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文档简介
黑龙江省重点中学2022年中考二模数学试题请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.如图,A,B是半径为1的⊙O上两点,且OA⊥OB.点P从A出发,在⊙O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动,回到点A运动结束.设运动时间为x,弦BP的长度为y,那么下面图象中可能表示y与x的函数关系的是A.① B.④ C.②或④ D.①或③2.如图,△OAC和△BAD都是等腰直角三角形,∠ACO=∠ADB=90°,反比例函数y=在第一象限的图象经过点B,则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为()A.36 B.12 C.6 D.33.如图,在直角坐标系中,有两点A(6,3)、B(6,0).以原点O为位似中心,相似比为,在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD,则点C的坐标为()A.(2,1) B.(2,0) C.(3,3) D.(3,1)4.在下列网格中,小正方形的边长为1,点A、B、O都在格点上,则的正弦值是A. B. C. D.5.一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如左图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是()A. B. C. D.6.下列现象,能说明“线动成面”的是()A.天空划过一道流星B.汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹C.抛出一块小石子,石子在空中飞行的路线D.旋转一扇门,门在空中运动的痕迹7.如图所示,的顶点是正方形网格的格点,则的值为()A. B. C. D.8.下列说法中,正确的是()A.不可能事件发生的概率为0B.随机事件发生的概率为C.概率很小的事件不可能发生D.投掷一枚质地均匀的硬币100次,正面朝上的次数一定为50次9.若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形,则四边形一定是()A.矩形 B.菱形C.对角线互相垂直的四边形 D.对角线相等的四边形10.如图,E为平行四边形ABCD的边AB延长线上的一点,且BE:AB=2:3,△BEF的面积为4,则平行四边形ABCD的面积为()
A.30 B.27 C.14 D.32二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.若分式有意义,则实数x的取值范围是_______.12.若关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣x+1=0有实数根,则a的取值范围为________.13.如图,正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=的图象交于A(﹣1,2),B(1,﹣2)两点,若y1>y2,则x的取值范围是_____.14.因式分解:3x3﹣12x=_____.15.一元二次方程x(x﹣2)=x﹣2的根是_____.16.如图,自左至右,第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成;第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成;第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成;…按照此规律,第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为______个.17.如图,在平面直角坐标系中,矩形活动框架ABCD的长AB为2,宽AD为,其中边AB在x轴上,且原点O为AB的中点,固定点A、B,把这个矩形活动框架沿箭头方向推,使D落在y轴的正半轴上点D′处,点C的对应点C′的坐标为______.三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)已知:关于x的方程x2﹣(2m+1)x+2m=0(1)求证:方程一定有两个实数根;(2)若方程的两根为x1,x2,且|x1|=|x2|,求m的值.19.(5分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=(x-a)(x-3)(0<a<3)的图象与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点D,过其顶点C作直线CP⊥x轴,垂足为点P,连接AD、BC.(1)求点A、B、D的坐标;(2)若△AOD与△BPC相似,求a的值;(3)点D、O、C、B能否在同一个圆上,若能,求出a的值,若不能,请说明理由.20.(8分)解方程组:.21.(10分)在“传箴言”活动中,某班团支部对该班全体团员在一个月内所发箴言条数的情况进行了统计,并制成了如图所示的两幅不完整的统计图:求该班团员在这一个月内所发箴言的平均条数是多少?并将该条形统计图补充完整;如果发了3条箴言的同学中有两位男同学,发了4条箴言的同学中有三位女同学.现要从发了3条箴言和4条箴言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“箴言”活动总结会,请你用列表法或树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率.22.(10分)如图,△ABC内接于⊙O,∠B=600,CD是⊙O的直径,点P是CD延长线上的一点,且AP=AC.(1)求证:PA是⊙O的切线;(2)若PD=,求⊙O的直径.23.(12分)某校为了解学生对篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球这五种球类运动的喜爱情况,随机抽取一部分学生进行问卷调查,统计整理并绘制了以下两幅不完整的统计图:请根据以上统计图提供的信息,解答下列问题:(1)共抽取名学生进行问卷调查;(2)补全条形统计图,求出扇形统计图中“足球”所对应的圆心角的度数;(3)该校共有3000名学生,请估计全校学生喜欢足球运动的人数.(4)甲乙两名学生各选一项球类运动,请求出甲乙两人选同一项球类运动的概率.24.(14分)为奖励优秀学生,某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品,已知购买1个文具袋和2个圆规需21元,购买2个文具袋和3个圆规需39元。求文具袋和圆规的单价。学校准备购买文具袋20个,圆规若干,文具店给出两种优惠方案:方案一:购买一个文具袋还送1个圆规。方案二:购买圆规10个以上时,超出10个的部分按原价的八折优惠,文具袋不打折.①设购买面规m个,则选择方案一的总费用为______,选择方案二的总费用为______.②若学校购买圆规100个,则选择哪种方案更合算?请说明理由.
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、D【解析】
分两种情形讨论当点P顺时针旋转时,图象是③,当点P逆时针旋转时,图象是①,由此即可解决问题.【详解】解:当点P顺时针旋转时,图象是③,当点P逆时针旋转时,图象是①.故选D.2、D【解析】设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b,结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标,根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k的几何意义以及点B的坐标即可得出结论.
解:设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b,
则点B的坐标为(a+b,a﹣b).∵点B在反比例函数的第一象限图象上,
∴(a+b)×(a﹣b)=a2﹣b2=1.
∴S△OAC﹣S△BAD=a2﹣b2=(a2﹣b2)=×1=2.
故选D.点睛:本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式,解题的关键是找出a2﹣b2的值.解决该题型题目时,要设出等腰直角三角形的直角边并表示出面积,再用其表示出反比例函数上点的坐标是关键.3、A【解析】
根据位似变换的性质可知,△ODC∽△OBA,相似比是,根据已知数据可以求出点C的坐标.【详解】由题意得,△ODC∽△OBA,相似比是,∴,又OB=6,AB=3,∴OD=2,CD=1,∴点C的坐标为:(2,1),故选A.【点睛】本题考查的是位似变换,掌握位似变换与相似的关系是解题的关键,注意位似比与相似比的关系的应用.4、A【解析】
由题意根据勾股定理求出OA,进而根据正弦的定义进行分析解答即可.【详解】解:由题意得,,,由勾股定理得,,.故选:A.【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义,在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.5、B【解析】
根据题中给出的函数图像结合一次函数性质得出a<0,b>0,再由反比例函数图像性质得出c<0,从而可判断二次函数图像开口向下,对称轴:>0,即在y轴的右边,与y轴负半轴相交,从而可得答案.【详解】解:∵一次函数y=ax+b图像过一、二、四,∴a<0,b>0,又∵反比例函数y=图像经过二、四象限,∴c<0,∴二次函数对称轴:>0,∴二次函数y=ax2+bx+c图像开口向下,对称轴在y轴的右边,与y轴负半轴相交,故答案为B.【点睛】本题考查了二次函数的图形,一次函数的图象,反比例函数的图象,熟练掌握二次函数的有关性质:开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键.6、B【解析】
本题是一道关于点、线、面、体的题目,回忆点、线、面、体的知识;【详解】解:∵A、天空划过一道流星说明“点动成线”,∴故本选项错误.∵B、汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹说明“线动成面”,∴故本选项正确.∵C、抛出一块小石子,石子在空中飞行的路线说明“点动成线”,∴故本选项错误.∵D、旋转一扇门,门在空中运动的痕迹说明“面动成体”,∴故本选项错误.故选B.【点睛】本题考查了点、线、面、体,准确认识生活实际中的现象是解题的关键.点动成线、线动成面、面动成体.7、B【解析】
连接CD,求出CD⊥AB,根据勾股定理求出AC,在Rt△ADC中,根据锐角三角函数定义求出即可.【详解】解:连接CD(如图所示),设小正方形的边长为,∵BD=CD==,∠DBC=∠DCB=45°,∴,在中,,,则.故选B.【点睛】本题考查了勾股定理,锐角三角形函数的定义,等腰三角形的性质,直角三角形的判定的应用,关键是构造直角三角形.8、A【解析】试题分析:不可能事件发生的概率为0,故A正确;随机事件发生的概率为在0到1之间,故B错误;概率很小的事件也可能发生,故C错误;投掷一枚质地均匀的硬币100次,正面向上的次数为50次是随机事件,D错误;故选A.考点:随机事件.9、C【解析】【分析】如图,根据三角形的中位线定理得到EH∥FG,EH=FG,EF=BD,则可得四边形EFGH是平行四边形,若平行四边形EFGH是菱形,则可有EF=EH,由此即可得到答案.【点睛】如图,∵E,F,G,H分别是边AD,DC,CB,AB的中点,∴EH=AC,EH∥AC,FG=AC,FG∥AC,EF=BD,∴EH∥FG,EH=FG,∴四边形EFGH是平行四边形,假设AC=BD,∵EH=AC,EF=BD,则EF=EH,∴平行四边形EFGH是菱形,即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形,故选D.【点睛】本题考查了中点四边形,涉及到菱形的判定,三角形的中位线定理,平行四边形的判定等知识,熟练掌握和灵活运用相关性质进行推理是解此题的关键.10、A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB//CD,AB=CD,AD//BC,∴△BEF∽△CDF,△BEF∽△AED,∴,∵BE:AB=2:3,AE=AB+BE,∴BE:CD=2:3,BE:AE=2:5,∴,∵S△BEF=4,∴S△CDF=9,S△AED=25,∴S四边形ABFD=S△AED-S△BEF=25-4=21,∴S平行四边形ABCD=S△CDF+S四边形ABFD=9+21=30,故选A.【点睛】本题考查了平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质等,熟记相似三角形的面积等于相似比的平方是解题的关键.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、【解析】由于分式的分母不能为2,x-1在分母上,因此x-1≠2,解得x.解:∵分式有意义,∴x-1≠2,即x≠1.故答案为x≠1.本题主要考查分式有意义的条件:分式有意义,分母不能为2.12、a≤且a≠1.【解析】
根据一元二次方程有实数根的条件列出关于a的不等式组,求出a的取值范围即可.【详解】由题意得:△≥0,即(-1)2-4(a-1)×1≥0,解得a≤,又a-1≠0,∴a≤且a≠1.故答案为a≤且a≠1.点睛:本题考查的是根的判别式及一元二次方程的定义,根据题意列出关于a的不等式组是解答此题的关键.13、x<﹣2或0<x<2【解析】
仔细观察图像,图像在上面的函数值大,图像在下面的函数值小,当y2>y2,即正比例函数的图像在上,反比例函数的图像在下时,根据图像写出x的取值范围即可.【详解】解:如图,结合图象可得:①当x<﹣2时,y2>y2;②当﹣2<x<0时,y2<y2;③当0<x<2时,y2>y2;④当x>2时,y2<y2.综上所述:若y2>y2,则x的取值范围是x<﹣2或0<x<2.故答案为x<﹣2或0<x<2.【点睛】本题考查了图像法解不等式,解题的关键是仔细观察图像,全面写出符合条件的x的取值范围.14、3x(x+2)(x﹣2)【解析】
先提公因式3x,然后利用平方差公式进行分解即可.【详解】3x3﹣12x=3x(x2﹣4)=3x(x+2)(x﹣2),故答案为3x(x+2)(x﹣2).【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式,要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解,一般来说,如果可以先提取公因式的要先提取公因式,再考虑运用公式法分解.15、1或1【解析】
移项后分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可得答案.【详解】x(x﹣1)=x﹣1,x(x﹣1)﹣(x﹣1)=0,(x﹣1)(x﹣1)=0,x﹣1=0,x﹣1=0,x1=1,x1=1,故答案为:1或1.【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用,能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键.16、9n+1.【解析】
∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成,∴正方形和等边三角形的和=6+6=12=9+1;∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成,∴正方形和等边三角形的和=11+10=21=9×2+1;∵第1个图由16个正方形和14个等边三角形组成,∴正方形和等边三角形的和=16+14=10=9×1+1,…,∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和=9n+1.故答案为9n+1.17、(2,1)【解析】
由已知条件得到AD′=AD=,AO=AB=1,根据勾股定理得到OD′==1,于是得到结论.【详解】解:∵AD′=AD=,AO=AB=1,∴OD′==1,∵C′D′=2,C′D′∥AB,
∴C′(2,1),
故答案为:(2,1)【点睛】本题考查了矩形的性质,坐标与图形的性质,勾股定理,正确的识别图形是解题的关键.三、解答题(共7小题,满分69分)18、(1)详见解析;(2)当x1≥0,x2≥0或当x1≤0,x2≤0时,m=;当x1≥0,x2≤0时或x1≤0,x2≥0时,m=﹣.【解析】试题分析:(1)根据判别式△≥0恒成立即可判断方程一定有两个实数根;(2)先讨论x1,x2的正负,再根据根与系数的关系求解.试题解析:(1)关于x的方程x2﹣(2m+1)x+2m=0,∴△=(2m+1)2﹣8m=(2m﹣1)2≥0恒成立,故方程一定有两个实数根;(2)①当x1≥0,x2≥0时,即x1=x2,∴△=(2m﹣1)2=0,解得m=;②当x1≥0,x2≤0时或x1≤0,x2≥0时,即x1+x2=0,∴x1+x2=2m+1=0,解得:m=﹣;③当x1≤0,x2≤0时,即﹣x1=﹣x2,∴△=(2m﹣1)2=0,解得m=;综上所述:当x1≥0,x2≥0或当x1≤0,x2≤0时,m=;当x1≥0,x2≤0时或x1≤0,x2≥0时,m=﹣.19、(1)(1)A(a,0),B(3,0),D(0,3a).(2)a的值为.(3)当a=时,D、O、C、B四点共圆.【解析】【分析】(1)根据二次函数的图象与x轴相交,则y=0,得出A(a,0),B(3,0),与y轴相交,则x=0,得出D(0,3a).(2)根据(1)中A、B、D的坐标,得出抛物线对称轴x=,AO=a,OD=3a,代入求得顶点C(,-),从而得PB=3-=,PC=;再分情况讨论:①当△AOD∽△BPC时,根据相似三角形性质得,
解得:a=3(舍去);②△AOD∽△CPB,根据相似三角形性质得,解得:a1=3(舍),a2=;(3)能;连接BD,取BD中点M,根据已知得D、B、O在以BD为直径,M(,a)为圆心的圆上,若点C也在此圆上,则MC=MB,根据两点间的距离公式得一个关于a的方程,解之即可得出答案.【详解】(1)∵y=(x-a)(x-3)(0<a<3)与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),∴A(a,0),B(3,0),当x=0时,y=3a,∴D(0,3a);(2)∵A(a,0),B(3,0),D(0,3a).∴对称轴x=,AO=a,OD=3a,当x=时,y=-,∴C(,-),∴PB=3-=,PC=,①当△AOD∽△BPC时,∴,即,
解得:a=3(舍去);②△AOD∽△CPB,∴,即,解得:a1=3(舍),a2=.综上所述:a的值为;(3)能;连接BD,取BD中点M,∵D、B、O三点共圆,且BD为直径,圆心为M(,a),若点C也在此圆上,∴MC=MB,∴,化简得:a4-14a2+45=0,∴(a2-5)(a2-9)=0,∴a2=5或a2=9,∴a1=,a2=-,a3=3(舍),a4=-3(舍),∵0<a<3,∴a=,∴当a=时,D、O、C、B四点共圆.【点睛】本题考查了二次函数、相似三角形的性质、四点共圆等,综合性较强,有一定的难度,正确进行分析,熟练应用相关知识是解题的关键.20、【解析】
方程组整理后,利用加减消元法求出解即可.【详解】解:方程组整理得:①+②得:9x=-45,即x=-5,把x=-代入①得:解得:则原方程组的解为【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法,二元一次方程组的解法有两种:代入消元法和加减消元法,根据题目选择合适的方法.21、(1)3,补图详见解析;(2)【解析】
(1)总人数=3÷它所占全体团员的百分比;发4条的人数=总人数-其余人数(2)列举出所有情况,看恰好是一位男同学和一位女同学占总情况的多少即可【详解】由扇形图可以看到发箴言三条的有3名学生且占,故该班团员人数为:(人),则发4条箴言的人数为:(人),所以本月该班团员所发的箴言共(条),则平均所发箴言的条数是:(条).(2)画树形图如下:由树形图可得,所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为.【点睛】此题考查扇形统计图,条形统计图,列表法与树状图法和扇形统计图,看懂图中数据是解题关键22、(1)见解析(2)2【解析】解:(1)证明:连接OA,∵∠B=600,∴∠AOC=2∠B=1.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=2.又∵AP=AC,∴∠P=∠ACP=2.∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=3.∴OA⊥PA.∵OA是⊙O的半径,∴PA是⊙O的切线.(2)在Rt△OAP中,∵∠P=2,∴PO=2OA=OD+PD.又∵OA=OD,∴PD=OA.∵PD=,∴2OA=2PD=2.∴⊙O的直径为2..(1)连接OA,根据圆周角定理求出∠AOC,再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=2,再由AP=AC得出∠P=2,继而由∠OAP=∠AOC﹣∠P,可得出OA⊥PA,从而得出结论.(2)利用含2的直角三角形的性质求出OP=2OA,可得出OP﹣PD=OD,再由PD=,可得出⊙O的直径.23、(1)1;(
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