2023-2024学年江苏省镇江市丹阳市九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省镇江市丹阳市九年级（下）期中数学试卷一、选择题：共6小题，每小题3分，共18分。1.下列运算正确的是(

)A.a23=a5 B.a22.下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.3.《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为(

)A.5x+6y=165x+y=6y+x B.5x+6y=164x+y=5y+x

C.6x+5y=166x+y=5y+x4.把y=2x+1的图象沿y轴向下平移3个单位后，图象与x轴的交点坐标是

．(

)A.0,1 B.0,−2 C.−1,0 D.1,05.如图是由一些边长为1的等边三角形组成的网格，其中A、B、D、E均是等边三角形的顶点，延长AB交DE于点C，则DCCE的值为(

)

A.33 B.32 C.6.如图1，点E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发以相同的速度运动，其中，点P沿折线BE−ED−DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止．设点P出发xs时，▵BPQ的面积为ycm2，y与x的函数关系如图2所示(曲线OM为抛物线的一部分)，则下列结论中正确的有

(

)①BE=BC；②P，Q的运动速度都是2cm/s；③AE=8cm；④当x=16时，y=30．A.①③ B.①④ C.①②④ D.②③④二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。7.−2的绝对值是________．8.分解因式：2x2−8x=9.已知一种流感病毒的细胞直径约为120纳米(1纳米=10−9米)，那么用科学记数法表示该病毒的直径约为_____米．10.当x______时，式子x+1有意义．11.已知圆锥的底面半径是2，母线长6，则它的侧面展开图的面积为___________．12.一组数据2，−4，x，6，−8的众数为6，则这组数据的中位数为______．13.已知a是方程x2−3x−5=0一个根，则代数式2a14.一次函数y1=k1x+b1与y2=15.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=30°，BC=3，则⊙O的半径等于______．

16.如图，抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)经过点A(−3,0)，对称轴为直线x= −1，则(a+b)(4a−2b+1)的值为____________．

17.如图，在△ABO的顶点A在函数y=kx(x>0)的图像上∠ABO=90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q.若四边形MNQP的面积为3，则k的值为________．

18.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60∘，点E是CD上一点，连接AE，过E作EF⊥AE交BC于点F，若DE=2CE，则CFBF=_______．三、计算题：本大题共2小题，共12分。19.计算化简：(1)−202(2)a220.(1)解方程：1x−2+2=1−x2−x；

(2)解不等式组：四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。21.(本小题8分)如图，∠BAC=90°，AB=AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．(1)求证：△ABE≌△CAF；(2)若CF=5，BE=2，求EF的长．22.(本小题8分)为庆祝中国共产党建党100周年，某区组织了学生参加党史知识竞赛，并从中抽取了200名学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)进行统计，根据成绩分成如下5组：A.50.5～60.5，B.60.5～70.5，C.70.5～80.5，D.80.5～90.5，E.90.5～100.5.并绘制成两个统计图．(1)频数分布直方图中的a=____，b=____；(2)在扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角为n°，求n的值；(3)求E组共有多少人？该区共有1200名学生参加党史知识竞赛，如果设定获得一等奖的分数不低于91分，那么请你通过计算估计全区获得一等奖的人数是多少？23.(本小题8分)为弘扬中华传统文化，扬中市近期举办了中小学生“汉字诗词听写大赛”.比赛项目为：A.唐诗；B.宋词；C.论语；D.三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．(1)甲参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是______；(2)甲、乙两人组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好甲抽中“唐诗”且乙抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．24.(本小题8分)如图是由小正方形组成的4×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A,B,C,D,E都是格点，P是CE上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．(1)如图1，先画点F，使四边形DCEF为平行四边形，连接FP，再画FP的中点G；(2)如图2，若P是CE与网格线的交点，先画点P绕点C逆时针旋转90∘的对应点Q，再在BD上画点H，使得∠BHE=∠DHQ．25.(本小题8分)如图，小明想测量斜坡CD旁一棵垂直于地面AE的树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE⊥AE，______，求AB的长．给出下列条件：①DE=10m；②EC=103m请在3个条件中选择一个能解决上述问题的条件填到上面的横线上(填序号)，并解决该问题．

26.(本小题8分)

如图，AB为半⊙O的直径，P点从B点开始沿着半圆逆时针运动到A点，在运动中，作∠CAP=∠PAB，且PC⊥AC，已知AB=10．(1)当P点不与A，B点重合时，求证：CP为⊙O切线；(2)当PB=6时，AC与⊙O交于D点，求AD的长：(3)P点在运动过程中，当PA与AC的差最大时，直接写出此时PB的弧长．27.(本小题8分)如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一个动点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折得到△FBE．(1)如图1，若点F落在对角线BD上，则线段DE与AE的数量关系是______；(2)若点F落在线段CD的垂直平分线上，在图2中用直尺和圆规作出△FBE(不写作法，保留作图痕迹).连接DF，则∠EDF=______°；(3)如图3，连接CF，DF，若∠CFD=90°，求AE的长．28.(本小题8分)已知，抛物线y=ax2−2ax+c与x轴交于A，B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)(1)求抛物线的解析式．(2)接AC，BC，PC，若∠PCB=∠ACO，求直线PC的解析式(3)如图2，当点P位于第二象限时，过P点作直线AP、BP分别交y轴于E、F两点，请问CECF的值是否为定值?若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】根据幂的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法、积的乘方的运算法则逐项进行计算即可得．【详解】解：A．a23=aB.a2⋅a4C.a6÷a3D.ab3故选D．2.【答案】C

【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此不选项符合题意．故选C．3.【答案】B

【解析】【分析】设雀每只x两，燕每只y两，根据“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”可列出方程组，从而可得答案．【详解】设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为：5x+6y=164x+y=5y+x故选：B．4.【答案】D

【解析】【分析】由一次函数平移性质，可求得平移后的一次函数，从而完成求解．【详解】y=2x+1的图象沿y轴向下平移3个单位后得：y=2x−2当y=0时，x=1∴y=2x+1的图象沿y轴向下平移3个单位后，图象与x轴的交点坐标是1,0故选：D．5.【答案】D

【解析】【分析】证明△CBE∽△BAF，根据相似三角形的性质求得CE=23，即可求得CD=1【详解】由题意可得，BE//AF，∴∠CBE=∠BAF，∵∠CEB=∠BFA=60°，∴△CBE∽△BAF，∴CE即CE1∴CE=2∴CD=1∴DC故选D．6.【答案】B

【解析】【分析】①由图2得，当Q运动到C点处，当P运动到E点处时，P、Q都运动了10s，即可求解；②由图①得，P、Q都运动了时间x=10，S▵BPQ=S▵BEC=40，设速度为vcm/s，即可求解；③由图2得，可求P从E运动到D的时间，求出ED，即可求解；【详解】解：①如图∵动点P，Q同时从点B出发以相同的速度运动，由图2得，当Q运动到C点处，当P运动到E点处时，P、Q都运动了10s，∴BE=BC，故①正确；②由图①得，当Q运动到C点处，当P运动到E点处时，P、Q都运动了时间x=10，S▵BPQ∴1设速度为vcm/s，则有BC=10v由图2得，P从D运动到C所用时间为8s，∴CD=8v，∴1解得v=1，故②错误；③由图2得，P从E运动到D的时间为14−10=4s∴ED=4×1=4cm∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=10×1=10，∴AE=AD−ED=10−4=6cm故③错误；④如图设NF的解析式为y=kx+b，由图得经过N14,40，F14k+b=40解得：k=−5∴y=−5x+110，当x=16时，y=−5×16+110=30，故④正确；故选：B．7.【答案】2

【解析】【分析】本题考查了绝对值．熟练掌握绝对值是解题的关键．根据−2的绝对值为−2，求解作答即可．【详解】解：由题意知，−2的绝对值为−2=2故答案为：2．8.【答案】2x(x−4)

【解析】【分析】直接提取公因式即可得出答案．【详解】2故答案为：2x(x−4)9.【答案】1.20×10【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，【详解】解：120纳米这个数用科学记数法表示为：120纳米=1.20×10故答案为：1.20×1010.【答案】≥−1

【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，再解不等式即可．【详解】解：x+1≥0，解得x≥−1．故答案为：≥−1．11.【答案】12π

【解析】【分析】先求出底面圆的周长，再利用扇形面积公式求解．【详解】解：由半径为2可得圆锥的底面周长为4π，∴侧面展开图的面积为12故答案为：12π．12.【答案】2

【解析】【分析】根据众数和中位数的概念求解．【详解】∵数据2，−4，x，6，−8的众数为6，∴x=6，则数据重新排列为−4、−8、2、6、6，所以中位数为2．故答案为：2．13.【答案】10

【解析】【分析】根据方程的根的定义，把x=a代入方程求出a2【详解】解：∵a是方程x2∴a整理得，a2∴2=2×5=10．故答案是：10．14.【答案】>1##大于1

【解析】【分析】根据当一次函数y1=k1x+b1【详解】由图象可知当x>1时，一次函数y1=k1x+故答案为：>1．15.【答案】3【解析】【详解】试题分析：连接OB，OC，根据圆周角定理可求得∠BOC=60°，再由OB=OC判断出△OBC是等边三角形，由此可得出OB=BC=考点：圆周角定理16.【答案】−1

【解析】【详解】【分析】由“对称轴是直线x=−1，且经过点P(−3,0)”可知抛物线与x轴的另一个交点是(1,0)，代入抛物线方程即可解得．【详解】因为抛物线对称轴x=−1且经过点P(−3,0)，所以抛物线与x轴的另一个交点是(1,0)，代入抛物线解析式y=ax2+bx+1所以a+b=−1，又因为−b所以2a−b=0，所以(a+b)(4a−2b+1)=−1(0+1)=−1故正确答案为：−117.【答案】18

【解析】【分析】易证△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积，进而可求出△AOB的面积，则k的值也可求出．【详解】∵NQ // MP // OB，∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，∵M、N是OA的三等分点，∴AN∴S∵四边形MNQP的面积为3，∴S∴S∵1∴S∴k=2S故答案为：18．18.【答案】717【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形判定和性质，菱形的性质等知识．过点A作AP⊥CD交CD延长线于点P，延长EF交AB延长线于点G，过点E作EH⊥AB交AB延长线于点H，则AP=EH,PE=AH，设CE=x，则DE=2CE=2x，在Rt▵APE中，利用锐角三角函数可得PD=32x，EH=AP=323x，AH=PE=72【详解】解：如图，过点A作AP⊥CD交CD延长线于点P，延长EF交AB延长线于点G，过点E作EH⊥AB交AB延长线于点H，则AP=EH,PE=AH，设CE=x，则DE=2CE=2x，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=CD=3x，AB/​/CD，∴∠ADP=∠BAD=60∴PD=AD×cos∠ADP=3∴AH=PE=7∴tan∵EF⊥AE，即∠AEF=90∴∠AEH+∠GEH=∠AEH+∠EAH=90∴∠GEH=∠EAH，∴tan∴HG=EH×tan∴BG=AH+HG−AB=17∵AB/​/CD，∴▵CEF∽▵BGF，∴CF故答案为：719.【答案】【小问1详解】解：原式=−1−3+3−1=−2；【小问2详解】原式==a−3．

【解析】【分析】本题考查实数的运算，分式的运算．(1)先算零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，特殊角的锐角三角函数，再算加减即可；(2)先把除法改为乘法并分解因式，再约分即可．20.【答案】详解：(1)方程两边同乘x−2，得1+2(x−2)=x−1，解得x=2，经检验，x=2是增根，原方程无解．(2)解：2x+1由①得：x<3，由②得：x<2，∴不等式的解集为x<2．

【解析】【详解】分析：(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；(2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．21.【答案】【小问1详解】证明：∵BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，∴∠AEB=∠CFA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠B=∠FAC=90°−∠BAE，在△ABE和△CAF中，∠AEB=∠CFA∴△ABE≌△CAF(AAS)；【小问2详解】解：∵△ABE≌△CAF，CF=5，BE=2，∴AF=BE=2，AE=CF=5，∴EF=AE−AF=5−2=3，∴EF的长为3．

【解析】【分析】(1)由BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F得∠AEB=∠CFA=90°，而∠BAC=90°，根据同角的余角相等可证明∠B=∠FAC，还有AB=CA，即可证明△ABE≌△CAF；(2)由△ABE≌△CAF，根据全等三角形的性质即可求解．22.【答案】解：(1)a=200×8%=16，b=200×20%=40，故答案为：16，40；(2)n=360×70(3)200−16−40−200×25%−70=24(人)，1200×24200=144(答：E组有24人，估计全区获得一等奖的人数是144人．

【解析】【分析】(1)分别用总人数乘以A、B等级对应百分比即可得出a、b的值；

(2)用360乘以D组人数占被调查人数的比例即可；

(3)根据各分组人数之和等于被调查人数求解即可得E组人数；用总人数乘以样本中不低于91分的人数所占比例即可．23.【答案】【小问1详解】解：甲参加“单人组”，随机抽取1种，一个有4种等可能的情况，其中恰好抽中“三字经”的有1种，故其概率为14【小问2详解】画树状图如下：共有12种情况，其中恰好甲抽中“唐诗”且乙抽中“宋词”的有1种，故其概率为112

【解析】【分析】本题考查画树状图求概率．(1)直接用概率公式求解即可；(2)先画树状图展示所有的可能情况，再找出符合题意的情况即可．24.【答案】【小问1详解】解：如图1，点F、G即为所求；【小问2详解】解：如图2，点Q、H即为所求．

【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质即可画出点F，连接BM，与FP相交于点G，由网格可知BM/​/CE，因为点B为EF的中点，所以BG为△EFP的中位线，故点G为FP的中点；(2)取格点N，连接CN，交网格于点Q，根据网格可证明▵BCE≌▵DCN，得到∠BCE=∠DCN，进而可得∠PCQ=90∘，再利用由三角形全等可得CP=CQ；连接格点A、T，与网格相交于点K，连接EK，与BD相交于点H，由正方形的性质可得∠KOD=∠QOD=45∘，进而可得∠KOH=∠QOH=135∘，即可证到▵KOH≌▵QOH，即得到∠KHO=∠QHO，又因为本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形和正方形的性质是解题的关键．25.【答案】解：选择①DE=10m，理由如下：在Rt△CDE中，∵CD=20m，DE=10m，∴sin∴∠DCE=30°．∵∠ACB=60°，DF//AE，∴∠BGF=60°∴∠ABC=30°，∠DCB=90°．∵∠BDF=30°，∴∠DBF=60°，∴∠DBC=30°，∴BC=CD∴AB=BC⋅sin答：AB的长为30m．故答案为：①．

【解析】【分析】先根据CD=20米，DE=10m得出∠DCE=30°，故可得出∠DCB=90°，再由∠BDF=30°可知∠DBF=60°，由DF//AE可得出∠BGF=∠BCA=60°，故∠GBF=30°，所以∠DBC=30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．26.【答案】【小问1详解】证明：连接OP，∵OA=OP，∴∠PAB=∠OPA，∵∠CAP=∠PAB，∴∠OPA=∠CAP，∴OP//AC，∵PC⊥AC，∴PC⊥OP，∴CP为圆O的切线；【小问2详解】连接BD交OP于点E，∵AB为圆O的直径，∴∠APB=90°，∵AB=10，PB=6，∴AP=∵∠CAP=∠PAB，∠APB=∠ACP=90°，∴ΔAPB∼ΔACP，∴ACAP解得：AC=6.4，∵AB为圆O的直径，∴AD⊥BD，∴PC//BD，∵∠POB=∠OAP+∠OPA=∠OAP+∠PAC=∠BAC，∴OP//AC，∴四边形PCDE为平行四边形，∵∠C=90°，∴四边形PCDE为矩形，∵AO=BO，OE//AD，∴2OE=AD，设AD=x，则OE=12x，PE=OP−OE=5−∴5−1解得x=2.8，即AD=2.8【小问3详解】设AP=x，∵ΔAPB∼ΔACP∴ACAP∴AC=1∴PA−AC=x−∴当x=5时，即AP=5时，PA−AC的值最大，∴cos∴∠PAB=60°，∴∠POB=120°，∴弧长PB⌢为120π×5

【解析】【分析】(1)连接OP，可证OP//AC，结合PC⊥AC，即可证明；(2)连接BD交OP于点E，先证明ΔAPB∼ΔACP，得出AC=6.4，再证明四边形为矩形，列出方程求解即可；(3)设AP=x，由ΔAPB∼ΔACP得出AC=110x2，得出27.【答案】解：正方形ABCD中，∠ADB=45∘由折叠的性质可得，AE=EF，∠EFB=∠A=∴∠EFD=90∴▵EFD为等腰直角三角形，即DF=FE，由勾股定理可得：2EF=DE，即【小问2详解】解：作图如下：则△FBE为所求的三角形，由题意可得：MN垂直平分CD，MN垂直平分AB，点F在MN上，则AF=BF，由折叠的性质可得，AB=BF∴▵ABF为等边三角形，AF=AB=AD∴∠BAF=60∘，∴∠DAF=30∴∠EDF=1【小问3详解】解：取CD边的中点为O，连接BO，FO，如图：∵∠CFD=90°∴OF=CO=OD=2．∵BC=BA=BF，BO=BO，∴△BCO≌△BFO(SSS)．∴∠BFO=∠BCO=90°．∴∠EFB+∠BFO=180°．∴点E，F，O三点共线．设AE=EF=x，则DE=4−x．在Rt△ODE中，OD∴解这个方程，得x=43.即AE方法二：延长BF交AD于G.如图：由题意可得：AB=BF=BC∴∠BFC=∠BCF，∠DFC=∠ADC=∠BCD=∴∠GFD+∠BFC=∠DCF+∠FDC=∠FDC+∠GDF=∴∠GFD=∠GDF，∴FG=DG，设DG=FG=x，则AG=4−x，BG=4+x，Rt△ABG中，由勾股定理可得：(4−x)2+设AE=EF=m，EG=3−m，在Rt△EFG中，由勾股定理可得：m2+

【解析】【分析】(1)根据折叠的性质和正方形的性质，求解即可；(2)先作出CD的垂直平分线MN，以B为圆点，以BA长为半径画弧，交MN于点F(正方