高考冲刺《数学》考前中档保分专题冲刺练习（6+2+2+3）（19-20）教师版

第页高考考前最后冲刺系列中档保分（6+2+2+3）（本练习主要以模考题中的基础中档题为主，旨在为学生高考考前巩固基础，查缺补漏）（十九）一、单选题1、（2024·贵州毕节·三模）已知点在抛物线上，则抛物线C的准线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将点代入抛物线方程求出，，再将抛物线方程化为标准方程，即可得出准线方程.【详解】因为点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的标准方程为，所以抛物线C的准线方程为.故选：D.2、（2024·贵州黔南·二模）空气质量指数简称AQI，是定量描述空气质量状况的无量纲指数.AQI的数值越大、级别越高，说明空气污染状况越严重.某地区4月1日22时至4月2日5时的AQI整点报告数值为：15，17，20，22，20，23，19，21，则这组数据的第70百分位数是（

）A．19 B．20 C．21 D．22【答案】C【分析】把数据从小到大排列后计算百分位数，再求出即可.【详解】把数值从小到大排列为，由，所以这组数据的第70百分位数是第6个数，即21.故选：C.3、（2024·全国·三模）已知，是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，若，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由直线与平面平行的判定定理和性质定理，结合充分条件、必要条件的概念判断即可.【详解】若，，，且，所以直线与平面平行的判定定理知；若，，，所以直线与平面平行的性质定理知；所以“”是“”的充要条件.故选：C.4、（2024·浙江绍兴·二模）过点作圆的切线，为切点，，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可得，三角换元令，，，利用三角恒变换求出最大值.【详解】根据题意，设圆的圆心为，则，，令，，，则，其中，所以的最大值为.故选：D.5、（2024·贵州毕节·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若点D满足，且，则（

）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】由得，进而得到，再结合三角形的面积公式求解即可.【详解】由得，，故，即，得，设的高为，可得，

由得，，故，而，故，则，故，化简得，故A正确.故选：A6、（2024·贵州黔南·二模）某学生为制作圆台形容器，利用如图所示的半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是和）铁皮材料，通过卷曲使得边与边对接制成圆台形容器的侧面，则该圆台的高为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆台的侧面展开图求得，再结合圆台的结构特征分析求解.【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，高为，由题意可得：，解得，所以该圆台的高为.故选：C.二、多选题7、（2024·浙江绍兴·二模）国家统计局统计了2024年1月全国多个大中城市二手住宅销售价格的分类指数，其中北方和南方各4个城市的90m²及以下二手住宅销售价格的环比数据如下：北方城市环比（单位：%，上月=100）南方城市环比（单位：%，上月=100）北京99.5上海99.5天津99.6南京99.5石家庄99.6南昌99.6沈阳99.7福州99.8则（

）A．4个北方城市的环比数据的极差小于4个南方城市的环比数据的极差B．4个北方城市的环比数据的均值小于4个南方城市的环比数据的均值C．4个北方城市的环比数据的方差大于4个南方城市的环比数据的方差D．4个北方城市的环比数据的中位数大于4个南方城市的环比数据的中位数【答案】AD【分析】根据极差的定义判断A，根据平均数的定义判断B，根据方差的定义判断C，根据中位数的定义判D．【详解】对于A，4个北方城市的环比数据的极差为，4个南方城市的环比数据的极差为，所以4个北方城市的环比数据的极差小于4个南方城市的环比数据的极差，故A正确；对于B，4个北方城市的环比数据的均值为，4个南方城市的环比数据的均值为，所以4个北方城市的环比数据的均值与4个南方城市的环比数据的均值相等，故B错误；对于C，4个北方城市的环比数据的方差为，4个南方城市的环比数据的方差为，所以4个北方城市的环比数据的方差小于4个南方城市的环比数据的方差，故C错误；对于D，4个北方城市的环比数据的中位数为99.6，4个南方城市的环比数据的中位数为，所以4个北方城市的环比数据的中位数大于4个南方城市的环比数据的中位数，故D正确．故选：AD．8、（2024·浙江绍兴·二模）已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据抽象函数性质可确定关于直线对称，关于点对称，从而可确定其周期性，再结合单调性可得函数的大致图象，结合周期性、对称性、对数函数性质、三角函数性质逐项判断即可得结论.【详解】对于函数有，，则函数关于直线对称，由，则函数关于点对称，所以，所以得，则，故函数的周期为，且，故函数为偶函数，因为函数在区间上单调递增，则函数的大致图象如下图：由对称性可得，所以，故A不正确；由于，，所以，故B正确；又，，所以，故C正确；，且，因为，所以，故，所以，故D正确.故选：BCD.三、填空题9、（2024·浙江绍兴·二模）的展开式中的系数是.（用数字作答）【答案】【分析】根据二项式定理求通项，从而可得的系数.【详解】展开式的通项为，则当时，的系数为.故答案为：.10、（2024·全国·三模）已知正四棱台中，，则该正四棱台内部能够放入的最大球体的半径为.【答案】/【分析】延长交于点，由条件结合棱台的性质求棱台的高，由此证明四棱台内部能够放入的球体的直径，取的中点，求球心到的距离，由此可得结论.【详解】如图1，延长交于点，由棱台的性质可得与相似，相似比为，所以，，设在正四棱台上、下底面的投影点分别记为，，，.首先四棱台内部能够放入的球体的直径，即；其次取的中点，作纵截面，如图2，设球的球心为O，O到线段SN的距离为d，则.，，，所以，，所以.所以.故答案为：.四、解答题11、（2024·辽宁抚顺·三模）在中，内角的对边分别为．(1)求；(2)若为的中线，且，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，得到，结合，求得，结合余弦的倍角公式，即可求解；（2）由（1）得到，根据，求得，再由由余弦定理得到，求得，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）解：由，可得，因为，可知，所以，又因为，联立方程组得，所以．（2）解：由（1）知，可得，因为为的中线，且，所以，两边平方得，又由余弦定理得，即，两式相减，可得，所以．12、（2024·辽宁抚顺·三模）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，平面平面．为的中点，且分别为的中点．(1)证明：．(2)设交平面于点，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设与交于点，根据题意，证得和，结合线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得．（2）由（1）知平面，得到平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）证明：如图所示，设与交于点，连接，因为底面是平行四边形，所以为的中点，又因为，所以，因为，且为的中点，所以，又因为平面，且平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以．（2）解：如图所示，连接，因为为的中位线，所以，因为平面平面且，所以，且，由分别为的中点，看到的，由（1）知平面，所以平面．以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，则，设为平面的法向量，则，取，可得，所以，又由平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，可得．即平面与平面的夹角余弦值为.13、（2024·辽宁抚顺·三模）某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35，时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”．(1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率．(2)若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题：①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五人到整数）；②若从该市随机抽取的名教师中恰有名教师的学习时长在内，则为何值时，的值最大？附：若随机变量服从正态分布，则，，．【答案】(1)(2)①841；②14【分析】（1）根据题意利用古典概型即可计算；（2）①由样本数计算，进而利用求解即可；②首先求在内的概率，再由题意可知，然后设，最后利用可求使得的最小的值，从而得到使最大的的值.【详解】（1）设事件“抽取的3名教师中恰有2名教师是研修先进个人”为．由题知样本中学习时长不低于80小时的人数为3，时长低于80小时的人数为7，则，所以这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率为．（2）①由样本数据知，．因为，所以，所以，学习时长不低于50小时的教师人数为841.②每名教师的学习时长在内的概率为，由题意可知，则，设，则．令，得，所以当时，，令，得，所以当时，，所以当时，最大，即使最大的的值为14．（二十）一、单选题1、（2024·浙江绍兴·二模）已知四边形是平行四边形，，，记，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算求解即得.【详解】在中，，，，，所以.

故选：A2、（2024·贵州黔南·二模）已知直线与直线的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】联立直线可得其交点坐标，由该点在圆的内部计算即可得.【详解】联立，解得，即点在圆的内部，即有，解得.故选：D.3、（2024·全国·三模）当时，的最大值是（

）A．2 B． C．0 D．【答案】D【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】原式，其中锐角由确定，由，得，所以.故选：D4、（2024·河南·模拟预测）将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，其中甲、乙两班至少各有1个名额，则不同的分配方案种数为（

）A．56 B．84 C．126 D．210【答案】B【分析】将问题等价转换为将10个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额的分法，利用隔板法即可求解.【详解】将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，其中甲、乙两班至少各有1个名额的分法，等价于将10个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额的分法.用3个隔板插入10个小球中间的空隙中，将球分成4堆，由于10个小球中间共有9个空隙，因此共有种不同的分法.故选：B.5、（2024·全国·三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，且离心率为，过点的直线l与C的一条渐近线垂直相交于点D，则（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】设焦点为，根据题意求点的坐标和的值，进而画出图象即可解决.【详解】不妨设焦点为，其中一条渐近线为，则直线l的方程为，由解得即，因为，所以，过点作轴的垂线，垂足为，如下图：于是.故选：A.6、（2024·贵州毕节·三模）已知函数的图象在x轴上方，对，都有，若的图象关于直线对称，且，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】先由函数的图象关于直线对称，得函数的图象关于直线对称，即函数是偶函数，可得．再把代入，可得函数周期为4，求得，，即可求解．【详解】因为的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线对称，即函数是偶函数，故有．因为，都有，所以，所以，又函数的图象在x轴上方，所以，所以，即函数的周期为4．当，可得，所以，当，可得，所以，所以，所以.故选：C．二、多选题7、（2024·内蒙古·二模）已知函数的部分图像如图所示，，为的图像与轴的交点，为图像上的最高点，是边长为1的等边三角形，，则（

）A．B．直线是图像的一条对称轴C．的单调递减区间为D．的单调递增区间为【答案】BC【分析】由图可得，再利用正弦函数的图象与性质分析各个选项即可.【详解】对于A，由图可得：的最小正周期为2，所以，即，易得，所以，因为，所以，，，由五点作图法可得：，即，所以，所以，故A不正确；对于B，由于，为最大值，所以直线是图象的一条对称轴，故B正确；对于C，令，解得；，所以单调递减区间为，故C正确；对于D，令，解得；，所以的单调递增区间为，故D不正确，故选：BC，8、（2024·河北邯郸·二模）已知函数的定义域为，其导函数为，若函数的图象关于点对称，，且，则（

）A．的图像关于点对称 B．C． D．【答案】ACD【分析】根据函数的图象变换及其对称性，可得判定A正确；结合和，化简得到，可判定B不正确；令，得到，得到函数和是以4为周期的周期函数，结合，可判定C正确；结合，，，得到，结合是以4为周期的周期函数，进而求得的值，即可求解.【详解】对于A中，设函数的图象关于对称，则关于对称，可得关于对称，因为函数的图像关于点对称，可得，解得，所以函数的图象关于对称，所以A正确；对于B中，由函数的图象关于对称，可得，因为，可得，则，两式相减得，即，所以B不正确；对于C中，令，可得，因为，所以，所以函数是以4为周期的周期函数，由，可得，所以，因为函数是以4为周期的周期函数，则是以4为周期的周期函数，所以，由，可得，即，令，可得，所以，所以，所以，所以C正确；对于D中，因为，且函数关于对称，可得，又因为，令，可得，所以，再令，可得，所以，由，可得，可得又由函数是以4为周期的周期函数，且，所以，所以D正确.故选：ACD.三、填空题9、（2024·全国·三模）在中，，.若，则的面积为.【答案】【分析】结合复数模的运算，根据数量积的定义求得，利用同角三角函数基本关系求得，然后利用三角形面积公式求解即可.【详解】，，则，所以，所以.所以.故答案为：10、（2024·贵州毕节·三模）已知直线，直线，与相交于点A，则点A的轨迹方程为．【答案】【分析】设，先求出直线和恒过的定点，，由可得，即可得出答案.【详解】因为，所以直线过点，直线过点，因为，所以，设，所以，所以，所以，化简可得：.故答案为：.四、解答题11、（2024·浙江绍兴·二模）如图，在三棱锥中，，，，.

(1)证明：平面平面；(2)若，，求二面角的平面角的正切值.【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）先由解三角形知识证得，进一步由，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证；（2）解法一：一方面，过点作交于点，过点作交于点，连接，可以证明是二面角的平面角，另一方面可以通过解三角形知识即可得解；解法二：建立适当的空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，进一步由法向量夹角的余弦坐标公式，结合平方关系以及商数关系即可运算求解.【详解】（1）在中，由余弦定理得，所以，所以，又，，面，面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解法一：过点作交于点，因为平面平面，平面平面，面，所以平面，因为面，所以，过点作交于点，连接，因为，面，面，所以面，因为面，则，所以是二面角的平面角.由（1）知，平面，因为平面，所以，所以，又，所以三角形是正三角形，所以，.在直角三角形中，，所以.所以，二面角的平面角的正切值是2.

解法二：以为原点，，所在直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，设，其中，由，得，所以，，即，所以，.设平面的法向量为，则，即，取，则，，所以.又平面的法向量为，设二面角的大小为，因为为锐角，所以，所以，，所以，二面角的平面