高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第31讲不等关系与不等式课时达标文含解析新人教A版

第31讲不等关系与不等式课时达标一、选择题1．设a，b为实数，则“a<eq\f(1,b)或b<eq\f(1,a)”是“0<ab<1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件D解析可通过举反例说明，当a＝b＝－10时，a＜eq\f(1,b)，b＜eq\f(1,a)，但ab＝100＞1，所以不是充分条件；反之，当a＝－1，b＝－eq\f(1,2)时，0＜ab＜1，但a＞eq\f(1,b)，b＞eq\f(1,a)，所以不是必要条件．综上可知“a＜eq\f(1,b)或b＜eq\f(1,a)”是“0＜ab＜1”的既不充分也不必要条件．2．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列结论不正确的是()A．a2<b2 B．ab<b2C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|D解析令a＝－1，b＝－2，代入选项验证可知D项错误．3．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，bA．c≥b＞a B．a＞c≥bC．c＞b＞a D．a＞c＞bA解析因为c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，所以c≥b.又b＋c＝6－4a＋3a2，所以2b＝2＋2a2，所以b＝a2＋1，所以b－a＝a2－a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)＞0，所以b＞a，所以c≥b＞a.4．(2019·江西七校联考)设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是()A．a3＞b3 B.eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)C．ab＞1 D．lg(b－a)＜0D解析取a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(1,2)，可知A，B，C项错误．故选D.5．设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，那么2α－eq\f(β,3)的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,6))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))C．(0，π) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，π))D解析由题设得0＜2α＜π，0≤eq\f(β,3)≤eq\f(π,6)，所以－eq\f(π,6)≤－eq\f(β,3)≤0，所以－eq\f(π,6)＜2α－eq\f(β,3)＜π.6．已知0＜c＜1,1＞a＞b＞0，下列不等式成立的是()A．ca＞cb B.eq\f(a,a＋c)＜eq\f(b,b＋c)C．bac＞abc D．logac＞logbcD解析对于A项，构造函数y＝cx，因为0<c<1，故函数是减函数，a>b>0，根据单调性得知ca<cb，故A项错误；对于B项，eq\f(a,a＋c)<eq\f(b,b＋c)，两边取倒数得eq\f(a＋c,a)＝1＋eq\f(c,a)，eq\f(b＋c,b)＝1＋eq\f(c,b)，因为0<c<1,1>a>b>0，故eq\f(c,a)<eq\f(c,b)⇒eq\f(a＋c,a)<eq\f(b＋c,b)，取倒数得eq\f(a,a＋c)>eq\f(b,b＋c)，故B项错误；对于C项，eq\f(bac,abc)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))c－1，因为0<c＜1，1＞a＞b＞0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))c－1＜1，整理得bac＜abc，故C项错误；对于D项，由条件和结论知logac>0，logbc>0，利用对数函数的换底公式，则有eq\f(1,logca)>eq\f(1,logcb)⇒logac>logbc，故D项正确．故选D.二、填空题7．(2018·北京卷)能说明“若a＞b，则eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)”为假命题的一组a，b的值依次为________．解析取a＝1＞b＝－1，则eq\f(1,a)＝1＜eq\f(1,b)＝－1不成立．答案1，－1(答案不唯一)8．若－1<a＋b<3,2<a－b<4，则2a＋3b解析设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x－y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝－\f(1,2).))又因为－eq\f(5,2)＜eq\f(5,2)(a＋b)＜eq\f(15,2)，－2＜－eq\f(1,2)(a－b)＜－1，所以－eq\f(9,2)＜eq\f(5,2)(a＋b)－eq\f(1,2)(a－b)＜eq\f(13,2)，即－eq\f(9,2)＜2a＋3b＜eq\f(13,2).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，\f(13,2)))9．已知下列结论：①若a>|b|，则a2>b2；②若a>b，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；③若a>b，则a3>b3；④若a<0，－1<b<0，则ab2>a.其中所有正确结论的序号是________．解析对于①，因为a＞|b|≥0，所以a2＞b2，即①正确；对于②，当a＝2，b＝－1时，显然不正确；对于③，显然正确；对于④，因为a＜0，－1＜b＜0，ab2－a＝a(b2－1)＞0，所以ab2＞a，即④正确．答案①③④三、解答题10．若实数a≠1，比较a＋2与eq\f(3,1－a)的大小．解析因为a＋2－eq\f(3,1－a)＝eq\f(－a2－a－1,1－a)＝eq\f(a2＋a＋1,a－1)，所以当a＞1时，a＋2＞eq\f(3,1－a)；当a＜1时，a＋2＜eq\f(3,1－a).11．若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0.求证：eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).证明因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，又因为a＞b＞0，所以a－c＞b－d＞0.所以(a－c)2＞(b－d)2＞0.所以0＜eq\f(1,a－c2)＜eq\f(1,b－d2).又因为e＜0，所以eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).12．已知x，y为正实数，满足1≤lg(xy)≤2,3≤lgeq\f(x,y)≤4，求lg(x4y2)的取值范围．解析设a＝lgx，b＝lgy，则lg(xy)＝a＋b，lgeq\f(x,y)＝a－b，lg(x4y2)＝4a＋2b.设4a＋2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,m－n＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝1.))所以lg(x4y2)＝3lg(xy)＋lgeq\f(x,y).因为3≤3lg(xy)≤6,3≤lgeq\f(x,y)≤4，所以6≤lg(x4y2)≤10，即lg(x4y2)的取值范围是[6,10]．13．[选做题](2019·武汉二中检测)若a＞b＞0，给出以下几个不等式：①eq\f(b,a)＜eq\f(b＋5,a＋5)；②lgeq\f(a＋b,2)＜eq\f(lga＋lgb,2)；③a＋eq\f(1,b)＞b＋eq\f(1,a)；④eq\r(a)－eq\r(b)＞eq\r(a－b).其中正确的是________(请填写所有正确的序号)．解析对于①，eq\f(b,a)－eq\f(b＋5,a＋5)＝eq\f(ba＋5－ab＋5,aa＋5)＝eq\f(5b－a,aa＋5)＜0，所以eq\f(b,a)＜eq\f(b＋5,a＋5)，①正确；对于②，因为eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)，所以lgeq\f(a＋b,2)＞lgeq\r(ab)＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)，故②错误；对于③，因为a＞b＞0，所以0＜eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，所以