现代数值计算（第3版）课件 第4、5章 多项式插值与样条插值、函数逼近

第四章AdvancedNumericalComputing多项式插值与样条插值现代数值计算同济大学数学科学学院目录/Contents第四章多项式插值与样条插值第一节多项式插值第二节拉格朗日（Lagange）插值第三节牛顿（Newton）插值第四节埃尔米特（Hermite）插值第五节三次样条插值前言本章和下一章论述的主题：函数表达的问题第一个问题，假定已有一个函数的数值表(表1).提问：是否能找到一个简单而便于计算的公式，利用它可以精确地重新算得这些给定点。------插值问题表1:

......第二个问题，设给定一个函数

，

的表达式非常复杂，计算

的值很不经济。在这种情况下，就要寻找另一个函数

，它既易于求值且又是对

的一个合理的逼近。——连续函数的逼近问题前言第三个问题，假定表中给出的数值带有误差。比如当这些值来自于物理实验时，就可能出现这种情况。现在要寻找一个公式，使得它可以近似地表示这些数据。

——离散函数的逼近问题前言4.1多项式插值4.1.1多项式插值问题的定义【定义4.1】设函数

在区间

上有定义，且已知它在

个互异的点

的函数值

若存在一个次数不超

次的多项式

(其中

为实数)满足条件：则称

为函数

的

次插值多项式按上述条件求函数

的近似表达式

的方法称为插值多项式插值法，称该条件为插值多项式插值条件, 为插值多项式插值节点，包含插值节点的区间

为插值多项式插值区间几个常用术语:插值法------按插值条件求函数

的近似表达式

的方法插值条件------条件(2.1)插值节点------插值区间------包含插值节点的区间

4.1多项式插值4.1.1多项式插值问题的定义多项式插值的几何意义：4.1多项式插值4.1.1多项式插值问题的定义4.1多项式插值4.1.1多项式插值问题的定义多项式插值的几何意义：4.1多项式插值4.1.1多项式插值问题的定义多项式插值的几何意义：证：设

次多项式

是函数

在

上的

个互异的节点

的插值多项式，则求

的问题就

可归结为求它的系数

为未知元的

阶线性方程组：其系数行列式是范德蒙德（Vandermonde)行列式：【定理4.1】

次插值多项式存在且唯一（4.1）4.1多项式插值4.1.2插值多项式的存在唯一性因为

互不相同，所以式（4.2）不为零，根据解线性方程组的克莱姆(Cramer)法则，方程组的解

存在且唯一，从而

被唯一确定，这就证得了

次代数插值问题的解是存在且唯一的。（4.2）4.1多项式插值4.1.2插值多项式的存在唯一性基函数法：由线性空间的基出发，构造满足插值条件的多项式方法。用基函数法求插值多项式分两步：(1)定义

个线性无关的特殊代数多项式（插值基函数）

用

表示;(2)利用插值条件，确定插值基函数的线性组合表示的

次插值多项式：的系数 .（4.3）4.1多项式插值4.1.3基函数法目录/Contents第四章多项式插值与样条插值第一节多项式插值第二节拉格朗日（Lagange）插值第三节牛顿（Newton）插值第四节埃尔米特（Hermite）插值第五节三次样条插值【定义4.2】4.2拉格朗日（Lagrange）插值4.2.1拉格朗日(Lagrange)插值基函数若存在一个次数为

的多项式

，在

个节点上

的值为0，在节点

上其值为1,即

满足条件（4.4）则称

为节点

上的拉格朗日插值基函数。

为某固定的整数。很容易找到

：其中

为待定系数。由条件

可定

，于是（4.5）4.2拉格朗日（Lagrange）插值4.2.1拉格朗日(Lagrange)插值基函数当

时，拉格朗日插值多项式(4.6)为记所要求的多项式为

：即用

近似代替

称为线性插值，公式(4.7)称为线性插值多项式或一次插值多项式4.2拉格朗日（Lagrange）插值4.2.2拉格朗日插值多项式（4.6）（4.7）当

时，拉格朗日插值多项式(4.6)为即用

近似代替

称为二次线性插值或抛物线插值，公式(4.8)称为二次插值多项式（4.8）4.2拉格朗日（Lagrange）插值4.2.2拉格朗日插值多项式解：插值节点选取原则：尽量选取与插值点距离较近的点

线性插值选取节点 ,用线性插值公式得【例4.1】已知函数

的函数如表所示试分别用线性插值和抛物线插值求

的近似值4.2拉格朗日（Lagrange）插值4.2.2拉格朗日插值多项式10111213142.30262.39792.48492.56492.6391将

代入，即得4.2拉格朗日（Lagrange）插值4.2.2拉格朗日插值多项式【例4.1】已知函数

的函数如表所示试分别用线性插值和抛物线插值求

的近似值10111213142.30262.39792.48492.56492.6391解：抛物线插值时选取节点所得

的近似值为查对数表得：4.2拉格朗日（Lagrange）插值4.2.2拉格朗日插值多项式【例4.1】已知函数

的函数如表所示试分别用线性插值和抛物线插值求

的近似值10111213142.30262.39792.48492.56492.6391拉格朗日插值法的【MatLab实现】functionyh=lagrange(x,y,xh)n

=length(x);m

=length(xh);yh=zeros(1,m);c1=ones(n-1,1);c2=ones(1,m);

fori=1:n

xp=x([1:i-1i+1:n]);

yh=yh+y(i)*prod((c1*xh-xp'*c2)./(x(i)-xp'*c2));end4.2拉格朗日（Lagrange）插值4.2.2拉格朗日插值多项式用上述程序求解问题，调用如下：线性插值：>>x=[1112];>>y=[2.39792.4849];>>xh=[11.75];>>yh=lagrange(x,y,xh)4.2拉格朗日（Lagrange）插值4.2.2拉格朗日插值多项式抛物线插值：>>x=[111213];>>y=[2.39792.48492.5649];>>xh=[11.75];>>yh=lagrange(x,y,xh)4.2拉格朗日（Lagrange）插值4.2.2拉格朗日插值多项式两个问题：1.怎样估计用

近似代替

时所产生的误差？2.是不是插值多项式的次数越高，其计算结果就越精确？4.2拉格朗日（Lagrange）插值4.2.2拉格朗日插值多项式记插值余项为

，

的性质：在节点

上有：其中，

为待定系数，可设

为4.2拉格朗日（Lagrange）插值4.2.3插值余项

的确定方法引进辅助函数

，视

为

上的一个固定点

在

上有

个零点：

4.2拉格朗日（Lagrange）插值4.2.3插值余项反复运用Rolle定理,得有

个互异零点(Rolle定理)有

个互异零点(Rolle定理)有

个零点，设为

，即对

求

阶导数，并令

，有:其中

且依赖于

.

本身是

次多项式，余项为0；

越小，余项越小；4.2拉格朗日（Lagrange）插值4.2.3插值余项设

在含节点

的区间

上

次可微，

是

关于给定的

个节点的

次插值多项式，则对于

，存在与

有关的

,使式：成立。【定理4.2】4.2拉格朗日（Lagrange）插值4.2.3插值余项注1：

不能精确计算！其中注2：当节点个数大于插值多项式的次数加1时，应当选取靠近插值点的节点，使得

最小4.2拉格朗日（Lagrange）插值4.2.3插值余项【例4.2】估计上例中用线性插值和抛物线插值计算

的误差解：

由介于11与12之间所以于是4.2拉格朗日（Lagrange）插值4.2.3插值余项由可见，

比

的误差小。4.2拉格朗日（Lagrange）插值4.2.3插值余项问题：是否插值多项式的次数越高，插值多项式近似原来的函数精度越高？4.2拉格朗日（Lagrange）插值4.2.3插值余项目录/Contents第四章多项式插值与样条插值第一节多项式插值第二节拉格朗日（Lagange）插值第三节牛顿（Newton）插值第四节埃尔米特（Hermite）插值第五节三次样条插值若将插值基函数取为用它们组合成如下形式的

次多项式例如等等，其中

为待定系数4.3牛顿（Newton）插值4.3.1差商确定参数

令可以求得，等等为使

成为

的插值多项式，需要按插值条件4.3牛顿（Newton）插值4.3.1差商【定义4.3】设

在互异的节点

上的函数值为称

为

关于

的一阶差商称为

关于

的二阶差商（一阶差商的差商）一般地，称为

关于

的

阶差商( 阶差商的差商)4.3牛顿（Newton）插值4.3.1差商差商的性质：(1)差商可以表示为函数值的线性组合：(2)差商关于所含节点是对称的.例如：在

阶差商

中，任意调换节点

与

的次序，其值不变，即：(3)设

在含有

的区间

上具有

阶导数

则在这一区间上至少有一点

，使：4.3牛顿（Newton）插值4.3.1差商差商可以列表计算，以n=4为例，差商表如表所示：4.3牛顿（Newton）插值4.3.1差商节点

函数值

一阶差商

二阶差商

三阶差商

四阶差商MatLab计算差商的自定义函数：function[p,q]=chashang(x,y)n=length(x);p(:,1)=x;p(:,2)=y;forj=3:n+1p(1:n+2-j,j)=diff(p(1:n+3-j,j-1))./(x(j-1:n)-x(1:n+2-j));endq=p(1,2:n+1)';4.3牛顿（Newton）插值4.3.1差商二维数组

保存差商表，其中，

是函数表中节点的个数数组

的第1列为节点值

；

第2列为函数值

；

第

列( )为

阶差商一维数组

为上述差商表中带下划线的差商(规定

，

为处的零阶差商)4.3牛顿（Newton）插值4.3.1差商次牛顿插值多项式

中的系数

分别为于是数据

上的

次牛顿插值多项式4.3牛顿（Newton）插值4.3.2牛顿插值公式及其余项牛顿插值余项设 .视

为一个节点.设

是数据

上的

次牛顿插值多项式

是数据

上的

次牛顿插值多项式.

次多项式

与

次多项式

有关系4.3牛顿（Newton）插值4.3.2牛顿插值公式及其余项由于

是数据

上的

次牛顿插值多项式，则在点

处，一定满足插值条件自变量

用

来代替，得即

4.3牛顿（Newton）插值4.3.2牛顿插值公式及其余项(3)若

在

上的

阶导数存在，则，

余项

且依赖于 .(1)牛顿插值多项式的余项(4)差商与导数有如下关系：(2)根据插值多项式的唯一性，对于同一组数据

上的

次插值多项式

和

，应有

4.3牛顿（Newton）插值4.3.2牛顿插值公式及其余项用牛顿线性插值和抛物线插值计算

。已知函数

的函数表如表所示。解：由于11.75位于11与12之间，可以取节点

作线性插值，取节点

作二次插值，由给定数据作差商表。【例4.3】4.3牛顿（Newton）插值4.3.2牛顿插值公式及其余项10111213142.30262.39792.48492.56492.6391表4：4.3牛顿（Newton）插值4.3.2牛顿插值公式及其余项一阶差商二阶差商0112.39790.08701122.4849-0.00350.08002132.5649表5：线性插值计算二次插值计算4.3牛顿（Newton）插值4.3.2牛顿插值公式及其余项本节目的：牛顿插值公式可以应用于非等距节点的情形.实际应用时，常采用等距节点利用差分可以简化牛顿插值公式，导出计算上更为有效的等距节点的插值公式。4.3牛顿（Newton）插值4.3.2差分与等距节点的插值公式【定义4.4】设已知函数

在等距节点

上的函数值为

式中

，称为步长称

为函数

在点

处步长为

的一阶向前差分称

为函数

在点

处的二阶向前差分一般地，设

n-1

阶差分已定义，则称

为函数

在点

处的n阶向前差分。并规定

为

在点

处的零阶差分。4.3牛顿（Newton）插值4.3.2差分与等距节点的插值公式导出差分与差商的关系

例如，K阶差商与K阶差分之间有关系利用差分与差商的关系式，在牛顿插值公式

中，将差商替换为差分，并令

，可得上述插值公式称为牛顿向前插值公式4.3牛顿（Newton）插值4.3.2差分与等距节点的插值公式目录/Contents第四章多项式插值与样条插值第一节多项式插值第二节拉格朗日（Lagange）插值第三节牛顿（Newton）插值第四节埃尔米特（Hermite）插值第五节三次样条插值4.4埃尔米特(Hermite)插值前面介绍的代数插值的特点：埃尔米特插值问题：只要求插值多项式

在节点上与被插值

相等要求插值多项式

在节点上与被插值

相等同时要求在某些节点或全部节点上与

的导数值也相等，甚至要求高阶导数值也相等【定义4.5】4.4.1两点三次埃尔米特插值设已知函数

在插值区间

上

个互异的节点

处的函数值

及一阶导数值

，若存在函数

满足条件：（1）

是一个次数不超过

次的多项式；（2）

，则称

为埃尔米特插值多项式4.4埃尔米特(Hermite)插值设已知函数

在插值区间

上

个互异的节点

处的函数值

及一阶导数值

，若存在函数

满足条件：（1）

是一个次数不超过

次的多项式；（2）

，则称

为埃尔米特插值多项式。4.4.1两点三次埃尔米特插值4.4埃尔米特(Hermite)插值两点三次埃尔米特插值几何意义：不仅要求代数曲线

与函数曲线

在

个互异的点

处完全重合，而且还有公切线。4.4.1两点三次埃尔米特插值4.4埃尔米特(Hermite)插值下面讨论两点三次埃尔米特插值的求解问题已知函数

在节点

上的函数值以及一阶导数值如下表:求一个三次埃尔米特插值多项式

，使满足4.4.1两点三次埃尔米特插值4.4埃尔米特(Hermite)插值表6:采用基函数的方法来求解该问题:记其中4.4.1两点三次埃尔米特插值4.4埃尔米特(Hermite)插值1000表7:采用基函数的方法来求解该问题:记其中4.4.1两点三次埃尔米特插值4.4埃尔米特(Hermite)插值0100采用基函数的方法来求解该问题:记其中4.4.1两点三次埃尔米特插值4.4埃尔米特(Hermite)插值0010采用基函数的方法来求解该问题:记其中4.4.1两点三次埃尔米特插值4.4埃尔米特(Hermite)插值0001显然

是

的二重零点，

含有因子

，

.方便起见，令4.4.1两点三次埃尔米特插值4.4埃尔米特(Hermite)插值1000表8:是

的二重零点，

是

的一重零点，所以，令

，有

4.4.1两点三次埃尔米特插值4.4埃尔米特(Hermite)插值0010表9:同理两个节点的三次埃尔米特插值多项式4.4.1两点三次埃尔米特插值4.4埃尔米特(Hermite)插值解：用插值法如待定系数法解决：

设

满足

，则

为求得

，根据插值条件知，

应具有形式：

这样

自然满足

.【例4.4】求一个次数不高于3的多项式

满足下列插值条件:4.4.1两点三次埃尔米特插值4.4埃尔米特(Hermite)插值123241234.4.1两点三次埃尔米特插值4.4埃尔米特(Hermite)插值为确定系数K，利用条件，得

.于是我们有【例4.5】求一个次数不高于4的多项式

满足下列插值条件:解：用插值法如待定系数法解决：01201101这样

自然满足

的插值条件,利用两个导数条件确定系数A和B.由解得

，于是我们有设

满足

，则为求得

，根据插值条件知，

应具有形式：4.4.1两点三次埃尔米特插值4.4埃尔米特(Hermite)插值证：固定

令其中

满足

.则

有五个零点

，反复运用Rolle定理，可得存在

，使得

，有设

在

上4阶连续可导，则对于任意的

，都存在

，4.4.2插值多项式

的余项4.4埃尔米特(Hermite)插值【定理4.6】

次埃尔米特插值多项式

的表达式为：其中

为节点

上的拉格朗日基函数。余项

的表达式：其中，

，且

与

有关。4.4.3 个点

次埃尔米特插值多项式

及其余项4.4埃尔米特(Hermite)插值目录/Contents第四章多项式插值与样条插值第一节多项式插值第二节拉格朗日（Lagange）插值第三节牛顿（Newton）插值第四节埃尔米特（Hermite）插值第五节三次样条插值4.5.1样条插值概念的产生4.5三次样条插值现在来回答问题：是否插值多项式的次数越高，精度越好？对龙格（Runge）函数

，取等距的插值节点做拉格朗日插值多项式当

，观察

与

之间的差别，运行Rung.mx=[-5:1:5];

y=1./(1+x.^2);

xh=[-5:0.25:5];

yh=lagrange(x,y,xh);

x1=[-5:0.25:5];

y1=interp1(x,y,x1);

x=x1;

y=1./(1+x.^2);

plot(xh,yh,'r--',x1,y1,'go',x,y)观察

与

之间的差别的程序：4.5.1样条插值概念的产生4.5三次样条插值运行程序后，所得图形见下图4.5.1样条插值概念的产生4.5三次样条插值Figure1:龙格函数10阶拉格朗日插值多项式（虚线）、龙格函数的分段线性多项式（ooo）与龙格函数（实线）还可以证明：在节点等距的条件下，当

时，插值多项式

只在

内收敛，除此范围以外，有

由图看出：在接近区间两端点附近，

与

的偏离很大。龙格现象：插值多项式不收敛现象龙格现象说明并非插值多项式的次数越高，其精度就越高。4.5.1样条插值概念的产生4.5三次样条插值分段低次插值基本思想：用分段多项式来代替单个多项式作插值。具体作法：插值时，先把整个区间分成若干个小区间；然后在每个小区间上分别作低次插值多项式，例如可用线性插值、抛物线插值、3次插值；再将每个小区间上的插值函数拼接在一起作为整个插值区间上的插值函数。4.5.1样条插值概念的产生4.5三次样条插值注：(1)分段低次插值的优点：公式简单、运算量节省、稳定性好、收敛性有保证(2)分段低次插值的缺点：节点处的导数值不连续样条插值函数可以克服分段低次插值的缺点4.5.1样条插值概念的产生4.5三次样条插值【定理4.6】若函数

表示区间

上具有二阶连续导数的函数的全体)，且在每个小区间

上是三次多项式，其中

是给定节点，

则称

是节点

上的三次样条函数若在节点

上给定函数值

，并使则称

为

在

上的三次样条插值函数4.5.2三次样条函数4.5三次样条插值问题的适定性：待定参数的个数与已知的条件个数是否相等？待定参数的个数：4n由定义知，

是

上的分段三次插值多项式，即如何求

的三次样条插值函数

，使满足

，我们首先考虑：其中

应是子区间

上的两点三次插值多项式，故在每个子区间上待定参数的个数为4.4.5.2三次样条函数4.5三次样条插值已知的条件个数：插值条件：三次样条函数

内节点上条件：

由

，故有其中，

表示导数阶数，即在

个内节点上有

个条件。4.5.2三次样条函数4.5三次样条插值通常使用的边界条件有以下三类：第一类边界条件是为给定值。第二类边界条件是为给定值。当

时，样条函数在两端点不受力，呈自然状态，故称之为自然边界条件。问题不适定：待定参数的个数

大于已知的条件个数

解决的办法：补充边界条件4.5.2三次样条函数4.5三次样条插值第三类边界条件是周期性条件。设

是周期函数，不妨设以

为一个周期，这时

也应是以

为周期的周期函数，于是

在端点处满足条件4.5.2三次样条函数4.5三次样条插值求解三次样条插值函数方法：三转角方法和三弯矩方法。三转角方法：从样条函数的一阶导数出发而得到三次样条插值函数的方法——参考本书第5章基于样条的求导方法三弯矩方法：从样条函数的二阶导数出发而得到三次样条插值函数的方法——本节给出4.5.2三次样条函数4.5三次样条插值设积分两次，利用

，

确定

和

，可得4.5.3三弯矩方法4.5三次样条插值因此4.5.3三弯矩方法4.5三次样条插值其中4.5.3三弯矩方法4.5三次样条插值第一类边界条件:利用

和

可得4.5.3三弯矩方法4.5三次样条插值

第二类边界条件:时,称为自然边界条件。4.5.3三弯矩方法4.5三次样条插值

第三类边界条件:其中4.5.3三弯矩方法4.5三次样条插值综上：对于给定的函数表

满足第一（或第二、第三）种边界条件的三次样条插值函数

是存在且唯一的4.5.3三弯矩方法4.5三次样条插值其计算过程可归纳如下：（1）根据给定的数据

及相应的边界条件建

立方程组(6.2)或(6.3)(6.4)。（2）解上述线性方程组，求出

。（3）把求出的

代入

的表达式(6.2)，即得

在

每一个小区间

上的分段表达式。（4）整个区间

上的三次样条插值函数可表示为4.5.3三弯矩方法4.5三次样条插值解：利用三弯矩方程组(6.2)进行求解4.5.3三弯矩方法4.5三次样条插值【例4.6】设

为定义在区间

上的函数，剖分节点为并给出

和试求区间

上满足上述条件的三次样条插值函数

。易知解：于是三弯矩方程组为4.5.3三弯矩方法4.5三次样条插值【例4.6】设

为定义在区间

上的函数，剖分节点为并给出

和试求区间

上满足上述条件的三次样条插值函数

。解：得

，

代入

表达式经简化得到4.5.3三弯矩方法4.5三次样条插值【例4.6】设

为定义在区间

上的函数，剖分节点为并给出

和试求区间

上满足上述条件的三次样条插值函数

。用MatLab做此题，程序为：x=[0123];

y=[0.200.52.01.5-1];

pp=csape(x,y,'complete')

%注：secondorperiodic

[breaks,coefs,npolys,ncoefs,dim]=unmkpp(pp)

%注：节点系数矩阵多项式个数

系数个数样条维数

ppval(pp,0:3)

%注：求值4.5.3三弯矩方法4.5三次样条插值运行结果如下：

pp=

form:ˊppˊ

breaks:[0123]

coefs:[3x4double]

pieces:3

order:4

dim:14.5.3三弯矩方法4.5三次样条插值

breaks=

0

1

2

3

coefs=

0.4800

-0.1800

0.2000

0

-1.0400

1.2600

1.2800

0.5000

0.6800

-1.8600

0.6800

2.0000

npolys=

3

ncoefs=

4

dim=

1注：

中第

行的元素是形如中的系数

4.5.3三弯矩方法4.5三次样条插值【例4.7】已知函数表：解：这是第二种边界条件下的插值问题，故确

的方程组

形如式(6.3)在区间

上求满足上述函数表所给出的插值条件的三次自然样条插值函数。由自然边界条件，有

4.5.3三弯矩方法4.5三次样条插值12451342则得求解

的方程组为为确定方程组的右端项先作差商表4.5.3三弯矩方法4.5三次样条插值表10：

得再由得所以，4.5.3三弯矩方法4.5三次样条插值代入方程组（6.3）得解得4.5.3三弯矩方法4.5三次样条插值代入式,经整理得在区间上的表达式为4.5.3三弯矩方法4.5三次样条插值（6.5）用MatLab做此题，程序为：

x=[1245];

y=[013420];

pp=csape(x,y,‘second’)

[breaks,coefs,npolys,ncoefs,dim]=unmkpp(pp)4.5.3三弯矩方法4.5三次样条插值

pp=

form:ˊppˊ

breaks:[1245]

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npolys=

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ncoefs=

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1AdvancedNumericalComputing现代数值计算同济大学数学科学学院学海无涯，祝你成功！第五章AdvancedNumericalComputing函数逼近现代数值计算同济大学数学科学学院目录/Contents第五章函数逼近第一节内积与正交多项式第二节最佳一致逼近与切比雪夫展开第三节最佳平方逼近第四节曲线拟合的最小二乘法第五节周期函数逼近与快速傅里叶变换前言本章来回答第3章提出的第2个问题和第3个问题----函数的逼近问题函数逼近问题分类：一致逼近和平方逼近一致逼近度量标准：以函数

和

的最大误差

作为度量逼近函数

和被逼近函数

的逼近程度。若存在一个函数序列

，满足

，则意味着序列

在区间

上一致收敛到

。序列

对

的逼近称为一致逼近。平方逼近度量标准：用积分

作为度量逼近

函数

与被逼近函数

的近似程度。前言若存在一个函数序列，满足

，则意味着序列

在区间

上平方收敛到

。序列

对

的逼近称为平方逼近。逼近小结若存在一个函数序列

，满足

，则称

是函数

的逼近；由范数的不同决定不同的逼近。下面考虑：“最佳”一致逼近函数和“最佳”平方逼近函数“最佳”的意思？——本章来回答！前言5.1内积与正交多项式5.1.1权函数和内积权函数值

的意义——点

在

上所占据的重要性。常见的权函数及其区间【定义5.1】设

为有限或无限区间，

满足:

在

上非负;

对于

都存在;对于任何

，

若

，则称

为

上的权函数。【定义5.2】设

，

为

上的权函数，定义内积的基本性质：(1) ;(2) ;(3) ，并且当且仅当

时，

。为函数

与

的内积。注：该定义是

空间中两个向量

与

的数量积

定义的推广5.1内积与正交多项式5.1.1权函数和内积（2.1）【定义5.3】设

，

为

上的权函数，若内积【定义5.4】设函数系

是

上的连续函数，

若满足条件：5.1内积与正交多项式5.1.2正交函数系的概念则称函数系

是

上带权

的正交函数系。则称

，

在

上带权

正交。解：实际上

，而【例5.1】三角函数系

在

上是正交函数系 (权

)。5.1内积与正交多项式5.1.2正交函数系的概念5.1内积与正交多项式5.1.2正交函数系的概念（2.2）【定义5.5】设

是首项系数

的

次多项式，如果多项式序列

满足则称多项式序列

为在

上带权

的

次正交多项式。勒让德多项式是区间

上权函数

的正交多项式：

的首项

的系数为

，记则

是首项

系数为1的勒让德多项式。勒让德多项式的性质：(1)正交性5.1内积与正交多项式5.1.3勒让德多项式(2)递推公式其中，

，易知(3)奇偶性5.1内积与正交多项式5.1.3勒让德多项式下图给出了的图形。5.1内积与正交多项式5.1.3勒让德多项式Figure1：的图形切比雪夫多项式为在区间

上权函数

的正交多项式：

的主要性质：（1）正交性（2）递推公式其中 .5.1内积与正交多项式5.1.4切比雪夫多项式容易推出到如下：5.1内积与正交多项式5.1.4切比雪夫多项式下图给出了的图形。5.1内积与正交多项式5.1.4切比雪夫多项式（3）奇偶性（4）

在

内的

个零点为5.1内积与正交多项式5.1.4切比雪夫多项式（5）

的最高次幂

的系数为 .在上有个极值点

.（1）拉盖尔（Laguerre）多项式拉盖尔多项式的表达式为下式,它是区间

上权函数为

的正交多项式递推公式：其中，正交性：5.1内积与正交多项式5.1.5其他正交多项式（2）埃尔米特（Hermite）多项式埃尔米特多项式的表达式为下式，它是区间上权函数为

的正交多项式：递推公式：其中，

正交性：5.1内积与正交多项式5.1.5其他正交多项式5.1内积与正交多项式5.1.5其他正交多项式5.1内积与正交多项式5.1.5其他正交多项式目录/Contents第五章函数逼近第一节内积与正交多项式第二节最佳一致逼近与切比雪夫展开第三节最佳平方逼近第四节曲线拟合的最小二乘法第五节周期函数逼近与快速傅里叶变换5.2最佳一致逼近与切比雪夫展开5.2.1最佳一致逼近【定理5.1】（Weierstrass定理）设

，那么对于任意给定的

，都存在这样的多项式

，使得【定义5.6】设

，对任意

，若存在多项式

，使不等式成立，则称多项式

在

上一致逼近于

。对于

上的连续函数

，是否存在多项式

一致逼近

呢？在实际计算中，人们感兴趣下面两类问题:问题2：若给定逼近精度，求次数较低的逼近多项式。问题1：若多项式次数

固定，求一个多项式

，使

最小——最佳一致逼近多项式5.2最佳一致逼近与切比雪夫展开5.2.1最佳一致逼近记

={次数不超过n的多项式全体}，

设

，

，记称为

与

的偏差。若

，使则称

是

关于

的偏差点。5.2最佳一致逼近与切比雪夫展开5.2.1最佳一致逼近若

，则称

为正偏差点，若

，则称

为负偏差点。【定义5.7】【定义5.7】设

，若存在

，使【定理5.2】若

，则存在唯一的

，使得注：最佳逼近多项式存在且唯一。5.2最佳一致逼近与切比雪夫展开5.2.1最佳一致逼近则称

为

在

上的最佳一致逼近多项式，简称最佳逼近多项式。【定理5.3】（切比雪夫定理）点

称为切比雪夫交错点组5.2最佳一致逼近与切比雪夫展开5.2.1最佳一致逼近

是

的最佳逼近多项式的充分必要条件是：在

上至少有

个轮流为正负的偏差点，即至少有

个点

，使得5.2最佳一致逼近与切比雪夫展开5.2.2线性最佳逼近多项式

的求法问题：求解分两步：设

在

上有二阶导数，且

在

上不变号，求

的线性最佳一致逼近多项式

。（1）确定

对

的3个偏差点的位置

在

上只有一个根

在

上单调

且为

对

的第2个偏差点

对

另两个偏差点只能在

的端点，故有（2）利用偏差点的性质确定系数

由

得其中

由

得到。5.2最佳一致逼近与切比雪夫展开5.2.2线性最佳逼近多项式

的求法

在

上的最佳一次逼近多项式

的几何意义:5.2最佳一致逼近与切比雪夫展开5.2.2线性最佳逼近多项式

的求法5.2最佳一致逼近与切比雪夫展开5.2.2线性最佳逼近多项式

的求法

在

上的最佳一次逼近多项式

的几何意义:5.2最佳一致逼近与切比雪夫展开5.2.2线性最佳逼近多项式

的求法

在

上的最佳一次逼近多项式

的几何意义:5.2最佳一致逼近与切比雪夫展开5.2.2线性最佳逼近多项式

的求法

在

上的最佳一次逼近多项式

的几何意义:5.2最佳一致逼近与切比雪夫展开5.2.2线性最佳逼近多项式

的求法

在

上的最佳一次逼近多项式

的几何意义:5.2最佳一致逼近与切比雪夫展开5.2.2线性最佳逼近多项式

的求法

在

上的最佳一次逼近多项式

的几何意义:【例5.2】设

，在

上求

的最佳一次逼近多项式

解：5.2最佳一致逼近与切比雪夫展开5.2.2线性最佳逼近多项式

的求法

是最高项系数为1的

次多项式。多项式

的性质如下：证：由于，当时，有表明与有个轮流为正负的偏差点。5.2最佳一致逼近与切比雪夫展开5.2.3切比雪夫展开与近似最佳逼近多项式【定理5.4】所有最高项系数为1的

次多项式中，在区间

上与零偏差最小的多项式是。根据切比雪夫定理，

是

的最佳逼近多项式，即即是

上与零偏差最小的多项式。5.2最佳一致逼近与切比雪夫展开5.2.3切比雪夫展开与近似最佳逼近多项式【例5.3】设

，在

上求

在

中的最佳逼近多项式.解：知所求最佳逼近多项式为

由切比雪夫定理：若误差

，则

是区间

上多项式

的最佳一致逼近多项式一般地，若在

上

，那么

可作为

在

中的近似最佳逼近多项式。5.2最佳一致逼近与切比雪夫展开5.2.3切比雪夫展开与近似最佳逼近多项式这样构造的插值多项式

，可作为最佳逼近多项式的近似。5.2最佳一致逼近与切比雪夫展开5.2.3切比雪夫展开与近似最佳逼近多项式例如：设

的拉格朗日插值多项式为

，其余项可表示为若取这时插值节点为的

个零点其中5.2最佳一致逼近与切比雪夫展开5.2.3切比雪夫展开与近似最佳逼近多项式求

近似最佳逼近多项式的方法：将

直接按

展开并用它的

部分和

逼近

次多项式

的表达式为可以证明如果

，则

，5.2最佳一致逼近与切比雪夫展开5.2.3切比雪夫展开与近似最佳逼近多项式故

是

在

上近似最佳逼近多项式。由此可得到【例5.4】设

，在

上按切比雪夫多项式

展开，并计算到

.解：5.2最佳一致逼近与切比雪夫展开5.2.3切比雪夫展开与近似最佳逼近多项式用数值积分计算得表1：这与

的最佳一致逼近多项式

的误差相差很小5.2最佳一致逼近与切比雪夫展开5.2.3切比雪夫展开与近似最佳逼近多项式而计算

通常是相当困难的。目录/Contents第五章函数逼近第一节内积与正交多项式第二节最佳一致逼近与切比雪夫展开第三节最佳平方逼近第四节曲线拟合的最小二乘法第五节周期函数逼近与快速傅里叶变换

设

是

上的线性无关的连续函数,是任意实数,则

并称集合

是由

所生成的线性空间，

是生

成空间

的一个\基底。线性空间

和基底：5.3最佳平方逼近5.3.1预备知识

在

上线性无关的充分必要条件:这里

表示内积.5.3最佳平方逼近5.3.1预备知识设

，则

在

上线性无关的充分必要条件是

，其中【定义5.8】设

，如果存在，使则称

是

在集合

中的最佳平方逼近函数.若

，则满足上述定义的

是

的

次最佳平方逼近多项式.最佳平方逼近函数是否存在呢？5.3最佳平方逼近5.3.2最佳平方逼近此定理的证明分成两部分:：第一部分利用已知的条件借助多元函数求极值，构造出唯一的函数

第二部分证明

即是

在

中的最佳平方逼近函数。设

，则

在

中存在唯一的最佳平方逼近函数 .5.3最佳平方逼近5.3.2最佳平方逼近【定理5.5】证：令

，则称为法方程。因为

，此方程组有唯一解 .这样得到的解

满足5.3最佳平方逼近5.3.2最佳平方逼近这样得到的解

满足5.3最佳平方逼近5.3.2最佳平方逼近一个特例：若在

上取

则在

上的最佳平方逼近多项式为则5.3最佳平方逼近5.3.2最佳平方逼近我们记其中

，

为希尔伯特（Hilbert）矩阵。解为

，由此得最佳平方逼近多项式 .若记

，法方程为5.3最佳平方逼近5.3.2最佳平方逼近【例5.5】设

，求

上的一次最佳平方逼近多项式

法方程为5.3最佳平方逼近5.3.2最佳平方逼近解：注：在

时, 是病态矩阵——直接解法方程的误差很大对

的情形，可用正交多项式作

的基的方法来求解最佳平方逼近多项式。5.3最佳平方逼近5.3.2最佳平方逼近若

是正交函数系,则当

时，

，而

，于是法方程的系数矩阵

为非奇异对角阵设

，方程的解为

在

中的最佳平方逼近函数为5.3最佳平方逼近5.3.2最佳平方逼近称上式为

的广义傅里叶（Fourier）展开，相应系数

称为

的广义傅里叶系数。【例5.6】用勒让德正交多项式求

在

上的最佳平方逼近多项式（取

）.解：先计算5.3最佳平方逼近5.3.2最佳平方逼近易得最后得若区间不是

，而是

可以通过变量置换

将它转化为区间

上5.3最佳平方逼近5.3.2最佳平方逼近【例5.7】求函数

在

上的一次最佳平方逼近多项式.知解：作变换

，则求

在区间

上的一次最佳平方逼近多项式 .5.3最佳平方逼近5.3.2最佳平方逼近把

代入

就得到

在

上的一次最佳平方逼近多项式为5.3最佳平方逼近5.3.2最佳平方逼近目录/Contents第五章函数逼近第一节内积与正交多项式第二节最佳一致逼近与切比雪夫展开第三节最佳平方逼近第四节曲线拟合的最小二乘法第五节周期函数逼近与快速傅里叶变换5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.1最小二乘法对函数表给出其函数关系通常有下列两个方法：方法一，使用多项式插值；方法二，三次样条插值。使用多项式插值会带来两个问题:问题之一，当所给的数值点较多时，多项式次数要高，会出现数值震荡，即所谓的Runge现象；问题之二，由于数值本身带有误差，使用插值条件来确定函数关系不合理。5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.1最小二乘法注：三次样条插值克服了多项式插值的第一个缺点，但求三次样条插值带来了大的计算量。曲线拟合的最小二乘方法可以克服数值震荡，同时不引起大的计算量什么是曲线拟合的最小二乘方法呢？对函数表在函数空间

中求

，使就是曲线拟合的最小二乘问题，其中

是点

处的权。这个问题的实质是

为离散情形的最佳平方逼近问题5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.1最小二乘法曲线拟合的最小二乘方法的几何意义：5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.1最小二乘法5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.1最小二乘法曲线拟合的最小二乘方法的几何意义：5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.1最小二乘法曲线拟合的最小二乘方法的几何意义：(1)求

的问题等价于求多元函数(2)由取极值的必要条件得法方程其中5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.1最小二乘法曲线拟合的最小二乘方法的几何意义：由于

线性无关，法方程系数矩阵非奇异，于是由法方程得唯一解，从而

是存在唯一在最小二乘逼近中，选择数学模型很重要即如何根据给定的

来选择

一般原则：根据物理定义，或

数据分布的大致图形选择相应的数学模型。5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.1最小二乘法【例5.8】给定数据如下表，试选择适当模型，求最小二乘拟合函数解得

，因此5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.1最小二乘法解：采用拟合函数

，法方程如下：0.240.650.951.241.732.012.232.522.772.990.23-0.26-1.10-0.450.270.10-0.290.240.561.00该问题的MatLab实现：x=[0.240.650.951.241.732.012.232.522.772.99]'；

y=[0.23-0.26-1.10-0.450.270.10-0.290.240.561.00]'；

A=[log(x)cos(x)exp(x)]；

Z=A\y则5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.1最小二乘法对于曲线拟合一般取法方程为此时

，称它为数据拟合多项式，简称为多项式拟合。5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.1最小二乘法【例5.9】求数据表的二次最小二乘拟合多项式。解：设二次拟合多项式为将数据表代入法方程得5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.1最小二乘法00.250.500.751.001.00001.28401.64872.11702.7183解为最小二乘拟合二次多项式为注：此问题没有给出各点的权函数值一般情形下，若题目没有给出各点权函数值

，视作各点权函数值为1。5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.1最小二乘法有两个方法用MatLab求解该问题方法一：

x=[0

0.25

0.50

0.75

1.00];

y=[1.00

1.284

1.6487

2.1170

2.7183];

x1=ones(5,1);

A=[x1xx.^2];

Z=A\y此时：

5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.1最小二乘法方法二：

x=[0

0.25

0.50

0.75

1.00];

y=[1.00

1.284

1.6487

2.1170

2.7183];

p=polyfit(x,y,2)此时：5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.1最小二乘法【例5.9】求下数据表形如

的二次最小二乘拟合多项式。解：根据最佳平方逼近原理写出法方程因

，故5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.1最小二乘法192531384419.032.319.073.397.85.4曲线拟合的最小二乘法5.4.1最小二乘法【例5.9】求下数据表形如

的二次最小二乘拟合多项式。解：192531384419.032.319.073.397.8将数据表代入法方程得解为最小二乘拟合二次多项式为5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.1最小二乘法实际计算与理论分析表明，用多项式作最小二乘的基函数，当

较大时，方程组的解对初始数据的微小变化非常敏感，属于"病态"问题如何避免求解"病态"问题？5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.1最小二乘法【定义5.8】设给定点集

以及各点的权系数

，如果多项式族

满足：则称

为关于点集

的带权

正交的多项式族。

递推关系公式为5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.2利用正交多项式作最小二乘拟合其中

为法方程组为5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.2利用正交多项式作最小二乘拟合得则

次多项式为给定的数据点的最小二乘拟合多项式。注：利用正交多项式作最小二乘拟合时，可以将构造正交多项式族

与解法方程组求

以及形成拟合多项式

穿插进行，见下面的例题。5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.2利用正交多项式作最小二乘拟合（5.1）（5.2）【例5.4】给定数据点及如下表.试用最小二乘法求拟合这组数据的多项式。解：为确定拟合多项式的次数，首先描点，如下图。根据数据点的分布情况，用二次多项式拟合这组数据。基底取正交多项式

，拟合函数为：5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.2利用正交多项式作最小二乘拟合00.50.60.70.80.91.011.751.962.192.442.713.0011111115.4曲线拟合的最小二乘法5.4.2利用正交多项式作最小二乘拟合Figure3：数据点的分布情况取

，则 .5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.2利用正交多项式作最小二乘拟合5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.2利用正交多项式作最小二乘拟合则从而拟合多项式为5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.2利用正交多项式作最小二乘拟合用MatLab工具解决此问题的方法如下：

x=[0

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0];

y=[1

1.75

1.96

2.19

2.44

2.71

3.00];

p=polyfit(x,y,2)则运行该程序的结果为

p=[1

1

1]5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.2利用正交多项式作最小二乘拟合非线性最小二乘问题:用指数函数类，幂函数类

或三角函数等非多项式函数拟合给定的一组数据，按最小二乘准则，用极值原理建立的法方程组将是关于待定参数的非线性方程组其中某些简单的情形可以转化为线性最小二乘问题求解。5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.3非线性最小二乘问题试用最小二乘法求拟合这组数据的函数。解：所给数据接近一个指数曲线，选择数学模型为指数函数

，

（

为待定常数）【例5.11】设给定数据

如下表,5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.3非线性最小二乘问题这是一个关于

的非线性模型，为此对

两边取对数得

，令

，于是有

，这是一个线性模型，可用最小二乘求解。1.001.251.501.752.005.105.796.537.458.46取对与做最小二乘拟合，法方程为解得,

从而最小二乘拟合曲线方程5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.3非线性最小二乘问题对某些问题，不能将非线性问题转化为线性最小二乘问题只能按最小二乘原则，用极值原理建立法方程组。这里得到的法方程组将是关于待定参数的非线性方程组。用合适的求解非线性方程组的方法求解即可得非线性最小二乘问题的解.5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.3非线性最小二乘问题【例5.12】用函数