2022-2023学年新疆维吾尔自治区高一下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1新疆维吾尔自治区2022-2023学年高一下学期期末数学试题（满分：150分考试时间：120分钟）考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡的相应位置.2．作答选择题时，选出正确〖答案〗后，用铅笔符答题卡上对应题目的字母涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他字母，在试题卷上作答无效.3．作答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上，在试题卷上作答无效.4．考试结束后，将试题卷和答题十一并交回.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知是虚数单位，复数（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故选：D.2.已知向量，且，则x＝（）.A.8 B.2 C.4 D.〖答案〗A〖解析〗由题意得：，解得：.故选：A3.已知，为两条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，，则C.若，且，则D.若，，，则〖答案〗C〖解析〗对于A，若，，则或相交或为异面直线，因此A不正确；对于B，若，，，，则与相交或平行，因此B不正确；对于C，若，且，则与必垂直，因此C正确；对于D，若，，，则与位置关系不确定，因此D不正确．故选：C．4.若一个圆锥的底面面积为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设该圆锥的底面半径为r,则，所以该圆锥的底面半径，设圆锥的母线长为，则，即，则圆锥的高为，因此该圆锥的体积，故选:B5.某高中共有学生1800人，其中高一、高二、高三的学生人数比为16：15：14，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为90的样本，则高二年级应该抽取的人数为（）A.28 B.30 C.32 D.36〖答案〗B〖解析〗高二年级应该抽取人，故选:B6.某校高一学生进行测试，随机抽取名学生的测试成绩，绘制茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和众数分别为（）A.， B.， C.， D.，〖答案〗D〖解析〗由茎叶图知：数据为、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，因此，这组数据的众数为，中位数为.故选：D.7.已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为，那么的大小为（）A.N B.5N C.N D.10N〖答案〗A〖解析〗因为两个力，的夹角为，所以，又因为它们的合力大小为10N，合力与的夹角为，设合力与的夹角为，所以，解得.故选：A.8.如图，向量，，，则向量可以表示为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，故选：C.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错误选项的得0分．）9.下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样从含有50个个体总体中抽取一个容量为10的样本，个体被抽到的概率是0.2B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17D.若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为16〖答案〗AD〖解析〗对于A，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为，故A正确；对于B，数据1，2，，6，7的平均数是4，，这组数据的方差是，故B错误；对于C，8个数据50百分为，第50百分位数为，故C错误；对于D，依题意，，则，所以数据的标准差为16，D正确；故选：AD.10.已知中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c下列命题正确的有（）A.若，则B.若，，则外接圆半径为10C.若，则为等腰三角形D.若，，，则〖答案〗ACD〖解析〗因为A＞B，所以a＞b，由正弦定理，可得，即，A正确；由正弦定理可知，所以外接圆半径为5，B不正确；因为，所以，即，整理可得，即，因为为三角形的内角，所以，即为等腰三角形，C正确；因为，，，所以，D正确.故选：ACD.11.已知复数在复平面内对应的点分别为，且为复平面内的原点，则（）A.B在第一象限 B.A与关于对称C.为钝角 D.〖答案〗ABD〖解析〗依题意可得，对于A，B在第一象限，故A正确；对于B，A与关于对称，故B正确；对于C，因为，，所以不是钝角，故C错误；对于D，因为，，所以，故D正确.故选：ABD.12.在正方体中，分别为的中点，则（）A.与异面 B.与所成的角为C.与异面 D.与所成的角为〖答案〗AD〖解析〗如图，在正方体中，分别为的中点，对于A，与异面，故A正确；对于B，与所成的角为，又，所以与所成的角为，故B错误；对于C，由，得与共面，故C错误；对于D，与所成的角为，又，所以与所成的角为.故D正确；故选：AD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把〖答案〗填在答题卡的相应位置．）13.平面向量与的夹角为，，，则__________．〖答案〗〖解析〗因为，，与的夹角为所以所以故〖答案〗为：14.已知圆心角为的扇形面积为，则由它围成的圆锥的母线与底面所成角的余弦值等于__________．〖答案〗〖解析〗依题意，弧长为，所以圆锥的底面半径为，所以扇形围成的圆锥的母线与底面所成角的余弦值等于.故〖答案〗为：15.袋子中有四个小球，分别写有“中､华､民､族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中､华､民､族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为____________.〖答案〗〖解析〗由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有，共4组随机数，所以恰好抽取三次就停止的概率约为，故〖答案〗为：16.正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为2，点都在同一球面上，则此球的体积为___________.〖答案〗〖解析〗正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为2,点都在同一球面上,该球的球心恰好为底面的中心,球的半径,此球的体积为.故〖答案〗为：四、解答题（本大题共6题，第17题10分，其余各小题每题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.已知复数（1）若z为纯虚数，求实数m的值；（2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围解：（1）因为纯虚数的实部为零，虚部不为零可得：故〖答案〗为：1.（2）易知z在复平面内的对应点为，则故〖答案〗为：18.新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权．新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩（满分100分）按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数．（2）据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考历史科目．按分层抽样的方法从测试成绩在，的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率．解：（1），解得设中位数为x，因为学生成绩在的频率为，在的频率为所以中位数满足等式，解得故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为.（2）成绩在的频数为成绩在的频数为按分层抽样的方法选取5人，则成绩在的学生被抽取人，在的学生被抽取人从这5人中任意选取2人，都不选考历史科目的概率为，故这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率为.19.如图，在棱长为的正方体中，点是的中点．（1）证明：平面;（2）求三棱锥外接球的表面积．（1）证明：连接交于点，连接，则为的中点，因为为的中点，则，平面，平面，因此，平面；（2）解：将三棱锥补成长方体，如下图所示：则长方体的体对角线长为，所以，三棱锥外接球半径为，因此，三棱锥外接球表面积为.20.甲、乙两人进行羽毛球比赛，采取“三局两胜”制，即两人比赛过程中，谁先胜两局即结束比赛，先胜两局的是胜方，另一方是败方.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜乙的概率均为，甲、乙比赛没有平局，且每局比赛是相互独立的.（1）求比赛恰进行两局就结束的概率；（2）求这场比赛甲获胜概率.解：（1）比赛恰进行两局就结束对应的事件A有两种可能，事件：甲胜乙，事件：乙胜甲.，，.（2）这场比赛甲获胜对应的事件B有两种可能，事件：比赛两局结束且甲获胜；事件：比赛三局结束且甲获胜.，，∴.21.在①；②两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并给出解答.在中，角的对边分别为，___________.（1）若，求A；（2）已知，求的面积.解：（1）选①因为，所以，由正弦定理可得，即，由于在中，从而或，因为，故舍去，所以；选②因为，所以，即，由正弦定理可得，即，由于在中，，从而，因，所以.（2）若选①，由以上解答可知，或，因为，故不合题意，所以，则，由余弦定理，可得，解得，因为，所以，从而的面积为.若选②，由（1）解答可知，，则，由余弦定理，可得，解得，因为，所以，从而的面积为.22.如图，在四棱锥中，平面，是正方形，是中点，点在上，且.（1）证明平面；（2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值.（1）证明：因为平面，平面，故可得；设底面正方形的边长为4，故可得，，，故在中，满足，故可得；又平面，且，则平面，即证.（2）解：因为平面,平面，故可得，又底面为正方形，故可得，故以A为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系如下图所示：设，故可得设平面的法向量为，则，则取，则.不妨取平面的法向量.则.设平面与平面所成二面角的平面为，则.即平面与平面所成二面角的正弦值为.新疆维吾尔自治区2022-2023学年高一下学期期末数学试题（满分：150分考试时间：120分钟）考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡的相应位置.2．作答选择题时，选出正确〖答案〗后，用铅笔符答题卡上对应题目的字母涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他字母，在试题卷上作答无效.3．作答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上，在试题卷上作答无效.4．考试结束后，将试题卷和答题十一并交回.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知是虚数单位，复数（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故选：D.2.已知向量，且，则x＝（）.A.8 B.2 C.4 D.〖答案〗A〖解析〗由题意得：，解得：.故选：A3.已知，为两条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，，则C.若，且，则D.若，，，则〖答案〗C〖解析〗对于A，若，，则或相交或为异面直线，因此A不正确；对于B，若，，，，则与相交或平行，因此B不正确；对于C，若，且，则与必垂直，因此C正确；对于D，若，，，则与位置关系不确定，因此D不正确．故选：C．4.若一个圆锥的底面面积为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设该圆锥的底面半径为r,则，所以该圆锥的底面半径，设圆锥的母线长为，则，即，则圆锥的高为，因此该圆锥的体积，故选:B5.某高中共有学生1800人，其中高一、高二、高三的学生人数比为16：15：14，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为90的样本，则高二年级应该抽取的人数为（）A.28 B.30 C.32 D.36〖答案〗B〖解析〗高二年级应该抽取人，故选:B6.某校高一学生进行测试，随机抽取名学生的测试成绩，绘制茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和众数分别为（）A.， B.， C.， D.，〖答案〗D〖解析〗由茎叶图知：数据为、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，因此，这组数据的众数为，中位数为.故选：D.7.已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为，那么的大小为（）A.N B.5N C.N D.10N〖答案〗A〖解析〗因为两个力，的夹角为，所以，又因为它们的合力大小为10N，合力与的夹角为，设合力与的夹角为，所以，解得.故选：A.8.如图，向量，，，则向量可以表示为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，故选：C.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错误选项的得0分．）9.下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样从含有50个个体总体中抽取一个容量为10的样本，个体被抽到的概率是0.2B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17D.若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为16〖答案〗AD〖解析〗对于A，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为，故A正确；对于B，数据1，2，，6，7的平均数是4，，这组数据的方差是，故B错误；对于C，8个数据50百分为，第50百分位数为，故C错误；对于D，依题意，，则，所以数据的标准差为16，D正确；故选：AD.10.已知中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c下列命题正确的有（）A.若，则B.若，，则外接圆半径为10C.若，则为等腰三角形D.若，，，则〖答案〗ACD〖解析〗因为A＞B，所以a＞b，由正弦定理，可得，即，A正确；由正弦定理可知，所以外接圆半径为5，B不正确；因为，所以，即，整理可得，即，因为为三角形的内角，所以，即为等腰三角形，C正确；因为，，，所以，D正确.故选：ACD.11.已知复数在复平面内对应的点分别为，且为复平面内的原点，则（）A.B在第一象限 B.A与关于对称C.为钝角 D.〖答案〗ABD〖解析〗依题意可得，对于A，B在第一象限，故A正确；对于B，A与关于对称，故B正确；对于C，因为，，所以不是钝角，故C错误；对于D，因为，，所以，故D正确.故选：ABD.12.在正方体中，分别为的中点，则（）A.与异面 B.与所成的角为C.与异面 D.与所成的角为〖答案〗AD〖解析〗如图，在正方体中，分别为的中点，对于A，与异面，故A正确；对于B，与所成的角为，又，所以与所成的角为，故B错误；对于C，由，得与共面，故C错误；对于D，与所成的角为，又，所以与所成的角为.故D正确；故选：AD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把〖答案〗填在答题卡的相应位置．）13.平面向量与的夹角为，，，则__________．〖答案〗〖解析〗因为，，与的夹角为所以所以故〖答案〗为：14.已知圆心角为的扇形面积为，则由它围成的圆锥的母线与底面所成角的余弦值等于__________．〖答案〗〖解析〗依题意，弧长为，所以圆锥的底面半径为，所以扇形围成的圆锥的母线与底面所成角的余弦值等于.故〖答案〗为：15.袋子中有四个小球，分别写有“中､华､民､族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中､华､民､族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为____________.〖答案〗〖解析〗由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有，共4组随机数，所以恰好抽取三次就停止的概率约为，故〖答案〗为：16.正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为2，点都在同一球面上，则此球的体积为___________.〖答案〗〖解析〗正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为2,点都在同一球面上,该球的球心恰好为底面的中心,球的半径,此球的体积为.故〖答案〗为：四、解答题（本大题共6题，第17题10分，其余各小题每题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.已知复数（1）若z为纯虚数，求实数m的值；（2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围解：（1）因为纯虚数的实部为零，虚部不为零可得：故〖答案〗为：1.（2）易知z在复平面内的对应点为，则故〖答案〗为：18.新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权．新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩（满分100分）按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数．（2）据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考历史科目．按分层抽样的方法从测试成绩在，的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率．解：（1），解得设中位数为x，因为学生成绩在的频率为，在的频率为所以中位数满足等式，解得故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为.（2）成绩在的频数为成绩在的频数为按分层抽样的方法选取5人，则成绩在的学生被抽取人，在的学生被抽取人从这5人中任意选取2人，都不选考历史科目的概率为，故这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率为.19.如图，在棱长为的正方体中，点是的中点．（1）证明：平面;（2）求三棱锥