平方根总结及练习

平方根总结及练习一、概述平方根是数学中的一个基本概念，它表示一个数的非负值，其平方等于给定的数。在实数范围内，每个非负实数都有一个唯一的非负平方根，而负实数则没有实数平方根。平方根在代数、几何、物理等多个领域都有广泛的应用，是解决各种数学问题和实际问题的关键工具之一。平方根的概念源于平方运算的逆运算。对于一个非负实数a，它的平方根记作a，表示一个非负实数x，使得x的平方等于a，即xa。虽然负数的平方也是正数，但在实数范围内，负数没有平方根。在复数范围内，负数的平方根为虚数单位i的倍数。了解平方根的基本性质对于深入学习和应用平方根至关重要。平方根具有一些重要的性质，如非负性、唯一性等。平方根还与平方、立方根等其他数学概念有着密切的联系。在学习平方根的过程中，我们还需要掌握一些基本的运算规则和技巧。平方根的乘法、除法、加减法等运算都有相应的规则和方法。我们还需要学会利用平方根的性质和运算规则来解决实际问题，如求解方程、计算面积等。平方根是数学中一个重要的概念，它不仅是解决数学问题的关键工具，也是连接不同数学领域和实际应用的重要桥梁。通过深入学习和掌握平方根的基本概念、性质和运算规则，我们可以更好地理解和应用数学知识，提高解决实际问题的能力。1.平方根概念的重要性平方根是数学中的一个核心概念，它在多个领域都有着广泛的应用。平方根是理解数和代数关系的基础。它涉及到了数的平方与逆运算，是连接数与数之间关系的重要桥梁。对于初学者来说，掌握平方根的概念有助于他们更好地理解数的性质和运算规律。平方根在解决实际问题中发挥着重要作用。在物理学中，平方根常用于计算速度、加速度等物理量；在工程学中，平方根也被用于计算面积、体积等参数。在金融、计算机科学等其他领域，平方根同样扮演着不可或缺的角色。平方根与许多高级数学概念紧密相连。平方根与复数、微积分、矩阵等概念有着密切的联系。掌握了平方根的概念，有助于学习者更好地理解这些高级数学内容，为未来的学习和研究打下坚实的基础。平方根概念的重要性不容忽视。通过学习和练习平方根的相关内容，我们可以更好地掌握数学知识和技能，为未来的学习和职业发展奠定坚实的基础。2.平方根在日常生活和学习中的应用在日常生活方面，平方根的应用体现在多个领域。在购物时，我们经常会遇到打折促销的情况。商家会采用“买一送一”或“半价优惠”的促销方式，这时候我们就需要计算打折后的价格。如果商品原价是x元，打五折后的价格就是x的平方根的一半，这就涉及到了平方根的计算。在建筑设计、工程计算等领域，平方根也被广泛应用于面积、体积、距离等物理量的计算中。在学习方面，平方根的应用更是广泛。在数学学科内部，平方根是代数、几何、三角学等多个分支的基础知识。通过学习和掌握平方根的概念和性质，我们可以更好地理解和解决这些学科中的相关问题。在物理、化学等其他学科中，平方根也经常出现。在物理学中，计算物体的运动轨迹、速度、加速度等物理量时，往往需要用到平方根。计算反应速率、浓度等化学量时，也可能涉及到平方根的计算。平方根在日常生活和学习中的应用非常广泛。通过学习和掌握平方根的知识，我们不仅可以提高数学素养和解决问题的能力，还可以更好地应对日常生活中的各种挑战。我们应该重视平方根的学习和应用，不断提高自己的数学水平和综合素质。3.本文目的：总结平方根知识，提供练习题目本文旨在全面总结平方根的相关知识，帮助读者巩固和提升对平方根的理解和应用能力。平方根作为数学中的一个重要概念，不仅在学术领域有着广泛的应用，也在实际生活中发挥着重要作用。通过本文的学习，读者将能够掌握平方根的定义、性质、计算方法以及在实际问题中的应用。为了加深读者对平方根知识的理解和运用，本文还精心挑选了一系列练习题目。这些题目涵盖了平方根的基本概念、运算规则以及实际应用等多个方面，旨在帮助读者通过实践来巩固所学知识。通过完成这些练习题目，读者将能够检验自己的学习成果，发现不足之处，并进一步加深对平方根知识的理解和掌握。二、平方根基础知识回顾作为数学中的一个重要概念，涉及到实数、代数式等多个领域。在深入练习之前，我们有必要对平方根的基础知识进行一番回顾。平方根的定义是：若一个非负数a的平方等于b，即ab，那么这个非负数a叫做b的算术平方根。0的算术平方根是0。还需要注意负数在实数范围内没有平方根，但在复数范围内，负数有平方根，即虚数单位i的平方等于1。平方根的性质也是我们必须掌握的。正实数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数在实数范围内没有平方根。平方根还具有一些运算性质，如(a)a(a0)、(ab)ab(a0,b0)等。我们还要了解平方根在实际问题中的应用。平方根在物理学、工程学、经济学等多个领域都有着广泛的应用。在求解距离、速度、加速度等问题时，我们经常需要用到平方根；在经济学中，计算复利、增长率等也会涉及到平方根。通过回顾这些基础知识，我们可以更加清晰地理解平方根的概念和性质，为后续的学习和练习打下坚实的基础。在接下来的练习中，我们将运用这些知识来解决实际问题，提升我们的数学能力和思维水平。1.平方根的定义与性质平方根是一个数学术语，它表示一个数的非负的平方等于该数的正平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根。一个正数有两个实平方根，它们互为相反数，负数在实数范围内没有平方根，0的平方根是0。平方根具有一些重要的性质。非负数的平方根是非负的。当我们求一个非负数的平方根时，结果总是非负的。平方根与平方运算具有互逆性。一个数的平方根是使得其平方等于原数的数，反之亦然。这一性质使得平方根在解决与平方相关的问题时具有关键作用。平方根还具有保序性。对于任意两个非负数a和b，如果ab，那么它们的平方根也满足ab。这一性质在比较大小或进行排序时非常有用。平方根还具有乘除性质。对于任意非负数a、b和正数c，有(ab)ab以及(ab)ab。这些性质使得我们在进行复杂的平方根运算时能够简化问题，提高计算效率。了解平方根的定义与性质是学习和掌握平方根相关知识的基础。通过深入理解这些基本概念和性质，我们能够更好地应用平方根来解决实际问题，提高数学素养和解决问题的能力。2.平方根的求法对于简单的平方数，我们可以直接通过开方运算求出其平方根。93，因为3的平方等于9。这种方法简单直观，但只适用于能直接识别出平方数的情况。对于非完全平方数，我们无法直接通过开方运算得到其精确的平方根。我们可以采用近似计算法，如牛顿迭代法、二分法等，来逼近其平方根的近似值。这种方法需要一定的计算技巧和耐心，但能得到较为精确的结果。对于某些特定的数学表达式，我们可以利用已知的公式来求解其平方根。对于形如a2abb的完全平方公式，我们可以直接开方得到(ab)的结果。还有一些涉及平方根的公式和定理，如勾股定理等，可以帮助我们求解相关问题。在现代数学学习中，我们通常可以借助计算器或数学软件来辅助求解平方根。这些工具可以快速准确地给出平方根的数值结果，极大地提高了我们的计算效率。但过度依赖这些工具可能会削弱我们的计算能力，因此在使用时应适度。掌握平方根的求法不仅有助于我们解决数学问题，还能培养我们的逻辑思维和运算能力。在实际应用中，我们应根据具体情况选择合适的求法，并注重提高计算的准确性和效率。通过大量的练习和实践，我们可以更好地掌握平方根的求法，并将其应用于更广泛的数学领域中。3.特殊平方根与无理数在平方根的研究中，有一些特殊的平方根值得我们特别关注，它们与无理数有着紧密的联系。即无法表示为两个整数之比的实数，它们在平方根的计算中经常出现。我们来看平方根下的完全平方数。对于任何正整数n，如果存在一个整数m，使得m2n，那么n就是一个有理数，即m。当n不是完全平方数时，n就是一个无理数。5等都是无理数，它们无法用有限的小数或分数来表示。这些特殊的无理平方根在数学和物理学中有着广泛的应用。它们不仅出现在几何图形的计算中，还是许多科学现象和工程问题的数学模型。理解和掌握这些特殊平方根的性质和运算法则对于深入学习数学和自然科学至关重要。为了加深对特殊平方根和无理数的理解，我们可以进行一些相关的练习。可以计算一些非完全平方数的平方根，观察它们的小数部分是否呈现出某种规律性；也可以尝试用近似值来表示这些无理数，并比较不同近似值的精度和误差。我们还可以探讨平方根与无理数之间的其他关系。通过构造反例，我们可以证明某些数不可能是某个数的平方根；或者通过逻辑推理，我们可以发现平方根与无理数在某种条件下的共性和差异。特殊平方根与无理数是平方根理论中的重要组成部分。通过深入学习和练习，我们可以更好地掌握它们的性质和运算法则，为后续的数学学习和科学研究打下坚实的基础。三、平方根在实际问题中的应用平方根在物理学中扮演着重要角色。在力学中，我们经常需要计算物体的加速度或速度。当知道物体的位移和时间时，我们可以利用平方根来求解物体的平均速度或加速度。这是因为速度和加速度的计算公式中往往涉及到平方和平方根运算。在电学中，电阻、电流和电压之间的关系也涉及到平方和平方根的计算。平方根在工程学中也具有广泛的应用。在建筑和桥梁设计中，工程师需要计算结构的稳定性和承载能力。这些计算往往涉及到复杂的数学公式和方程，其中平方根运算是不可或缺的一部分。在计算桥梁的承重能力时，需要考虑桥梁的跨度、材料强度等因素，并通过平方根运算来得出合理的承重范围。平方根在经济学和金融学中也有着重要的应用。在投资分析中，我们经常需要计算投资回报率或风险水平。这些计算往往涉及到复利公式或方差公式，其中平方根运算用于计算标准差或年化收益率等指标。这些指标对于投资者来说至关重要，因为它们能够帮助投资者评估投资风险和潜在收益。平方根在实际问题中具有广泛的应用价值。无论是在物理学、工程学还是经济学领域，平方根都发挥着不可替代的作用。我们应该深入理解平方根的概念和性质，掌握其在实际问题中的应用方法，以便更好地解决实际问题并推动各领域的发展。1.几何问题中的应用平方根在几何问题中扮演着重要的角色。在解决与长度、面积、体积等相关的几何问题时，平方根经常作为关键的计算工具出现。平方根在求解三角形的边长时发挥着重要作用。在直角三角形中，我们可以利用勾股定理来求解未知边长。勾股定理告诉我们，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。当我们知道两条直角边的长度时，可以通过平方根运算来求解斜边的长度。平方根在计算圆的面积和周长时也是必不可少的。圆的面积公式为r，其中r为圆的半径。要计算圆的面积，我们需要对半径进行平方运算。圆的周长公式为2r，这虽然不直接涉及平方根运算，但在某些与圆相关的几何问题中，我们可能需要通过平方根来求解与半径或直径相关的长度。在立体几何中，平方根也发挥着重要的作用。在求解正方体的表面积和体积时，我们需要对边长进行平方或立方运算。而在求解某些与棱长或对角线长度相关的问题时，我们可能需要利用平方根来进行计算。平方根在几何问题中具有广泛的应用。通过掌握平方根的基本性质和运算规则，我们可以更加高效地解决与长度、面积、体积等相关的几何问题。这也有助于我们深入理解平方根在现实世界中的应用价值。2.物理问题中的应用平方根在物理领域中有着广泛的应用，尤其在解决与力学、电磁学等相关的实际问题时，平方根的运用显得尤为重要。平方根常常出现在计算速度、加速度以及力的关系中。在描述物体的运动状态时，我们经常使用速度公式v(2gh)，其中v是物体的速度，g是重力加速度，h是物体下落的高度。这个公式表明，物体的速度与下落高度的平方根成正比，这为我们理解和分析物体的运动规律提供了便利。在电磁学中，平方根同样发挥着重要的作用。在计算电容器的电荷量或电势差时，我们经常会遇到与电容的平方根相关的公式。这些公式不仅帮助我们理解电容器的工作原理，还为我们设计和优化电路提供了重要的理论依据。平方根在物理学中的其他领域，如光学、热力学等，也有着广泛的应用。它们帮助我们建立物理模型、分析物理现象，并推导出各种有用的物理公式和定理。平方根在物理问题中的应用广泛而深入。通过掌握平方根的基本概念和运算规则，我们能够更好地理解和解决各种物理问题，进一步拓展我们的知识领域和应用能力。3.日常生活中的应用平方根在我们的日常生活中扮演着重要的角色，尽管它可能不像加减乘除那样直观。一旦我们细心观察，就会发现平方根无处不在。在建筑工程中，平方根的应用十分广泛。设计师和工程师需要精确计算各种材料的面积、体积和重量，以确保建筑的安全和稳定。在这些计算中，平方根经常被用来求解边长、对角线长度等问题。在知道正方形的面积时，我们需要通过求平方根来找出其边长。在投资理财领域，平方根也发挥着不可或缺的作用。在计算投资组合的风险和收益时，我们经常需要用到标准差，而标准差的计算就涉及到平方根。通过计算平方根，我们可以更准确地评估投资风险，从而做出更明智的投资决策。平方根还在科学研究中发挥着重要作用。在物理学、化学和生物学等领域，平方根经常用于描述各种物理量之间的关系。在电学中，电阻、电压和电流之间的关系就涉及到平方根的计算。平方根在日常生活中的应用十分广泛，无论是建筑工程、投资理财还是科学研究，都离不开它的帮助。我们应该深入学习和理解平方根的概念和性质，以便更好地应用它解决实际问题。四、平方根练习题目及解析(1)对于9，我们需要找到一个数，它的平方等于9。这个数是3（因为339），同时3的平方也是9（因为339）。9的平方根是3。(2)对于04，我们需要找到一个数，它的平方等于04。这个数是2（因为04），同时2的平方也是04（因为04）。04的平方根是2。(3)对于1681，我们需要找到一个数，它的平方等于1681。这个数是49（因为(49)(49)1681），同时49的平方也是1681（因为(49)(49)1681）。1681的平方根是49。(1)正确。一个正数的平方根确实有两个，一个是正数，另一个是它的相反数即负数。这是因为一个正数的平方等于另一个数的平方，那么这个数既可以是正数也可以是负数（除了0以外）。(2)错误。在实数范围内，负数没有平方根，因为没有一个实数的平方会是负数。负数没有正数和负数的平方根。1.基础练习题2.应用题这个问题可以直接利用平方根的定义来解决。我们知道正方形的面积等于边长的平方，所以如果我们知道面积，就可以通过开平方来求出边长。设正方形花坛的边长为a米，则有a25，解得a5。但边长不能为负数，所以a5。这个花坛的边长是5米。【例2】某工厂要制作一种边长为x厘米的正方形零件，已知其面积为289平方厘米，求x的值。这个问题与例1类似，也是通过开平方来求解。我们设正方形零件的边长为x厘米，根据题意有x289，解得x17。边长不能为负数，所以x17。这个正方形零件的边长是17厘米。【例3】小明从家里出发去学校，他先是向东走了100米，然后向北走了150米到达学校。请问小明家到学校的直线距离是多少？这个问题涉及到勾股定理和平方根的应用。小明从家里到学校走的路线形成了一个直角三角形，其中两条直角边分别是100米和150米。根据勾股定理，这个直角三角形的斜边（即小明家到学校的直线距离）的平方等于两条直角边的平方和。设小明家到学校的直线距离为d米，则有d100150，解得d(100150)32505013米。小明家到学校的直线距离是5013米。3.拓展题经过前面的学习和练习，相信大家对平方根的概念和计算已经有了一定的掌握。我们将通过一些拓展题来检验大家的学习成果，并进一步提升大家的思维能力和解题技巧。题目一：已知asqrt{b}7，asqrt{b}3，求a2b的值。解析：这道题目考查了平方根与代数式的关系。通过观察题目，我们可以发现两个方程中都包含了平方根项，而且这两个方程相加和相减都可以消去平方根项。我们可以先将两个方程相加和相减，得到a和sqrt{b}的值，然后再代入a2b进行计算。题目二：一个正方形的面积为49平方厘米，求这个正方形的边长。解析：这道题目考查了平方根在实际问题中的应用。根据正方形的性质，我们知道正方形的面积等于边长的平方。我们可以根据题目中给出的面积，利用平方根的定义求出边长。在实际问题中，边长通常取正值，因此我们应该取平方根的算术平方根作为边长。五、总结与提升建议在未来的学习中，我们可以进一步拓展平方根的相关知识，例如学习复数平方根、高阶平方根等更高级的概念。我们还可以将平方根与其他数学知识相结合，探索更广泛的应用领域。通过不断学习和实践，我们可以不断提升自己的数学素养，为未来的学习和工作打下坚实的基础。1.总结平方根知识要点平方根的定义是：如果一个非负数的平方等于a，那么这个非负数就叫做a的算术平方根，记作a（a0）。负数在实数范围内没有平方根，但在复数范围内，每个负数都有两个平方根。平方根具有一些基本性质。正实数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有实数平方根。平方根运算与平方运算互为逆运算，即如果一个数的平方等于另一个数，那么这两个数互为平方根和平方数。我们还学习了平方根在解方程中的应用。通过平方根运算，我们可以求解一些涉及平方的方程，如一元二次方程等。在求解过程中，需要注意平方根的定义域和取值范围，以确保解的准确性。平方根在实际生活中也有广泛的应用。在物理学中，平方根常用于计算速度、加速度等物理量；在金融领域，平方根可用于计算复利和股票价格波动等。掌握平方根的知识对于理解和解决现实生活中的问题具有重要意义。2.强调平方根在实际问题中的应用价值平方根不仅仅是数学中的一个概念，它在我们的日常生活和实际问题中同样具有广泛的应用价值。它能够帮助我们解决许多看似复杂的问题，并为我们提供一种有效的思维模式。在实际应用中，平方根的概念经常出现在物理、工程、经济等领域。在物理学中，平方根经常用于计算速度、加速度、力等物理量的关系。通过平方根运算，我们可以更直观地理解这些物理量之间的比例关系。平方根还在工程领域发挥着重要作用。在建筑设计、桥梁建设、电路设计等方面，工程师们需要利用平方根的概念来计算结构的稳定性、电路的功率等。平方根的运算能够帮助他们更准确地预测和评估工程项目的可行性和安全性。在经济领域，平方根同样具有广泛的应用。在投资分析、风险评估、市场分析等方面，经济学家和投资者经常使用平方根来计算收益率、波动率等关键指标。通过平方根运算，他们能够更好地把握市场动态，做出更明智的决策。我们可以看到平方根在实际问题中具有广泛的应用价值。通过学习和掌握平方根的概念和运算方法，我们可以更好地理解和解决现实生活中的问题。这也提醒我们，数学并不是孤立的学科，它与我们的生活和实际问题是紧密相连的。我们应该注重数学在实际问题中的应用，培养自己运用数学知识解决实际问题的能力。3.提供提升平方根计算与应用能力的建议夯实基础知识是关键。确保你对平方根的定义、性质以及运算法则有深入的理解。只有打好基础，才能在后续的学习和计算中更加得心应手。多做练习是提高计算能力的有效途径。通过大量的练习，你可以熟悉平方根的运算规律，提高计算速度和准确性。练习也可以帮助你发现自己在计算过程中的问题，从而有针对性地加以改进。掌握一些计算技巧也是非常有帮助的。对于某些特殊的平方根，你可以通过化简或估算的方法来简化计算过程。了解一些常用的平方根近似值，也可以帮助你在实际应用中快速得到近似结果。培养自己的应用意识也是非常重要的。平方根不仅在数学领域有着广泛的应用，在物理、化学等其他学科中也经常出现。你应该尝试将平方根的知识应用到实际问题中去，通过解决实际问题来加深对平方根的理解和掌握。提升平方根的计算与应用能力需要不断地学习和实践。通过夯实基础知识、多做练习、掌握计算技巧以及培养应用意识，你可以逐步提高自己的平方根计算能力，并在实际应用中发挥更大的作用。六、结语经过上述对平方根的深入探讨和总结，我们不难发现平方根不仅是数学中的一个基本概念，更在实际应用中发挥着重要作用。通过练习和实践，我们可以更好地掌握平方根的性质和运算方法，为解决更复杂的问题打下坚实的基础。在未来的学习和研究中，我们还需要不断拓宽视野，深入了解平方根在各个领域的应用。无论是科学研究、工程技术还是日常生活，平方根都扮演着重要的角色。我们应该继续保持对数学的热爱和好奇心，不断探索平方根的奥秘，为未来的创新和发展贡献自己的力量。1.感谢读者的关注与参与我要衷心感谢每一位读者的关注与参与。正是有了你们的支持和陪伴，我才能够持续不断地为大家带来有关平方根的知识与技巧。你们的每一次点击、每一次阅读、每一次分享，都是对我工作的最大肯定和鼓励。在编写《平方根总结及练习》这篇文章的过程中，我始终秉持着为读者提供实用、易懂、有价值的内容的原则。我深知平方根作为数学中的一个重要概念，对于很多人来说可能是一个难点。我尽可能地用通俗易懂的语言来解释平方根的定义、性质以及应用，同时也通过丰富的实例和练习题来帮助大家巩固所学知识。我也明白任何一篇文章都不可能做到尽善尽美。我衷心欢迎读者们提出宝贵的意见和建议。你们的反馈是我前进的动力，也是我不断完善和提升的源泉。2.鼓励读者继续探索平方根的奥秘这一看似简单却深藏奥秘的数学概念，如同数学世界中的一把钥匙，能够解锁更多未知的领域。尽管我们在这里对平方根进行了基本的总结和练习，但这只是冰山一角，它的深度和广度远超我们的想象。平方根与许多其他数学概念有着千丝万缕的联系。它与二次方程、勾股定理等都有着密不可分的关系。通过深入研究这些领域，我们不仅能够更深入地理解平方根，还能够发现数学世界的更多精彩之处。平方根在实际生活中的应用也是广泛而深远的。无论是物理学中的能量计算，还是工程学中的结构设计，甚至是金融领域的风险评估，平方根都扮演着重要的角色。通过将这些理论知识与实际应用相结合，我们可以更好地领略平方根的魅力。随着科技的不断发展，平方根在计算机科学、人工智能等领域的应用也越来越广泛。在机器学习算法中，平方根常常被用来计算误差或权重等关键参数。通过探索这些新兴领域，我们可以发现平方根的更多可能性和价值。我鼓励每一位读者，不要满足于对平方根的初步了解，而是要勇敢地继续探索它的奥秘。通过不断地学习和实践，我们不仅能够提升自己的数学素养，还能够发现更多数学与生活的联系，让数学成为我们生活中的一部分。参考资料：平方根表(squareroottable)常用数表之一即一元实函数y=J丁的函数值表。平方根表有多种，其查法各异，一般都在表后加以说明。是指自乘结果等于的实数，表示为±（√x），读作正负根号下x或x的平方根。其中的非负数的平方根称为算术平方根。正整数的平方根通常是无理数。定义：在分数指数中，可知开平方运算对乘法满足分配律，即：注意若n是非负实数且时，因为必定是正数，但有正负两个解。应等于±；即(见绝对值)。像加减乘除一样，求平方根也有自己的竖式运算。以求3的算术平方根为例，过程如图1：解得3的算术平方根约为732平方根因为每次补数需要补两位，所以被开方数不只一个数位时，要保证补数不能夹着小数点。例如三位数，必须单独用百位进行运算，补数时补上十位和个位的数。每一个过渡数都是由上一个过渡数变化而后，上一个过渡数的个位数乘以2，如果需要进位，则往前面进1，然后个位升十位，而个位上补上新的运算数字。过渡数，是第一次商的1乘以20，把个位上的0用第二次商的7来换，过渡数343是前两次商的17乘以20=340，其中个位0用第三次商的3来换，第三个过渡数3462是前三次商173乘以20=3460，把个位0用第四次的商2来换，依次类推。误差值的作用。如果要求精确到更高的小数数位，可以按规则，对误差值继续进行运算。平方根，又叫二次方根，表示为〔±√￣〕，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根（arithmeticsquareroot），是一种方根。一个正数有两个实平方根，它们互为相反数，负数在实数范围内没有平方根，0的平方根是0。如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根。a的平方根记为，读作“正负二次根号a”，a叫做被开方数（radicand）。求一个数a的平方根的运算叫做开平方。一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。如果知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。负数在实数系内不能开平方。只有在复数系内，负数才可以开平方。负数的平方根为一对共轭纯虚数。例如：-1的平方根为±i，-9的平方根为±3i，其中i为虚数单位。规定：，或。仅用来表示算术平方根，即非负数的非负平方根。像加减乘除一样，求平方根也有自己的竖式算法。以计算为例。过程如图1：最后求出约等于732（保留小数点后三位）。因为每次补数需要补两位，所以被开方数不只一个数位时，要保证补数不能夹着小数点。例如三位数，必须单独用百位进行运算，补数时补上十位和个位的数。每一个过渡数都是由上一个过渡数变化而后，上一个过渡数的个位数乘以20，如果需要进位，则往前面进1，然后个位升十位。而个位上补上新的运算数字。过渡数27，是第一次商的1乘以20，把个位上的0用第二次商的7来换，过渡数343是前两次商的17乘以20=340，其中个位0用第三次商的3来换，第三个过渡数3462是前三次商173乘以20=3460，把个位0用第四次的商2来换，依次类推。误差值的作用。如果要求精确到更高的小数数位，可以按规则，对误差值继续进行运算。上述笔算开方方法是大多数人上学时课本附录给出的方法，实际中运算中太麻烦了。采取下面办法：比如136161这个数字，首先找到一个和136161的平方根比较接近的数，比方说300到400间的任何一个数，这里选350，作为代表。然后再计算5(5+136161/5)得到0003，发现5和0003相差无几，并且369²末尾数字为1。有理由断定369²=136161。能够开方开的尽的，用上述方法算一两次基本结果就出来了。再举个例子：计算。首先发现600²<469225<700²，可以挑选650作为第一次计算的数。即算5(650+469225/650)得到9。而685附近只有685²末尾数字是5，因此685²=469225。从而。对于那些开方开不尽的数，用这种方法算两三次精度就很可观了，一般达到小数点后好几位。如果一个非负数x的平方等于a，那么这个非负数x叫做a的算术平方根，记作。a叫做被开方数。例如：因为2和-2的平方都是4，且只有2是正数，所以2就是4的算术平方根。由于正数的平方根互为相反数，因此正数的平方根可分别记作和，可合写为。例如5的平方根可以分别记作和，可合写为。0的平方根仅有一个，就是0本身。而0本身也是非负数，因此0也是0的算术平方根。可记作。本节重点是平方根和算术平方根的概念。平方根是开方运算的基础，是引入无理数的准备知识。平方根概念的正确理解有助于符号表示的理解，是正确求平方根运算的前提，并且直接影响到二次根式的学习。算术根的教学不但是本章教学的重点，也是今后数学学习的重点。在后面学习的根式运算中，归根结底是算术根的运算，