2024年重庆市乌江高考数学第一次调研试卷（附答案解析）

2024年重庆市乌江新高考协作体高考数学第一次调研试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.（5分）（2024•重庆模拟）已知aER,则是“三<2”的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分又不必要条件

2.（5分）（2024•重庆模拟）已知复数z满足：|z|=l,则|z-l+i|的最大值为（）

A.2B.V2+1C.V2-1D.3

3.（5分）（2024•重庆模拟）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记p为实际声压，通

常我们用声压级工（p）（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级乙（p）与声压"存在

近似函数关系：LQ）=出99，其中。为常数，且常数po（8>0）为听觉下限阈值.若

在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压P1为穿软底鞋走路的声压02的100倍，且

穿硬底鞋走路的声压级为乙（pi）=60分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级LS的3倍.若

住宅区夜间声压级超过50分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为p',则

（）

__-1

7

A.a=20,p/<10VT0p2B.a=20,p<JQPI

__I

/

C.4=10,p<10VT0p2D.〃=10,p/<joPi

4.（5分）（2024•重庆模拟）函数/（x）=sin（2x—a）-的最小正周期是（）

7171

A.—B.TiC.2irD.-

24

5.（5分）（2024•重庆模拟）过直线2x-y+l=0上一点尸作圆（x-2）?+y2=4的两条切线

—>—>

PA,PB,若P2-PB=0,则点尸的横坐标为（）

33715

A.0B.-C.+JD.+争

6.（5分）（2024•重庆模拟）已知函数/（x）满足：Yx,yEZ,f（x+y）=f（x）+fCy）+2xy+l

成立，且/（-2）=1,则/（2几）=（）（左N*）

A.4n+6B.8«-1C.4n2+2n-1D.8n2+2n-5

XV

7.（5分）（2024•重庆模拟）已知双曲线=—77=1（a>0,b>0）的左、右焦点分别为

azbz

Fi,Fi,尸为双曲线上的一点，/为△「八F2的内心，且/A+2/工=2百，则C的离心率

为（）

5「

A.3B.-C.V3D.2

2

8.（5分）（2024•重庆模拟）已知点A（无o,yo）是双曲线C：*，=l（a>0,b>0）±

位于第一象限内的一点，Fi,3分别为C的左、右焦点，C的离心率和实轴长都为2,

过点A的直线/交x轴于点M（上，0）,交y轴于点N,过为作直线AM的垂线，垂足为

xo

H,则下列说法错误的是（）

A.C的方程为1=1

B.点N的坐标为（0,--）

C.OH的长度为1,其中。为坐标原点

D.四边形面积的最小值为4次

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。

（多选）9.（5分）（2024•重庆模拟）有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点。出

发，通过扔骰子决定向左或者向右移动，扔出骰子，若是奇数点向上，则向左移动一个

单位，若是偶数点向上，则向右移动一个单位，则扔出〃次骰子后，下列结论正确的是

（）

A.第二次扔骰子后，小球位于原点。的概率为］

3

B.第三次扔骰子后，小球所在位置是个随机变量，则这个随机变量的期望是一

2

1

C.第一次扔完骰子小球位于-1且第五次位于1的概率一

4

D.第五次扔完骰子，小球位于1的概率大于小球位于3概率

（多选）10.（5分）（2024•重庆模拟）已知函数f（x）=1。典当，则下列说法正确的是（）

A.函数/（x）值域为R

B.函数/（x）是增函数

17

C.不等式y（3x-l）+f（3x）<0的解集为（看，（）

D-/（-2^3）+/（-2^22^------1■‘（-》+,（-1）+/（。）+/⑴+渴）+…+

1

^2023^=0

（多选）11.（5分）（2024•重庆模拟）将函数y=sin2x的图象上的每一点的横坐标缩短为

原来的工，纵坐标不变，再将所得图象向右平移三个单位长度，得到y=/（x）的图象，

318

贝U（）

A.7（x）的图象关于直线久=强对称

B.f（x）的图象关于点（余，0）对称

C./（%）的图象关于直线x=-与对称

JDO

D.f（x）的图象关于点（一90）对称

（多选）12.（5分）（2024•重庆模拟）如图，在棱长为2的正方体A8CO-AiBiCiDi中，E

为棱的中点，尸为底面A8CD内的一动点（含边界），则下列说法正确的是（）

A.过点Ai,E,Ci的平面截正方体所得的截面周长为3&+24

B.存在点F,使得。RL平面ALECI

C.若。LF〃平面AiECi,则动点尸的轨迹长度为遮

D.当三棱锥尸-A1EC1的体积最大时，三棱锥尸-A1E。外接球的表面积为UTT

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）（2024•重庆模拟）设非空集合AU{1,2,…，9}满足VQ,10-则这样的

A的个数为.

14.（5分）（2024•重庆模拟）已知函数f（x）=cos（苧+由（3>0）在区间耳，印上单调递

增，那么实数3的取值范围是.

15.（5分）（2024•重庆模拟）若关于x的不等式。忘—+匕尤+（:W？（a>0）的解集为{x|-1

WxW3},则3a+b+2c的取值范围是.

22

xy、1

16.（5分）（2024•重庆模拟）已知椭圆C：—+—=l（a>b>0）的离心率为5，左顶点是

A,左、右焦点分别是Q,F2,M是C在第一象限上的一点，直线与C的另一个交

27

点为N.若MF?〃AN,且△ANF1的周长为4~a,则直线MN的斜率

为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）（2024•重庆模拟）某区域市场中5G智能终端产品的制造全部由甲、乙两公司

提供技术支持.据市场调研及预测，5G商用初期，该区域市场中采用的甲公司与乙公司

技术的智能终端产品各占一半，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的

体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有15%转而采用甲公司技术，

采用甲公司技术的产品中有10%转而采用乙公司技术.设第〃次技术更新后，该区域市

场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为即和b,„不考虑其他因素的影

响.

（1）用斯表示珈+1,并求使数列｛斯-入｝是等比数列的实数人.

（2）经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达

到60%以上？若能，则至少需要经过几次技术更新；若不能，请说明理由.

18.（12分）（2024•重庆模拟）在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己

知g（a2+b2—c2）=2bcsinA.

U）求角C;

（2）求sin2A+cos2g的取值范围.

19.（12分）（2024•重庆模拟）品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿

出“瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，

等他等记忆淡忘之后，再让他品尝这"瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一

轮测试.

设在第一次排序时被排为1,2,3,…，〃的“种酒，在第二次排序时的序号为ai,a2,

。3,…，an,并令X=IXi/—⑷，称X是两次排序的偏离度.

评委根据一轮测试中的两次排序的偏离度的高低为其评分.

（1）当〃=3时，若ai,a2,G等可能地为1,2,3的各种排列，求X的分布列；

（2）当”=4时，

①若42,03,。4等可能地为1,2,3,4的各种排列，计算XW2的概率：

②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有XW2（各轮测试相互独立），你认为该品酒师

的鉴别能力如何，请说明理由.

20.（12分）（2024•重庆模拟）设m为实数，直线y^mx+1和圆C：/-x+/=0相交于P,

。两点.

（1）若PQ=学，求机的值；

（2）点。在以尸。为直径的圆外（其中。为坐标原点），求相的取值范围.

21.（12分）（2024•重庆模拟）正多面体又称为柏拉图立体，是指一个多面体的所有面都是

全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这样的多面体就叫做正

多面体.可以验证一共只有五种多面体.令a<6<c<d<e（a,b,c,d,e均为正整数），

我们发现有时候某正多面体的所有顶点都可以和另一个正多面体的一些顶点重合，例如

正a面体的所有顶点可以与正b面体的某些顶点重合，正b面体的所有顶点可以与正d

面体的所有顶点重合，等等.（1）当正a面体的所有顶点可以与正6面体的某些顶点重

合时，求正。面体的棱与正6面体的面所成线面角的最大值；

（2）当正c面体在棱长为1的正6面体内，且正c面体的所有顶点均为正6面体各面的

中心时，求正c面体某一面所在平面截正b面体所得截面面积；

（3）已知正d面体的每个面均为正五边形，正e面体的每个面均为正三角形.考生可在

以下2问中选做1问.

（第一问答对得2分，第二问满分8分，两题均作答，以第一问结果给分）

第一问：求棱长为1的正e面体的表面积；

第二问：求棱长为1的正1面体的体积.

22.（12分）（2024•重庆模拟）一类项目若投资1元，投资成功的概率为p（0<p<l）.如

果投资成功，会获得6元的回报（6>0）;如果投资失败，则会亏掉1元本金.为了规避

风险，分多次投资该类项目，设每次投资金额为剩余本金的尤1956年约翰•

拉里•凯利计算得出，多次投资的平均回报率函数为（1-尤）并提出了凯利公式.

（1）证明：当p（b+1）>1时，使得平均回报率/（%）最高的投资比例尤满足凯利公式

v_pb一（1—P）

x-b；

1

（2）若/?=1,p=29求函数X-/（COS%）在（0,n）上的零点个数.

2024年重庆市乌江新高考协作体高考数学第一次调研试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.（5分）（2024•重庆模拟）己知在R,则“a>青是“一<2”的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分又不必要条件

【考点】充分条件与必要条件.

【专题】对应思想；定义法；简易逻辑；数学运算.

【答案】B

【分析】根据命题的充分必要性直接判断.

【解答】解：由不等式性质，今2a>1今W<2,

11

但一<2不能推出<2>亍，例如a--1,

az

i1

所以“a>亨是“一<2”的充分不必要条件.

za

故选：B.

【点评】本题考查充分不必要条件的应用，属于基础题.

2.（5分）（2024•重庆模拟）已知复数z满足：|z|=l,贝U|z-l+i|的最大值为（）

A.2B.V2+1C.V2-1D.3

【考点】复数的模.

【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】B

【分析】利用复数的几何意义，将问题转化为圆上一点到定点（1,-1）的距离，计算

即可.

【解答】解：设z=a+bit其中a,b€R,则z-l+i=（a-1）+（6+1）i>

：.a2+b2^l,即点（a,b）的轨迹是以（0,0）为圆心，1为半径的圆,

•*.|z-1+iI=J(a—1)2+(b+1)2即为圆上动点到定点(1,-1)的距禺，

，|z-l+i|的最大值为J(0—1)2+(0+1)2+1=V2+1.

故选：B.

【点评】本题考查复数的几何意义，属于基础题.

3.(5分)(2024•重庆模拟)大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记p为实际声压，通

常我们用声压级工(p)(单位：分贝)来定义声音的强弱，声压级L(p)与声压"存在

近似函数关系：〃p)=a/gS，其中。为常数，且常数po(po>O)为听觉下限阈值.若

在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压pi为穿软底鞋走路的声压〃的100倍，且

穿硬底鞋走路的声压级为L(pi)=60分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级L(p2)的3倍.若

住宅区夜间声压级超过50分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为p',则

()

__1

7

A.。=20,p/<10VT0p2B.a=20,p<JQPI

__I

z

C.4=10,p<10V10p2D.tz=10,p/<JQPI

【考点】根据实际问题选择函数类型.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】A

【分析】由L(pi)-L(p2)=40结合对数运算可求得a的值，由于L(6)=60,L

(p2)=20可得出£(p')-L(p2)W30、L(pi)-£(p')210,结合对数函数的

单调性可出结论.

【解答】解：由题意L(pi)—L(p2)=alg—=alglOO=2a=60-20=40,

P2

得a=20,

贝h(p)=200号,

Po

因此L(p，)=20仞匹W50,

Po

/)-Lg=20匈耳W50-20=30,

P2

则p/<ioViOp2，

L(Pi)-L(p')=20lg60-50=10,

贝物'w锣P「

故选:A.

【点评】本题考查了对数的运算，重点考查了对数函数的单调性，属中档题.

4.(5分)(2024•重庆模拟)函数/⑴=sin⑵一部-2倍iiA的最小正周期是()

7171

A.-B.TTC.2TID.—

24

【考点】三角函数的周期性；两角和与差的三角函数.

【专题】三角函数的图象与性质.

【答案】B

【分析】利用两角和与差的正弦及二倍角的余弦可得/(x)=¥sin2x-孝cos2r-&(1

-cos2尤)，再利用辅助角公式可得无)=sin(2x+J)-<2,于是可求其最小正周期.

【解答】解：V/(x)=sin(2x—5)-2V2sin2x

J4

=^sin2x—^cos2x—V2(1-cos2x)

=芋sin2x+^cos2x—V2

=sin(2x+1)—V2,

其最小正周期T=^=ir,

故选：B.

【点评】本题考查两角和与差的正弦及二倍角的余弦、辅助角公式的应用，考查三角函

数的周期性及其求法，属于中档题.

5.(5分)(2024•重庆模拟)过直线2x-y+l=0上一点P作圆(%-2)?+/=4的两条切线

—>—>

PA,PB,若P2-PB=0,则点尸的横坐标为()

33J15

A.0B.-C.+JD.+争

5-5-5

【考点】平面向量数量积的性质及其运算；圆的切线方程；直线与圆的位置关系.

【专题】方程思想；数形结合法；直线与圆；数学运算.

【答案】D

【分析】由题意，△BACgZkPBC,得融|=|AC|=2,求出|PC|的长，设P(a,2a+l),

由两点间的距离公式代入解方程即可.

【解答】解：过直线2x-y+l=0上一点尸作圆(x-2)2+y2=4的两条切线出，PB,如

图所示：

则圆心C(2,0),连接AC,CB,则E4_LAC,PB±BC,

可得AB4c02XP3C,日I•而=0,则/APC=/BPC=45°,

所以|B4|=|AC|=2,所以|PC|=,22+22=2VL

因为点尸在直线2x-y+l=0上，

所以设尸(a,2a+l),C(2,0),

所以|PC|=J(a—2尸+(2a+=2夜,解方程得：。=士^^.

故选：D.

【点评】本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了两点间的距离公式应用问题，

是基础题.

6.(5分)(2024•重庆模拟)已知函数/(X)满足：Yx,y£Z,f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy+l

成立，且y(-2)=i,则y(2〃)=()(WCN*)

A.4〃+6B.8"-1C.4”'+2〃-1D.8/+2〃-5

【考点】抽象函数及其应用.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算.

【答案】C

【分析】令x=y=0,求出/(0),令x=y=-1,求出/(-1),令尤=1,y=-1,求出

/(1),再令y=l,"CN*,可求出/(力+1),/(〃)的关系，再利用累加法结合等

差数列前n项和公式即可得解.

【解答】解：令x=y=0,则/(0)=/(0)+f(0)+1,所以f(0)=-1,

令x=y=-1,贝丫(-2)=/(-1)+2+1=4(-1)+3=1,

所以/(-1)=-1,

令x=l,y=-1，贝1J/(0)=/(1)4/(-1)-2+1=/(1)-2=-1,所以/(1)=1,

令x="，y=l,w6N*,则/(〃+1)=f(n)4/(1)+2n+l=f(n)+2n+2,

所以/(〃+l)-f(H)=2〃+2,

则当〃22时，/(")-fCn-1)=2n9

贝！J/(〃)—f(n)-/(n-1)4/(n-l)-/(«-2)+-4/(2)-/(I)4/(1)

2

=2n+(2n—2)-1---1-4+1=(2几+?(几1)_|_i=n_|_n_i,

当〃=1时，上式也成立，

所以/(〃)=川+〃-1(nGN*),

所以/(2〃)=4n2+2n-1(一N*).

故选：C.

【点评】本题考查了用赋值法求抽象函数值，累加法的应用，属于中档题.

x2y2

7.(5分)(2024•重庆模拟)已知双曲线"-匕=1(〃>0,/?>0)的左、右焦点分别为

azbz

—>—>―»

Fi,F2,尸为双曲线上的一点，/为△?四F2的内心，且/0+2/4=2P/，则C的离心率

为()

A.3B.-5C.V「3D.2

2

【考点】双曲线的性质.

【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】D

【分析】延长IP到A且|ZP|=|R1|,延长IF2到B且|32|=阳8|,结合向量的线性关系知I

是△A8F1的重心，根据重心和内心的性质，进而得到|尸尸1|=|为尸2|=2|PF2|,由双曲线定

义得到齐次方程，即可求离心率.

【解答】解：如图示，延长/尸到A且阳=阳|,延长祝到8且历2|=下2为，

T—>—»—>

所以/0+2/尸2=2尸/,即+/B+L4=0,

故I是△ARF1的重心,即S-/F]=S^BIF]=S&AIB，

又S0/&=2S〉piF\'S"，Fi=2s，S^AIB=4sM/F2，

所以SM/F]=SM"F2=2SM/~而/是△尸人尸2的内心，贝IJ|PF1|=|尸1尸2|=2|尸/2|，

由|「乃|-|尸/2|=2。，|FIF2|=2C,则|尸尸2|=2。，故2c=4。，即e=£=2.

故选：D.

【点评】本题主要考查了双曲线性质的应用，属于中档题.

8.（5分）（2024•重庆模拟）已知点A（xo,yo）是双曲线C：鸟一耳=l（a>0,b>0）±

ab

位于第一象限内的一点，FI,或分别为C的左、右焦点，C的离心率和实轴长都为2,

过点A的直线/交x轴于点M（°,0）,交y轴于点N,过为作直线AM的垂线，垂足为

H,则下列说法错误的是（）

A.C的方程为/—1=1

B.点N的坐标为（0,-右

C.OH的长度为1,其中。为坐标原点

D.四边形ABNF2面积的最小值为4百

【考点】双曲线的性质.

【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】B

【分析】对4根据条件列式计算可得解；对8,求出直线AM的方程，令x=0,求得

其与y轴的交点可判断；对C,求出直线F1H的方程与直线AM的方程联立解得点”的

一1

坐标，并求出|0”|可判断；对D,四边形AF1NF2的面积习尸101（1力1+1力1）=

13

-I^FJCy+—）利用基本不等式求解判断.

2y。

6=W,所以其方程为久2—1=

【解答】解：对于A,因为2,解得a=1,

1,故A正确；

对于2,七时=』彳=智=等，所以AM的方程为丫=等（久一；），

龙0^01y0y0X0

所以令x=0得直线/交y轴于点（0,-分故8错误；

对于C,直线F1H的方程为丫=急0+2）,与直线AM的方程联立解得H（套普，

—y。、

;,

2x0-l

所以（奇普）2+（套I）2=L故C正确；

对于D,四边形AFiNW的面积为］+/）=2（%+/）24«,当且仅当y0=

百时等号成立，故。正确.

故选：B.

【点评】本题主要考查了双曲线性质的综合应用，属于中档题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。

（多选）9.（5分）（2024•重庆模拟）有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点0出

发，通过扔骰子决定向左或者向右移动，扔出骰子，若是奇数点向上，则向左移动一个

单位，若是偶数点向上，则向右移动一个单位，则扔出“次骰子后，下列结论正确的是

（）

A.第二次扔骰子后，小球位于原点0的概率为］

3

B.第三次扔骰子后，小球所在位置是个随机变量，则这个随机变量的期望是一

2

1

C.第一次扔完骰子小球位于-1且第五次位于1的概率-

4

D.第五次扔完骰子，小球位于1的概率大于小球位于3概率

【考点】离散型随机变量的期望与方差.

【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【答案】AD

【分析】计算出小球每次向左向右的概率后，结合概率公式与期望算法逐个计算即可得.

11

【解答】解：扔出骰子，奇数点向上的概率为二，偶数点向上的概率亦为不

22

对于选项A：若两次运动后，小球位于原点，小球在两次运动之中一定一次向左一次向

右，

故其概率为6(32=热故A选项正确；

对于选项8,设这个随机变量为X,则X的可能取值为-3、-1、1、3,

其中P(X=-3)=P(X=3),P(X=-1)=尸(X=l),

故其期望E(X)=-3XP(X=-3)+3XP(X=3)+(-1)XP(X=-1)+1XP(X

=1)

=3[尸(X=3)-尸(X=-3)]+[P(X=l)-P(X=-1)]=O,故2选项错误；

对于选项C：第一次扔完骰子小球位于-1,即第一次向右移动，且第五次位于1,

则后续中小球向右3次，向左1次，故其概率为=*故C选项错误；

对于选项。:第五次扔完骰子，小球位于1,即两次向左，三次向右，故其概率Pi=俏&)5=

5

16,

小球位于3,则四次向右，一次向左，故其概率P2==£，有pi>p2,故。选项

正确.

故选：AD.

【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望，概率的求法，考查运算求解能力，属于

中档题.

(多选)10.(5分)(2024•重庆模拟)已知函数十⑺=1。典当，则下列说法正确的是()

A.函数/(%)值域为R

B.函数/G)是增函数

17

C.不等式y(3x-l)+f(3x)<0的解集为哈，j)

D-/(-2^3-^+2^22)------h/(~1)+/(-1)+'(。)+'⑴+/(1)++

1

f(2023^=0

【考点】对数函数的图象与性质.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】ACD

【分析】利用对数函数的性质以及复合函数的单调性即可判断A,8;证明函数为奇函数，

求出函数的定义域，然后化简即可判断C,D.

【解答】解：令U会=一1+白〉0,解得-2<x<2,所以函数的定义域为(-2,2),

此时f>0,所以函数/(%)=/。以粪值域为R,

且函数/在(-2,2)上单调递减，又〃为减函数，故函数/(%)为减函数，故A

3

正确，8错误；

因为/(%)4/(-x)=/。91茎+=/。。11=。，所以函数为奇函数，则/(0)

333

=0,

|-2<3x-1<2

则不等式/(3%-1)+/(3x)<0转化为：/(3x-1)</(-3x),贝“一2<3]<2，

(3久—1>—3%

12

解得:<rV：;,故C正确；

63

一11

因为f(x)+f(~X)=0,所以/(一orxoo)+于(-)+../(-1)+于(0)+于(1)+...V

乙U乙。乙U乙乙

1

(-------)=0,故。正确.

2023

故选：ACD.

【点评】本题考查了对数函数的性质，涉及到函数的奇偶性的应用，考查了学生的运算

求解能力，属于中档题.

(多选)11.(5分)(2024•重庆模拟)将函数y=sin2x的图象上的每一点的横坐标缩短为

171

原来的I纵坐标不变，再将所得图象向右平移K个单位长度，得到了=/(无)的图象，

318

则()

A.f(x)的图象关于直线x=(对称

B.f(x)的图象关于点(备，0)对称

C.f(x)的图象关于直线刀=-与对称

D.f(x)的图象关于点(一/0)对称

【考点】函数y=Asin(a)x+(p)的图象变换.

【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑

推理；数学运算.

【答案】BC

【分析】首先利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步求出函

数的对称中心和对称轴.

【解答】解：函数y=sin2x的图象上的每一点的横坐标缩短为原来的右纵坐标不变，得

TCTT

到函数y=sin6x的图象,再将所得图象向右平移元个单位长度，得至U>=A%）=sin（6x-弓）

的图象，

当工=今时，/（方）=。，故函数/（X）关于点（看，0）对称，故8正确，A错误，

当x=—套时，于（―看）=-1，故C正确，。错误.

故选：BC.

【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换和伸缩变换，正弦型函数的性质，

主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题.

（多选）12.（5分）（2024•重庆模拟）如图，在棱长为2的正方体ABC。-AiBiCiDi中，E

为棱8C的中点，尸为底面A8C。内的一动点（含边界），则下列说法正确的是（）

A.过点4,E,G的平面截正方体所得的截面周长为3鱼+2代

B.存在点R使得。尸，平面4EC1

C.若。1尸〃平面4EC1,则动点尸的轨迹长度为遮

D.当三棱锥尸-ALECI的体积最大时，三棱锥尸-4EC1外接球的表面积为UTT

【考点】球的体积和表面积；平面的基本性质及推论；棱柱的结构特征.

【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；数学运算.

【答案】ACD

【分析】取的中点G,然后证明截面为4GEG,求出周长即可判断A；假设存在点

F,根据DF±AiCi,。凡LQE分别判断点F位置即可得到矛盾，B错误;根据平面D1MN

〃平面ALECI即可确定动点F的轨迹，可判断C；由AC判断点尸位置，然后建立空间

直角坐标系，利用空间两点距离公式确定球心位置，然后可判断D

【解答】解：A选项，如图，取A8的中点G,连接GE,A1G,

因为E为8c的中点，所以AiCi〃GE,AiCi=2GE,

所以过点Ai,E,Ci的平面截正方体所得的截面为梯形A1C1EG,

其周长为2&+Z+&+遥=3/+2花，故A选项正确；

8选项，假设存在点R使得。平面4EC1,

则。尸，4C1,得F只能在线段8。上，

再由。fUGE,得尸只能在线段C。上，即F与。重合，不符合题意，故8选项错误;

C选项，如图，取的中点M,CD的中点M

连接Affli,MN,ND1,可得MDi〃GE,MN//A1C1,

又ATO1C平面A1EC1,MNU平面AiECi,CiEu平面4EQ,4Ciu平面A1EC1,

所以MOi〃平面A1EC1,MN〃平面A1EC1,

又MD1CMN=M,所以平面DMN〃平面A1EC1,

所以动点尸的轨迹为线段MN,其长度为VL故C选项正确；

D选项，由A,C选项可得，平面4GEC1〃平面D1MN,

所以当歹在点。时，/到平面4EQ的距离最大，此时△EhCi为等边三角形，

因为瓦）1，平面FAiCi,所以三棱锥F-A1EC1的外接球球心01一定在直线BD1上,

以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

则E（0,1,0）,D（2,2,0）,设01（x,x,x）,

由OiE=Oi£>得，（x-2）2+jr,解得x=

O

所以R2=[）2+《—1）2+4）2=芋，

11

所以三棱锥F-A1EG外接球的表面积为4兀/?2=47rx号=UTT,故。选项正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查了立体几何的综合应用，属于难题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）（2024•重庆模拟）设非空集合（U{L2,…，9}满足VaCA,10-0,则这样的

A的个数为31.

【考点】元素与集合关系的判断.

【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算.

【答案】31.

【分析】利用非空集合子集的个数计算公式可求满足条件的A的个数.

【解答】解：由题设可得{1,9},{2,8},{3,7},{4,6},⑸,

这5组中的每一组中的元素必定同时出现在集合A中，

故这样的非空集合4的个数为25-1=31.

故答案为：31.

【点评】本题主要考查元素和集合的关系，属于基础题.

14.（5分）（2024•重庆模拟）已知函数/⑺=cos4+3©（3>0）在区间序守上单调递

增，那么实数3的取值范围是（0,|]U[6,争.

【考点】余弦函数的图象.

【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算.

【答案】（0,|U[6,学.

【分析】化简函数的解析式，根据题中条件可得[等，等]=[2时-表2时+舒，依Z,

继而解得上的值，进一步计算即可.

【解答】解：因为/（久）=cos（竽+3久）=sinatx,

,「71710）71371

由（JI）>0且一<x<―,知---<（DX<—,

4343

因为函数无）在区间上生守单调递增，

则[等，等]=2/OT+刍，其中在Z,

信建2版一9

所以博W2版+卜其中kez,

解得8k-2<a)<6k+~,其中M,

由8/c—246k+1，6k+讶〉0,

17

得一五<k4五，又依Z,

4-4,

所以k=0或k=l,

因为o）>0,所以当％=0时，OVaW会

1q

当％=1时，6<00<-y,

所以实数3的取值范围是（0,|]U[6,知

故答案为：（0,|]U[6,学

【点评】本题主要考查余弦函数的性质，考查计算能力，属于中档题.

15.（5分）（2024•重庆模拟）若关于x的不等式0W办2+fcv+cW2（a>0）的解集为{x|-1

3

WxW3},则3a+b+2c的取值范围是序4）.

【考点】一元二次不等式及其应用.

【专题】函数思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】岐，4）.

【分析】根据一元二次不等式的解集得到对称轴，再根据端点得到两个等式和一个不等

式，求出a的取值范围，把3a+6+2c都表示成a的形式即可求解.

【解答】解：因为不等式OWaf+6尤+cW2（a>0）的解集为{尤|-1WXW3},

所以二次函数/（无）—a^+bx+c的对称轴为直线尤=1,

f(—1)=2(a—b+c=2

且需满足"(3)=2,即9a+3b+c=2,=-2a

=-3a+2

y(i)>0la+h+c>0

i1

所以Q+Z?+C=〃-2〃-3〃+220,解得所以〃的取值范围是（0,-],

3

所以3a+b+2c—3ci—2a—6a+4=4-5ae5，4).

故答案为：碎，4）.

【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，关键是转化为二次函数问题,

求出对称轴和端点的值，是中档题.

X2V21

16.（5分）（2024•重庆模拟）已知椭圆C：—+—=l（a〉b〉0）的离心率为5，左顶点是

A,左、右焦点分别是为，Fi,M是C在第一象限上的一点，直线"为与。的另一个交

27V5

点为N.若MF2〃AN,且△AN—2的周长为一a,则直线MN的斜率为一.

8~T

【考点】椭圆的性质.

【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算.

V5

【答案】y.

【分析】由平行关系得出对应线段成比例，结合椭圆定义，表示出长度，利用余弦定理

求出cosNA尸1N,得出结果.