专题02 8字型（解析版）-2022-2023学年九年级数学相似三角形基本模型探究（北师大版）

专题02“8”字型【基本模型】①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔；②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔．③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔．【例题精讲】例1．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF的面积为2，则△ABC的面积为()A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【详解】∵平行四边形ABCD∴，AD=BC∵E为边AD的中点∴BC=2AE∵∴∠EAC=∠BCA又∵∠EFA=∠BFC∴△AEF∽△CBF如图，过点F作FH⊥AD于点H，FG⊥BC于点G，则，∴，∵△AEF的面积为2∴故选C．例2.如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是36．【答案】36【解析】∵在▱ABCD中，AO=12AC，∵点E是OA的中点，∴AE=∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴AFBC∵S△AEF＝4，S△AEFS△BCE=（∴S△BCE＝36例3．如图，在△ABC中，BC＝6，，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（）A．9 B．12 C．18 D．24【答案】C【详解】解：如图，延长EF交BQ的延长线于G．∵，∴EG∥BC，∴∠G＝∠GBC，∵∠GBC＝∠GBP，∴∠G＝∠PBG，∴PB＝PG，∴PE+PB＝PE+PG＝EG，∵CQ＝EC，∴EQ＝3CQ，∵EG∥BC，∴△EQG∽△CQB，∴＝＝3，∵BC＝6，∴EG＝18，∴EP+PB＝EG＝18，故选：C．例4.如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵AB∥CD，∴，∴A选项正确，不符合题目要求；∵AE∥DF，∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，∴△CEG∽△CDH，∴，∴，∵AB∥CD，∴，∴，∴，∴，∴B选项正确，不符合题目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AF=DE，∵AE∥DF，∴，∴；∴C选项正确，不符合题目要求；∵AE∥DF，∴△BFH∽△BAG，∴，∵AB＞FA，∴∴D选项不正确，符合题目要求．故选D．【变式训练1】如图，在中，，，，点为上一点，连接，为上一点，于点，当时，求的长．【答案】【详解】解：如解图，补成矩形，延长交于点，∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，∴设，则，又∵在矩形中，，∴，∴，即，解得．∴．【变式训练2】如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．（1）求证：△PCQ∽△RDQ；（2）求BP：PQ：QR的值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】解：（1）∵，∴．又∵．∴．（2）∵四边形和四边形都是平行四边形，∴，．∴，．又∵点是中点，∴．由（1）知，∴，∴．又∵，∴．【变式训练3】如图，在矩形中，分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为_________．【答案】【详解】解：过点E作EH∥AD，交点BF于点G，交CD于点H，由题意可知：EH∥BC，∴△BEG∽△BAF，∴，∵AB=4，BC=6，点E为AB中点，F为AD中点，∴BE=2，AF=3，∴，∴EG=，∵EH∥BC，∴△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，∴，,∴，，即，，∴，，∵E为AB中点，EH∥BC，∴G为BF中点，∴BG=GF=BF=，∴NG==，MG=BG=，∴MN=NG+MG=，故答案为：.【变式训练4】如图，在中，、分别是、的中点，动点在射线上，交于点，的平分线交于点，当时，_____．【答案】12【详解】如图，延长BQ交射线EF于点M、分别是、的中点，，平分，，，由得，，即故答案为：12．【课后训练】1.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝3，DE＝5，BD＝4，则DC的长等于．【解析】∵∠ADC＝∠BDE，∠C＝∠E，∴△ADC∽△BDE，∴ADBD∵AD＝3，DE＝5，BD＝4，∴34=CD5，2．如图，一人站在两等高的路灯之间走动，为人在路灯照射下的影子，为人在路灯照射下的影子．当人从点走向点时两段影子之和的变化趋势是（

）A．先变长后变短 B．先变短后变长C．不变 D．先变短后变长再变短【答案】C【详解】解：连接DF，已知CD=EF，CD⊥EG,EF⊥EG,∴四边形CDFE为矩形.∴DF∥GH,∴又AB∥CD，∴.设=a，DF=b,∴,∴∴∴GH=，∵a,b的长是定值不变，∴当人从点走向点时两段影子之和不变．故选：C.3．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则___．【答案】2【详解】解：延长CF、BA交于M，∵E是CD的中点，F是AE的中点，∴EF＝AF，CE＝DC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴CE＝AB，∠ECF＝∠M，在△CEF和△MAF中，∴△CEF≌△MAF（AAS），∴CE＝AM，∵CE＝AB，∴BM＝3CE，∵DC∥AB，∴△CEG∽△MBG，∴，∵BE＝8，∴，解得：GE＝2，故答案为：2．4．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．（1）求证：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，而BE=AB，∴BE=CD，而BE∥CD，∴四边形BECD为平行四边形，∴BD∥CE，∵CM∥DB，∴△BND∽△CNM；（2）∵AD2=AB•AF，∴AD：AB=AF：AD，而∠DAB=∠FAD，∴△ADB∽△AFD，∴∠1=∠F，∵CD∥AF，BD∥CE，∴∠F=∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，而∠NMC=∠CMD，∴△MNC∽△MCD，∴MC：MD=CN：CD，∴MC•CD=MD•CN，而CD=AB，∴CM•AB=DM•CN．5．如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．【答案】【详解】解法1：如图2，过点D作AC的平行线交BN于点H．因为．所以，所以．因为D为BC的中点，所以．因为，所以，所以．因为M为AD的中点，所以．所以，所以．解法2：如图3，过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H．因为，所以，所以．因为D为BC的中点，所以．因为M为AD的中点，所以，所以．因为，所以，所以．解法3：如图4，过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H．因为，所以，所以．因为M为AD的中点，所以，所以．因为，所以，所以．因为D为BC的中点，且，所以．解法4：如图5，过点D作BN的平行线交AC于点H．在中，因为M为AD的中点，，所以N为AH的中点，即．在中，因为D为BC的中点，，所以H为CN的中点，即，所以．所以．6．如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F．（1）求证：；（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）24．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，∴，∵点E为DC的中点，∴，在和中∴，∴，∴；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，∴，，∴，，∴，∵的面积为2，∴，即，∵∴，∴，∴，∴．7．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．（1）求证：DF•AB=BC•DG；（2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【详解】证明：（1）∵BC2=BF•BA，∴BC：BF=BA：BC，而∠ABC=∠CBF，∴，∵DE∥BC，∴，∴，∴DF：BC=DG：BA，∴DF•AB=BC•DG；（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，∵DE∥BC，∴AH∥DE，∵点E为AC的中点，为的中位线，∴AH=2EG，∵AH∥DG，∴，∴，∴，即2DF•EG=AF•DG．8．我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如：在线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题，请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若是的重心（如图），连结并延长交于，证明：；（2）若是的一条中线（如图），是上一点，且满足，试判断是的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若是的重心，过的一条直线分别与、相交于、（均不与的顶点重合）（如图），求证：．【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.【详解】（1）证明：如图，连结并延长交于点，连结．∵点是的重心，∴是的中点，是的中点，是的中位线，∴，，∴，，∴∽，∴，，∴．（2）点是的重心．证明：如图，作的中线，与边交于点，与的另一条中线交于点，则是的重心，根据（1）中的证明可知，而由条件，点与点重合（是同一个点），所以点是的重心．（3）如图，分别过、、、作的垂线，垂足分别为、、、，证明：∵，∴∽，∴．又∵，∴∽，∴，∴．又在四边形中可