教师公开招聘考试小学数学（证明题）模拟试卷4

教师公开招聘考试小学数学（证明题）模拟试卷4一、证明题(本题共29题，每题1.0分，共29分。)已知双曲线C：－y2=1，设过点A(－3√2，0)的直线l的方向向量e=(1，k)．1、当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；标准答案：双曲线C的渐近线m：±y=0，即x±√2y=0，∴直线l的方程x±√2y+3√2=0．∴直线l与m的距离d==√6．知识点解析：暂无解析2、证明：当k＞时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为√6．标准答案：假设双曲线C的右支上存在点Q(x0，y0)到直线l的距离为√6，则由①得y0=kx0+3√2k±√6·，设t=3√2k±√6·，当k＞时，t=3√2k+√6·＞0．t=3√2k－√6·＞0，将y0=kx0+t代入②得(1—2k2)x02－4ktx－2(t2+1)=0(*)∵k＞，t＞0，∴1—2k2＜0，－4kt＜0，－2(t2+1)＜0，∴方程(*)不存在正根，即假设不成立，故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为√6．知识点解析：暂无解析如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．3、当CF=1时，求证：EF⊥A1C；标准答案：证明：过E作EN⊥AC于N，连接EF．(Ⅰ)如图1，连接NF、AC1，由直棱柱的性质知，底面ABC⊥侧面A1C，又底面ABC∩侧面A1C=AC，且EN底面ABC，所以EN上侧面A1C，NF为EF在侧面A1C内的射影，在Rt△CNE中，CN=CEcos60°=1．则由，得NF∥AC1，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C．由三垂线定理知EF⊥A1C.知识点解析：暂无解析4、设二面角C—AF—E的大小为θ，求tanθ的最小值标准答案：如图2，连接AF，过N作NM⊥AF于M，连接ME．由(1)知EN⊥侧面A1C，根据三垂线定理得EM⊥AF，所以∠EMN是二面角C－AF—E的平面角，即∠EMN=0．设∠FAc=α，则0°＜α≤45°．在Rt△CNE中，NE=EC·sin60°=√3，在Rt△AMN中，MN=AN·sinα－3sinα，故tanθ=．又0°＜α≤45°，∴0＜sinα≤．故当sinα=，即当α=45°时，tanθ达到最小值，tanθ=，此时F与C1重合．知识点解析：暂无解析如图所示，在锥体P—ABCD中，ABCD是边长为l的菱形，且∠DAB=60°，PA—PD=√2，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点．5、证明：AD⊥平面DEF；标准答案：如图，取AD的中点O，连接PO、BO，∵四边形ABCD是边长为1的菱形，连接BD，∴△ABD为等边三角形．∴BO⊥AD，又PA=PD=√2．PO⊥AD，又PO∩BO=O，∴AD⊥平面POB，又∵E、F分别为BC、PC的中点，∴EF∥BP，而0为AD的中点，得DE∥OB，EF∩ED=E，∴平面POB∥平面DEF，∴AD⊥平面DEF．知识点解析：暂无解析6、求二面角P—AD—B的余弦值．标准答案：由(1)知PO⊥AD，BO⊥AD．则∠POB为所求二面角的平面角，在等边三角形ABD中，可得OB=，在△PAD中，可得PO=，又PB=2，在△POB中，由余弦定理得COS∠POB=．∴二面角P—AD—B的余弦值为－知识点解析：暂无解析已知ABCD—A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．7、设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A—B1D1－A1的大小为β，求证：tanβ=√2tanα；标准答案：连结AO1，∵AA1⊥底面A1B1C1D1，∴∠AB1A1是AB1与底面A1B1C1D1所成角，∴∠AB1A1=α．∵在等腰△AB1D1中，AO1⊥B1D1．又A1C1⊥B1D1，∴∠AO1A1是二面角A－B1D1－A1的－个平面角，∴∠AO1A1=β．在Rt△AB1A1中，tanα==h；在Rt△AO1A1中，tanβ==√2h．∴tanβ=√2tanα．知识点解析：暂无解析8、若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高．标准答案：如图建立空间直角坐标系，有A(0，0，h)，B1(1，0，0)，D1(0，1，0)，C(1，1．h)，则=(1，0，－h)，=(0，1，－h)，=(1，1，0)．设平面AB1D1的法向量为n=(u，υ，ω)．∵=0．由得u=hω，v=hω，∴n=(hω，hω，ω)．令ω=1，得n=(h，h，1)．由点C到平面AB1D1的距离为d=．解得高h=2．知识点解析：暂无解析如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=√2，CE=EF=1．9、求证：AF∥平面BDE；标准答案：设AC与BD交于点G．因为EF∥AG，且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG．因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF∥平面BDE．知识点解析：暂无解析10、求证：CF⊥平面BDE；标准答案：因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC．所以CE⊥平面ABCD．如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C－xyz．则C(0，0，0)，A(√2，√2，0)，B(0，√2，0)，D(√2，0，0)，E(0，0，1)，F.所以=(0，√2，1)，=(－√2，0，1)．所以=0—1+1=0．=－1+0+1=0，所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE．知识点解析：暂无解析11、求二面角A—BE—D的大小．标准答案：由(II)知，是平面BDE的－个法向量．设平面ABE的法向量n=(x，y，z)，则·所以x=0，且z=√2y．令y=1，则z=√2，所以n=(0，1，√2)．从而cos因为二面角A—BED为锐角，所以二面角A—BE—D的大小为.知识点解析：暂无解析如图，直三棱柱ABC—A1B1C1，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．12、证明：AB=AC；标准答案：以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，AC为y轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz．设B(1，0，0)，C(0，b，0)，D(0，0，c)，则B1(1，0，2c)，E．于是=(－1，b，0)．由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC．=0，求得b=1，所以AB=AC．知识点解析：暂无解析13、设二面角A—BD—C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．标准答案：设平面BCD的法向量=(x，y，z)，则=0．又=(－1，1，0)，=(－1，0，c)，故令x=1，则y=1，z=,又∵平面ABD的法向量=(0，1，0)．由二面角A—BD—C为60°知，·cos60°，求得c=于是=(1，1，√2)，=(1，－1，√2)，cos=60°．所以B1C与平面BCD所成的角为30°．知识点解析：暂无解析已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，MN分别为AB、DF的中点．14、若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；标准答案：取CD的中点G，连结MG，NG．设正方形ABCD，DCEF的边长为2a．则MG⊥CD，MG=2a，NG=√2a，因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF，而NG平面DCEF，所以NG⊥MG可得∠MNG是MN与面DCEF所成的角．知识点解析：暂无解析15、用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．标准答案：假设直线ME与BN共面，则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN．由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF．又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF．而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB∥EN．又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立．所以ME与BN不共面，它们是异面直线．知识点解析：暂无解析如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E、F、O分别为PA、PB、AC的中点，AC=16，PA=PC=10．16、设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；标准答案：如图，取PE的中点为H，连结HG，HF．因为点E，O，G，H分别是PA，AC，OC，PE的中点，所以HG∥OE，HF∥EB．因此平面FGH∥平面BOE．因为FG在平面FGH内，所以FG∥平面BOE．知识点解析：暂无解析17、证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，0B的距离．标准答案：在平面OAP内，过点P作PN⊥OE，交OA于点N，交OE于点Q．连结BN，过点F作FM∥PN，交BN于点M．下证FM⊥平面BOE．由题意得OB⊥平面PAC，所以OB⊥PN，又因为PN⊥OE，所以PN⊥平面BOE，因此FM⊥平面BOE．在Rt△OAP中，OE=PA=5．PQ=，COS∠NPO=，ON=OP·tan∠NPO=＜OA，所以点N在线段OA上．因为F点是PB的中点，所以M是BN的中点．因此点M在△AOB内，点M到OA，OB的距离分别为.知识点解析：暂无解析如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分别为AC、DC的中点．18、求证：EF⊥BC；标准答案：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B(0，0，0)，A(0，－1，√3)，D(√3，－1，0)，C(0，2，0)，因而E，所以=(0，2，0)，因此=0，所以EF⊥BC．知识点解析：暂无解析19、求二面角E—BF—C的正弦值．标准答案：在图中，设平面BFC的一个法向量=(0，0，1)，平面BEF的法向量(x，y，z)，又得其中一个(1，一√3，1)，设二面角E—BF—C的大小为θ，由题意知θ为锐角，则cosθ=因此sinθ=，即所求二面角正弦值为.知识点解析：暂无解析如图，四边形．ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．20、证明：CF⊥平面ADF；标准答案：因为PD⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以PD⊥AD．因为在正方形ABCD中CD⊥AD，又CD∩PD=D，所以AD⊥平面PCD．因为CF平面PCD，所以AD⊥CF．因为AF⊥CF，AF∩AD=A，所以CF⊥平面ADF．知识点解析：暂无解析21、求二面角D－AF－E的余弦值．标准答案：方法－：以D为坐标原点，DP、DC、DA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则D(0，0，0)，A(0，0，1)，C(0，1，0)，P(√3，0，0)，．由(Ⅰ)得=(√3，－1，0)是平面ADF的－个法向量．设平面AEF的法向量为，1)，所以令x=4，则y=0，z=√3，所以=(4，0，√3)是平面AEF的－个法向量．设二面角D—AF—E的平面角为θ，且θ∈(0，)，所以cosθ=，所以二面角D—AF—E的平面角的余弦值为.方法二：过点D作DG⊥AE于G，过点D作DH⊥AF于H，连接GH．因为CD⊥PD，CD⊥ED，ED∩AD=D，所以CD⊥平面ADE．因为FE∥CD，所以FE⊥平面ADE．因为DG平面ADE，所以FE⊥DG．因为AE∩FE=E，所以DG⊥平面AEF．根据三垂线定理，有GH⊥AF，所以∠DHG为二面角D—AF—E的平面角．设正方形ABCD的边长为1，在Rt△ADF中，AD=1，DF=，所以DH=.在Rt△ADE中，因为FC=PC，所以DE=，所以DG=.所以GH=，所以cos∠DHG=，所以二面角D—AF—E的平面角的余弦值为.知识点解析：暂无解析如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．22、证明：BE⊥DC；标准答案：∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．∴B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(1，1，1)=(0，1，1)，=(2，0，0)∵=0，∴BE⊥DC．知识点解析：暂无解析23、求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；标准答案：∵=(－1，2，0)，=(1，0，－2)，设平面PBD的法向量=(x，y，z)，由，令y=1，则=(2，1，1)，则直线BE与平面PBD所成角θ满足：sinθ=，故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.知识点解析：暂无解析24、若F为棱PC上－点，满足BF⊥AC，求二面角F—AB—P的余弦值．标准答案：∵=(1，2，0)，=(－2，－2，2)，=(2，2，0)，由F点在棱PC上，设=(－2λ，－2λ，2λ)(0≤λ≤1)，故=(1—2λ，2—2λ，2λ)(0≤λ≤1)，由BF⊥AC，得=2(1—2λ)+2(2—2λ)=0，解得λ=，设平面FBA的法向量为=(a，b，c)，由.令c=1，则=(0，－3，1)，取平面ABP的法向量=(0，1，0)，则二面角F—AB—P的平面角α满足：cosα=，故二面角F—AB—P的余弦值为.知识点解析：暂无解析如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC上平面AA1C1C，AB=3，BC=5．25、求证：AA1⊥平面ABC；标准答案：因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC．因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC．知识点解析：暂无解析26、求二面角A1－BC1－B1的余弦值；标准答案：由(Ⅰ)知AA1⊥AC，AA1上AB．由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC．如图，以A为原点建立空间直角坐标系A—xyz，则B(0，3，0)，A1(0，0，4)，B1(0，3，4)，C1(4，0，4)．设平面A1BC1的法向量为=(x，y，z)，则令z=3，则x=0，y=4，所以=(0，4，3)．同理可得，平面B1BC1的法向量为=(3，4，0)．所以cos由题知二面角A1－BC1－B1为锐角，所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为.知识点解析：暂无解析27、证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．标准答案：设D(x，y，z)是直线BC1上－点，且，所以(x，y－3，z)=λ(4，－3．4)．解得x=4λ，y=3—3λ，z=4λ．所以=(4λ，3—3λ，4λ)．由=0，即9—25λ=0，解得λ=.因为∈[0，1]，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B．此时，.知识点解析：暂无解析如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在