山东省淄博市第七中学2023-2024学年高二年级上册期末数学试题（含答案解析）

山东省淄博市第七中学2023-2024学年高二上学期期末数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设直线4:ax+(a-2)y+l=0/2：x+@T=0.若4，贝！!”=()

A.0或1B.0或-1C.1D.-1

%(6,2〃7斗

2.已知向量＞=(4+1,0,2),,若G〃在，则人+4=()

A.—B._2_C.-7D.7

10"10

3.已知在四面体O-48C中，E为。/的中点，CF=-CB,若况=2,砺=尻反=

则定=()

1-12-1-174-

A.—a——b7——cB.——a——b-\--c

233233

[-211-1一]工2-

233233

4.两个圆。|：/+/一2歹=0和G：f+/—2岳—6=0的公切线有()条

A.1B.2C.3D.4

5.在空间直角坐标系中，已知双1,-1,1),8(3,1,1),则点尸(1,0,2)到直线的距离为

()

A.—B.—C.—D.也

222

6.甲乙两人进行羽毛球比赛，在前三局比赛中，甲胜2局，乙胜1局，规定先胜3局

者取得最终胜利，已知甲在每局比赛中获胜的概率为乙在每局比赛中获胜的概率为

4

且各局比赛结果相互独立，则甲取得最终胜利的概率为()

4

A8「2「4八15

A.-B.-C.-D.—

93916

22

7.已知双曲线点-£=l(a>0/>0)的两条渐近线与抛物线V=2px(p>0)的准线分

别交于48两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2,△NOB的面积为则/?=

()

3

A.1B.-C.2D.3

2

试卷第1页，共6页

8.设椭圆捺+/=1（。>6>0）的左、右焦点分别为耳、F2,P是椭圆上一点,

伊£|=/1|尸用（；4/143）,ZF}PF2=^,则椭圆离心率的取值范围为（）

25

A.B.

怜闿2,9

]_5

D.

2,8

二、多选题

9.若尸（48）=5，=WB）]，则下列说法正确的是（）

A.尸（/）=；B.事件/与8不互斥

C.事件/与8相互独立D.事件）与8不一定相互独立

10.在正三棱柱Z8C-4AG中，AC=C，CG=1,点。为8c中点，则以下结论正

确的是（）

——1一1―—►

A.AlD=-AB+-AC-AA]

B.三棱锥。-/Bq的体积为更

6

C.4耳J_8c且“4〃平面4G。

D.A/15C内到直线ZC、8用的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分

11.已知抛物线C:/=4x的焦点为尸，过点尸的直线交。于两点M（4M）,N（X2，%）,

点M在准线/上的射影为A,则（）

A.若玉+々=6,则|MN|=8

B.若点P的坐标为（2,1）,则|MP|+|W|的最小值为4

11

C|A/F|+]A^|-

D.若直线过点（0,1）且与抛物线C有且仅有一个公共点，则满足条件的直线有2条

12.已知圆C:（x-5）2+（y-5>=16与直线/："a+2尸4=0,下列选项正确的是（）

A.直线/与圆C不一定相交

B.当时，圆C上至少有两个不同的点到直线/的距离为1

试卷第2页，共6页

C.当加=-2时，圆C关于直线/对称的圆的方程是(x+3>+(y+3『=16

D.当加=1时，若直线/与X轴，y轴分别交于A,8两点，P为圆C上任意一点，

当Z.PBA最小时，|尸同=3-72

三、填空题

13.已知力袋内有大小相同的1个红球和3个白球，8袋内有大小相同的1个红球和2

个白球.现从/、8两个袋内各任取1个球，则恰好有1个红球的概率为.

14.已知M为抛物线j?=4x上的动点，尸为抛物线的焦点，P(3,l),则|MP|+|W|的最

小值为.

15.一条光线从点(2,3)射出，经了轴反射后与圆(x-3)2+(y+2『=l相切，则反射光线

所在直线的斜率为.

16.蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是

2,.2

圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”，已知点/、5为椭圆、r+/=1(0<b<W)上任

意两个动点，动点尸在直线4x+3y-10=0上，若//P8恒为锐角，则根据蒙日圆的相

关知识，可知椭圆C的离心率的取值范围为

四、解答题

17.计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,

两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论

考试中“合格”的概率依次为?，4,在实际操作考试中“合格”的概率依次为5,

54323

之，所有考试是否合格相互之间没有影响.

0

(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能

性最大？

(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.

试卷第3页，共6页

18.已知“8c顶点/（3,3）,边ZC上的高8”所在直线方程为x-y+6=0,边相上

的中线CM所在的直线方程为5x-3y-14=0.

（1）求直线/C的方程：

（2）求“8C的面积.

19.圆心在曲线3x-y=0（x>0）上的圆C与x轴相切，且被直线x-y=0截得的弦长

为2".

（1）求圆C的方程；

（2）求过点P（4,-3）且与该圆相切的直线方程.

试卷第4页，共6页

20.如图，在四棱锥尸-48CD中，底面四边形/BCD为直角梯形，AB//CD,AB1BC,

AB=2CD=2BC,。为5。的中点，8。=4,PB=PC=PD=>/5.

(1)证明：OP_L平面/8CD；

(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.

21.如图，在圆锥PO中，底面圆。的半径为2,线段Z8是圆。的直径，顶点尸到底面

的距离为2岔，点M为R?的中点，点C是底面圆上的一个动点，且不与/,8重合.

(1)证明：直线P/〃平面MOC；

⑵若二面角C-■-8的余弦为浮'

(Z)求线段CM的长;

试卷第5页，共6页

(而)求点P到平面C/M的距离.

22.已知椭圆C：7+F=1(a>6>0)过点4，W为椭圆的左右顶点，

Bi，4为椭圆的下顶点和上顶点，尸是椭圆C上不同于4,4的动点，直线尸4,P4

(1)求椭圆C的方程:

(2)若点P是椭圆上第一象限内的一点，直线。尸交椭圆C于另一点0,求四边形4P8©

的面积的取值范围.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.A

【分析】由两直线垂直可得出关于实数。的等式，即可解得实数〃的值.

【详解】因为4，/2,则。

解得。=0或I.

故选：A.

2.A

【分析】根据设G=mB,mwR,结合空间向量的坐标运算，求得人4,从而得到答

案.

【详解】由设2=mb,£R,

2+1=6加

(解得：〃

则0=/n2//-l),m=1,2==g

c2m

2=----

2

117

所以

故选：A.

3.D

【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确运算，即可求解.

【详解】如图所示，因为E为。”的中点，CF=；CB,且刀=B,诙=",

则

_________1___2____12..1

EF=OF-OE=(OB+BF)--OA=b+-BC--a=b+-(OC-OB)--a

~2--1-1-1-2-

=b+-(c-b)——a=——a+—/?+—c.

32233

故选：D.

答案第1页，共16页

o

4.A

【分析】利用几何法判断出两圆的位置关系，即可得出两圆的公切线条数.

【详解】•••圆6：/+/一2^=0可化为一+(>-1)2=1,

二圆£的圆心为C[O,1),半径{=1,

•••圆C2：x2+/-26x-6=0可化为Cz：(x-可+/=9,

圆G的圆心为Cz(JIo),半径4=3,

|C,C,|-J3+1=2,

又。+4=4,r2-r}=2,

二|GG|=4F=2,

.•.圆£与G内切，即公切线有1条.

故选：A.

5.C

【分析】由题可求万在君方向上的投影数量〃=乎，进而点尸(1,0,2)到直线的距离

为d=柯丁，即求

【详解】•••4(1,一1,1),5(3,1,1),P(l,0,2),

.•.赤=(2,2,0),万=(0,1,1),

万.万=2,|洞=26,1弱=五，

,1BAP241

二万在在方向上的投影数量为〃=干回一=1方=亍，

答案第2页，共16页

.•.点P（l,0,2）到直线AB的距离为d=炯=n吟

故选：C.

6.D

【分析】分两类，利用相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式计算即可.

【详解】甲取得最后的胜利包含两种情况：

,3

一是第4局甲胜，此时甲胜的概率为耳=*；

二是第4局甲负，第5局甲胜，此时甲胜的概率为£=1-?卜；=A，

所以甲取得最终胜利的概率为2=片+上=：+S=T1.

41616

故选；D.

7.C

【分析】根据双曲线的渐近线方程与抛物线的准线方程可得出8两点的纵坐标，由双曲线

的离心率可得2=有，再根据面积即可求解.

a

r2v2

【详解】解：•.•双曲线j

ab

...双曲线的渐近线方程是y=±2x.

a

又抛物线r=2PMp>0）的准线方程是x=-\,

故Z,8两点的纵坐标分别是y=土”.

•.•双曲线的离心率为2,二£=2.

a

.•.^-=£-^-=^-1=3,贝心=6.

aa"a

A,8两点的纵坐标分别是好土黑土当，

又A4O8的面积为班，；.；x囱px^=Vi,得p=2.

故选：C.

8.C

।I24"+1

【分析】设|「鸟|=人由椭圆定义和勾股定理得到/=7一而换元后得到

（4+1）

答案第3页，共16页

%+1+；,根据二次函数单调性求出gWe?W，，得到离心率的取值范围.

22o

【详解】设耳（-c,0）,玛（c,0）,由椭圆的定义可得，|尸耳|+|尸月|=2%

可设|尸鸟|=/,可得|P娟=",即有（/L+l）f=2"，①

由与尸鸟=^,可得|尸用2+|"『=4C，2,即为（储+1）J=4C2,②

+1m~—2m+2

+5,由

(2+1)

4113

可得士工加＜4,即±2，

34阳4

则w=2时，取得最小值;；“，=；或4时，取得最大值。.

即有＜We2W,，得也WeW巫.

2824

故选：C

【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有三种方法：①求出a，。，

代入公式e=£；

a

②根据条件得到关于b,c的齐次式，结合〃=/一。2转化为的齐次式，然后等式（不等

式）两边分别除以。或a?转化为关于离心率的方程（不等式），解方程（不等式）即可得离心率或

离心率的取值范围；

③由题目条件得到离心率关于变量的函数，结合变量的取值范围得到离心率的取值范围.

9.BC

【分析】由对立事件的和为1,可判断选项A；根据互斥事件不可能同时发生，可判断选项

B；根据相互独立事件的定义和性质，可判断选项CD.

【详解】VP（^）=j,.*.P（J）=l-1=p故A错误；

又尸（Z8）=《wO,所以事件A与B不互斥，故B正确；

P（/＞P（8）=；X；=5=P（Z8）,则事件A与B相互独立，故C正确；

因为事件A与5相互独立，所以事件，与8一定相互独立，故D错误.

答案第4页，共16页

故选：BC.

10.ABD

【解析】A.根据空间向量的加减运算进行计算并判断；B.根据%.3。=匕-。卬，然后计

算出对应三棱锥的高和底面积S.gc,，由此求解出三棱锥的体积：C.先假设/4J.8C,

然后推出矛盾；取中点E,根据四点共面判断/吕〃平面4G。是否成立；D.将问题转

化为““8C内到直线AC和点B的距离相等的点”的轨迹，然后利用抛物线的定义进行判断.

［详解］A.AtD=A1A+AD=AD—AAt=+AC^—AAt=—AB+—AC—AAt,故正确；

B.七一MC,=%-3G，因为。为8c中点且/8=/C,所以/£（28C,

又因为平面/8C,所以8片，/。且84nBe=B,所以4）_L平面。8©,

又因为AD=MBD=BBC=星,SnBC=-xBB.xB.C.=—,

222iii2

所以/TBC=VA-DBC=-X/l£>xS„=—•,故正确；

Zz_/i-L/D|V|3gc।3226

C.假设成立，又因为84,平面NSC,所以J_BC且88田/片=与，

所以8c上平面所以8d8,显然与几何体为正三棱柱矛盾，所以/及，8c不成

立：

取48中点E,连接ED,E4，AB「如下图所示：

答案第5页，共16页

因为为中点，所以〃/1C,且/C〃4£,所以DE"4£,所以。，及4,G四

点共面，

又因为与月月相交，所以/片〃平面4G。显然不成立，故错误；

D.“^ABC内到直线AC,BBt的距离相等的点”即为““BC内到直线AC和点B的距离相等

的点”，

根据抛物线的定义可知满足要求的点的轨迹为抛物线的一部分，故正确；

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：求解空间中三棱锥的体积的常用方法：

(1)公式法：直接得到三棱锥的高和底面积，然后用公式进行计算；

(2)等体积法：待求三棱锥的高和底面积不易求出，采用替换顶点位置的方法，使其求解

高和底面积更容易，由此求解出三棱锥的体积.

11.AC

【分析】根据抛物线的弦长、定义、直线和抛物线的位置关系等知识对选项进行分析，从而

确定正确答案.

【详解】抛物线方程为V=4x,所以2p=4,p=2,焦点?(1,0),准线方程x=-l.

A选项，若%+%=6,贝ij=匹+&+夕=6+2=8,A选项正确.

B选项，点尸(2,1)在抛物线内，

根据抛物线的定义可知|心|+|必/|的最小值是尸到准线的距离，

即最小值是2+1=3,所以B选项错误.

答案第6页，共16页

C选项，设直线MV的方程为X=my+1,

fx=7HV4-l、

由I/：©消去》并化简得V-4畋-4=0,

所以必+%=4，"，%力=-4,

2

则再+x2=必+%)+2=4m+2,X1X2=ZL.21=11=1,

,1111x,+x-,+24m2+4.

所以1----r+1r=---------1--------=---------------------=-----=1,

\MF\|酒|x,+1x2+1x}x2+x,+x2+14m~+4

所以C选项正确.

D选项，直线x=0和直线y=l都过(0』)，且与抛物线/=4x有一个公共点,

当过（0』）的直线斜率存在时，设直线方程为、=丘+1,

y=kx+\

由消去》并化简得左2X2+（2"4）X+1=0,

y2-4x

由A=(2左一4/一4公=-164+16=0,解得左=1,

所以直线V=x+1与抛物线/=4x有一个公共点，

所以满足条件的直线有3条，D选项错误.

故选：AC

【点睛】思路点睛：求解直线和抛物线位置关系有关问题，可设出直线的方程，然后将直线

方程和抛物线方程联立，化简后写出根与系数关系、判别式等等，再结合抛物线的定义来对

问题进行求解.

12.AD

【分析】A：根据直线所过的定点进行分析；B：先分析圆心到直线的距离满足的条件，然

后求解出根的范围；C：设出对称圆的方程，根据圆心连线的中点在己知直线上、圆心连线

与已知直线垂直列出方程组，由此求解出对称圆的方程；D：结合图示，分析得到P8与圆C

相切时NP8/1最小，然后利用勾股定理求解出结果.

【详解】对于A,直线/：帆x+2y-4=0过定点产（0,2）,又因为（0-5）2+（2-5>=34>16,

所以点P在圆外，所以直线/与圆C不一定相交，故A正确；

对于B,要使圆上有至少两个点到直线/的距离为1,则圆心到直线的距离要小于5,

答案第7页，共16页

所以有<5,解得，"<居，故B错误;

对于C,当加=-2时，直线/x-y+2=0,设圆C关于直线/对称的圆的方程是

(x-<2)2+(y-ft)2=16,

b-5[.

----xl=-l

根据题意有，解得。=3,6=7,

巨叱+2=0

22

所以对称圆的方程为(X-3)2+(y_7)2=16,故C错误;

对于D,当机=1时，直线x+2y-4=0,则点4(4,0),5(0,2),且圆心C(5,5),半径厂=4,

当P8与圆C相切时N尸54最小，此时|P8|=J忸-|PC-=>/34-16=3近，故D正确;

【分析】由题意可能是/袋内取1个白球，8袋内取1个红球；或4袋内取1个红球，8袋

内取1个白球共两种情况，结合古典概型计算即可.

【详解】由题意可得：要从N、8两个袋内各任取1个球，恰好有1个红球有以下两种情况:

311

当从Z袋内取1个白球，8袋内取1个红球时，则=

434

121

当从4袋内取1个红球，8袋内取1个白球时，则6

436

所以从A8两个袋内各任取1个球，则恰好有1个红球的概率为：尸=6+鸟=；+：='.

故答案为：—.

14.4

答案第8页，共16页

【分析】利用抛物线的定义求解.

【详解】解：如图所示：

设点〃在准线上的射影为。，

由抛物线的定义知|血~|=|初。|,

要求阿尸|+\MF\的最小值，即求\MP\+的最小值，

当Q,M,P三点共线时,\MP\+\MD\^,

最小值为3-(-1)=4.

故答案为：4

15.--B£--

43

【解析】由题意可知点(-2,3)在反射光线上，设反射光线所在的直线方程为)，-3=«(x+2),

利用直线与圆的相切的性质即可得出.

【详解】由题意可知点(-2,3)在反射光线上，

设反射光线所在的直线方程为N-3=A(X+2),即去-y+2%+3=0.

圆(》-3)2+(》+2『=1的圆心(3,-2),半径为1,

由直线与圆相切的性质可得1一历垣一1=1,

解得左=--3或4

43

34

故答案为：-W或

16.—<e<\

3

【分析】求出给定椭圆的蒙日圆方程，由已知可得直线4x+3y-10=0与该蒙日圆相离，建

立不等式求出离心率范围即得.

答案第9页，共16页

【详解】依题意，直线x=士百,y=±b都与椭圆《+《=1相切，

3h-

因此直线》=士百,y=±b所围成矩形的外接圆V+V=3+/即为椭圆江+£=1的蒙日圆，

3h2

由点/、8为椭圆工+?=1上任意两个动点，动点P满足N/P5为锐角，得点P在圆

3h2

X2+J/2=3+/外，

又动点尸在直线4x+3y-10=0上，因此直线4x+3y-10=0与圆工2+/=3+〃相离，

于是>病京,解得0<从<1,则e2=qM=i_/(|,i),解得坐<e<l,

所以椭圆C的离心率的取值范围为远<e<l.

3

故答案为：4<e<l

17.(1)丙；⑵*

【解析】(1)分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可(2)根据互斥事件的和，

列出三人考试后恰有两人获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解.

【详解】(1)设“甲获得合格证书”为事件/,“乙获得合格证书”为事件8,“丙获得合格证书”

为事件C,则尸(/)=24x：1=g2,P(8)=3m21P(C)=2今5鸿5.

525432369

因为P(C)>P(B)>P(A),所以丙获得合格证书的可能性最大.

(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件，则

—_-21421531511

P(D)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=不不于不不，(方.

【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，及其概率公式的应用，属于中档题.

18.(l)x+y-6=0

⑵20

【分析】(1)利用点斜式求得直线/C的方程.

(2)先求得C,8两点的坐标，结合点到直线的距离公式、两点间的距离公式求得三角形ABC

的面积.

【详解】(1)边/C上的高8〃所在直线方程为x-y+6=0,

直线x-y+6=0的斜率为1,所以直线/C的斜率为T,

所以直线/C的方程为y-3=-(x-3),x+y-6=0.

答案第10页，共16页

(2)边48上的中线CM所在的直线方程为5x-3y-14=0,

x+y-6=0x=4/、

由5x-3y-14=0解得,=2,即C（4,2）.

a+36+3

设5（a,b）,则M

a-b+6=0

〃=20

所以ua+3b+3c，解得即8（20,26）.

5x-----3x-----14=0。二26

22

4

Mq=+1=也,8至！jx+y_6=0的距离为口^-=患=20匹,

所以三角形/8C的面积为:xVIx20收=20.

2

19.(1)(x-l)2+(^-3)2=9(2)3x+4y=0或x=4

【分析】(1)由圆心在直线3x-y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与了轴相切，可得半径与

圆心纵坐标绝对值相等，利用弦心距、半径、半弦长构成的直角三角形求解即可.

(2)分直线斜率存在与不存在两种情况，表示出所求直线，根据圆心到直线的距离等于半

径求解即可.

答案第11页，共16页

【详解】（1）设圆心为。,3，）（，＞0）,半径为73〃=3,,

则圆心到直线＞=x的距离d=与＞=161.

而丽）2=/2_.2,

即9〃-2f2=7，

解得f=l,f=-l（舍去），

故所求圆的方程为（x-l）2+3-3）2=9

（2）当切线的斜率々不存在时，因为过点尸（4,-3）,其方程为x=4,圆心到直线的距离为

|4-1|=3,满足题意.

当切线斜率/存在时，设切线为y+3=Mx-4）,即h-y-3-4*=0,

•.•圆心0（1,3）,半径r=3,

|*-3-3-4*|_

■■7F7T,

解得左=_；3

4

3

・・・当切线的斜率左存在时，其方程为y+3=--（x-4）,

4

即3x+4y=0.

故切线方程为3x+4y=0或x=4.

20.（1）证明见解析

⑵我

10

【分析】（1）连接OC,可通过证明。8。，OP1OC,得。PJ■平面/BCD；

（2）以O为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面P8C的法向量和平面的法向量,

通过向量的夹角公式可得答案.

【详解】（1）证明：连接OC,ABHCD,ABLBC,则COL8C,

在RtABCQ中,因为8。=4,则0c=2,

因为PB=PD=亚,OB=OD=2,所以OP_L8D,QP=\IPB2-OB2=1-

所以。尸2+。。2=1+4=5=2。2,则opj_oc,

又BDcOC=O,BD、OCu平面Z8CZ）,所以OP1平面为8c。

答案第12页，共16页

(2)解：因为8C=CO,。为8。的中点，则OCL8。，又OPJ_平面/8CO,

以。为原点，以砺、OC＞方方向为x、V、z轴正方向建立空间直角坐标系，

则。(0,0,0)、8(2,0,0)、C(0,2,0)、。(-2,0,0)、尸(0,0,1),

所以，5C=(2,2,0),荏=2皮=(4,4,0),丽=(-4,0,0),

SC=(-2,2,0),丽=(-2,0,1),而=(2,0,1),

亚=刀+丽=(4,4,0)+(-4,0,0)=(0,4,0)，

一..BCm=-2x.+2y,=0—.、

设平面P8C法向量为机=(X”M，ZJ,则｛_.,令％=1,即机=(1,1,2),

BP-m=-2x1+z1=0

一.、ADn=4y0=0-/\

设平面产力。法向量为〃=(马，%/2)，贝I——令马=1,即〃=(1,0,-2),

?2=°

DP-n-2X2+

设平面p/。与平面尸8。所成角的平面角为e,

所以对'种「GVT10•

合'

A《

21.(1)证明见解析

(2)(/)遥；5)短

7

【分析】(1)由点〃是尸8的中点，点P是48的中点，得到MO//PZ,再利用线面平行的判

答案第13页，共16页

定定理证明；

(2)(i)分别以丽，OB，丽方向为x,nz轴正方向建立空间直角坐标系，设C点的

坐标为(2cos42sin9,0),求得平面/CM的一个法向量为％=(x,y,z),为=。，0,0)是平面

、/77\AP-n.\

4W8的一个法向量，由|cos%,瓦|=早求解；(方)由点尸到平面的距离为4=

求解.

【详解】(1)证明：因为点A/是P8的中点，点M是的中点，

所以欣力/尸4

又尸4＜Z平面MOC,MOu平面MOC,

故PZ〃平面M0C.

(2)(z)解：如图，在底面内过。作直线垂直于48交圆。于N.

分别以砺，OB＞加方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.

则4(0,-2,0),5(0,2,0),尸(0,0,26)，M(0,1,73).

由已知，设C点的坐标为(2COS仇2sinJ,0).

可得而=(0,3,万)，配=(2cos0,2sin0+2,0).

设平面/CM的一个法向量为吊=(x,y,z),

•AM=0,