江苏省宜兴市2023-2024学年中考数学五模试卷含解析

江苏省宜兴市张渚徐舍教联盟2023-2024学年中考数学五模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况，统计如下表，关于这10户家庭的月用电量

说法正确的是（）

月用电量（度）2530405060

户数12421

A.极差是3B.众数是4C.中位数40D.平均数是20.5

2.如图所示，AABC为等腰直角三角形，ZACB=90°,AC=BC=2,正方形DEFG边长也为2,且AC与DE在同一

直线上，△ABC从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E重合为止，设CD的长为x,AABC

与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y,则y与x之间的函数关系的图象大致是（）

D.

3.如图，正方形被分割成四部分，其中I、n为正方形，in、iv为长方形，I、n的面积之和等于ni、iv面积之和

的2倍，若n的边长为2,且I的面积小于II的面积，则I的边长为（）

A.4B.3C.4-2百D.4+273

4.如图，AABC中，DE垂直平分AC交AB于E,ZA=30°,NACB=80。，则NBCE等于()

A.40°B.70°C.60°D.50°

5.如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为4的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“能接触到的部分”

的面积是（）

兀

A.4-71B.兀C.12+71D.15+—

4

6.如图，平行四边形ABCD中，点A在反比例函数y=勺（k/））的图象上，点D在y轴上，点B、点C在x轴上.若

x

平行四边形ABCD的面积为10,则k的值是（）

7.一次函数--满足工：、。，且随的增大而减小，则此函数的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.如图，RtAABC中，ZACB=90°,AB=5,AC=4,CD_LAB于D,贝!Jtan/BCD的值为（）

「DB

9.下列计算正确的是()

A.(a+2)(a-2)—a2-2B.(tz+l)(a-2)=a2+a-2

C.(a+b)2—a2+b2D.(a-b)2=a2-2ab+b2

10.甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500m,先到终点

的人原地休息.已知甲先出发2s.在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（m）与乙出发的时间t（s）之间的关系

如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=l.其中正确的是（）

A.①②③B.仅有①②C.仅有①③D.仅有②③

11.如图，在△ABC中,AD是BC边的中线,NADC=30O淅AADC沿AD折叠，使C点落在的位置，若BC=4,则B。的

长为（）

C*A

BDC

A.2y/3B.2C.4D.3

12.2018年10月24日港珠澳大桥全线通车，港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋

海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海洪湾，它是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，港珠澳

大桥总长度55000米，则数据55000用科学记数法表示为（）

A.55x105B.5.5X104C.0.55xl05D.5.5x105

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，小阳发现电线杆A5的影子落在土坡的坡面CD和地面上，量得CD=8,BC=20米，CD与地面

成30。角，且此时测得1米的影长为2米，则电线杆的高度为=米.

14.2018年3月2日，大型记录电影《厉害了，我的国》登陆全国各大院线.某影院针对这一影片推出了特惠活动：

票价每人30元，团体购票超过10人，票价可享受八折优惠，学校计划组织全体教师观看此影片.若观影人数为a（a

>10）,则应付票价总额为____元.（用含a的式子表示）

15.分解因式：ab2-9a=.

16.北京奥运会国家体育场“鸟巢”的建筑面积为258000平方米，那么258000用科学记数法可表示为.

17.计算：|-5|-耶=.

18.已知。、b是方程x2-2x-1=0的两个根，贝!Ja2-a+b的值是.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图1,二次函数-2ax-3a（«<0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点5的右侧），与y轴

的正半轴交于点G顶点为“

（1）求顶点。的坐标（用含"的代数式表示）；

（2）若以AO为直径的圆经过点C.

①求抛物线的函数关系式；

②如图2,点E是y轴负半轴上一点，连接5E,将△绕平面内某一点旋转180。，得到APMN（点尸、M、N分

别和点。、B、E对应），并且点拉、N都在抛物线上，作M尸，x轴于点尸，若线段MBBF=1：2,求点M、N的

坐标；

20.（6分）如图，若要在宽为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂长2米，且与灯柱A3成120。角，

路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂3c垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好.此

时，路灯的灯柱A3的高应该设计为多少米.（结果保留根号）

DOA

21.（6分）如图，ZA=ZD,NB=NE,AF=DC.求证：BC=EF.

22.（8分）两个全等的等腰直角三角形按如图方式放置在平面直角坐标系中，OA在x轴上，已知NCOD=NOAB=90。，

OC=及，反比例函数y="的图象经过点B.求k的值.把△OCD沿射线OB移动，当点D落在y=&图象上时，求

xx

23.（8分）已知：在。O中，弦AB=AC,AD是。O的直径.

24.（10分）（5分）计算：+

25.（10分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并

把所得数据整理后绘制成如下的统计图:

（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？

（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图;

（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间.

26.（12分）先化简，再求值：丁/m+2-—二］,其中m是方程x2+3x+l=0的根.

3m--6m<m-2J

27.（12分）我们已经知道一些特殊的勾股数，如三连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、

8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数.另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉

斯学派提出的公式：a=2n+l,b=2n2+2n,c=2〃2+2"+l（〃为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c

的数是一组勾股数.然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的着名数学着作《九章算术》中，书中

提到：当。-”2）,b=mn,c——（m2+n2）（m>"为正整数，时，a、b、c构成一组勾股数；利用上述结论,

22

解决如下问题：已知某直角三角形的边长满足上述勾股数，其中一边长为37,且"=5,求该直角三角形另两边的长.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、C

【解析】

极差、中位数、众数、平均数的定义和计算公式分别对每一项进行分析，即可得出答案.

【详解】

解：A、这组数据的极差是：60-25=35,故本选项错误；

B、40出现的次数最多，出现了4次，则众数是40,故本选项错误；

C、把这些数从小到大排列，最中间两个数的平均数是（40+40）+2=40,则中位数是40,故本选项正确；

D、这组数据的平均数（25+30x2+40x4+50x2+60）+10=40.5,故本选项错误；

故选：C.

【点睛】

本题考查了极差、平均数、中位数、众数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念.

2、A

【解析】

此题可分为两段求解，即C从D点运动到E点和A从D点运动到E点，列出面积随动点变化的函数关系式即可.

【详解】

解：设CD的长为x*ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为Y二

当C从D点运动到E点时，即时，y=1x2x2-1(2-x)x(2-x)=-1x2+2x.

当A从D点运动到E点时，即2<x44时，y=1x[2-(x-2)]x[2-(x-2)]=1x2-4x+8,

y=-^x2+2x(0<x<2)

，y与x之间的函数关系《由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应.

1,

y=-x-4x+8(2<x<4)

故选A.

【点睛】

本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的取值范围.

3、C

【解析】

设I的边长为x,根据“I、n的面积之和等于m、iv面积之和的2倍”列出方程并解方程即可.

【详解】

设I的边长为x

根据题意有X2+22=2(2x+2x)

解得x=4-26或%=4+2代（舍去）

故选：C.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，能够根据题意列出方程是解题的关键.

4、D

【解析】

根据线段垂直平分线性质得出AE=CE,推出NA=NACE=30。，代入/BCE=NACB-NACE求出即可.

【详解】

VDE垂直平分AC交AB于E,

；.AE=CE,

二ZA=ZACE,

VZA=30°,

.\ZACE=30°,

■:ZACB=80°,

:.ZBCE=ZACB-ZACE=50°,

故选D.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相

等.

5、C

【解析】

这张圆形纸片减去“不能接触到的部分”的面积是就是这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积.

【详解】

解：如图：

,正方形的面积是：4x4=16；

4wn,八3=3日n兀k90x^-xl271

扇形BAO的面积是：=---------

360360~4

7T

.•.则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是4xl-4x-=4-n,

4

...这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积是16-(4-7t)=12+?r,

故选C.

【点睛】

本题主要考查了正方形和扇形的面积的计算公式，正确记忆公式是解题的关键.

6、A

【解析】

作AELBC于E,由四边形ABCD为平行四边形得AD〃x轴，则可判断四边形ADOE为矩形，所以S平行四边形ABCD—S

矩形ADOE,根据反比例函数k的几何意义得到S矩形ADOE=|-k|,利用反比例函数图象得到.

【详解】

作AE_LBC于E,如图,

V四边形ABCD为平行四边形，

，AD〃x轴，

J四边形ADOE为矩形，

•e•S平行四边形ABCD=S矩形ADOE，

而S矩形ADOE=|一

A|-k|=l,

Vk<0,

故选A.

【点睛】

本题考查了反比例函数y=K(k#0)系数k的几何意义：从反比例函数y=K(k#0)图象上任意一点向x轴和y轴

xx

作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|.

7、A

【解析】

试题分析：根据y随x的增大而减小得：k<0,又kb>0,则b<0,故此函数的图象经过第二、三、四象限，即不经

过第一象限.

故选A.

考点：一次函数图象与系数的关系.

8、D

【解析】

先求得NA=NBCD,然后根据锐角三角函数的概念求解即可.

【详解】

解：VZACB=90o,AB=5,AC=4,

；.BC=3,

在RtAABC与RtABCD中，ZA+ZB=90°,ZBCD+ZB=90°.

.\ZA=ZBCD.

故选D.

【点睛】

本题考查解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的

三角函数值.

9,D

【解析】

A、原式=a?-4,不符合题意；

B、原式=a?-a-2,不符合题意；

C＞原式=a2+b2+2ab,不符合题意；

D、原式=a?-2ab+b?,符合题意，

故选D

10、A

【解析】

解：•.•乙出发时甲行了2秒，相距8m,.•.甲的速度为8/2=4m/s.

V100秒时乙开始休息.:,乙的速度是500/100=5m/s.

；a秒后甲乙相遇，.•.a=8/(5—4)=8秒.因此①正确.

秒时乙到达终点，甲走了4x(100+2)=408m,.*.b=500-408=92m.因此②正确.

,.•甲走到终点一共需耗时500/4=1255,,，0=125—2=15.因此③正确.

终上所述，①②③结论皆正确.故选A.

11、A

【解析】

连接CCS

•.•将AADC沿AD折叠，使C点落在的位置，ZADC=30°,

.,.ZADC=ZADC=30°,CD=C，D,

:.ZCDC*=ZADC+ZADCf=60°,

...△DC。是等边三角形，

/.ZDC,C=60°,

.在AABC中，AD是BC边的中线，

即BD=CD,

.\CD=BD,

1

...NDBC'=NDC'B=-NCDC'=30°,

2

:./BC'C=NDC'B+NDC'C=90。，

VBC=4,

BC'=BC・cosNDBC'=4x上

2

【点睛】本题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角函数等

知识，准确添加辅助线，掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键.

12、B

【解析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lW|a|＜10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负

数.

【详解】

将度55000用科学记数法表示为5.5x1.

故选B.

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中iw|a|V10,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、(14+273)米

【解析】

过。作OEL8c的延长线于E,连接AO并延长交3c的延长线于F,根据直角三角形30。角所对的直角边等于斜边

的一半求出。E,再根据勾股定理求出CE,然后根据同时同地物高与影长成正比列式求出EF,再求出5尸，再次利用

同时同地物高与影长成正比列式求解即可.

【详解】

如图，过。作OEL5c的延长线于E,连接AO并延长交5c的延长线于尸.

"：CD=8,CD与地面成30。角,

11

DE=—CD=—x8=4,

22

根据勾股定理得：CE=7CD2-DE2=V42-22782-42=473.

Vim杆的影长为2/n,

.DE\

••=一，

EF2

：.EF=2DE=2x4=8,

：.BF=BC+CE+EF=20+4y[3+8=（28+4石）.

..AB1

•=一，

BF2

,\AB=y（28+46）=14+2VL

故答案为（14+26）•

A

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比的性质，作辅助线求出的影长若全在水平

地面上的长3b是解题的关键.

14、24a

【解析】

根据题意列出代数式即可.

【详解】

根据题意得：30ax0.8=24a,

则应付票价总额为24a元，

故答案为24a.

【点睛】

考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键.

15、a(b+3)(b-3).

【解析】

根据提公因式，平方差公式，可得答案.

【详解】

解：原式=a(b2-9)

=a(b+3)(b-3),

故答案为：a(b+3)(b-3).

【点睛】

本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底.

16、2.58x1

【解析】

科学记数法就是将一个数字表示成(axlO的n次幕的形式)，其中lW|a|<10,n表示整数.即从左边第一位开始，在

首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次第.258000=2.58x1.

17、1

【解析】

分析：直接利用二次根式以及绝对值的性质分别化简得出答案.

详解：原式=5-3

=1.

故答案为L

点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

18、1

【解析】

根据一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出aZ2a=l、a+b=2,将其代入a"a+b中即可求出结论.

【详解】

*.'a>b是方程X2-2X-1=0的两个根，

/.a2-2a=l,a+b=2,

a2-a+b=a2-2a+(a+b)=1+2=1.

故答案为1.

【点睛】

本题考查根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于-h-、两根之积等于上c是解题的关键.

aa

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)(1,-4a)；(2)①y=-x?+2x+3；②M(-,-)>N—)；③点Q的坐标为(1,-4+2遥)或(1,

2424v

-4-2#).

【解析】

分析：(1)将二次函数的解析式进行配方即可得到顶点D的坐标.

(2)①以AD为直径的圆经过点C,即点C在以AD为直径的圆的圆周上，依据圆周角定理不难得出4ACD是个直

角三角形，且NACD=90。，A点坐标可得，而C、D的坐标可由a表达出来，在得出AC、CD、AD的长度表达式后,

依据勾股定理列等式即可求出a的值.

②将AOBE绕平面内某一点旋转180。得到APMN,说明了PM正好和x轴平行，且PM=OB=L所以求M、N的

坐标关键是求出点M的坐标；首先根据①的函数解析式设出M点的坐标，然后根据题干条件：BF=2MF作为等量关

系进行解答即可.

③设。Q与直线CD的切点为G,连接QG,由C、D两点的坐标不难判断出NCDQ=45。，那么AQGD为等腰直角

三角形，即QD2=2QG2=2QB2,设出点Q的坐标，然后用Q点纵坐标表达出QD、QB的长，根据上面的等式列方

程即可求出点Q的坐标.

详解：

(1)y-ax2-lax-3a-a(x-1)2-4a,

：.D(1,-4a).

(2)①:•以AO为直径的圆经过点C,

...△AC。为直角三角形，且NACD=90。；

由y-ax2-2ax-3a=a(x-3)(x+1)知，A(3,0)、B(-1,0)、C(0,-3a),贝！J：

AC2=9a2+9,CD2=a2+l,AD2=16a2+4

由勾股定理得：ACa+CD^AD2,即：9a2+9+a2+l=16a2+4,

化简，得：a2=l,由得：a=-1,

②,:a=-1,

抛物线的解析式:y=-x2+2x+3,D(1,4).

•.•将AOBE绕平面内某一点旋转180。得到△PMN,

轴，S.PM=OB=1；

1

设-x+2x+3),贝！］0尸=丫，MF=-xr+2x+3,BF=OF+OB^x+l;

'：BF=2MF,

.\x+l=2(-x2+2x+3),化简，得：2x2-3x-5=0

解得：Xl=-1(舍去)、X2=—.

2

57、，315、

：.Mz一)、N(一，—

2424

③设。。与直线CD的切点为G,连接0G,过C作由，0。于〃，如下图:

->

x

'：C(0,3)、D(1,4),

:.CH=DH=1,即△C"Z>是等腰直角三角形，

.•.△QGO也是等腰直角三角形，即：QD2=2QG2；

设。(1,b),则QD=4-b,QG2^QB2=b2+4；

得：(4-b)2=2(Z>2+4),

化简，得：b2+8b-8=0,解得：b=-4±2娓;

即点。的坐标为(1,—4+26)或(1,—4—2#).

点睛：此题主要考查了二次函数解析式的确定、旋转图形的性质、圆周角定理以及直线和圆的位置关系等重要知识点;

后两个小题较难，最后一题中，通过构建等腰直角三角形找出QD和。Q半径间的数量关系是解题题目的关键.

20、(10逝—4)米

【解析】

延长OC,A3交于点P,△PCB^APAO,根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题.

【详解】

解：如图，延长OC,A3交于点P.

■:ZABC=120°,

/.ZPBC=60°,

'：ZOCB^ZA=90°,

NP=30°,

"：AD=20米，

.*.OA=-AD=10米，

2

•.”C=2米，

...在RtACPB中，PC=8C・tan60°=2G米，PB=2BC=4米,

VZP=ZP,NPC3=NA=90°,

:.△PCBS/\PA0,

.PC__BC

••—9

PAOA

...昨勺"二①W=io6米，

BC2

：.AB=PA-PB=(106-4)米.

答：路灯的灯柱AB高应该设计为4)米.

21、证明见解析.

【解析】

想证明BC=EF,可利用AAS证明△ABC^ADEF即可.

【详解】

M：VAF=DC,

.\AF+FC=FC+CD,

；.AC=FD,

在4ABC和小DEF中，

NA=ZD

<ZB=ZE

AC=DF

/.△ABC^ADEF(AAS)

.\BC=EF.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

22、(1)k=2；(2)点D经过的路径长为".

【解析】

(D根据题意求得点B的坐标，再代入y='求得k值即可；

(2)设平移后与反比例函数图象的交点为D，，由平移性质可知DD，〃OB,过D，作D'ELx轴于点E,交DC于点F,

设CD交y轴于点M(如图)，根据已知条件可求得点D的坐标为(-1,1),设D，横坐标为t,则OE=MF=t,即可

得D，(t,t+2),由此可得t(t+2)=2,解方程求得t值，利用勾股定理求得DD，的长，即可得点D经过的路径长.

【详解】

(1)•••△AOB和ACOD为全等三的等腰直角三角形，OC=后，

AAB=OA=OC=OD=V2，

.•.点B坐标为(丘,V2).

代入y="得k=2；

龙

(2)设平移后与反比例函数图象的交点为D，，

由平移性质可知DD，〃OB,过D，作D，E，x轴于点E,交DC于点F,设CD交y轴于点M,如图,

.\OM=MC=MD=1,

.•.D坐标为(-1,1),

设D，横坐标为t,则OE=MF=t,

.,.DT=DF=t+l,

.\D,E=D,F+EF=t+2,

二》(t,t+2),

YD，在反比例函数图象上，

At(t+2)=2,解得—l或t=-73-1(舍去),

••.D'(若-1,V3+1)，

•••DD=J(6—1+1)2+(G+1-1)?=V6，

即点D经过的路径长为

【点睛】

本题是反比例函数与几何的综合题，求得点D，的坐标是解决第(2)问的关键.

23、证明见解析

【解析】

根据AB=AC,得到初于是得到/ADB=NADC,根据AD是。O的直径，得到NB=/C=90。，根据三角形

的内角和定理得到NBAD=NDAC,于是得到结论.

【详解】

证明：

油=，

/.ZADB=ZADC,

；AD是。O的直径，

.\ZB=ZC=90°,

AZBAD=ZDAC,

:，BD=CD，

.\BD=CD.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键.

24>一--、,，・

【解析】

试题分析：利用负整数指数幕，零指数塞、绝对值、特殊角的三角函数值的定义解答.

试题解析：原式=J»：-7=5-J-,7.

考点：L实数的运算；2.零指数募；3.负整数指数暴；4.特殊角的三角函数值.

25、(4)500；(4)440,作图见试题解析;(4)4.4.

【解析】

(4)利用0.5小时的人数除以其所占比例，即可求出样本容量；

(4)利用样本容量乘以4.5小时的百分数，即可求出4.5小时的人数，画图即可;

(4)计算出该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间即可.

【详解】

解：(4)由题意可得：0.5小时的人数为：400人，所占比例为：40%,

,本次调查共抽样了500名学生；

(4)4.5小时的人数为：500x4.4=440(人)，如图所示：

100义0.5+200义+120x1.5+80x2

(4)根据题意得:=4.4,即该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间为4.4

100+200+120+80

小时.

考点：4.频数(率)分布直方图；4.扇形