人教版九年级下册数学教案第27章 相似

第二十七章相似

27.1图形的相似

教材分析

《图形的相似》是继“轴对称、平移、旋转”之后集中研究图形形状的内容，从实际问题引入，通过对生活中

的实例认识图形的相似，让学生理解图形相似的概念，让学生体验图形与现实世界的密切联系，体会图形相似与图

形全等等内容之间的内在联系.

本节课是学生在认识了全等形的基础上进行教学的，研究相似比研究全等更具一般性，相似图形、相似多边形

的概念是后续学习相似三角形的基础，是空间与图形领域中的重要内容.

本节课所涉及的内容来源于实际生活，为学生的数学建模能力搭建了一个平台，从中学到的不仅仅是知识、方

法，还会将生活语言转化为数学语言，提高了学生的应用意识，有着承上启下、贯穿始终的作用.

备课素材

新课导入设讦:

【情景导入】播放一些著名建筑物的图片（如图所示），让学生在音乐中欣赏，感受生活中形状相同的图形.欣

赏并找出图中哪些图形是相同的.

【说明与建议】说明：让学生留心观察生活中存在的大量形状相同的图形，增强学生的感性认识.伴着音乐

欣赏美丽的图片，提高了学生的学习兴趣，从而让学生感受到数学学习的内容都是现实的、有趣的，让学生体会到

数学就在我们身边.建议：让学生经历从现实世界中抽象出平面图形的过程，直观地感受图片中有很多相同的图形,

从而引出课题.

【置疑导入】下图中每一组图形的形状相同吗？大小相同吗？每一组图形是全等图形吗？

（1）等边三角形（2）正方形（3）矩形

【说明与建议】说明：通过图形的比较，让学生感受相似图形所具备的共同特征，同时引导学生自然地得出

相似多边形的定义.建议：在得到相似多边形定义的时候要抓住两个关键点：一是各角对应相等，二是各边对应成

比例.

【回顾导入】如图，下边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形.

问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角是否相等？对应边的比是否相等？

【说明与建议】教师可以让学生依据相似图形的概念画出后，利用量角器和直尺测量对应角、对应边，从而

引导学生得出相似多边形的概念.

◎命题热点)

命题角度1识别相似图形、判断相似多边形

1.下列图形一定相似的是(C)

A.两个平行四边形B.两个矩形

C.两个正方形D.两个等腰三角形

命题角度2利用相似多边形的性质求线段和角

2.如图，四边形ABCDs四边形EFGH,NA=80°,NC=90°,/F=70°,则NH=(D)

E

A.70°B.80°C.110°D.120°

3.已知四边形ABCD与四边形A'B'CD'相似，相似比为3：4,其中四边形ABCD的周长为18cm,则四边

形A'B'CD’的周长为%cm.

命题角度3判断四条线段是否成比例及利用成比例线段的定义求线段的长

4.下列各组线段中，线段a,b,c,d是成比例线段的是(A)

A.a—1,b=2,c=4,d=8B.a—2,b=l,c—4,d=8

C.a—1,b—2,c=8,d=4D.a—1,b=4,c=8,d=2

5.已知a,b,c,d是成比例线段，其中a=lcm,b=4cm,c=2cm,则d=(C)

A.2cmB.4cmC.8cmD.10cm

命题角度4利用比例尺求距离

6.若一张地图的比例尺是1：150000,在地图上量得甲、乙两地的距离是5cm,则甲、乙两地的实际距离是

A.3000mB.3500mC.5000mD.7500m

含数学文化拓展阅阂

《苏轼巧分田产》

相传，北宋大文学家苏轼在凤翔作官时，为官清正，秉公执法，深得百姓拥戴.一天，有兄弟四人前来告状.苏

轼坐在公案前，展开状纸一看：“小民杨大毛，家住城南寨.先父临终时，留下两顷田，只因分不均，兄弟反目.青

天大老爷，请把理来断

苏轼接过地契，心中暗暗盘算，杨家田地为工字形，如何分配，才能让四兄弟满意呢？沉思片刻，计上心来，

遂唤一名差役耳语道：”只需如此如此……”差役遵嘱叫上四兄弟当场丈量，不一会儿，只见四兄弟满面带笑地跑

过来，叩头不迭道：“多谢恩公明断！”

你知道苏轼是怎样使分开后的四块田地形状相同，面积相等的吗？

分法如下：

教学设计

课题27.1图形的相似授课人

1.理解相似图形的特征，掌握相似图形的识别方法.

2.了解成比例线段的含义，会判断四条线段是不是成比例线段.

素养目标

3.理解相似多边形的概念、性质及判定，会计算和相似多边形有关的角度和线段的长.

1.理解并掌握相似图形、相似多边形的概念及特征.

教学重点

2.探索相似多边形的性质中的“对应”关系.

教学难点能利用成比例线段的概念及相似多边形的性质进行有关计算.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

1.什么是全等形？全等形的形状和大小有什么关系？通过复习全等形

回顾2.下面两个图形是不是全等形？如何判断？的概念和判定，为

本节课相似形的

学习做铺垫.同

时，通过欣赏、识

别生活中的全等

图片，让学生体会

数学来源于生活，

激发学生学习的

兴趣，感受数学中

的美.

【课堂引入】

1.欣赏下面各组图片：

(1)在空中不同高度飞行的两架型号相同的直升机；通过对生活中形

**状相同的图形的

观察和欣赏，从实

活动一：创际模型中抽象概

设情境、导(2)大小不同的两个足球；括得出数学概念，

入新课自然地引出课题，

使学生初步感受

相似，同时进行美

(3)汽车和它的模型.

育渗透.

2.你能看出上面各组图片的共同之处吗？把你的想法说给同学听听.

探究新知：1.让学生亲自观

1.探究相似图形的定义察实际生活中的

问题：(1)全等图形的形状和大小之间有什么关系？图形，在教师提出

(2)观察上述图片，它们的形状和大小之间有什么关系？的问题的引导下，

活动二：实

(3)你能给出相似图形的定义吗？进行分析、探究，

践探究、交

(4)全等图形一定相似吗？相似图形一定全等吗？根据图形特点归

流新知

(5)你能归纳全等图形和相似图形之间的关系吗？纳出相似图形的

(6)你能举出现实生活中一些相似图形的例子吗？概念，培养学生的

师生活动：学生在教师设置的问题串下积极思考回答，教师及时点拨和引导，观察能力，激发学

最后课件展示探究结论.生的求知欲望，经

【结论】形状相同的图形叫做相似图形.历相似图形概念

全等图形是相似图形的一种特殊情况.的形成过程，体会

2.探究成比例线段的概念数学与生活息息

问题：(1)把九年级数学课本的两个邻边看作两条线段AB和CD,那么什么是这相关.

两条线段的比？2.学生在教师提

(2)如何判断四条线段是成比例线段？成比例线段的概念中应注意什么问题？出的问题的引导

师生活动：学生在教师的引导下思考回答，教师课件展示成比例线段的概念.下，层层深入地形

成比例线段：对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比(即它们长度成成比例线段的

的比)与另两条线段的比相等，如三甘(即ad=bc),我们就说这四条线段成比概念，学生经历概

bd

念的形成过程，力口

例.

深对概念的理解，

注意：①两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单

为相似多边形的

位；②线段的比是一个没有单位的正数；③成比例线段概念中的四条线段是有

概念的形成做铺

顺序的，如a,b,c,d是成比例线段与a,d,b,c是成比例线段得到的比例

垫.

式是不同的.

3.通过观察、测

3.探究相似多边形的概念和性质

量、辨析、归纳等

问题：(1)测量课前准备的两个形状相同的三角尺的各角和各边，你得到什么

数学活动，探究相

结论？

似多边形的定义

(2)测量课前准备的两个正方形的各角和各边，你有什么发现？

及性质，让学生体

(3)你能根据以上探究活动得出相似多边形的概念吗？

会由特殊到一般

(4)怎样用几何语言表示相似多边形的概念呢？

的数学思想方

(5)什么是相似比？相似比与两个相似多边形的顺序有关吗？

法.在探究过程

(6)相似多边形的对应角、对应边有什么特点？用几何语言怎样表示？

中，教师通过设置

学生在教师的引导下，边动手操作边思考、回答问题，师生共同归纳出相似多

层层深入的小问

边形的概念.

题，引导学生完成

相似多边形：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那

探究活动，降低了

么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.

学生学习新知识

的难度，让学生体

验了知识的形成

过程，提高了学生

分析问题的能

力.通过用几何语

言表示相似多边

形的定义和性质，

完成文字语言与

符号语言之间的

转化，培养学生用

符号语言表达数

学知识的能力.

【典型例题】

例(教材第25页练习第2题)如图，图形(a)〜(f)中，哪些与图形⑴或(2)

相似？通过经历对例题

色鼻的探究过程,加深

⑴(a)(b)⑹网

焉回学生对相似图形

活动三：开/处

的基本特征的理

放训练、体(2)(d)(e)(f)

解,达到巩固知识

现应用解:图形(d)和图形⑴相似,图形(e)和图形(2)相似.

的目的，培养学生

【变式训练】

分析问题、解决问

如图所示的图形中，哪些是相似图形?

©o题的能力.

①②③④⑤

o®©□1—

⑥⑦⑧⑨⑩

【课堂检测】

1.下列四组长度的线段中，是成比例线段的是(C)

通过课堂检测，进

A.4cm,5cm,6cm,7cmB.3cm,4cm,5cm,8cm

一步巩固所学的

活动四：课C.5cm,15cm,3cm,9cmD.8cm,4cm,1cm,3cm

新知，同时检测学

堂检测2.观察下面图形，指出(1)〜⑼中的图形有没有与给出的图形(a),(b),(c)

习效果，做到“堂

形状相同的？

堂清”.

O

--1

——1

(a)(b)(C)

生氐

⑴(2)(3)

金,K0Z

(4)(5)(6)

fflW

(7)(8)(9)

解：通过观察可以发现图形(4)、(8)与图形(a)形状相同；图形(6)与图形(b)

形状相同；图形(5)与图形(c)形状相同.

3.如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，求角a,B的大小和EF的长度x.

解：a=83°,B=81°,x=28.

1.课堂小结：

(1)通过本节课的学习，你有哪些收获？还有什么疑感？说给老师或同学听听.

学生在反思中整

(2)教师与同学聆听部分同学的收获，解决部分同学的疑惑.

理知识、梳理思

教学说明：梳理本节课的重要方法和知识点，加深对本节课知识的理解.让学

维,获得成功的体

课堂小结生在总结的过程中理清思路、整理经验，对本节课所学的知识结构有一个清晰

验，积累学习的经

的认识，再通过排忧解难让学生对知识形成正向迁移，从而构建出合理的知识

验,养成系统整理

体系，养成良好的学习习惯.

所学知识的习惯.

2.布置作业：

教材第27〜28页习题27.1第1,3,5,6题.

27.1图形的相似

1图形.相似1提纲挈领,重点突

板书设计

1相似产11成比，践段11棚以:姚11知竿

出.

义II♦金幸庆系||扁||比1尺||&血1而匕11例向1

1全等是相似1

1蹒殊W况|

反思教学过程和

教师表现,进一步

教学反思

提升操作流程和

自身素质.

经典导学设计

详见电子资源

27.2相似三角形

27.2.1相似三角形的判定

第1课时平行线分线段成比例

教材分析

《相似三角形的判定》是在学生认识相似图形，了解相似多边形的性质及判定的基础上进行学习的，是本章的

重点内容.本课时首先利用“如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似.”引出

两个三角形相似的定义（即三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似），然后引导学生思考类比全等三角形

的判定方法，对于相似三角形是否存在较为简便的方法.接下来教材编写者通过一个“探究”，由学生动手测量来

探究得到平行线分线段成比例的基本事实（三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等），继而将其应用于三

角形中，得到“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例这一基本事实

的推论，是进一步学习相似三角形判定的预备定理的基础.

备课素材

新课寻入设记

【置疑导入】（1）如图，一组等距离的平行线截直线AC所得到的线段相等，那么在直线A'C'上所截得的线段

有什么关系呢？

（2）碟=|,猜想/厂的值是多少.

【说明与建议】说明：让学生通过试验来体会”如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平

行线在其他直线上截得的线段也相等”的数学事实，以此来为平行线分线段成比例的基本事实做铺垫.通过生活中

的一个实例激发学生探究知识的欲望.建议：用印有等距离平行线的作业纸和刻度尺做试验：（1）画一条与这组平

行线垂直的直线L,则直线L被这组平行线截得的线段相等吗？为什么？（2）任意画一条与这组平行线相交的直线

12,量一量直线12被这组平行线截得的线段是否相等.

【类比导入】（1）如果两个三角形的形状和大小都相同，那么这两个三角形是全等三角形.

（2）如果两个多边形的边数相同，它们的角分别相等，对应边成比例，那么这两个多边形是相似多边形.

（3）类比全等三角形和相似多边形的定义，你能说出什么叫相似三角形吗？如何表示相似三角形呢？又如何判

定两个三角形相似呢？

【说明与建议】说明：通过对全等三角形的定义和判定方法的回顾，加强新旧知识的联系和延伸，类比旧知

识的学习方法、数学思想来学习新知识.建议：让学生明确可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三

角形中的对应元素：（1）对顶角一定是对应角.（2）公共角一定是对应角.（3）最大角或最小角一定是对应角.（4）对

应角所对的边一定是对应边.（5）对应边所对的角一定是对应角.（6）对应边所夹的角一定是对应角.

受命题热虚

命题角度1利用平行线分线段成比例的基本事实及推论进行计算或推理

1.如图，已知下列比例式中错误的是（D）

命题角度2多次应用平行线分线段成比例的相关结论进行计算或推理

2.如图，在AABC中，点D,E,F分别在AB,AC,BC边上，DE〃BC,EF/7AB,则下列式子一定正确的是（B）

ADDEADBFADFCADFC

A--=---R---：=---C--------F）---=：---

DBBCDBFCDBBFDBBC

命题角度3利用三角形相似的预备定理判定相似三角形

AD3AF

3.如图，在AABC中，DE〃BC,若康则奇的值为（0

AB5CB

4.如图，已知AB〃EF〃CD,AD与BC相交于点0.

Q）如果CE=3,EB=9,DF=2,求AD的长;

⑵如果BO：OE：EC=2：4：3,AB=3,求CD的长.

解:（1）AD的长是8.（2）CD的长是10.5.

教学设计

课题27.2.1第1课时平行线分线段成比例授课人

1.了解相似比的定义.

2.掌握平行线分线段成比例定理的基本事实以及利用平行线法判定三角形相似.

素养目标3.会用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题.

4.通过探索平行线分线段成比例这个基本事实的过程，进一步熟悉由特殊到一般的数学思想，能

把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，锻炼识图能力和推理论证能力.

教学重点平行线分线段成比例的基本事实及其推论的理解.

教学难点平行线分线段成比例的基本事实及其推论的灵活应用，平行线分线段成比例的基本事实的变形.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

问题1引导学生

回顾旧知得出相

似三角形的定义

及写法.问题2、

问题1：根据所学相似多边形的知识，你能给出相似三角形的定义吗？

3让学生理解全

问题2：如果相似比为1,那么这两个三角形有什么关系？

回顾等是相似的特殊

问题3：判定三角形全等，我们并不是验证六个条件，而是利用了几个简便的

情况，类比三角形

判定定理，那么判定三角形相似我们又能找到哪些简便的方法呢？

全等的判定方法

为我们探索三角

形相似的判定方

法提供方向指导.

【课堂引入】

问题：如图，一组等距离的平行线截直线a所得到的线段相等，那么在直线b通过展示问题，由

活动一：创

上所截得的线段有什么关系呢？浅入深，循序渐

设情境、导

a夕

叶进，为学习新知做

入新课

铺垫.

引导学生回答问题后，教师做如下总结：

一组等距离的平行线在直线a上所截得的线段相等，那么在直线b上所截得的

线段也相等.

以上结论是平行线等分线段的基本事实，讨论的是平行线截得线段相等的情

况，如果截得的线段不相等呢？

1.本环节的主要

【探究新知】

任务是推理得出

1.探究平行线分线段成比例的基本事实

平行线分线段成

教师提出问题，学生讨论问题：

比例的基本事实，

其中运用了先猜

想、再测量、最后

图1

论证的方法，用语

如图1,三条平行直线L,必L在直线AE上截得的线段AC,CE的长度之间存

言把平行线分线

在着什么关系呢？同样在直线BF上截得的线段BD,DF的长度之间存在着什么

段成比例的基本

关系呢？

事实进行总结，使

教师指导学生利用刻度尺先测量线段的长度，然后寻找线段AC,CE,BD,DF

结论的得出有一

之间是否存在比例关系，实际验证后可以得到如下结论：

定的层次性，也使

活动二：实由Ml八而=于而=§,可得质=而=§.

学生在认识问题、

践探究、交仿照上例分析，可得结论：由L〃1Z〃13,可得等=,=1.

AEDr0理解问题时确定

流新知

教师引导学生初步总结出平行线分线段成比例的基本事实，然后师生共同进行了一种思想方法.

推理论证.2.本环节是对平

师生共同归纳得出基本事实，教师板书基本事实.行线分线段成比

平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线例的基本事实的

段成比例.变式与延伸，这部

2.探究平行线分线段成比例基本事实的推论分内容将在以后

教师将图1中的某些直线进行平移变换，使其出现图2、图3所示的位置关系，的学习和应用中

对学生提出问题：起到重要的指导

今也一/，作用，所以在探

究、总结、应用的

过程中，一定要注

图2图3

意知识的重要性，

根据基本事实补全下列比例式:要使每一个学生

』ACBDACBDCE_DF都有深刻的理解

由图2,===;

1寸CEDFAE"BF,AEBF

/日ACBDAC_BDCE_DF与记忆.

由图3,信而=应,AE=,AE==BF,

"BF3.学生经历观察、

解答本题应关注线段之间的对应关系，列比例式时上与下的对应关系应展现

猜想、动手实践、

在同一条直线上，同时教师应利用比例的基本性质，指导学生对比例式进行变

总结归纳、实践应

形训练，进而总结出平行线分线段成比例的位置规律，如《=(，£

用等环节，在学习

—工竺知识的过程中循

一全寺.

序渐进，符合学生

教师对于图形作进一步变化：对于以上两个练习，只保留如图4所示的部分，

的认知规律和思

那么就可以得到两个三角形对应边成比例的式子，可以得到什么结论呢？

维模式.通过对相

似三角形的基本

图形的对比理解，

更能加深印象.

教师在由一般到特殊的演化过程中，将平行线分线段成比例的基本事实延伸到

三角形中，当三角形中出现平行线时，使三角形的各边之间存在比例关系.

教师指导学生总结平行线分线段成比例的基本事实的推论：平行于三角形一边

的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.

3.探究三角形相似的预备定理

教师提出问题，学生组内讨论解答，教师适时指导：

如图5,在AABC中，D为AB上任意一点，过点D作DE〃BC交AC于点E.

(l)AADE与4ABC的三个角分别相等吗？

(2)分别度量4ADE与AABC的边长，它们的边长是否对应成比例？

A

图5

⑶4ADE与4ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？

思考：当DE〃BC时，4ADE与AABC相似，可以用什么语言来概括呢？你能进

行证明吗？

总结判定三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，

所构成的三角形与原三角形相似.

思考：一条直线截三角形两边延长线所得三角形与原三角形相似吗？请对比图