2023-2024学年山东省菏泽定陶县联考中考数学模试卷含解析

2023-2024学年山东省荷泽定陶县联考中考数学模试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好，书伴我成长”读书活动.为了解5月份八年级300名学生读书情况,

随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：

册数01234

人数41216171

关于这组数据，下列说法正确的是（）

A.中位数是2B.众数是17C.平均数是2D.方差是2

2.反比例函数y=—的图象如图所示，以下结论：①常数mV-1；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若点

x

A（-1,h）,B（2,k）在图象上，则h<k；④若点P（x,y）在上，则点P，（-x,-y）也在图象.其中正确结论的个数是（）

3.如图，电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设NCAB=a,那么拉

线BC的长度为（）

sinacosatanacota

4.已知4A两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（）

->

ba°

A.a+b>0B.ab<0C.a>bD.b-a>0

Q

5.点M（a,2a）在反比例函数y=—的图象上，那么a的值是（）

x

A.4B.-4C.2D.±2

[2（x-l）>4

6.关于x的不等式,八的解集为x>3,那么a的取值范围为（）

a-x<0

A.a>3B.a<3C.a>3D.a<3

7.二次函数丫=@*2+。的图象如图所示，正比例函数y=ax与反比例函数y=£在同一坐标系中的图象可能是（）

8.在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有一个公共点；③经过直线外

一点有且只有一条直线与已知直线垂直;④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果

的试验最有可能的是（）

A.在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”

B.从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”

C.掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”

D.掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6

10.如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,直角NEPF的顶点P是BC中点，PE,PF分别交AB,AC于点E,

F,给出下列四个结论：①4APEgZ\CPF；②AE=CF；③AEAF是等腰直角三角形；④SAABC=2S四边形AEPF,上述结

论正确的有（）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.已知关于x的一元二次方程x?+2x-a=0有两个相等的实数根，则a的值是.

12.如图，四边形内接于。O,AD.3C的延长线相交于点E,AB.OC的延长线相交于点尸.若

80°,则NA=°.

13.将直线y=x沿y轴向上平移2个单位长度后，所得直线的函数表达式为,这两条直线间的距离为.

14.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AB的垂直平分线DE交AC于E,交BC的延长线于F,若NF=30。，DE=1,

则BE的长是.

15.我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，（如图）题目是：“今有池方一丈，葭

生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”

题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好

碰到岸沿，问水深和芦苇长各是多少？（小知识：1丈=10尺）

如果设水深为x尺，则芦苇长用含x的代数式可表示为尺，根据题意列方程为.

D

16.小明掷一枚均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1,2,3,4,5,6点，得到的点数为奇数的概率是

三、解答题(共8题，共72分)

17.(8分)某校为了解，学生对篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球这五种球类运动的喜爱情况，随机抽取一部分学

生进行问卷调查，统计整理并绘制了以下两幅不完整的统计图：

请根据以上统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)共抽取名学生进行问卷调查；

(2)补全条形统计图，求出扇形统计图中“足球”所对应的圆心角的度数；

(3)该校共有3000名学生，请估计全校学生喜欢足球运动的人数.

(4)甲乙两名学生各选一项球类运动，请求出甲乙两人选同一项球类运动的概率.

18.(8分)已知：如图所示，在AABC中，AB^AD^DC,ZBAD26°,求08和NC的度数.

19.(8分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=奴2+法+0(。/0)的图象经过^(1,0)和以3,0)两点，且与y轴

交于。(0,3),直线/是抛物线的对称轴，过点4-1,0)的直线A3与直线相交于点3,且点3在第一象限.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若直线和直线/、x轴围成的三角形面积为6,求此直线的解析式；

(3)点P在抛物线的对称轴上，”与直线和x轴都相切，求点P的坐标.

20.(8分)计算：卜刀+.寸(2017-7T)0-4cos45°

21.(8分)一次函数y=，的图象如图所示，它与二次函数y=ax2-4ax+c的图象交于A、B两点(其中点A在点B

的左侧)，与这个二次函数图象的对称轴交于点C.

(1)求点C的坐标；

(2)设二次函数图象的顶点为D.

①若点D与点C关于x轴对称，且AACD的面积等于3,求此二次函数的关系式;

②若CD=AC,且△ACD的面积等于10,求此二次函数的关系式.

22.(10分)如图，抛物线交X轴于A、B两点，交Y轴于点C,OB=4OA,ZCBO=45°.

F4

(1)求抛物线的解析式

(2)平面内是否存在一点P,使以A,B,C,P为顶点的四边形为平行四边形，若存在直接写出P的坐标，若不存

在请说明理由。

23.(12分)近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查.调查结果显示，支付方式有：A

微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的

统计图.

请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：本次一共调查了多少名购买者？请补全条形统计图；在扇形统计图中A

种支付方式所对应的圆心角为度.若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的

购买者共有多少名？

\kxn-yn+b\

24.阅读材料：已知点P(%,%)和直线y=kx+b,则点P到直线y=履+6的距离d可用公式d=।0r।计算.

y/1+k2

例如：求点P(-2,l)到直线y=x+l的距离.

解：因为直线丫=尤+1可变形为x—y+l=O,其中左=1力=1,所以点尸(-2,1)到直线y=x+l的距离为:

1」在-%+耳=|卜（一2）-：1+：1|_2

=夜.根据以上材料，求：点P(l,l)到直线y=3x-2的距离，并说明点P与

'J1+/Vi+i26

直线的位置关系；已知直线y=-尤+1与y=-X+3平行，求这两条直线的距离.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、A

【解析】

试题解析：察表格，可知这组样本数据的平均数为：

99

(0x4+1x12+2x16+3x17+4x1)内0=一；

50

•.•这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，

,这组数据的众数是3；

•.•将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2,

,这组数据的中位数为2,

故选A.

考点：1.方差；2.加权平均数；3.中位数；4.众数.

2、B

【解析】

根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可.

【详解】

解：•.•反比例函数的图象位于一三象限，

.\m>0

故①错误；

当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内，y随x的增大而减小，故②错误；

将A(-l,h),B(2,k)代入y=—，得到h=-m,2k=m,

X

Vm>0

Ah<k

故③正确；

mm

将P(x,y)代入y=一得到m=xy,将P，(-x,-y)代入y=一得到m=xy,

xx

故P(x,y)在图象上，则P，(-X,-y)也在图象上

故④正确，

故选:B.

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质，牢记反比例函数的比例系数的符号与其图象的关系是解决本题的关键.

3、B

【解析】

根据垂直的定义和同角的余角相等，可由NCAD+NACD=90。，ZACD+ZBCD=90°,可求得NCAD=NBCD,然后在

RtABCD中cosZBCD=——，可得BC=---------------=---------.

BCcosZBCDcostz

故选B.

点睛：本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键.

4、C

【解析】

根据各点在数轴上位置即可得出结论.

【详解】

由图可知，b<a<0,

A.VZ><a<0,.,.a+b<0,故本选项错误;

B."'b<a<Q,,\ab>0,故本选项错误；

C.\'b<a<0,.,.a>b,故本选项正确；

D.\'b<a<0,'.b-a<0,故本选项错误.

故选C.

5、D

【解析】

Q

根据点M3,2a)在反比例函数y=—的图象上,可得:=8，然后解方程即可求解.

x

【详解】

Q

因为点M3,2a)在反比例函数y=—的图象上,可得：

x

2a2=8,

[2=4,

解得:a=±2,

故选D.

【点睛】

本题主要考查反比例函数图象的上点的特征，解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数图象上点的特征.

6、D

【解析】

分析：先解第一个不等式得到x>3,由于不等式组的解集为x>3,则利用同大取大可得到a的范围.

详解：解不等式2(x-1)>4,得：x>3,

解不等式a-x<0,得：x>a,

:不等式组的解集为x>3,

:.a<3,

故选D.

点睛：本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集

的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大

小小找不到.

7、C

【解析】

根据二次函数图像位置确定a<0,c>0,即可确定正比例函数和反比例函数图像位置.

【详解】

解：由二次函数的图像可知a<0,c>0,

...正比例函数过二四象限，反比例函数过一三象限.

故选C.

【点睛】

本题考查了函数图像的性质，属于简单题，熟悉系数与函数图像的关系是解题关键.

8、C

【解析】

根据直线的性质公理，相交线的定义，垂线的性质，平行公理对各小题分析判断后即可得解.

【详解】

解:在同一平面内，

①过两点有且只有一条直线，故①正确；

②两条不相同的直线相交有且只有一个公共点，平行没有公共点，故②错误；

③在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③正确；

④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确，

综上所述，正确的有①③④共3个，

故选C.

【点睛】

本题考查了平行公理，直线的性质，垂线的性质，以及相交线的定义，是基础概念题，熟记概念是解题的关键.

9、D

【解析】

根据统计图可知，试验结果在0.16附近波动，即其概率PM.16,计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案.

【详解】

根据图中信息，某种结果出现的频率约为0.16,

2

在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”的概率为§刈.67>0.16,

故A选项不符合题意，

13

从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”概率为一乜）.48>0.16,故B选项不符合题意，

27

掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率是工=0.5>0.16,故C选项不符合题意，

2

掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率是工。0.16,故D选项符合题意，

6

故选D.

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之

比.熟练掌握概率公式是解题关键.

10、C

【解析】

利用“角边角”证明△APE和4CPF全等，根据全等三角形的可得AE=CF,再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP

是等腰直角三角形，根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的

面积等于AABC的面积的一半.

【详解】

VAB=AC,ZBAC=90°,点P是BC的中点，

AAP1BC,AP=PC,NEAP=NC=45。，

.\ZAPF+ZCPF=90°,

；NEPF是直角，

.\ZAPF+ZAPE=90°,

:.ZAPE=ZCPF,

在4APE^ACPF中，

ZAPE=ZCPF

<AP=PC,

ZEAP=ZC=45°

/.△APE^ACPF（ASA）,

.\AE=CF,故①②正确；

,/△AEP^ACFP,同理可证△APF丝ABPE,

...△EFP是等腰直角三角形，故③错误；

,/△APE^ACPF,

:.SAAPE=SACPF,

四边形AEPF=SAAEP+SAAPF=SACPF+SABPE=—SAABC.故④正确，

2

故选C.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据同角的余角相等求出NAPE=NCPF,从而

得到△APE和4CPF全等是解题的关键，也是本题的突破点.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、-1.

【解析】

试题分析：T关于x的一元二次方程x2+2x-a=0有两个相等的实数根,

.，.△=2--4j•(―a)=0a=—1.

考点：一元二次方程根的判别式.

12、50

【解析】

试题分析：连结EF,如图，根据圆内接四边形的性质得NA+NBCD=180。，根据对顶角相等得NBCD=NECF,则

ZA+ZECF=180°,根据三角形内角和定理得NECF+N1+N2=18O。，所以N1+N2=NA,再利用三角形内角和定理得

到NA+NAEB+N1+N2+NAFD=18O。，则NA+8(T+NA=180。，然后解方程即可.

试题解析：连结EF,如图，

,••四边形ABCD内接于。O,

.•.ZA+ZBCD=180°,

而NBCD=NECF,

:.ZA+ZECF=180°,

VZECF+Z1+Z2=18O°,

.*.Z1+Z2=ZA,

VZA+ZAEF+ZAFE=180°,

即NA+NAEB+/l+N2+NAFD=180°,

.,.ZA+80°+ZA=180°,

.,.ZA=50°.

考点：圆内接四边形的性质.

13、y=x+l0

【解析】

已知直线y=x沿y轴向上平移1个单位长度，根据一次函数图象的平移规律即可求得平移后的解析式为y=x+L再

利用等面积法求得这两条直线间的距离即可.

【详解】

•••直线y=x沿y轴向上平移1个单位长度，

所得直线的函数关系式为：y=x+L

•*.A(0,1),B(1,0),

；.AB=1后，

过点O作OF±AB于点F,

贝!|-AB»OF=-OA»OB

22

OA-OB2x2r-

即这两条直线间的距离为0.

故答案为y=x+l,y/2.

【点睛】

本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数丫=1«^^(k、b为常数，k#o)的图象为直线，当直线平移时k不

变，当向上平移m个单位，则平移后直线的解析式为y=kx+b+m.

14、2

【解析】

；NACB=90。，FD±AB,/.ZACB=ZFDB=90°o

,.•/F=30。，.•.NA=NF=30。(同角的余角相等)。

又AB的垂直平分线DE交AC于E,ZEBA=ZA=30°o

.\RtADBE中，BE=2DE=2o

15、(x+1)；x2+52=(x+1)2.

【解析】

试题分析：设水深为x尺，则芦苇长用含X的代数式可表示为(X+1)尺，根据题意列方程为V+52=(X+1)2.

故答案为(x+1),X2+52=(X+1)2.

考点：由实际问题抽象出一元二次方程；勾股定理的应用.

1

16、一・

2

【解析】

根据题意可知，掷一次骰子有6个可能结果，而点数为奇数的结果有3个，所以点数为奇数的概率为

2

考点：概率公式.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)1；(2)详见解析；(3)750；(4)

【解析】

(1)用排球的人数+排球所占的百分比，即可求出抽取学生的人数；

(2)足球人数=学生总人数-篮球的人数-排球人数-羽毛球人数-乒乓球人数，即可补全条形统计图；

(3)计算足球的百分比，根据样本估计总体，即可解答；

(4)利用概率公式计算即可.

【详解】

(1)304-15%=1(人).

答：共抽取1名学生进行问卷调查；

故答案为1.

(2)足球的人数为：1-60-30-24-36=50(人)，“足球球”所对应的圆心角的度数为360以0.25=90。.

如图所示：

(3)3000x0.25=750(人).

答：全校学生喜欢足球运动的人数为750人.

(4)画树状图为：(用A、B、C、D、E分别表示篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球的五张卡片)

ABCDE

ABCDEABCDEABCDEABCDEABODE

共有25种等可能的结果数，选同一项目的结果数为5,

所以甲乙两人中有且选同一项目的概率P(A)=-.

【点睛】

本题主要考查了条形统计图，扇形统计图以及用样本估计总体的应用，解题时注意：从扇形图上可以清楚地看出各部

分数量和总数量之间的关系.一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也

就越精确.

18、ZB=77°,ZC=38.5°.

【解析】

根据等腰三角形的性质即可求出NB,再根据三角形外角定理即可求出ZC.

【详解】

在AABC中，AB^AD=DC,

'：AB=AD,在三角形ABD中，

/B=ZADB=(180°-26°)*g=77°,

又•••4。=。。，在三角形ADC中，

AZC=-ZADB=77°x-=38.5°.

22

【点睛】

此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等边对等角.

,44/3、

19、(1)y=X2-4x+3;(2)y=+J；(3)尸[2,])或。(2,-6).

【解析】

(1)根据图象经过M(1,0)和N(3,0)两点，且与y轴交于D(0,3),可利用待定系数法求出二次函数解析式;

(2)根据直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6,得出AC,BC的长，得出B点的坐标，即可利

用待定系数法求出一次函数解析式；

(3)利用三角形相似求出△ABCsaPBF,即可求出圆的半径，即可得出P点的坐标.

【详解】

(1)抛物线丁=以2+法+。的图象经过M(1,O),N(3,0),。(0,3),

.•.把M(1,O),N(3,0),D(0,3)代入得:

Q=a+b+c

<Q=9a+3b+c

3=c

a—\

解得：<Z?=-4,

c=3

二抛物线解析式为y=f_叔+3；

(2)抛物线y=f—4%+3改写成顶点式为y=(x—2)2—1,

•••抛物线对称轴为直线/:x=2,

...对称轴与x轴的交点C的坐标为(2,0)

A(-l,0),

.-.AC=2-(-l)=3,

设点B的坐标为(2,y),(y>0),

则3C=y,

S4ABC——,A。BC9

，y=4

.•.点B的坐标为(2,4),

设直线AB解析式为：y=kx+b(k^O),

0=—k+b

把A(—1,O),3(2,4)代入得：

A=2k+b

解得：:3，

b=-

[3

44

二直线A3解析式为：y=-x+-.

33

(3)①•；当点P在抛物线的对称轴上，OP与直线AB和x轴都相切,

设。P与AB相切于点F,与x轴相切于点C,如图1；

/.PF±AB,AF=AC,PF=PC,

VAC=l+2=3,BC=4,

AB=yjyiC2+BC2=J32+4?=5,AF=3,

/.BF=2,

VZFBP=ZCBA,

NBFP=NBCA=90°,

/.△ABC^APBF,

.BFPFPC

**AC-AC，

•2PC

••——,

43

3

解得：PC=~,

2

3

，点P的坐标为(2,-)；

2

②设。P与AB相切于点F,与x轴相切于点C,如图2：

；.PFJ_AB,PF=PC,

VAC=3,BC=4,AB=5,

,:ZFBP=ZCBA,

NBFP=NBCA=90。，

.,.△ABC^APBF,

.ABAC

••一,

PBPF

.5-3

*'PC+4PC'

解得：PC=6,

.•.点P的坐标为（2,-6）,

综上所述，：，P与直线AB和x都相切时,

尸［2,|）或「（2,一6）.

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一函数的解析式、二次函数的解析式及相似三角形的判定和性质、

切线的判定和性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键.

20、1.

【解析】

直接利用零指数塞的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别化简得出答案.

【详解】

解：原式=2+2.F+1-4x

=2+2<+1-2~

=1.

【点睛】

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

21、(1)点C(1,)；(1)①y=；x】一x；②丫=一；xi+lx+..

【解析】

试题分析：(1)求得二次函数y=axi—4ax+c对称轴为直线x=l,把x=l代入y==x求得y=：,即可得点C的坐标;

*J

(1)①根据点D与点C关于x轴对称即可得点D的坐标，并且求得CD的长，设A(m,m),根据SAACD=3即

可求得m的值，即求得点A的坐标，把A.D的坐标代入y=axi—4ax+c得方程组，解得a、c的值即可得二次函数的

表达式.②设A(m,-m)(m<l),过点A作AE_LCD于E,则AE=l—m,CE=：一二m,

根据勾股定理用m表示出AC的长，根据AACD的面积等于10可求得m的值，即可得A点的坐标，分两种情况：

第一种情况，若a>0,则点D在点C下方，求点D的坐标；第二种情况，若aVO,则点D在点C上方，求点D的

坐标，分别把A、D的坐标代入y=ax】-4ax+c即可求得函数表达式.

试题解析：(1)y=ax1一4ax+c=a(x—1)1一4a+c....二次函数图像的对称轴为直线x=L

当x=l时，y=；x=g,AC(1,〉

A/■

(1)①；点D与点C关于x轴对称，.\D(1,.\CD=3.

设A(m,；m)(m<l),由S4ACD=3,得：X3X(1—m)=3,解得m=0,・*A(0,0).

•J

c=0,

'___3

由A(0,0)、D(1,得17a+c=一、解得a=：,c=0.

，y==xTx.

②设A(m,=m)(m<l),过点A作AE_LCD于E,贝！IAE=1—m,CE==—r

人毛二届+田川…鹿-和」(1_m)；

VCD=AC,.*.CD=(1-m).

由SAACD=10得-x(1—m)i=10,解得m=—1或m=6(舍去)，；・m=-1

■•

AA(-1,一=),CD=5.

若a>0,则点D在点C下方，，D(1,一二),

.

3

12a+c=一外_1

㊀一尹

7

—了解得.

由A(—1,一』)、D(1,-得Ta+c=c=13一

・

..y—_TjX1-T;X—3.

V•

若aVO,则点D在点C上方，・・・D(1,y),

(3r1

12a+c=-?>a=—y

-..—4a+c="|c=?

由A(-1,一二)、D(1,)得、2解得IF-2・

；・y=-R+lx+Z.

考点：二次函数与一次函数的综合题.

22、(1)y=—f+3x+4；(2)(3,-4)或(5,4)或(-5,4)

【解析】

(1)设|OA|=L确定A,B,C三点坐标，然后用待定系数法即可完成;

(2)先画出存在的点，然后通过平移和计算确定坐标；

【详解】

解：(1)设|OA|=L则A(-L0