2024年高考数学押题预测模拟卷（新高考九省联考题型）（答案解析版）

决胜2024年高考数学押题预测卷06

、旭匕、、九

数学

（新高考九省联考题型）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己

的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第H卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知样本数据为玉、巧、毛、“4、尤5、“6、”7,去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来

的数据相比，下列数字特征一定不变的是（）

A.极差B.平均数C.中位数D.方差

【答案】C

【解析】样本数据为X］、巧、龙3、*4、%、％6、%7，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原

来的数据相比，假设从小到大就是从占到马,极差可能变化，故A错；

平均数为1=%+&+；+/+司，可能变，故B错；

中位数还是按从小到大排序中间位置的数，故c正确；

方差为S2=g［（4—元『+（七一元『+（/一元『+（%—元了+（%一元）［，有可能变，故D错.

故选:C

2.已知全集。=R,集合4国茜足AuCAcB）,则下列关系一定正确的是（）

AA=BB.BaAC.Ac（CuB）=0D.（GA）cB=0

【答案】C

【解析】因为集合4蹒足B）,故可得A18,

对A：当A为8的真子集时，不成立；

对B：当A为8的真子集时，也不成立；

对C：Ac（q3）=0，恒成立；

对D：当A为B的真子集时，不成立；

故选：C.

3.p:m=2,q:（mx+y）5展开式中一丁项的系数等于40,则。是口的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】（如+y）5的展开式中含了2y3项为C；（mx）2y3=C；根2%2y3,

故C1m2=40,解得m=±2,

故“9=2”是"机=±2”的充分不必要条件.

故选：A

4.若cos[]+2ci!1—4sin2（z=—2,则tan2a=（）

11

A.-2B.——C.2D.：

22

【答案】C

【解析】由cos1]+2a]-4sin2a=-2,得-sin2o-dsin?。：—2，

2

B2sincrcoscr+4sina。日2tana+4tan2a

即------2-------2-----=2,即----------------=2,

sin6Z+cosatancr+1

所以2tancr+4tan2。=Ztan?。+2，所以tana=1-tan2a,

2tan。

则tan2a==2

1-tan2a

故选：C.

5.在平面直角坐标系x%中，已知向量Q4与08关于解由对称，向量a=（0,1）,若满足

Q^+a.MuO的点力的轨迹为反贝I（）

A.娓一条垂直于荔由的直线B.£是一个半径为1的圆

C.五是两条平行直线D.E是椭圆

【答案】B

【解析】设A（x,y）,由题有。4=（x,y）,OB=（x,-y）,

所以5（x,-y）,AB=（O,-2y）,

所以OA2+a-AB=x2+y2_2y=0,即尤2+（y_l）2=],

所以点A（x,y）的集合是以（0,1）为圆心，1为半径的圆.

其轨迹E为半径为1的圆，

故选：B.

6.夹弹珠游戏是儿童特别喜欢的游戏，夹弹珠能有效提高参与者的注意力与协调性，调整逻辑思维判

断和空间控制平衡能力，锻炼小肌肉，增强手眼协调，培养敏捷的反应能力，从而提高参与者的适应

能力.如图，三个半径都是6cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器（不计厚度）中，每颗弹珠的

顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的表面积（包括容器的内部和外部两部分）是

（）

A,（5+>/5T）7icm2B,2（5+V^l）兀cn?c,4（5+V^l）兀cm?D,8（5+A^T）兀cn?

【答案】D

【解析】。在面。。203上的投影为M，。为大球球心，。|,。2，。3为小球球心•

W=26,。幽4x2人叫S大球半径为R，

(R-舟=4+3=7,r.R=6+5

二.S表=4兀A?=4兀.00+2⑸)=8兀(5+⑸)，

故选：D.

7.已知函数/(x)=sin@xcos"+coso%sin。@>0,0<0〈四/(七)=。，/(%2)=1，若

归―司的最小值为，且/(卜;，则/>(X)的单调递增区间为()

71/jJi

A.一+24兀,一兀+24兀,keZB.—兀+2kK,—F2ATT，左£Z

6666

377177c71-2.

C.----71+kll,---FKJl，攵£ZD.----F2a7l,—兀+2左71,KGZ

_1212JL33

【答案】B

【解析】因为/'(x)=sina>xcos0+cos0jtsine=sin(<»x+0),

又〃N)=0,f(%2)=1,且|与一目的最小值为1~，

所以工=/，即7=2兀，又。>0,所以。=—=1,

42T

所以〃x)=sin(x+0),又/[)=/，所以sin《+e

—,即cos,

TTTL

因为。<°<5，所以°=§

所以/(x)=sin令一工+2kit<x+—<—+2ht%eZ,

232

3兀兀

解得----F2左兀<%<—F2kn,k£Z,

66

5兀

所以函数/(X)的单调递增区间为一部+2E,7+2E,keZ.

故选：B

8.已知耳，外是椭圆和双曲线的公共焦点，P,。是它们的两个公共点，且尸，送于原点对称,

27re23e2

NP耳。=三-，若椭圆的离心率为％,双曲线的离心率为e?,则三、+丁々的最小值是（）

5,I1‘2

A2+6R1+逝「2括n4x/3

3333

【答案】A

【解析】如图，设椭圆的长半轴长为4,双曲线的实半轴长为电，

则根据椭圆及双曲线的定义得：|+「闾=2q,|P£|—p闾=24，

2兀

|P/*j|=%+a2,|PF21=—6Z2,设|耳国=2c,/PF?Q=,

7T

根据椭圆与双曲线的对称性知四边形尸与。鸟为平行四边形，则/耳尸鸟=§，

则在△/¥;心中，由余弦定理得，/It?2=("1+"2)+("1一%)-2(q+%)(%-%)cos-J

13

化简得a；+3a；=402,即方+方=4,

e\e2

(\

13，113-1

nI片3413

1+1++1

贝！Te2+132c—1卜a=1322X

>«2+3_1+1_1+1-4+12+1<eig2J6

e\，2<e\e2>

4+13pr+l]4+13py+i]

=-x4+^—+>-X4+2与—L

64+14+16[113

1二+1-y+1

，“2\，0

=9(4+2⑹=2+3有,

(3Y2373+4

—+1=3+1e.=-------<1

71

-2))11

当且仅当《「时等号成立,

133__24+9百〉]

—I—

=48-373-37

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.已知复数z在复平面内对应的点为苧，则(

)

2

A.|z|=lB.z+z=lc.z+z+l=oD.z2024

【答案】ACD

【解析】由题可知，z=-1+^i，|Z|=^1J+与=1，故A正确;

z=———^1-i,z+~z=—1>故B错误；

22

(16、2

2

z—।—14-4-r1--2―_r1所以z?+z+l=—1+1=0,c正确;

22

、-l^i、

321_V3?+

Z=Z•Z=二1,

2222

\7k7

所以z2024=z2022.z2=z2022.z2=(Z3)674.Z2=Z2=L故D正确.

故选：ACD

2-3

10.设A,5是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=—,尸(3)=—,尸(A+B)=—,则()

234

1——1

A.P(AB)=—B.P(A5)=-

_i_3

C.P(B\A)=-D.P(A|B)=-

68

【答案】ACD

__11_3_1

【解析】P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=-+——P(AB)=-,P(AB)=—,故A对.

23412

P(豆)=P(AB)+尸(A耳),|=P(AB)+',P(AB)=~,故B错.

]

P(回4)=号黑=早=：,故C对.

P(A)，6

2

P(B)=P(AB)+P(A5)=P(AB)+P(A)-P(AB),

=P(AB)+1--,P(AB)=-,P(A|==2故口对

32124P(B)28

3

故选：ACD.

11.已知定义在R上的函数，a),g(x),其导函数分别为

f'(x),g'(x),f(l-x)^6-g'(l-x),f(l-x)-g'(l+x)=6,且g(x)+g(-x)=4,

贝()

A.g'(x)的图象关于点(0,1)中心对称B.g'(x+4)=g'(x)

c.r(6)=r(2)D.〃1)+〃3)=12

【答案】BCD

【解析】由题意可得<GlX=6+g%+J两式相减可得g'(l+x)T(i)①，

所以g'(x)的图象关于点(1,0)中心对称，A错误：

由g(x)+g(-尤)=4②，②式两边对X求导可得g'(x)=g'(—x),可知g'(x)偶函数，

以1+尤替换①中的x可得g'(2+无)=—g'(一%)=—g'(x),

可得g'(4+x)=-g'(2+x)=g'(x),所以g'(x)是周期为4的周期函数,B正确；

因为/(x)=6—g'(x),可知也是周期为4的周期函数,即〃x+4)=/(x),

两边求导可得/'(x+4)=/'(x),所以/'(6)=/'(2),C正确;

因为g"+x)=_g"—x),令x=0,则g'(l)=—g'(l)，即g'⑴=0,

又因为g'(x)是偶函数，所以g'(-l)=g'(l)=0,

又因为g'(x)是周期为4的周期函数，则g'(3)=g'(—l)=0,

由……⑺可得慌:::羽二J

所以/。)+/(3)=12,D正确.

故选：BCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.等差数列｛。”｝的首项为1,公差不为0,若出，色，46成等比数列，则｛%｝的前5项的和为

【答案】-15

【解析】设等差数列｛4｝的公差为d且dwO,且％=1,

因为4,%，生成等比数列，可得裙=4/，即(l+2d>=(l+d)(l+5d),

即d=—2或〃=0(舍去)，

5x4

所以S5=5xl+《-x(-2)=-15.

故答案为：-15

13.已知圆锥的母线长为2,则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为时，圆锥的体积最

大，最大值为.

【答案】逅；史必万

327

【解析】设圆锥的底面半径r,母线为高为h,

设母线与底面所成的角为&（0＜。吟，

y

则cosa=—(0<cos<1),

贝I」r=2cosa，

2

贝U%=Ji一/2__Cosa，

则圆锥的体积为v=g"f./z

=|..(2cosa)2.2Vl-co<«

=—7r\lcos4a—cos6a,

3

令》=＜:（光々（0〈尤＜1）,贝！JV（无

352

令/(x)=尤4-尤6,求导得/(无)=4x-6x=2/(2-3x),

令/。）=。，则兀="或—

舍去）,

3

所以当时，/'（尤）＞0,/（x）单调递增,

当xe,1时，f'(x)<0,/(x)单调递减,

所以当x=，5时，/（X）取得极大值，也是最大值.

3

QI------16A/3

此时V（%）=§万Jx’一工6最大，匕然---71，

27

即圆锥的母线与底面所成的角的余弦值COS0=好

时,

3

圆锥的体积最大，最大值为"

27

故答案为：Y5；—7T.

327

14.在JJBC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若4=2,。=3,853=灰05。,尸,。分别在边718

和CB上，且R2把的面积分成相等的两部分，则PQ的最小值为.

【答案】出

A

【解析】

,a2+b2-c-

由cosBb--------------

2aclab

即

>解得b=y/1，

2x2x32x26

27-b24+9-717t」x2x3x与迎

cosn二------二二，B=二，、e

lac2x2x323・MC222

v_36人”_1君_36._3

SPBQ=——FyBP=x,BQ=y—x-y•—=.xy=3,y=—

4ZZ4X

0<x<339

令＜3,得一Wx<3,PQ2=x2+v2-2AycosB=x2+—-3>2V9-3=3,

0<-<22x2

所以当且仅当/=当即x=0时等号成立.

X

故答案为：73.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.为了开展“成功源自习惯，习惯来自日常”主题班会活动，引导学生养成良好的行为习惯，提高

学习积极性和主动性，在全校学生中随机调查了100名学生的某年度综合评价学习成绩，研究学习成

3

绩是否与行为习惯有关.已知在全部100人中随机抽取一人，抽到行为习惯良好的概率为《，现按“行

[50,60)、

(1)若规定学习成绩不低于80分为“学习标兵”，请你根据已知条件填写下列2x2列联表，并判断

是否有99%的把握认为“学习标兵与行为习惯是否良好有关”；

行为习惯良好行为习惯不够良好总计

学习标兵

非学习标兵

总计

（2）现从样本中学习成绩低于60分的学生中随机抽取2人，记抽到的学生中“行为习惯不够良好”

的人数为X，求X的分布列和期望.

n(ad-bc\

参考公式与数据：/=7------77------77------W------T，其中n=a+b+c+d.

^a+b)[c+d)[a+c)[b+d)

左）0.1000.0500.0250.0100.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

Q

【答案】（1）列联表见解析，有（2）分布列见解析，E（X）=-

3

【解析】（1）已知在全部100人中随机抽取一人，抽到行为习惯良好的概率为g,

39

则100名学生中，行为习惯良好的有100x1=60人，行为习惯不够良好的有100x1=40人.

由频率分布直方图可知，行为习惯良好组中不低于80分的学生有（0.025+0.045）x10x60=42人,

行为习惯不够良好组中不低于80分的学生有（0.010+0.030）x10x40=16人

则2x2列联表为：

行为习惯良好行习惯不够良好总计

学习标兵421658

非学习标兵182442

总计6040100

/=100(42x24—18x16)-=1800工8867,网/>6.635)=0.01,

60x40x42x58203

因为8.867>6.635,所以有99%的把握认为“学习标兵与行为习惯是否良好有关”.

（2）行为习惯良好组中低于60分的学生有0.005x10x60=3人，

行为习惯不够良好组中低于60分的学生有0.010x10x40=4人，则X的可能值为0、1、2,

22

P(X=0)=3C°C=L1P(X=1)=02101=4±p(x=2)=*CC°，?.

I，C；7'，C；7'，C；7

X的分布列为:

X012

j_42

P

777

iA2S

期望£(X)=Ox—+lx—+2x—=—

v77777

12

16.已知/(%)=lnx+—%-ax(aeR).

1、1

(1)若/(x)<—/—_在［1,+8)恒成立，求a的范围；

22x

(2)若/(%)有两个极值点s,t,求/⑺+/(s)的取值范围.

【答案】(1)[-,+oo)(2)(-oo,-3)

2

1X21

【解析】(1)由函数/(%)=ln%+—%9-办,因为/(%)«-------在口,8)上恒成立,

222x

口r、In%

即Q2----F在［1,+。。)恒成立,

X

人一、Inx1-、x-xlnx-1

令h(x)=----1---Z-，可得"(x)=-----；----,

x2xx

令％(x)=%—xlnx—1,可得，'(％)=—In%V0,

所以心)在[1,+8)单调递减,所以t(X)<t(l)=0,

所以“(x)W0恒成立，所以M无)在［1,+8)单调递减，所以以为而=//⑴=g,

所以所以实数。的取值范围为已,+8).

22

(2)因为/(x)有两个极值点取，

可得s,t是/(x)=-+x-a="+1=0的两不等正根，

XX

A=a2-4>0

即s,t是V—依+1=0的两不等正根，则满足s+t=a>0,解得〃>2,

st=\

11

则/«)+/(s)=lnt+lns+—/9+5s~-a(t+s)=ln(sf)H—Q+s)~—ts—a(t+s')

—ln(sf)+5Q+S)——ts—a(/+s)=一万矿—1<—一1=一3，

所以/(t)+/(s)的取值范围为(—8,—3).

17.如图，在三棱锥A—BCD中，_ABC和△BCD都是正三角形，£是8c的中点，点〃满足

DF=2E4(2^0).

A

F

C

（1）求证：平面平面ADF；

（2）若|AD|=|8C|=2百，且6尸〃平面ACD,求。尸的长.

【答案】（1）证明见解析（2）6

【解析】（1）如图，连接。E，因为。尸=/胡，所以。尸〃AE.所以4E,D,硒点共面.

因为在三棱锥A—BCD中，_ABC和△5CD都是正三角形，庭BC的中点，

所以AEL3C,DE1BC.因为AE,OEu平面ADR，AEDE=E,所以BC1平面ADR,

又BCu平面ABC,所以平面A3C1平面AD7L

（2）如图，记△BCD的中心为。，连接04,由（1）得A01BC.同理可证AOJ_CD,

且3CcCD=C，所以AO,平面BCD,以防坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为△BCD是正三角形，忸。|=26，所以|。4=2,|。同=1,|。4|=20.

所以A（O,O,20）,C（A-1,O）,0（0,2,0）,E（0,-l,0）.

所以C4=b后1,20）,CD=（-73,3,0）.

/、n-CA=0-A/3X+y+2>/2z=0

设平面ACO的一个法向量为"=（九,、z）,则＜即《

n-CD=0_^%+3y=0

令y=6,贝!）%=痛，z=l,所以〃=.

因为EA=（O,1,20）,BD=（A/3,3,0）,

所以6尸=80+£>b=60+/1£>1=（出,3,0）+4（。,1,2&）=（百,彳+3,2应4）.

因为BE〃平面ACO,所以〃.3尸=0，

即&xn+（4+3）血+204=0,解得;l=—2,

此时,目=2|EA|=6.故加的长为6.

z

18.已知抛物线C:y2=4x的焦点为EZXPQR各顶点均在C上，且PF+Q，+R/=0.

（1）证明：/是，PQR的重心；

（2）.PQR能否是等边三角形？并说明理由；

（3）若P,。均在第一象限，且直线尸。的斜率为亘，求，PQR的面积.

3

【答案】（1）证明见解析（2）不肯能，理由见解析（3）土巫

98

【解析】（1）设PQ的中点为M,。尺的中点为N,

因为PF+QF+RF=0,所以FP+RQ=2FM=尺/，

又歹为公共端点，所以三点共线，

同理可得2FN=Pk，又尸为公共端点，所以£N,尸三点共线，

所以RM,PN是.PQR的两条中线，

所以歹是，PQR的重心；

⑵由题意尸（1,0）,设。&,另）,。（9,%），我（不，%），

则PF=（1—石，yJ,QF=（l—%，%），所=。—%，％），

由P77+。/+R77=0,可得%+%+£=3,X+%+%=°，

由抛物线的定义可得|尸司=玉+1,|。同=9+1,|尺目=%+L

若dPQR是等边三角形,则由⑴知|尸尸|=|。同=|RF|,

由|「尸|=|Q尸］，可得不=々，

又因P,。不重合，所以必=一%工0，

所以为=—（乂+%）=0，

3

所以冗3=0,%=%2=/，7?（0,0）,

35

故I尸耳=依尸|=:+1=:/忸9=1,这与忸同=1