2022-2023学年重庆市部分区高一下学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1重庆市部分区2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（）A.1 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为复数，故的虚部为，故选：B2.已知点在线段上，且，若向量，则（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，由，可得，所以，即，故选：D.3.某校高中生共有3000人，其中高一年级900人，高二年级600人，高三年级1500人，现采用分层抽样的方法随机抽取容量为150人的样本，那么高一､高二､高三年级被抽取的人数分别为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意，高一年级被抽取的人数为人，高二年级被抽取的人数为人，高三年级被抽取的人数为人.故选：A4.已知向量，若，则（）A.12 B.3 C.-12 D.-3〖答案〗B〖解析〗因为向量，，所以有，解得.故选：B5.函数的单调减区间是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令,所以，当，由于，故D正确，ABC均错误，故选：D6.如图，在长方体中，.则直线与平面所成角的余弦值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，连接直线，显然，在长方体中，平面，故即为直线与平面所成角，在中，，，，，故选：C.7.2023年4月10日，重庆市中学生田径锦标赛在奉节举行.本次锦标赛设有长跑､短跑､跳高､跳远､铅球等项目，某参赛队员要从短跑､跳高､跳远､铅球4个项目中任选2项，假设每个项目被选中的可能性相等，那么跳高和铅球至少有一门被选中的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗从4个项目中任选2项共有：短跑+跳高、短跑+跳远、短跑+铅球、跳高+跳远、跳高+铅球、跳远+铅球，共6种情况，其中满足跳高和铅球至少有一门被选中的有5种情况，所以其概率为，故选：D.8.已知锐角的内角所对边为，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，由正弦定理可得，依题意，所以，则可得，因为，所以，则，，所以，因为是锐角三角形，所以，得，所以，，，即的取值范围是.故选：B二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知函数，则（）A.的最大值为 B.的最小正周期为C.是偶函数 D.的图象关于原点对称〖答案〗BCD〖解析〗，对于A，当时，取得最大值2，所以A错误，对于B，的最小正周期为，所以B正确，对于C，，，令，因为，所以为偶函数，所以C正确，对于D，，因为的图象关于原点对称，所以的图象关于原点对称，所以D正确，故选：BCD10.下列说法正确的是（）A.若直线不平行于平面，则内不存在与平行的直线B.直线互相平行的一个充分条件是都垂直于同一个平面C.已知平面，若，则D.已知平面，若，则〖答案〗BC〖解析〗对于A，若直线不平行于平面，则可能有，此时内存在与平行的直线，故A错误；对于B，因为垂直于同一平面的两条直线相互平行，都垂直于同一个平面，所以直线互相平行，故B正确；对于C，因为如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行，故C正确；对于D，平面，若，则可能有，故D错误.故选：BC.11.为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛.其中高一年级选派了10名同学参赛，且该10同学的成绩依次是：.则下列针对该组数据说法正确的是（）A.平均数为89，方差为3.06B.中位数为90，众数为88和92C.每个数都加5后平均数和方差均无变化D.分位数为93，极差为19〖答案〗BD〖解析〗对于A，平均数为，方差，故选项A错误；对于B，中位数为，众数为和，故选项B正确；对于C，根据平均数和方差的性质可得，每个数都加5后平均数对应的加上5，方差不发生改变，故选项C错误；对于D，因为，所以的第分位数为93，极差为，故选项D正确，故选：BD.12.如图，正方体棱长为1，侧面上有一个动点，则下列结论正确的是（）A.若，则B.三棱锥体积的最大值是C.若，则异面直线与所成角的余弦值范围是D.不存在点，使到直线和直线的距离相等〖答案〗ABC〖解析〗对A，连接，在正方体，侧面，平面，，又，，平面，平面，又，平面，，故A正确；对B，由等体积法得，当点与点重合时，点到面的距离最大，因为正方体的棱长为，所以三棱锥为棱长为的正四面体，所以三棱锥的高为，所以三棱锥体积的最大值为，故B正确；对C，异面直线与所成的角为，当点与或重合时，最大，此时，当点为的中点时，最小，此时，所以异面直线与所成角的余弦值范围是，故C正确；对D，平面上的点到直线的距离等于点到点的距离，则满足到直线和直线的距离相等即满足到直线和点的距离相等，可知点的轨迹为平面上抛物线的部分，所以存在点，使到直线和直线的距离相等，故D错误；故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.一个正方体的体对角线长为，它的顶点都在同一球面上，则该球的体积为__________.〖答案〗〖解析〗根据长方体的结构特征可知长方体的体对角线为其外接球的一条直径，所以,故球的体积为，故〖答案〗为：14.若，则__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，所以.故〖答案〗为：15.甲袋中有4个黑球､2个白球，乙袋中有2个黑球､1个白球，先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球，记“从乙袋中取出的是黑球”.则__________.〖答案〗〖解析〗根据题意，甲袋中有4个黑球､2个白球，乙袋中有2个黑球､1个白球，当甲袋中随机取出1个球为黑球时放入乙袋，此时乙袋中有3个黑球，1个白球，此时从乙袋中取出的是黑球的概率为；当甲袋中随机取出1个球为白球时放入乙袋，此时乙袋中有2个黑球，2个白球，此时从乙袋中取出的是黑球的概率为，所以.故〖答案〗为：.16.已知菱形的边长为，且，将菱形沿对角线翻折成直二面角，则__________；二面角的余弦值是__________.〖答案〗①.②.〖解析〗过点作，连接，结合题意可知为的中点，且，所以即为二面角的平面角，由题意可知，.因为，，所以，且，进而得到，在中，由余弦定理可得，所以，取的中点，连接，因为，，所以，，则即为所求二面角平面角，在中，因为，，所以，同理，在中，由余弦定理可得，，故〖答案〗为：；.四、解答题：本题共有6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知向量.（1）求向量在向量方向上的投影向量；（2）确定实数的值，使.解：（1）令向量与向量的夹角为，又令与同向的单位向量为，则，所以；（2）因为所以，，因为，故，解得.18.骰子（tóuzi），中国传统民间娱乐用来投掷的博具.早在战国时期就有.通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是六面骰，它是一颗正立方体，上面分别有一到六个孔（或数字），其相对两面之数字和必为七.中国的骰子习惯在一点和四点漆上红色.骰子是容易制作和取得的乱数产生器.骰经常会被错误念成shăi.现甲､乙两人玩掷骰子（质地均匀）游戏，每人掷同一枚骰子各一次，若两人掷出的点数和为偶数算甲贏，否则算乙贏.（1）记“甲､乙两人掷出的点数和为6”，写出事件包含的样本点；（2）现连玩三次，记“甲至少贏一次”，“乙至少贏两次”，试问：与是否为互斥事件？为什么？（3）这种游戏规则公平吗？试说明理由.解：（1）用表示甲､乙两人投出的点数，则表示这个实验的一个样本点，所以该实验的样本空间为，共有36个样本点，事件A包含的样本点共5个，即；（2）B与C不是互斥事件，由于连玩三次，则事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙贏两次的事件即符合题意，所以事件B与C不是互斥事件；（3）这种游戏规则公平，由题可知甲､乙两人投出的点数和为偶数的样本点有，，共18个.所以甲贏的概率为，所以乙贏的概率为，所以这种游戏规则公平.19.已知分别为的内角的对边，，且.（1）求A；（2）若周长，求的面积.解：（1），或，在中，，故，，即；（2）的周长，又，由（1）可知：，由余弦定理得：，，由面积公式得：.20.如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的菱形，点是对角线与的交点，是的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）若，求三棱锥的体积.（1）证明：因为在中，分别是的中点，所以，又因为平面平面，所以平面（2）证明：因为底面是菱形，所以，因为平面平面，所以，又因为，平面所以平面，因为平面，所以平面平面（3）解：因为底面是边长为2菱形，，所以根据三角形面积公式得，又因为三棱锥的高为，所以.21.“杭州2022年第19届亚运会”将于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州举行.在杭州亚运会倒计时两周年之际，由杭州亚运会组委会与中国日报社联合主办的“杭州2022年第19届亚运会”双语学生记者活动正式启动.为助力杭州亚运会宣传工作，向世界讲好中国故事，奏响亚运最强音.杭州市相关部门积极组织学生报名参加选拔考试，现从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩（成绩均为整数）分成六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）请根据频率分布直方图，估计样本的中位数和方差.（每组数据以区间的中点值为代表）.解：（1）因为各组的频率和等于1，所以第四组的频率为，补全的频率分布直方图如图所示.（2）前三组的频率之和为：，前四组的频率之和为：，设中位数为，则应有；又所以，即样本的中位数为；抽取学生的平均数约为，所以样本的方差为：.22.已知向量，函数，若图象上一个最高点和它相邻最低点之间的水平距离为，图象过点.（1）求表达式和的单调减区间；（2）将函数的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围；（3）若函数，在（2）的条件下，若当时，总有使得，求实数的取值范围.解：（1），，的最小正周期为，的图象过点，即，令，求得，故的单调减区间为；（2）将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象.在区间上，，故在区间上的值域为.如下图：若函数在区间上有且只有一个零点，由题意可得，函数的图象和直线有且只有一个零点，并根据图象可知，或.（3）由（2）得，时，，根据对称轴讨论取值范围：①时，在时单调递增，，此时不合题意；②时，在时单调递减，在时单调递增，由题意得，解得，故有；③时，在时单调递减，，由题意得，解得（舍去）.综上，的取值范围为.重庆市部分区2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（）A.1 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为复数，故的虚部为，故选：B2.已知点在线段上，且，若向量，则（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，由，可得，所以，即，故选：D.3.某校高中生共有3000人，其中高一年级900人，高二年级600人，高三年级1500人，现采用分层抽样的方法随机抽取容量为150人的样本，那么高一､高二､高三年级被抽取的人数分别为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意，高一年级被抽取的人数为人，高二年级被抽取的人数为人，高三年级被抽取的人数为人.故选：A4.已知向量，若，则（）A.12 B.3 C.-12 D.-3〖答案〗B〖解析〗因为向量，，所以有，解得.故选：B5.函数的单调减区间是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令,所以，当，由于，故D正确，ABC均错误，故选：D6.如图，在长方体中，.则直线与平面所成角的余弦值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，连接直线，显然，在长方体中，平面，故即为直线与平面所成角，在中，，，，，故选：C.7.2023年4月10日，重庆市中学生田径锦标赛在奉节举行.本次锦标赛设有长跑､短跑､跳高､跳远､铅球等项目，某参赛队员要从短跑､跳高､跳远､铅球4个项目中任选2项，假设每个项目被选中的可能性相等，那么跳高和铅球至少有一门被选中的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗从4个项目中任选2项共有：短跑+跳高、短跑+跳远、短跑+铅球、跳高+跳远、跳高+铅球、跳远+铅球，共6种情况，其中满足跳高和铅球至少有一门被选中的有5种情况，所以其概率为，故选：D.8.已知锐角的内角所对边为，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，由正弦定理可得，依题意，所以，则可得，因为，所以，则，，所以，因为是锐角三角形，所以，得，所以，，，即的取值范围是.故选：B二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知函数，则（）A.的最大值为 B.的最小正周期为C.是偶函数 D.的图象关于原点对称〖答案〗BCD〖解析〗，对于A，当时，取得最大值2，所以A错误，对于B，的最小正周期为，所以B正确，对于C，，，令，因为，所以为偶函数，所以C正确，对于D，，因为的图象关于原点对称，所以的图象关于原点对称，所以D正确，故选：BCD10.下列说法正确的是（）A.若直线不平行于平面，则内不存在与平行的直线B.直线互相平行的一个充分条件是都垂直于同一个平面C.已知平面，若，则D.已知平面，若，则〖答案〗BC〖解析〗对于A，若直线不平行于平面，则可能有，此时内存在与平行的直线，故A错误；对于B，因为垂直于同一平面的两条直线相互平行，都垂直于同一个平面，所以直线互相平行，故B正确；对于C，因为如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行，故C正确；对于D，平面，若，则可能有，故D错误.故选：BC.11.为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛.其中高一年级选派了10名同学参赛，且该10同学的成绩依次是：.则下列针对该组数据说法正确的是（）A.平均数为89，方差为3.06B.中位数为90，众数为88和92C.每个数都加5后平均数和方差均无变化D.分位数为93，极差为19〖答案〗BD〖解析〗对于A，平均数为，方差，故选项A错误；对于B，中位数为，众数为和，故选项B正确；对于C，根据平均数和方差的性质可得，每个数都加5后平均数对应的加上5，方差不发生改变，故选项C错误；对于D，因为，所以的第分位数为93，极差为，故选项D正确，故选：BD.12.如图，正方体棱长为1，侧面上有一个动点，则下列结论正确的是（）A.若，则B.三棱锥体积的最大值是C.若，则异面直线与所成角的余弦值范围是D.不存在点，使到直线和直线的距离相等〖答案〗ABC〖解析〗对A，连接，在正方体，侧面，平面，，又，，平面，平面，又，平面，，故A正确；对B，由等体积法得，当点与点重合时，点到面的距离最大，因为正方体的棱长为，所以三棱锥为棱长为的正四面体，所以三棱锥的高为，所以三棱锥体积的最大值为，故B正确；对C，异面直线与所成的角为，当点与或重合时，最大，此时，当点为的中点时，最小，此时，所以异面直线与所成角的余弦值范围是，故C正确；对D，平面上的点到直线的距离等于点到点的距离，则满足到直线和直线的距离相等即满足到直线和点的距离相等，可知点的轨迹为平面上抛物线的部分，所以存在点，使到直线和直线的距离相等，故D错误；故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.一个正方体的体对角线长为，它的顶点都在同一球面上，则该球的体积为__________.〖答案〗〖解析〗根据长方体的结构特征可知长方体的体对角线为其外接球的一条直径，所以,故球的体积为，故〖答案〗为：14.若，则__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，所以.故〖答案〗为：15.甲袋中有4个黑球､2个白球，乙袋中有2个黑球､1个白球，先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球，记“从乙袋中取出的是黑球”.则__________.〖答案〗〖解析〗根据题意，甲袋中有4个黑球､2个白球，乙袋中有2个黑球､1个白球，当甲袋中随机取出1个球为黑球时放入乙袋，此时乙袋中有3个黑球，1个白球，此时从乙袋中取出的是黑球的概率为；当甲袋中随机取出1个球为白球时放入乙袋，此时乙袋中有2个黑球，2个白球，此时从乙袋中取出的是黑球的概率为，所以.故〖答案〗为：.16.已知菱形的边长为，且，将菱形沿对角线翻折成直二面角，则__________；二面角的余弦值是__________.〖答案〗①.②.〖解析〗过点作，连接，结合题意可知为的中点，且，所以即为二面角的平面角，由题意可知，.因为，，所以，且，进而得到，在中，由余弦定理可得，所以，取的中点，连接，因为，，所以，，则即为所求二面角平面角，在中，因为，，所以，同理，在中，由余弦定理可得，，故〖答案〗为：；.四、解答题：本题共有6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知向量.（1）求向量在向量方向上的投影向量；（2）确定实数的值，使.解：（1）令向量与向量的夹角为，又令与同向的单位向量为，则，所以；（2）因为所以，，因为，故，解得.18.骰子（tóuzi），中国传统民间娱乐用来投掷的博具.早在战国时期就有.通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是六面骰，它是一颗正立方体，上面分别有一到六个孔（或数字），其相对两面之数字和必为七.中国的骰子习惯在一点和四点漆上红色.骰子是容易制作和取得的乱数产生器.骰经常会被错误念成shăi.现甲､乙两人玩掷骰子（质地均匀）游戏，每人掷同一枚骰子各一次，若两人掷出的点数和为偶数算甲贏，否则算乙贏.（1）记“甲､乙两人掷出的点数和为6”，写出事件包含的样本点；（2）现连玩三次，记“甲至少贏一次”，“乙至少贏两次”，试问：与是否为互斥事件？为什么？（3）这种游戏规则公平吗？试说明理由.解：（1）用表示甲､乙两人投出的点数，则表示这个实验的一个样本点，所以该实验的样本空间为，共有36个样本点，事件A包含的样本点共5个，即；（2）B与C不是互斥事件，由于连玩三次，则事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙贏两次的事件即符合题意，所以事件B与C不是互斥事件；（3）这种游戏规则公平，由题可知甲､乙两人投出的点数和为偶数的样本点有，，共18个.所以甲贏的概率为，所以乙贏的概率为，所以这种游戏规则公平.19.已知分别为的内角的对边，，且.（1）求A；（2）若周长，求的面积.解：（1），或，在中，，故，，即；（2）的周长，又，由（1）可知：，由余弦定理得：，，由面积公式得：.20.如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的菱形，点是对角线与的交点，是的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）若，求三棱锥的体积.（1）证明：因为在中，分别是的中点，所以，又因为平面平面，所以平面（2）证明：因为底面是菱形，所以，因