答案】A

【解析】由渐近线求得:，由双曲线的离心率e=,=+求得答案.

【详解】因为该双曲线的渐近线方程为产±3无，则幺=3,

所以双曲线的离心率e=£=Jl+p[==M

故选：A

【点睛】本题考查求双曲线的离心率，涉及双曲线的渐近线方程，属于简单题.

,,s,“8”a,+a

3.等差数列｛%｝和也｝的前几项和分别记为S“与7；,若宁=石荷，则十g^二（）

"3

123216

A.-B.c.D.2

7V7T

【答案】D

2%

a+a=*,进而代值计算即可得解

【分析】由等差数列下标和的性质可得.294+〃io_10

b34+4—21

25

2S］（）

8n6Z1+।-10_do.8x5c

【详解】,所以32==2.

1〃b

n3+534+654T53x5+5

25

故选：D.

4.设“，6是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，给出下列四个命题：

①如果a//。，blla,那么果/。；②如果a///，aea,bej3,那么a//b；

③如果a_La,a_L，，那么a〃尸；④如果aua,a_L#,那么“_L〃.

其中正确命题的序号是（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】C

【分析】①利用空间内两直线的位置关系判断；②利用空间内两直线的位置关系判断；③根据垂直于同一

直线的两平面平行判断；④利用直线与平面的位置关系判断.

【详解】①如果a//c,blla,那么。与。平行，相交或异面，故错误；

②如果a〃6，a2bql3,那么。与b平行或异面，故错误；

③如果a，心〃，£,由垂直于同一直线的两平面平行知正确；

④如果。与万平行，相交或。在尸内，故错误；

故选：C

5.某中学于2023年4月25日召开春季运动会，在开幕式之前，由高一，高二学生自发准备了7个娱乐节

目，其中有2个歌曲节目，3个乐器独奏，2个舞蹈节目，要求舞蹈节目一定排在首尾，另外2个歌曲节目

不相邻.则这7个节目出场的不同编排种数为（）

A.288B.72C.144D.48

【答案】C

【分析】先把舞蹈节目排好，再在2个舞蹈节目中间排好3个乐器独奏，再利用插空法排2个歌唱节目即

可.

【详解】先把舞蹈节目排好，共A；=2种，

再在2个舞蹈节目中间排好3个乐器独奏，共母=6种，

这样3个乐器独奏与2个舞蹈节目中间共产生4个空档（不包括两边），

2个歌唱节目排在4个空档上，共A：=12种.

故这7个节目出场的不同编排种数为2x6x12=144种.

故选：C.

6.已知a,6eR,贝！|“a=1”是“直线6+y-1=。和直线x+（/-2）y-l=0垂直”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据直线垂直的等价条件，求出。的取值，根据包含关系即可得到结论

【详解】直线6+y—1=0和直线无+（/—2）y-l=0垂直，

则。+（。"-2）=。，解得a=-2或。=1,

所以“a=l”是“直线6+y-l=。和直线x+（/-2）y-l=0垂直”的充分不必要条件，

故选：A,

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线垂直的等价条件是解决本题的关键，属于基

础题，

7.已知夕£（0,兀）,sin<9=N—2cos火]cosjS-P],则tan，的值为（）

2126J126J

A.-@B.-石C.D.

342

【答案】B

【分析】利用两角和与差的余弦展开式、余弦的二倍角公式可得sin0+cos0="^口，解法一，再将两边平

2

方可得sin6tos9,利用弦化切解得tan，；解法二，再将两边平方可得sin，cos6,利用

（sin6-cos6J=i_2sinAcos。求出sin，一cos夕，结合sin6+cos。求出sin6、cos。可得答案.

【详解】因为sin。=

仄8.8c信6.9

且2cos—+—=V3cos----sin—,2cos-------=v3cos—+sin—

I26）22（26）22

所以sin。=

=B_113cos^-sin^百1（3+3cos^1—cos0

一cose

~^2~222222222

BPsin0+cos^=――-

2

解法一，上式两边同时平方可得sinOcose=-"，

4

sinScosetan0

所以=-----，角军得tan。=_6或tan8=,

sin?。+cos?。1+tan?。43

因为sin6cos6=--^-<0,夕£（0,兀），

所以。,sin^>O,cos^<0,

因为0<sin，+cos，=^^<l,所以sin°>

|cos^|,

2

71371

所以卜anepl,即

25T

所以tan。v—l,则tan。=-避^舍去，所以tan。=-石.

3

解法二，上式两边同时平方可得sin，cos9=-¥,贝!j（sin夕一cos，/二l-2sin〃cos，=1十（二

因为夕£（0,兀），易知sind-cos。〉。,

两边开方可得sine-coseu^W^，结合sin6+cos。=且一-，

22

可得sing=cos^———,故tan，=—

故选：B.

8.双曲线C：%2—y2=4的左，右焦点分别为用工，过尸2作垂直于X轴的直线交双曲线于两点,

4耳6必3耳&小耳^5的内切圆圆心分别为。］,02。3,贝k。。2。3的面积是（）

A.6五-8B.65/2-4C.8-472D.6-45/2

【答案】A

【分析】由题意画出图，由已知求出c的值，找出A,8的坐标，由3GB，“耳A3的内切圆圆心分别

为a，。?,。,，进行分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出，。02。3的底和高，利用三角形的面积公

式计算即可.

【详解】由题意如图所示:

由双曲线C』2-，2=4,知。2=匕2=4,

所以。2=/+62=8,

所以8（2叵0）,闺用=2c=40

所以过尸2作垂直于X轴的直线为x=20，

代入C中，解出4（2忘,2）,网20,一2）,

由题知.A片名，8片B的内切圆的半径相等，

且|的|=忸用，A/K，*跖工的内切圆圆心qo

的连线垂直于x轴于点尸，

设为厂，在中，由等面积法得：

+段+闺图）"=3与用根用

由双曲线的定义可知：|明|-|然1=2。=4

由网=2,所以的=6,

所以g（6+2+4⑹/=gx4及x2,

南吩2及2&x（2-应）

解得：r=----7==-------------=2^2—2，

2+V22

因为巴鸟为弓48的的角平分线，

所以。3一定在EK上，即X轴上，令圆。3半径为R,

在，A片B中，由等面积法得：

^（\AFl\+\BFl\+\AB\）.R=^\FlF2\.\AB\,

又|A娟=忸周=新市府=不可丁=6

所以；x（6+6+4）.R=gx40x4,

所以R=0，

所以怛用=厂=2夜-2,

|。3尸|=|03用一归用=尺—=0_（20_2）=2-0,

所以s.0mq。同。3尸|=；x2rxRP|

=冈。3刊=（2四_2卜（2_@=6后-8,

故选：A.

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）

9.已知函数〃x）=sin|x|+|cos2尤|,下列说法正确的是（）

A.2兀是函数/（x）的一个周期B.AM在（台）上单调递增

C.〃x）的最小值是一1D.在（。,2兀）有3个零点

2

【答案】BCD

【分析】取特值计算判断A；利用导数判断B；由偶函数性质，结合xNO时的周期性分段讨论判断CD.

IF713713元

【详解】显然/（-5）=sin|-5|+|cos（-7t）|=2,/（—）=sin|—|+1cos3n|=0,

Jrjr

即/（一5）*/（-5+2兀），因此2兀不是函数"X）的一个周期，A错误；

7T7T2兀

当了£(§,万)时，sinx>0,cosx>0,2xG(—,7r),/(x)=sim:-COS2J;=2sin2%+sinx-1,

TT7T

求导得/'(x)=4sinxcosx+cosx>0,因此了。)在(1耳)上单调递增，B正确；

函数/(丈)的定义域为R,/(-x)=sin|-x|+1cos2(-x)|=sin|尤|+1cos2x|=f(x),

即函数f(x)是偶函数，当xNO时，/(x)=sinx+|cos2x|,

显然/(尤+2兀)=sin(x+27i)+|cos2(x+2兀)|=/(%),则只需讨论/(%)在［0,2K］上最小值，

当OVXVTT时，sinx>0,而|cos2x|20,且sinx与|cos2x|不同时为0,贝！］/(尤)>0,

当兀〈龙4当时，<sinx<0,f(x)=sinx+cos2x=-2sin2x+sinx+1=-2(sinx--)2+->-^-,

42482

当且仅当sinx=-且，即x=2时取等号，由/(x)=0,得sinx=」，%==,

2426

当<x<=时，-1Vsin尤V/(无)=sinr-cos2x=2sin2x+sinx-l=2(sinx+—)2-->，

442482

当且仅当sinx=-受，即x==时取等号，由/(x)=0,得sinx=—l,x=萼，

242

当与<x<2兀时，<sinx<0,f(x)=sinx+cos2x=-2sin2x+sinx+1=-2(sinx--^-)2+g>，

由/(无)=0,得sinx=-Lx=

26

因此当xe［0,2兀］时，/(x)min=/(--)=/(—)=,/(龙)的零点为?，当，丝,

八/min八4，八4’2626

所以函数/'(x)的最小值是-亭，在(0,2兀)有3个零点，CD正确.

故选：BCD

【点睛】思路点睛：涉及求含正(余)的二次式的最值问题，可以换元或整体思想转化为二次函数在区间［T』

或其子区间上的最值求解.

10.已知复数az2,满足区卜区后0,下列说法正确的是()

A.若㈤=忆|,则Z：=Z22B.l^+z^lzj+lzj

C.若z'eR,则D.|zjZ2|=|zj|z2|

Z2

【答案】BD

【分析】对选项A,C,利用特殊值法即可判断A,C错误，对选项B,根据复数模长的性质即可判断B正

确，对选项C,根据复数模长公式即可判断D正确.

【详解】对选项A,设4=l+i,则㈤=%|=0,

22

z；=(l+i)2=2i,z2=(V2i)=-2,不满足z：=zz2,故A错误.

对选项B,设z”Z2在复平面内表示的向量分别为z；,z；,且ZJ,Z；NO,

当4/2方向相同时，上1+22卜同+"|，

当云，云方向不相同时，忖+[＜同+同,

综上|zi+z21M㈤+上21，故B正确.

对选项C,设Z]=l+i,z2=l-i,ZjZ2=(l+i)(l-i)=2eR,

z；_1+i_(1+i)2

===ieR,故C错误.

-T-(1_i)(i+i)

对选项D,设Z]=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d^0,

ZjZ2=(a+Z?i)(c+t/i)=(ac-M)+(aJ+Z?c)i,

2222

|Z||z2|=yja+b--\/c+d=+(bd)2+(Z?c)2=|z1z2|,

故D正确.

故选：BD

11.已知函数〃x),g(x)的定义域为R,g'(x)为g(x)的导函数,且/(x)+g'(x)-8=0,

〃x—2)—g[6—x)—8=0,若g(x)为偶函数，则下列一定成立的有()

A.g〈4)=0B./(1)+/(3)=16

20

C./(2023)=8D.Z/(")=160

n-\

【答案】ABD

【分析】由g(x)是偶函数得出g'(x)是奇函数，由已知两条件推出g'(x)是以4为周期的函数，然后在已知

式中对自变量赋值求解.

【详解】由g(x)是偶函数,则g(T)=g(H，两边求导得—g'(f)=g'(x),

所以g'(x)是奇函数，故g'(o)=。.

对于A,由/(%)+g,(x)-8=0=>/(x-2)+g,(x-2)-8=0=>/(x-2)=8-g,(x-2),

代入/(x_2)_g，(6T)_8=0,^8-g,(x-2)-g,(6-%)-8=0,

又g'(x)是奇函数，

贝ijg'(x_2)=_g'(6_x)=g'(x_6)=>g'(x+6_2)=g'(x+6_6)og'(x+4)=g'(x),

所以g'(x)是周期函数，且周期为4,g<0)=g<4)=0,故A正确；

对选项B,令x=l得，/(l)+g'(l)—8=0,令x=5得，/(3)_g'(l)_8=O,

故/⑴+/(3)=16,故B正确;

对于C：令x=2023得/(2023)+g'(2023)—8=0n/(2023)+g,(4x505+3)-8=0,

即〃2023)+g'(3)-8=0,

若“2023)=8,则g，(3)=0,g,(3)=g,(-l+4)=g\-l)=0

但g'(-l)不一定为0,故C错误；

对于D：令>4,得〃4)+g'(4)—8=〃4)+g'(0)—8=0,

故"4)=8,g'(2)=g'(2-4)=g'(—2)=—g'(2),所以g'(2)=。，

令x=2,得〃2)+g'⑵一8=0,则"2)=8

则/⑴+/(3)=16,由g'(x)是以4为周期得〃x)+g'(x)—8=0,

20

所以Z〃〃)=5[〃1)+〃2)+〃3)+〃4)]=5X(8+16+8)=160,故D正确.

n=l

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用条件得出函数g'(x)的奇偶性及周期性，进而得到函数〃力的性

质，然后利用赋值法求解.

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.对于集合A,B,我们把集合{小eA且xe母叫做集合A与3的差集，记作A-瓦若A={1,2,3,4,5},

8={4,5,6,7,8},则3—A=.

【答案】{6,7,8}

【分析】利用定义进行直接计算.

【详解】由差集的定义，A={1,2,3,4,5},8={4,5,6,7,8},

则A={6,7,8}.

故答案为：{6,7,8}.

13.如图是我国古代米斗，它是随着粮食生产而发展出来的用具，是古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，

早在先秦时期就有，到秦代统一了度量衡，汉代又进一步制度化，十升为斗、十斗为石的标准最终确定下

来.已知一个斗型（正四棱台）工艺品上、下底面边长分别为2和4,侧棱长为2百，则其外接球的表面积

为

【答案】407r

【分析】如图，设该正四棱台为四棱台AB。-AqGA，设上下底面的焦点分别为a，则其外接球的球

心。在直线002上，先求出棱台的高，再利用勾股定理求出外接球的半径，再根据球的表面积公式即可得

解.

【详解】如图，设该正四棱台为四棱台ABCD-4qG0,

设上下底面的焦点分别为a，a,则其外接球的球心o在直线a。2上，

由题意，AC=20，AG=40,

故四棱台ABCD-A4GA的高002=卜灼2_4上;2-=30,

易知。在线段。。2上，设0Q=x,外接球的半径为R,

则/?2=（V2）2+X2=（2V2）2+（30-x）2,解得x=2&，

所以我2=10,

所以其外接球的表面积S=4位2=4071.

故答案为：40K.

【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问

题求解，其解题思维流程如下：

(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相

等且为半径；

(2)作截面：选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些

元素的关系)，达到空间问题平面化的目的；

(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

14.已知当xeR,田表示不超过x的最大整数，称y=印为取整函数,例如[1.2]=1,[-2.3]=-3,若f(x)=[x],

且偶函数g(x)=-(x-l)2+l(xN0),则方程/(〃x))=g(x)的所有解之和为.

【答案】-3-库-石-3

【分析】数形结合，在同一坐标系中分别画出y=g(无)和丫=卜]的图像，结合/(f(x))=[H分析

f(7(x))=g(x)的解，从而求和即可.

【详解】当x<0时,-x>0，则g(-x)=-(…l)2+l=-(x+l)2+l,

因为g(x)为偶函数，

所以当x<0时，g(尤)=g(-x)=-(%+1)2+1,

由/(尤)=[x]有/(/(动=卜],

所以由f(f(x))=g(x)有g(x)=[x],

在同一坐标系中分别画出y=g(尤)和y=[x]的图像，如下图所示.

由图像知，两个图像有4个交点，且交点的纵坐标分别为1,0,-3,T：

当尤NO时，方程/(7(x))=g(x)的解为0和1；

当尤<0时，令一(x+l)2+1=-3，解得彳=一3,

令一(x+l)~+1=—4,解得x=—1—,

综上有方程f(f(x))=g(x)的解为新，

所有解之和为-3-6.

故答案为：-3-6

【点睛】关键点点睛：数形结合解决函数零点的问题，需要根据题意作出图形，进而分析零点个数，同时

需要联立函数的方程求解零点.属于难题.

四、解答题(本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，

19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.已知函数/(x)=+5/+(a—l)x+1.

⑴若曲线y=在点(2,〃2))处的切线与直线6x+y+l=0平行，求出这条切线的方程；

⑵讨论函数f(x)的单调性.

【答案】⑴18x+3y-5=0

(2)答案见解析

【分析】(1)求导，根据导函数几何意义和平行关系得到方程，求出a=-3,从而得到了(2)=-Q-1，求出

切线方程；

(2)求定义域，求导，对导函数因式分解，分1—“＜一1,和三种情况，讨论得到函数的

单调性.

【详解】⑴/，(x)=%2+ax+a-l,r(2)=3。+3

由已知/⑵=-6,

.*•3a+3=—6得a=—3

又〃2)=-日

曲线“X)在点(2,〃2))处的切线方程为y+?=-6(x-2)

化简得：18x+3y—5=0

(2)/(x)=gx3+]x2+(q_])x+l定义域为R,

/=(x+a-f)(x+l),令/(x)=0得x=l-a或x=-l

①当即。>2时，

令制勾>0得x>—1或x<l-a,令/'(%)<0得1-℃<1,

故〃尤)在单调递减，在(-L+8)上单调递增；

②当1-a=—1即a=2时，f(x)=(》+1)一>0恒成立，

故/(x)在R上单调递增；

③当即a<2时，

令//x)>。得x>l-a或x<-l,令<0^-1<x<l-a,

〃x)在上单调递减，在(1-。,收)上单调递增；

综上，当a>2时，在单调递减，在(Y)[-a),(T”)上单调递增；

当a=2时，/(力在R上单调递增；

当a<2时，”力在上单调递减，在(7),-1),(1-a,y)上单调递增；

16.A,B,C,。四人进行羽毛球单打循环练习赛，其中每局有两人比赛，每局比赛结束时，负的一方

下场，第1局由A,B对赛，接下来按照C,。的顺序上场第2局、第3局(来替换负的那个人)，每次负的

人其上场顺序排到另外2个等待上场的人之后(即排到最后一个),需要再等2局(即下场后的第3局)才能

参加下一场练习赛.设各局中双方获胜的概率均为g，各局比赛的结果相互独立.

⑴求前4局A都不下场的概率；

(2)用X表示前4局中8获胜的次数，求X的分布列和数学期望.

【答案】⑴春

1O

19

⑵分布列见解析，E(X)=-.

16

【分析】(1)根据前4局A都不下场，由前4局A都获胜求解；

(2)由X的所有可能取值为0,1,2,3,4,分别求得其概率，列出分布列，再求期望.

【详解】(1)解：前4局A都不下场说明前4局4都获胜，

故前4局A都不下场的概率为尸白.

2222lo

(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,

其中，X=0表示第1局5输，第4局是5上场，且5输，则尸(X=0)=；x；=；；

X=1表示第1局5输，第4局是3上场，且B赢;或第1局5赢，且第2局5输，

则P(X=l)=-x-+-x-=-

22222;

X=2表示第1局5赢，且第2局3赢，第3局3输，

贝P(X=2)=-X-X-=-

2228;

X=3表示第1局3赢，且第2局3赢，第3局8赢，第4局3输，

则P(X=3)=-x—x—x—=—；

2222lo

X=4表示第1局3赢，且第2局3赢，第3局5赢，第4局8赢，

则P(X=4)=ix-xixi=—.

222216

17.在直角梯形ABCD中，AD//BC,BC=2AD=2AB=25/5,ZABC=90°,如图(1).把沿8。翻

折，使得平面平面BCD.

ADA

D

BC

图⑴图⑵

(1)求证：CD±AB；

(2)在线段BC上是否存在点N,使得AN与平面ACO所成角为60。？若存在，求出B黑N的值；若不存在，说

nC

明理由.

【答案】(1)证明见解析

⑵存在’IF4

【分析】(1)利用勾股定理证明CD_LBQ,再根据面面垂直的性质可得CD_L平面ABD,再根据线面垂直的

性质即可得证；

(2)以点。为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】(1)因为AD//BC,S.BC=2AD=2AB=2A/2,AB±BC,

可得AO=AB=0，BD=\lAB2+AD2=2>

又因为ZDBC=ZADB=45°,可得CD=把+(2&丫-2x2x20cos45。=2,

所以=BC2,则CD_LB£),

因为平面AB。_L平面BCD,平面平面BCD=3r>,且CDu平面BCD,

所以CD!•平面ABD,

又因为ABu平面板)，所以COLAS；

(2)因为CD_L平面ABD,且3Du平面ABD,所以CD_L8£),

如图所示，以点。为原点，建立空间直角坐标系，

可得4(1,0,1),3(2,0,0),C(0,2,0),£>(0,0,0),

所以CD=(O,—2,O),AD=(-l,0,-l).

设平面AC。的法向量为〃=(x,y,z),贝iR,

n-AD=一元一z=0

令x=l,可得y=0,z=-l,所以〃=(1,0,-1),

假设存在点N,使得AN与平面ACD所成角为60,

设BN=2BC，(其中0W4W1),则N(2—2424,0),AN=(1-22,22,-1),

\n-AN\11-22+11

所以sin60°=―；---p=-1」-」-----

同|训^(1-22)2+(22)2+(-1)^722

整理得8万+2人」0,解得"[或人-；（舍去）,

所以在线段3c上存在点N,使得期与平面AW斤成角为6。。，此时,j

18.已知抛物线C：V=4x的焦点为尸，过点下且斜率为M%w0）的直线与抛物线「交于A、B两点，分别

过A、B两点作抛物线的切线，两条切线分别与y轴交于C、。两点，直线Cf与抛物线「交于M、N两

点，直线。/与抛物线r交于P、。两点，G为线段“N的中点，H为线段PQ的中点.

11

⑴证明：网+刖为定值；

（2）设直线GH的斜率为尢，证明：:为定值.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）设机=：,则〃2中0,写出直线A8的方程，将直线A3的方程与抛物线的方程联立，列出韦达

k

定理，写出抛物线在点A、B处的切线方程，求出点C、。的坐标，可得出直线C尸的方程，再将直线C尸的

,,,,11

方程与抛物线的方程联立，可求出|MN|,进而可求出|尸0,然后结合韦达定理可求得丽+国