广东省梅州市重点中学2022年高考数学一模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.已知双曲线C：二—与=1（。>0，6>0）的右焦点与圆（X—2）2+/=5的圆心重合，且圆M被双曲

ab

线的一条渐近线截得的弦长为2&，则双曲线的离心率为（）

A.2B.V2C.73D.3

2.x<l是x+』<—2的（）条件

X

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

3.已知定义在R上的可导函数/（%）满足（1—。〃力+十/'（%）>0,若产/0+2）-/是奇函数，则不等式

龙•/（尤）-2*|<0的解集是（）

A.(-co,2)B.(-8,1)C.(2,+<x>)D.(L+8)

4.设a=ln3,则8=炮3,则（）

A.a+b>a—b>abB.a+b>ab>a—bC.a—b>a+b>abT）.a—b>ab>a+b

5.如图所示，直三棱柱的高为4,底面边长分别是5,12,13,当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8,

则球的体积为（）

C.D.

"二-22

6.《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、

艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中表示一个阳爻，表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，

这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（）

7.已知函数y（x）=2sin（ox+e）-l（®＞0,。＜。＜万）的一个零点是?，函数丁=/（%）图象的一条对称轴是

直线x=-g,则当。取得最小值时，函数/（%）的单调递增区间是（）

A.3k7T----,3k7T-----（左wZ）B.3k7l--,3k7l--（左eZ）

L36__36

2万71

C.2k兀—--,2k;i--（左wZ）D.2k7l--,2k7l--（左wZ）

3636

8.“夕=-7Tg”是“函数/（x）=sin（3无+。）的图象关于直线》=-TT£对称”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.已知公差不为0的等差数列｛凡｝的前〃项的和为工，％=2,且4，%，生成等比数列，则工=（）

A.56B.72C.88D.40

10.已知复数z=（2+s”是纯虚数,其中。是实数，则Z等于（）

1-Z

A.2zB.-2zC.iD.-z

11.设平面1与平面夕相交于直线相，直线。在平面a内，直线/?在平面广内，且相则”是“a的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.即不充分不必要条件

12.欧拉公式为*=cosx+，sinx,（i虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数,

建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，e家表

示的复数位于复平面中的()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.甲，乙两队参加关于“一带一路”知识竞赛，甲队有编号为1,2,3的三名运动员，乙队有编号为1,2,3,4的四

名运动员，若两队各出一名队员进行比赛，则出场的两名运动员编号相同的概率为.

14.如图所示，平面BCCiBi，平面ABC,NABC=120。，四边形BCGBi为正方形，且AB=BC=2,则异面直线BCi

与AC所成角的余弦值为.

l(a〉6〉0)的离心率为e,歹是「的右焦点，点P是「上第一角限内任意一点,

uuuuumUUUUULU

（?e=2OP（2>0）,FQOP=Q,若4<e,则e的取值范围是

16.已知圆C：/+/+8*+◎-5=0经过抛物线E：%2=4y的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长是

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：/-4x-4=0,以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建

7T

立极坐标系，直线/的极坐标方程为6=1(peR).

(1)求抛物线C的极坐标方程；

(2)若抛物线C与直线/交于A,3两点，求目的值.

18.(12分)已知在A6c中，内角AB,C所对的边分别为a,b,c,若a=l,A=^,且Qc—2b=l.

(1)求cos。的值;

（2）求ABC的面积.

19.（12分）如图，在平面直角坐标系中，以x轴正半轴为始边的锐角a的终边与单位圆。交于点A,且点A的纵坐

标是浮

（2）若以x轴正半轴为始边的钝角0的终边与单位圆。交于点B，且点B的横坐标为一正，求a+尸的值.

5

-=J3

20.（12分）在直角坐标系xQy中，曲线G的参数方程为"―"C°Sa（e为参数），以坐标原点为极点，以x轴正

y=sina

半轴为极轴，建立极坐标系，曲线。2的极坐标方程为夕sin（6+：）=2后.

（1）写出G的普通方程和的直角坐标方程；

（2）设点P在G上，点。在上，求|PQ|的最小值以及此时P的直角坐标.

X=1+COS0

21.（12分）在平面直角坐标系“Oy中，曲线C的参数方程为.（。为参数），以坐标原点为极点，”轴

y=sin/

的正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为夕sin16+?）=2点.

（1）求曲线C的极坐标方程和直线/的直角坐标方程;

（2）若射线6=a0<a</与曲线（7交于点4（不同于极点O）,与直线/交于点3,求\OA\m一居

|OB।1V的l最大值。

22.（10分）如图所示，已知AC,平面COE,BDAC,_ECD为等边三角形,尸为边瓦>上的中点，且

CD=BD=2AC=2.

(I)求证：CFP面ABE；

(II)求证：平面平面6£>E;

(III)求该几何体£-ABDC的体积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

2b

由已知，圆心”到渐近线的距离为可得6=又°=2=/+〃，解方程即可.

y/a2+b2

【详解】

由已知，c=2,渐近线方程为法土分=0,因为圆"被双曲线的一条渐近线截得的弦长为20，

所以圆心M到渐近线的距离为而-(叵I?=6=耳+7=:b,故。=后丁=1,

所以离心率为e=f=2.

a

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题.

2.B

【解析】

利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系，即可得出。

【详解】

设P：x<1对应的集合是A=(-00,1),由X+,<一2解得X<0且Xw-1

X

q：X+，<-2对应的集合是5=(—8,—1),(-1,0),所以3.4,

JC

故无<1是x+,<-2的必要不充分条件，故选B。

X

【点睛】

本题主要考查充分条件、必要条件的判断方法——集合关系法。

设A={x1尤ep},B=,

如果3,则"是q的充分条件；如果a-3则，是q的充分不必要条件；

如果5口4,则0是q的必要条件；如果3*4,则。是q的必要不充分条件。

3.A

【解析】

构造函数g(x)=[⑴,根据已知条件判断出g(X)的单调性.根据y=/(%+2)-e3是奇函数，求得.”2)的值，

由此化简不等式尤•/(无)-Ze*<0求得不等式的解集.

【详解】

构造函数g(x)=xj"),依题意可知g(x)=07)"⑴+『/(x)〉0,所以g(x)在R上递增.由于

y=/(x+2)—e3是奇函数，所以当x=0时，y=/(2)-e3=0,所以/(2)=e3,所以g(2)=21E=2e.

由尤・/(龙)-2二|<0得g(%)=*•：("<2e=g(2),所以x<2,故不等式的解集为(—8,2).

故选：A

【点睛】

本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档

题.

4.A

【解析】

根据换底公式可得〃再化简a+b,a—比较ln3/nlO-l」nlO+l的大小，即得答案.

InlO

【详解】

”=坨3=味|。3=丽

1II3In3(In10+1)_In3_ln3(lnl0-l)

a+b=ln3+，a-

InWIn10-nInlOIn10

In3xln3

ab=

In10

ln3>O,lnlO>0,显然。+6>。一4

3e<10,/.In(3e)<In10,BPIn3+1<In10,/.In3<In10-1,

In3xIn3In3(in10-1)

,即。/?<。一人

In10In10

综上，a+b>a-b>ab.

故选：A.

【点睛】

本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题.

5.A

【解析】

设球心为一,三棱柱的上底面的内切圆的圆心为该圆与边--切于点根据球的几何性质可得

为直角三角形，然后根据题中数据求出圆二半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积.

【详解】

如图，设二棱柱为_且_-；1—'高―」.

<<<.

所以底面--------为斜边是--的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆-,圆-与边--切于点

-i-iUJ-i-

则圆-.的半径为..一：.

所以

即球二的半径为

所以球二的体积为.

，:7二

□X(2^3)J=

故选A.

【点睛】

本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个:

(1)构造以球半径二、球心到小圆圆心的距离二和小圆半径二为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径,

这是解决与球有关的问题时常用的方法.

若直角三角形的两直角边为-斜边为-，则该直角三角形内切圆的半径，合理利用中间结论可提

(2)LXXX口

高解题的效率.

6.C

【解析】

分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个，再取没

有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解.

【详解】

由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是穹=3；

仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是=3,于是所求的概率

3+33

~CT~14'

O

故选：C

【点睛】

本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.

7.B

【解析】

根据函数/(%)的一个零点是x=£,得出/g1=0,再根据x=—£是对称轴，得出-Jo—e=g+keZ,

31”662

求出W的最小值与对应的（P,写出/（X）即可求出其单调增区间.

【详解】

八一J»八c.（万①）1八.（兀3、1

依题显得，/I-I=2sinl-^-+I—1=0,即sin3-+'=—,

.7TCO_TC_TCCi）-7uTC.».।z

解hT得----卜（p=27k、7i—或---&cp=2k2兀〜----（其中,&£Z）.①

3636

（兀co）

又SH1------+0=±1,

16）

即-----（p=k3万H（其中左3WZ）.②

62

由①一②得；——（2左]_左3）%_彳或《-=（2左2_k3）万+耳，

222

即G=2（2Al—左3）—1或0=2（2左2—左3）+§（其中女1，女2，左3WZ）,因此。的最小值为

因为5皿1一拳+0]=5111]—:1+0]=±1,所以一匕+°=1+左万（左eZ）.

jrjr八/\（2兀兀、（2兀、

又Ov0V»,所以夕=,+§，所以f=2sin—x+—+—j—1=2cos—x+—J—1,

2715TC7C

令2左万一万<—JTH——<2kji（左EZ）,则3左1------<x<3k7i-----（kwZ）.

3936

57r71

因此，当。取得最小值时，/（X）的单调递增区间是3k7i--,3k7i--（左wZ）.

36

故选：B

【点睛】

此题考查三角函数的对称轴和对称点，在对称轴处取得最值，对称点处函数值为零，属于较易题目.

8.A

【解析】

JT7

先求解函数/Xx）的图象关于直线工=-石对称的等价条件，得到夕=左乃+工冬左eZ,分析即得解.

88

【详解】

7T

若函数f（x）的图象关于直线X=-g对称，

则3x+（p=k/c+%,keZ,

7

解得°=左》+—肛左wZ,

8

冗

故"0=—?，，是“函数f(%)=sin(3x+°)的图象关于直线x=-7gT对称”的充分不必要条件.

88

故选：A

【点睛】

本题考查了充分不必要条件的判断，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于基础题.

9.B

【解析】

d=%%=(%+2d)2=%(%+8d),将q=2代入，求得公差d,再利用等差数列的前〃项和公式计算即可.

【详解】

由已知，«3=aia9>4=2,故(q+2d)2=%(1+8d),解得d=2或d=0(舍)，

故=2+(”一1)义2=2”,S&=8(4；“8)=4Q+2X8)=72.

故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列的前〃项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.

10.A

【解析】

对复数z进行化简，由于z为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为0,得到。的值，从而得到复数z.

【详解】

(2+az)i—a+2z(-a+2z)(l-7)2-aa+2.

z—i-z—i+i—(I+Z)(I-J)

2—a

因为z为纯虚数，所以——=0,得a=2

2

所以z=2i.

故选A项

【点睛】

本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题.

11.A

【解析】

试题分析：a_Lp,b±m.「又直线a在平面a内，所以a_Lb,但直线--不一定相交，所以"aJ_p"是"a_Lb"

的充分不必要条件，故选A.

考点：充分条件、必要条件.

12.A

【解析】

计算启=cos工+isin工」+走3得到答案.

3322

【详解】

根据题意*=cos尤+，sinx,故＞'=cos工+/sin2=工+丫3/，表示的复数在第一象限.

3322

故选：A.

【点睛】

本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力和理解能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13.1

4

【解析】

出场运动员编号相同的事件显然有3种，计算出总的基本事件数，由古典概型概率计算公式求得答案.

【详解】

甲队有编号为1,2,3的三名运动员，乙队有编号为1,2,3,4的四名运动员，

出场的两名运动员编号相同的事件数为3,

出现的基本事件总数“=3x4=12,

31

则出场的两名运动员编号相同的概率为二=：.

124

故答案为：一

4

【点睛】

本题考查求古典概率的概率问题，属于基础题.

14.渔

4

【解析】

将AC平移到和BQ相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值.

【详解】

过B作5D//AC,过C作CD//A6,画出图像如下图所示，由于四边形ABC。是平行四边形，故班）//AC,所

以/Cd。是所求线线角或其补角•在三角形中，忸。1|=|。1。|=2血,3。=2百，故

8+12—8A/6

cosZCjBD=

2x272x2734

【点睛】

本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

-H]

【解析】

由于点P在椭圆上运动时，0尸与X轴的正方向的夹角在变，所以先设NFOQ=，，又由/。•OP=0,可知

2ccossin

2（ccos6>,ccossin,从而可得P—；,而点尸在椭圆上，所以将点尸的坐标代入椭圆方程

IX4,

中化简可得结果.

【详解】

设=P（尤,y）,ZFOQ=0,贝!|Q（ccos?accosOsind）,

由法（彳>0）,得小吃,经竽竺],代入椭圆方程，

c2cos40c2cos26^sin26^.片..b2cos26/^八八八八l#一

得——5—+--------5-------=丸2（节，化简得节〉------厂（0。o<6<90。）怛成工，

abaa1+cos0

1（J?

由此得勺之上，即。222c2,故0,-^—.

a22I2_

故答案为：

I2J

【点睛】

此题考查的是利用椭圆中相关两个点的关系求离心率，综合性强，属于难题.

16.476

【解析】

求出抛物线的焦点坐标，代入圆的方程，求出。的值，再求出准线方程，利用点到直线的距离公式，求出弦心距，利

用勾股定理可以求出弦长的一半，进而求出弦长.

【详解】

抛物线E：必=4'的准线为y=-l,焦点为(0,1),把焦点的坐标代入圆的方程中，得。=4,所以圆心的坐标为

(-4,-2),半径为5,则圆心到准线的距离为1,

所以弦长=2A/52-12=4A/6-

【点睛】

本题考查了抛物线的准线、圆的弦长公式.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1«

17.(1)p1sin20-4pcos61-4=0(2)|AB|=—

【解析】

⑴利用极坐标和直角坐标的互化公式x=〃cos6,y=〃sin。,即可求得结果.

⑵由夕的几何意义得-夕2〔•将6=:代入抛物线C的方程，利用韦达定理8+夕2=|，夕户2=-修，即

可求得结果.

【详解】

(1)因为x=/7cos。，y=psin^,

2

代入y2—4%一4=0得夕之sin0-4/7cos。一4=0,

所以抛物线C的极坐标方程为p2sin26—42cos6—4=0.

(2)将6=1代入抛物线C的方程得等—2夕—4=0,

816

=

所以夕1+夕2=耳，P\P1一~

I12/、2/6464256

=

|Pi_A|(A+A)-4夕172二豆+5二-^-

所以Ml—0l=g'

由夕的几何意义得，=g.

【点睛】

本题考查直角坐标和极坐标的转化，考查极坐标方程的综合应用,考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，难

度一般.

18.(1)--；(2)B

24

【解析】

JT5

(1)将a=l代入等式，结合正弦定理将边化为角，再将A=—及8C代入，即可求得COSC的值；

66

(2)根据(1)中cosC的值可求得C和3,进而可得b=a=l,由三角形面积公式即可求解.

【详解】

(1)由后一2人=1,得辰-2b=a，

由正弦定理将边化为角可得"sinC-2sinB=sinA，

'：A=~,

6

B=—7T—C,

6

y/3sinC-2sin-n-C--,化简可得7§sinC_2x」cosC--2xginC=L

16)2222

解得cosC=—

2

(2),在中，cosC--,

2

.・C-9

3

71

:・B=TI-A-C=—

69

:・b=a=',

,01…r111占g

••S=-absmC=—x1x1x—=—•

ABRCr2224

【点睛】

本题考查了正弦定理在边角转化中的应用，正弦差角公式的应用,三角形面积公式求法，属于基础题.

19.(1)(2)a+/3=—

54

【解析】

(1)依题意，任意角的三角函数的定义可知,s%a=巫，进而求出cosa=之叵.

1010

在利用余弦的和差公式即可求出cosL-y

(2)根据钝角B的终边与单位圆交于点3,且点B的横坐标是-手，得出cos,=，进而得出sin(3=子，利用

正弦的和差公式即可求出sin(a+，)=#,结合c为锐角，/为钝角，即可得出。，的值.

【详解】

解：因为锐角戊的终边与单位圆交于点A,点A的纵坐标是画,

10

所以由任意角的三角函数的定义可知,si〃a=®

10

从而COS6Z=Jl—sin2a=2^

10

3TC.3兀

(1)于是cos1a一曰=cos6/cos——+smasin—

44

3所、+眄_7|

1010一一彳

(2)因为钝角£的终边与单位圆交于点3,且点3的横坐标是-正,

5

所以cos0=~~~，从而sin/3=Jl-cos?"=~~

于是sin（a+分）=sinacosJ3+cosasinp

+外空

1052

n37c

因为。为锐角,£为钝角，所以。£

从而。+尸=+.

【点睛】

本题本题考查正弦函数余弦函数的定义，考查正弦余弦的两角和差公式，是基础题.

丫231

20.(1)G：—+/=1.C2：x+y—4=0；(2)归。二=及，此时「(一，一).

322

【解析】

丫2

试题分析：(1)G的普通方程为3~+9=1,G的直角坐标方程为1+y-4=。；(2)由题意，可设点尸的直角坐

标为(百cos%sina)nP到C2的距离d(a)=十出)誉na-4|=^+2£)_2|

一V23

7T31

n当且仅当。=2E+F(左eZ)时，d(a)取得最小值，最小值为0,此时P的直角坐标为(三,二).

622

丫2

试题解析：(I)G的普通方程为\+丁=1,。2的直角坐标方程为x+y-4=0.

(2)由题意，可设点P的直角坐标为(Gcosa,sina),因为C2是直线，所以IPQI的最小值即为P到C2的距离d(a)

的最小值，d(a)=函c°sqina—4|=也।+2E)-2|.

V23

7T31

当且仅当。=2版+合(左eZ)时，d(a)取得最小值，最小值为0,此时P的直角坐标为(三二).

考点：坐标系与参数方程.

【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，

常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法；混合消参法等.把曲线C的普通

方程方(x,y)=。化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性.注意方程中的参数的变

化范围.

21.(1)C1；p=2cos6>,直线/：x+y=4；(2).

4

【解析】

X=OCOS0

(1)由消参法把参数方程化为普通方程，再由公式,八进行直角坐标方程与极坐标方程的互化；

y=夕sin”