天津市红桥区2024届高三一模数学试题（含答案解析） (二)

天津市红桥区2024届高三一模数学试题

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一、单选题

1,已知全集。={-2,T0,1,2,3,4},集合。={-2,0,1,2},8={-1,0,2,3},则，U讨=C

A.{4}B.{-2,0,1,2,4}C.{0,2}D.{-2,1}

【答案】B

【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求出结果.

【详解】因为8={-1,0,2,3},所以28={-2,1,4},

又/={-2,0,1,2},所以/U之8={-2,0,1,2,4},

故选：B.

2.已知a,beR,贝是“小蛇>/。24”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】

举出反例，根据充分条件和必要条件的定义即可得解.

【详解】当a=1,6=-2时,a*产,

202420U

当。=-2,6=1时，fl>b,a<b,

所以“a>方”是“「24>’24”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

06

3.设a=log。$0.6,/>=0.255，c=o.6,则“，b,c的大小关系是（）

A.b>a>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b

【答案】c

【分析】

利用塞函数、指数函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可.

【详解】因为>=logo,5X在（0,+°0）上单调递减，所以logojlvlogo_50-6<logojOS即

0<a<1.

因为y=x°6在（o,+e）上单调递增，又0.25-03=0.5-°-6=2°6,0.6-°-6=f-^,

试卷第1页，共17页

又所以

2>g>l,2°6故6〉c〉l,所以6>c>a.

故选：C.

4.已知函数/'3=4k-4,则/(x)的图象大致为()

(x-2)

【答案】A

【分析】

由特值法，函数的对称性对选项一一判断即可得出答案.

|0-2|2

【详解】因为「(0)=右0一4=]一4<0,故C错误；

(0—2)4

卜x+4-2|\-x+^\x-^

又因为/(r+4)=」-------4———--4——-_4=|

八)(-x+4-2)72(-x+2)2(x-2)2A7

故函数/(X)的图象关于X=2对称，故B错误;

当x趋近2时，趋近1，(》-2)2趋近0,所以/卜)=三'-4趋近正无穷，故D

(工-2)

错误.

故选：A.

5.已知仍wl,logam=2,logb加=3,则1。8仍加二()

11-56

A.—B.—C.-D.一

6565

【答案】D

【分析】

由对数的换底公式及对数的运算性质即可求出结果.

【详解】由换底公式得，log.,。"—=5，bg“*="—=；,

log”m210gzlm3

试卷第2页，共17页

,116

所以log0/,m=----------=-------------------=—

log.,ablog,,,a+logmb5

故选：D.

6.已知正六棱柱的所有棱长均为2,则该正六棱柱的外接球的表面积为()

A.16兀B.207tC.87tD.57r

【答案】B

【分析】

根据正六棱柱的性质可求解半径，由表面积公式即可求解.

【详解】如图，设正六棱柱下底面的中心为。'，其外接球的圆心为点O,

则△N3O,为等边三角形，

故/。'=2,CM即为其外接球的半径A,

所以及=/。=y/AO'2+OO'2=VF+F=y/5，

7.已知直线歹=丘与圆C:(x+2)2+/=3相切，交曲线/=28(°>0)于点?，若

尸|=8,。是坐标原点，则以尸为圆心，以P为半径的圆与圆C的位置关系为()

A.相交B.内含C.外离D.外切

【答案】C

【分析】

根据点到直线的距离求得左，再联立直线与抛物线方程得点尸坐标及圆方程，再考虑圆

心距即可.

【详解】

根据J।=也,解得k=±A/3，

结合抛物线的对称性，只需考虑后=内的情形，

试卷第3页，共17页

了=女

£解得x=0,3'

联立或4

>=02回

y=------

3

，解得P=6,

所以10Pl==%=8

3

此时点P（4,4A回），圆尸的方程为6-4）2+3-4a）2=36,

因为圆C和圆尸的圆心距［=7（-2-4）2+（0-473）2=2而'＞百+6，

所以两圆外离.同理当上=-括时，两圆也外离.

故选：C.

8.某中学有学生近600人，要求学生在每天上午7：30之前进校，现有一个调查小组

调查某天7：00~7：30进校人数的情况，得到如下表格（其中纵坐标V表示第x-1分钟

至第x分钟到校人数，14x430,xeN*,如当x=9时，纵坐标了=4表示在7：08~7：

09这一分钟内进校的人数为4人）.根据调查所得数据，甲同学得到的回归方程是

y=3.6x-27（图中的实线表示），乙同学得到的回归方程是y=0.82e°.（图中的虚线

表示），则下列结论中错误的是（）

A.7：00~7：30内，每分钟的进校人数了与相应时间x呈正相关

B.乙同学的回归方程拟合效果更好

C.根据甲同学得到的回归方程可知该校当天7：09~7：10这一分钟内的进校人数一

定是9人

试卷第4页，共17页

D.该校超过半数的学生都选择在规定到校时间的前5分钟内进校

【答案】C

【分析】对于A,根据散点图判断；对于B,由图象结合函数的图象特征判断；对于C,

由回归方程得到的只能是估计值判断；对于D,根据统计表判断.

【详解】对于A,根据散点图知，7：00〜7：30内，每分钟的进校人数V与相应时间x

呈正相关，故A正确；

对于B,由图知，曲线y=0.82e°」6*的拟合效果更好，故乙同学的回归方程拟合效果更

好，故B正确；

对于C,表格中并未给出对应的值，而由甲的回归方程得到的只能是估计值，不一定就

是实际值，故C错误；

对于D,全校学生近600人，从表格中的数据知，7：26~7：30进校的人数超过300,

故D正确，

故选：C.

TT

9.将函数/（幻的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移]单位，得到函数

g（x）=sin（2x+0）[o<e<1^的部分图象（如图所示）.对于VX],x2&{a,b],且玉片马,

若g（xj=g（xj,都有ga+%）=乎成立,则下列结论中不正确的是（）

C.g（无）在n,—上单调递增

D.函数/（X）在0,,的零点为演"2,…,尤"，则再+2匕+2%+…+2X"_[+x"=芋

【答案】C

【分析】

X,+x

由题意可得函数g（x）的图象在区间[凡句上的对称轴为X=-----9再结合

2

试卷第5页，共17页

g(Xi+%)=日可求出夕，即可判断A；再根据平移变换和周期变换得原则即可判断B,

再根据正弦函数的图象和性质分别判断CD即可.

【详解】对于A,由题意可知函数g(x)的图象在区间［a,6］上的对称轴为x=土言，

贝l］x=O与x=±+z关于x=土产对称，

又g(X］+X?)=，结合图象可得g(0)=g(X1+x2)=!

所以sin0=1,又0<0</所以夕=5，

所以g(x)=sin12x+；j,故A正确；

对于B,g(x)二si“2x+；［右移1个单位得到函数ksinQxj)的图象，

再将其横坐标缩短为原来的g得到/(x)=sin(4x-］J的图象，故B正确；

।十.「3兀1gc兀「7兀10兀

对于C,由工£再受，得+­,,

3兀

所以g(x)在耳彳上不单调，故C错误；

jr7T

对于D,令/=4x-、，则/e-J,5TI,

兀

函数y=sinf在一］,5兀上有6个零点"，占G%阳"&<J<J<%<4<%)，

贝|4+右=兀，t2+t3=3n,t3+t4=5TI,4+4=7兀，t5+t6=9n,

故4+2t〔+2t3+2,4+2t$+J=4(X]+2x2+2X3+2x4+2X5+Xf)—10x—=25TI

所以X]+2X2+2X3+—F2X"T+x0=——71,故D正确;

故选：C.

【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路:

(1)将函数解析式变形为y=/sin(ox+0)+B(0>0)或y=/cos(ox+夕)+8(0>0)的

形式；

(2)将0X+。看成一个整体；

(3)借助正弦函数y=sinx或余弦函数户cosx的图象和性质(如定义域、值域、最值、

周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.

二、填空题

试卷第6页，共17页

10.i是虚数单位，复数-r一=________

1-1

【答案】l+3z73z+l

【分析】

根据复数除法法则计算出答案.

4+2i(4+2i)(l+i)4+6i+2i22+6i

【详解】=l+3i

i-i一(i-i)(i+i)---2

故答案为：l+3i

6

11.已知二项式2尤+,则其展开式中含/的项的系数为.

【答案】4320

【分析】

求出展开式得通项，再令x的指数等于2,即可得解.

6

,6—k

【详解】2x+展开式的通项为TM=C：(2X)=2,A士3yx3

4

令6-§左=2,得斤=3,

所以含尤2的项的系数为23x3?谖=4320.

故答案为：4320.

2

12.已知双曲线--匕=1与抛物线/=8x的一个交点为4尸为抛物线的焦点，若

m

\AF1=5,则双曲线的渐近线方程为.

【答案】y=±>/3x

【分析】设4豌,％),根据条件，利用抛物线的定义得到无。=3,进而得到只=24,代

入双曲线方程中，可得〃?=3,即可求出结果.

【详解】因为抛物线V=8x的准线方程为》=-2,设/(%,%),

因为|/尸|=5,所以％+2=5,得到％=3,所以y；=8x3=24,

,„,24

又4(%,%)在双曲线上，所以9-----=1,得到〃?=3,

m

2

故双曲线为--弓_=1,其渐近线方程为y=±Gx.

故答案为：y=±V3x.

13.甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负即停

试卷第7页，共17页

3

止比赛.已知甲每局赢的概率为W，每局比赛的结果相互独立.本次比赛到第3局才分出

胜负的概率为,本次比赛甲获胜的概率为.

12Q1

【答案】一/0.48—/0.648

25125

【分析】

空1：根据独立事件的乘法公式求解本次比赛到第3局才分出胜负的概率；

空2：利用独立事件的乘法公式和互斥事件概率加法公式求解甲获胜的概率即可.

【详解】

到第3局才分出胜负，则前两局甲、乙各赢一局，其概率为白二+二乂;=二.

555525

339

若甲获胜，分2种情况：①甲连赢2局，其概率为='工二二,

5525

②前两局甲、乙各赢一局，第三局甲赢，其概率为葭23+2葭上色.

555555125

故甲获胜的概率为2+黑=2.

25125125

小林心d1281

故合案为：石‘示

TT

14.如图，在平行四边形/BCD中，ZABC=-,E为CD的中点，尸为线段ZE上一点,

且满足而="而+:而，贝＞1能=;若Y/3CD的面积为26，则网的最

小值为.

2

【答案】

3

【分析】设方=后在前€[0』],由平面向量线性运算及基本定理可得加，由

4__►-►

BC\-I结合基本不等式可得|加|的最小值.

【详解】由题意，设万=上衣

试卷第8页，共17页

—►2—►2—►

所以5P=—A4+—BC,

33

由YN8CZ1的面积为26，得到国.网f=25得到明•网=4,

所以网=小轲个网+?对而=:F行i+舒,产，

当且仅当|数|=|第卜2时，等号成立，

所以|加|的最小值为孚.

故答案为：］；迪.

33

15.设函数/(x)=1)|,|<"-3,若〃x)=a有四个实数根A,々，尤3，x4>且

［(X—4),x>3

1Z\1

XX

西<工2<%3<%4，贝IJ工(13+4)1+丁的取值范围__________.

【答案】

【分析】作出歹=/(%)的图象，根据图象确四个根间的关系，从而得到

1113

-(x3+x4)x1+—=1+2^-一,且［<玉<2,再利用函数的单调性即可求出结果.

4%M2

-log(x-l),l<x<2

|log(x-l)|,l<x<32

【详解】因为/■(元)=2，所以/(%)=Iog2(x-1),2。<3,其图象

(X-4)2,X>3

(X—4)2,%>3

如图所示，

又/(、)=〃有四个实数根，由图知一log2a-1)=1082(入2-1)，得到中2=玉+%2，即

111

一+—=1,且%3+%4=8,

七超

a3

由|10g2(x-l)|=l,得到x=3或x=；,所以］<再<2,

1/、1clic1

所以:(“3+%4)/-2/H=1+2再,

4x2x2Xj

令y=l+2尤」,1<x<2,易知y=l+2x-，在区间佶,2〕上单调递增，所以得,孔

x2x)<3ZJ

试卷第9页，共17页

故答案为:"1•

三、解答题

16.在/UBC中，内角A,B,。所对的边分别为〃，b,。.已知bsin/=acos15-£

（1）求角B的大小;

（2）设Q=2,C=3,求sin（2Z-B）的值.

【答案】（1）8=。

⑵迈

14

【分析】（1）运用正弦定理求解;

（2）运用两角差公式求解.

【详解】（1）在。BC中，由正弦定理得：sin3sin4=sin/cos（B-《

因为sinZ>0,所以sin8=cos（6-；71］,可得sin®二且cos5+」sin8,

622

即sin5=百cos5,tanB=密,又BE（。,兀），可得8=]；

（2）在“BC中，由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=l,b=y/l,

71/?

由6sin/=acosB,以及3=/,可得sin/=半,

3V7

2

因为。＜。，所以/是锐角，所以cos/=[7

因止匕sin2^4=2sinAcosA,cos2A=2cos2A-l=—

77

4A/311V3373

所以,sin（24-5）=sin2AcosB-cos2AsinB=----------X------------X--------=-----------，

727214

综上，8=9，sin（24一5）=

3''14

17.如图，在四棱锥尸-中，底面是边长为1的正方形，底面，55,

尸8与平面45CQ所成角为45。，E*分别是尸C,4。中点.

试卷第10页，共17页

⑴求证：DE〃平面尸尸8；

(2)求平面PFB与平面EDB夹角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

V330

-77-

【分析】

(1)取网的中点连接证明四边形腔。尸为平行四边形，贝1|。£7/尸

再根据线面平行的判定定理即可得证；

(2)以点。为坐标原点建立空间直角坐标系，根据P8与平面所成角求出尸。，

利用向量法求解即可.

【详解】(1)取尸8的中点连接ME,MF,

因为瓦尸分别是尸C,中点，所以MEHBC且ME=』BC,

2

又DFHBC豆DF==BC,

2

所以ME//DF且ME=D9,

所以四边形AffiD尸为平行四边形，所以DE//FM,

又平面尸F8,FMu平面PFB,

所以。E〃平面PFS；

(2)连接BD,BE,

如图，以点。为坐标原点建立空间直角坐标系，

因为尸D_L底面ABCD,所以ZPBD即为PB与平面ABCD所成角的平面角,

所以NPBD=45。，所以PD=BD=6，

'1

则5（l,l,0）,Z）（0,0,0）,E0,-,^-,F1,0,0j,F（0,0,V2）,

试卷第11页，共17页

n1®

故丽=，丽=(1,1,0),诙=V,—,----

227

设平面PFB的法向量为3=(阳为z),

n-FP=--x+sf2z=Q

2

则有，令x=2血，则y=_后,z=l

_—1

n-FB=—x+y=0

所以〃=(2后，-亚,1),

设平面的法向量为薪=(a,6,c),

m-DB=a+b=0

则有—•1y/2'令b=—y/2，贝I」a=V2,c=1,

m-DE=-b+—c=0

22

18.已知S"为数列｛g｝的前〃项和，且满足S“=2a“+r,其中reR,且y0.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

试卷第12页，共17页

c2n-lIn

⑵设“=(-1严若对任意的“eN*,都有求实数机的取值范围.

ri=li=l

【答案】(l)4=f-2"T

(2)-l<m<2

【分析】

(1)利用。“S’,的关系式求解即可;

(2/7-1)(2“\2w-l2n

(2)由题意有<加<，利用分组求和法分别求出再根据

\i=l/max\»=1)mini=l，=1

(2n-l)(2〃)

数列的单调性分别求出Z2，，即可得解.

\i=l/max\'=1/min

【详解】(1)由S"=2/+r,

当〃=1时，ax=Sx=2ax+r,所以q=-rw0,

当“22时,an=Sn-Sn_l=2an-2an_l,所以%=2%_i，

所以数列｛%｝是以2为公比的等比数列,

所以。，=一厂21；

3,

(2)由(1)得S(1-2)

n1-2

则b„=(-l)n+1}=(-1)"+1(1-2")=(-1)"+1+(-2)",

2i_211—(―2?〃T]-(-2广+1

故24=4+4+・一+41=1+-----,、—

$1一(一2)3

2n+1

2n-2[l-(-2)](2f-2

Za=4+打+・一+62〃=o+

i=\>(_2)3

2n-1

而f4=一(-2厂+1=z£±l随n的增大而减小,

Z=133

f2n-l

所以£耳-4+1

\i=l3

小士丁二〒随〃的增大而增大,

试卷第13页，共17页

2n-l2n

因为对任意的"eN*,都有£4＜皿＜£白，

Z=1Z=1

所以一1＜加＜2.

221

19.已知椭圆C:=+4=l(a＞6＞0)过点(2,0),且椭圆C的离心率为J.

ab2

⑴求椭圆C的方程；

⑵若动点尸在直线x=-l上，过尸作直线交椭圆。于监N两点，且尸为线段跖V的中点,

再过户作直线血W,证明：直线/恒过定点，并求出该定点的坐标.

【答案】⑴《+片=1

43

⑵证明见解析

【分析】

(1)由点(2,0)在椭圆C上，代入椭圆的方程，再由椭圆C的离心率为十,求得。力的

值，即可求解;

(2)设尸当直线的斜率存在时，设直线九W的方程为＞-%=40+1),联

立方程组，根据点尸的横坐标求得左，结合得到片=-守，得出直线过定点;

当直线的斜率不存在时，得到直线/为x轴，进而得到结论.

40

【详解】⑴因为点(2,0)在椭圆。上，可得二+=1,解得/=4,

a7bT

又因为椭圆。的离心率为:，所以£=彳，所以"幺=上，解得〃=3,

222

a2aa4

22

所以椭圆。的标准方程为土+匕=1.

43

33

(2)由题意，可设尸(-1,%),且为e(-了5),

①当直线的斜率存在时，设直线九W的方程为k为=Mx+l),M(x”必),"(乙,%)，

y-y0=k(x+l)

联立方程组/2,

——+—=1

[43

整理得(3+4后2)%2+(8@o+8左2)%+(4歹：+8①+4左2—12)=0,

贝ljA=(8@0+8左2)2—4(3+4%2)(4y；+8@o+4F—12)=48^k2-2ky.~yl+?>),

8划0+8左2

所以再+%=-

3+4左2

试卷第14页，共17页

因为P为九W的中点，所以4±=-1,即一姆。+8f=2,

23+4左2

3

所以如v=a=；—仇片°）,经检验，此时A>0,

41%

因为口跖11,所以--华，所以直线/的方程为》-%=-华（x+1）,

即>=一半（》+9），所以直线/恒过定点（一L,0）.

②当直线儿W的斜率不存在时，直线的方程为x=-l,

此时直线/为x轴，也过点（-5，0）.

1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化

量，即确定题目中核心变量（通常为变量上）；②利用条件找到太过定点的曲线砥x,y）=0

之间的关系，得到关于先与'J的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点

的坐标；

2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情

况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

20.已知函数/@）=竺了的图象在（1J。））处的切线经过点（2,e）.

⑴求。的值及函数的单调区间；

⑵若关于x的不等式e'lnx-以上在区间（1,+叫上恒成立，求正实数

e

X的取值范围.

【答案】（1）0=1,单调递增区间为（0,+e）,（-8,0）,无单调递减