重难点01 二次函数的平移问题 （解析版）

重难点01二次函数的平移问题技巧技巧方法一．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．二．坐标与图形变化-平移（1）平移变换与坐标变化①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）三、二次函数中的平移问题主要是点的平移和图形的平移：针对顶点式抛物线的平移规律是：“左加右减（括号内），上加下减”，同时保持a不变。能力拓展能力拓展一、解答题1．（2022·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，函数．(1)函数图象过点，①当时，求该函数的表达式；②证明该函数的必过点；(2)平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的取值范围．【答案】(1)①；②见解析，(2)小于等于【分析】（1）把点代入，即可求解；②把点代入得到该函数的表达式为，再把代入，即可求证；（2）设平移后所得抛物线的顶点的横坐标为a，根据顶点始终在直线上，可得平移后所得抛物线的顶点坐标为，从而得到平移后所得抛物线的解析式为，进而得到平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标为，即可求解．(1)解∶①当时，点，∴，解得：，∴该函数的表达式为；②∵函数图象过点，∴，解得：，∴该函数的表达式为，当时，，∴该函数的必过点；(2)解：设平移后所得抛物线的顶点的横坐标为a，∵顶点始终在直线上，∴平移后所得抛物线的顶点坐标为，∴平移后所得抛物线的解析式为，令，则，∴平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标为，∵，∴平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的取值范围为小于等于．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．2．（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，且．抛物线经过点，．(1)求这条抛物线的解析式，并直接写出当时的取值范围；(2)将抛物线先向右平移个单位，再向上平移2个单位，此时点恰好落在线段上，求的值．【答案】(1)，x<1或x>3；(2)2【分析】（1）求出A坐标，将A、C坐标代入y=ax²+bx即可得，然后把y=-代入得到关于x的方程，解方程求得x=1或x=3，结合图象即可求得；（2）求出AB解析式，用m表示的坐标代入即可得答案．(1)解：∵B(0，2)，∴OB=2，∵点A在x轴正半轴上，且OA=2OB，∴A(4，0)．∶将A(4，0)，代入y=ax²+bx得∶解得∴抛物线的表达式为把y=代入解得x=1或x=3，由图象可知，当y>时，x的取值范围是x<1或x>3；(2)解：设直线AB的解析式是y=px+q，将A(4，0)，B(0，2)代入得解得∴直线AB的解析式是y=-x+2，∵抛物线向右平移m个单位，再向上平移2个单位，则其上的点C也向右平移m个单位，再向上平移2个单位，而C(1，)·∴∵在线段AB上，∴，∴m=2．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．3．（2022·浙江宁波·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋3与x轴、y轴分别交于A，B两点．抛物线经过点A，且交线段AB于点C，．(1)求k的值．(2)求点C的坐标．(3)向左平移抛物线，使得抛物线再次经过点C，求平移后抛物线的函数解析式．【答案】(1)；(2)C的坐标为；(3)【分析】（1）根据点A在抛物线上，求出点A的坐标，再将A的坐标代入直线的解析式求出k的值即可；（2）直接将直线与抛物线的解析式联立，求解即可；（3）根据平移规律，设平移后的解析式为，将C点坐标代入求解即可．(1)解：∵抛物线经过点A，∴解得x=6，∴A（6，0），∵A点在直线y＝kx＋3上，∴，∴．(2)解∶∵直线y＝＋3与交于点C，∴，解得，，∴C点坐标为（2，2）．(3)解：∵，向左平移h个单位，再次经过点C．∴过点C（2，2），∴，解得h=2或h=0，∴平移后抛物线函数解析式．【点睛】本题考查了抛物线和直线的点的坐标特征，及交点坐标，和抛物线平移规律，熟练掌握平移规律及交点坐标的求解方法是解题的关键．4．（2022·浙江湖州·一模）如图已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交二次函数的图象于点B，连接．(1)求该二次函数的表达式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向上平移个单位，使平移后每到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求m的取值范围；(3)若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)二次函数解析式为，点M的坐标为（1，-5）(2)(3)当点Q的横坐标为时，四边形CEQP为顶点的四边形为菱形【分析】（1）将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，进而求得该二次函数的表达式，通过配方法得到点M的坐标；（2）点M是沿着对称轴直线向上平移的，可先求出直线AC的解析式，将代入求出点M在向上平移时与AC、AB相交时y的值，即可得到m的取值范围；（3）由题意分析可得，设点坐标，根据菱形的性质，列方程求解，即可求出点Q坐标．(1)解：把点A（3，-1），点C（0，-4）代入二次函数得：，解得：，∴二次函数解析式为，配方得，∴点M的坐标为（1，-5）；(2)解：设直线AC解析式为，把点A（3，-1），点C（0，-4）代入得：，解得：，∴直线AC的解析式为，如图所示，对称轴直线与△ABC两边分别交于点E、点F，把代入直线AC解析式，得：，∴点E坐标为（1，-3），点F坐标为（1，-1），∴，解得：；(3)解：存在点Q使以C、E、P、Q为顶点的四边形为菱形，理由如下：如图，由题意可知，且，过点P作轴于点H，直线AB与y轴交于点D设点P坐标为（m，m-4）则点Q坐标为（m，）∴AD=CD=3∴为等腰直角三角形∴∴CH=PH=m根据勾股定理可知∵∴解得（舍）∴点Q的横坐标为∴当点Q的横坐标为时，四边形CEQP为顶点的四边形为菱形【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的平移、菱形的判定及其性质，掌握以上知识点是解题的关键．5．（2022·浙江·温州绣山中学二模）如图，已知二次函数的图象经过点，交轴于点．(1)求的值．(2)延长至点，使得．若将该抛物线向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，平移后的抛物线恰好经过A，C两点，已知，，求，的值．【答案】(1)2；(2)，【分析】（1）先确定点B的坐标，根据二次函数图象的对称性找到该抛物线的对称轴，再根据对称轴公式代入计算即可；（2）根据点A、B坐标可确定且轴，再由可计算出，，进而确定点C的坐标为（3，）；当平移后的抛物线恰好经过A、C两点时，可确定新的对称轴，计算n的值，然后设平移后的抛物线表达式为，将点C坐标代入计算m值即可．(1)解（1）由知，当时，，故点B坐标为（0，），∵A（2，），∴对称轴为直线x==，∴；(2)∵A（2，），B（0，），∴且轴，∵，∴，∴C（3，）．根据A（2，）和C（3，）确定线段AC的中点坐标为（，），∴根据抛物线的轴对称，得平移后的抛物线的对称轴直线x=，∴，设平移后的抛物线表达式为，把C（3，）代入，解得：．【点睛】本题主要考查了根据抛物线上对称两点求对称轴以及函数图像平移的知识，解题关键熟练运用数形结合的思想分析问题．6．（2022·浙江温州·一模）已知抛物线的图象经过点，过点A作直线l交抛物线于点．(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．(2)将抛物线向下平移个单位，使顶点落在直线l上，求m，n的值．【答案】(1)；；(2)3；2【分析】（1）把点代入，求出a的值即可；再运用顶点坐标公式求出顶点坐标即可；（2）把C代入可求出m的值；再运用待定系数法求出直线AB的解析式，从而可求出平移后押物线的顶点坐标，进一步可得结论．(1)将代入得：，解得，∴抛物线的函数表达式为，∵，，∴顶点坐标为；(2)把C代入得，，设直线AB的解析式为，将，代入得，解得，∴直线AB的解析式为，∵顶点的横坐标为2，∴把代入得：，∴．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及二次函数图象的平移，正确理解题意是解答本题的关键．7．（2022·浙江宁波·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和．(1)求抛物线表达式，并根据图像写出当时x的取值范围；(2)请写出一种平移方法，使得平移后抛物线的顶点落在直线上，并求平移后抛物线表达式．【答案】(1)或；(2)平移方法见解析，【分析】（1）根据抛物线经过点A、B，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再令y=0求出抛物线与x轴的交点坐标，结合图像即可求出当y>0时x的取值范围；（2）把抛物线沿对称轴向上平移2个单位，顶点就落在直线上；根据新的顶点即可求出平移后的抛物线解析式．(1)∵A、B在抛物线上，∴将A、B坐标代入抛物线得：，解得：，∴抛物线解析式为：，∵抛物线与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解，解方程，得：或，由图像知：时，图像在x轴上方，∴或，故时x的取值范围为：或；(2)①平移方法：把抛物线沿对称轴向上平移2个单位，顶点就落在直线上；②∵抛物线，∴配成顶点式为：，∴对称轴为：，顶点坐标，把抛物线沿对称轴平移到顶点在直线上，此时把代入得：，∴抛物线的顶点坐标为：，把，代入，得：，∴此时抛物线为：．【点睛】此题考查了二次函数的应用，二次函数与一元二次方程的关系，平移，根据二次函数图像求解不等式解集等知识，综合性比较强，解答本题的关键是掌握二次函数的平移的性质．8．（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)．(1)求抛物线L1的函数表达式．(2)将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．(3)把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．【答案】(1)；(2)的值为4；(3)【分析】（1）把代入即可解得抛物线的函数表达式为；（2）将抛物线向上平移个单位得到抛物线，顶点为，关于原点的对称点为，代入可解得的值为4；（3）把抛物线向右平移个单位得抛物线为，根据点B(1，y1)，C(3，y2)都在抛物线上，当y1＞y2时，可得，即可解得的取值范围是．(1)解：把代入得：，解得，；答：抛物线的函数表达式为；(2)解：抛物线的顶点为，将抛物线向上平移个单位得到抛物线，则抛物线的顶点为，而关于原点的对称点为，把代入得：，解得，答：的值为4；(3)解：把抛物线向右平移个单位得到抛物线，抛物线解析式为，点，都在抛物线上，，，y1＞y2，，整理变形得：，，解得，的取值范围是．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，对称及平移变换等知识，解题的关键是能得出含字母的式子表达抛物线平移后的解析式．9．（2021·浙江·温州市第二中学二模）已知二次函数y＝﹣x2+（m+1）x+m．(1)若m＞0，将该函数图象与y轴的交点向右平移4m个单位后，仍落在该函数图象上；求m的值(2)若m＜﹣1，当2≤x≤4时，y有最大值﹣6，求m的值【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据题意得出抛物线的对称轴为2m，即可根据对称轴方程得到解方程求得m=1；（2）求得抛物线对称轴为直线x=m+1，由m＜-1得到m+1＜0，根据二次函数图象上点的坐标特征即可得到当x=2时，y=-6，即-2+2（m+1）+m=-6，解得m=-2．(1)解：由题意可知，抛物线的对称轴为直线x=2m，∴解得m=1；(2)∵二次函数，∴开口向下，对称轴为直线，∵m＜-1，∴m+1＜0，∴当x=2时，y=-6，即-2+2（m+1）+m=-6，解得m=-2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，明确题意利用二次函数的性质解题是关键．10．（2021·浙江·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象经过两点．（1）求b，c的值．（2）连结，，若P是第一象限内抛物线上一点，直线把的面积分成相等的两部分．①求直线的解析式．②将该抛物线沿着射线的方向平移m个单位，使其顶点落在的内部（不包括边界），求m的取值范围．【答案】（1）；（2）①；②．【分析】（1）将代入中，列方程组求解即可．（2）直线把的面积分成相等的两部分．则此直线必过AB中点，求出中点坐标求解即可．（3）因为平移，所以过点Ｄ的直线必然与平行，顶点要在三角形内部，画图分析即可.【详解】（1）将代入，得解得：．（2）①取的中点C，∵∴又∵P是第一象限内抛物线上一点，且直线把的面积分成相等的两部分．∴直线OP必过AB的中点C∴直线OP的表达式为：②由（1）可得抛物线的一般式为：，将一般式转化为顶点式如下：∴顶点坐标为设过抛物线的顶点，且与直线平行的直线解析式为：将顶点代入，得，解得∴设，将，代入，得，解得∴联立：，得：，设直线与直线AB的交点坐标为点M，与x轴的交点坐标为N，则,抛物线顶点落在的内部，即顶点在点M，点N之间，如图：∴,∴【点睛】本题考查的是二次函数的综合，二次函数的解析式求法，两点之间的距离公式，中点坐标公式等相关知识点，根据题意数形结合是解题的关键．11．（2021·浙江金华·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图像的顶点为P，点B

是一次函数上一点．(1)当a＝0时，求顶点P坐标；(2)若a＞0，且一次函数的图象与此抛物线没有交点，请你写出一个符合条件的一次函数关系式（只需写一个，不必写出过程）；(3)作直线OC：与一次函数交于点C．连结OB，当抛物线与△OBC的边有两个交点时，求a的取值范围．【答案】(1)（1，-1）；(2)(答案不唯一)；(3)或【分析】(1)当a=0时，y=x2-2x，即可求得顶点坐标；(2)令，根据y=-2x+b与抛物线没有交点，由一元二次方程根的判别式可得，再a>0，即可确定b的取值范围，据此即可解答；(3)先联立成方程组求得点C的坐标，由抛物线的顶点坐标可知，点C在抛物线图象的下方，再分两种情况：当抛物线与OB、OC相交时；当抛物线与OB、BC相交时，分别计算即可分别求得．(1)解：当a=0时，y=x2-2x=(x-1)2-1，故此时抛物线的顶点坐标为P(1,-1)；(2)解：令，即x2-2ax+(a2+2a-b)=0，∵y=-2x+b与抛物线没有交点∴，∴b<2a，∵a>0，∴可取b=-1，则符合条件的一次函数为y=-2x-1；(3)解：，解得，，，故抛物线的顶点坐标为，∴点C在抛物线图象的下方，当抛物线的图象经过原点时，得，解得a=0或a=-2，当时，此时，函数图象如下：此时，抛物线与△OBC的边有两个交点；当抛物线图象与直线相切时，如下图方程有唯一的一个解得，，解得，当抛物线图象与直线相切时，如下图方程有唯一的一个解，得，，解得，故当时，抛物线与△OBC的边有两个交点；综上，故当或时，抛物线与△OBC的边有两个交点；【点睛】本题考查了二次函数的综合应用以及待定系数法确定解析式，一元二次方程根的判别式，用平移的思想分析问题是解决(3)小题的关键．12．（2022·浙江·嵊州市三界镇蒋镇学校一模）已知抛物线y=ax2+bx+l经过点（1，-2），（-2，13）.(1)求a，b的值；(2)若（5，y1），（n，y2）是抛物线上不同的两点，且y2=12-y1，求n的值；(3)将此抛物线沿x轴平移m（m>0）个单位长度，当自变量x的值满足-1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为6，求m的值．【答案】(1)a=1，b=-4；(2)n的值为-1；(3)m的值为4或6【分析】（1）把点（1，-2），（-2，13）代入y=ax2+bx+1解方程组即可得到结论；（2）把x=5代入y=x2-4x+1得到y1=6，于是得到y1=y2，即可得到结论；（3）求出平移后的解析式及对称轴，根据对称轴与取值范围的关系分类讨论即可．(1)解：把点（1，-2），（-2，13）代入y=ax2+bx+1得，，解得：；(2)解：由（1）得函数解析式为y=x2-4x+1，把x=5代入y=x2-4x+1得，y1=6，∴y2=12-y1=6=y1，∵（5，y1），（n，y2）是抛物线上不同的两点，∴（5，y1）与（n，y2）关于对称轴对称，∵对称轴为直线x=2，∴n=4-5=-1．(3)解：由（1）得函数解析式为，∵此抛物线沿x轴平移m（m>0）个单位长度，∴①当向右平移时，平移后的解析式为，∴对称轴为，当时，顶点处取最小值，此时最小值为-3，不合题意；当即时，对称轴-1≤x≤3的右边，此时当-1≤x≤3时y随x的增大而减小，∴当时，有最小值6，即，解得，（舍去）；②当向左平移时，平移后的解析式为，∴对称轴为，当时，顶点处取最小值，此时最小值为-3，不合题意；当，时，当-1≤x≤3时y随x的增大而增大，∴当时，有最小值6，即，解得，（舍去），综上所述，m的值为4或6.【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，主要知识点有通过已知条件求函数解析式，函数的增减性，平移等，注意分类讨论．13．（2022·浙江杭州·二模）设二次函数，其中为实数．(1)若二次函数的图象经过点，求二次函数的表达式；(2)把二次函数的图象向上平移个单位，使图象与轴无交点，求的取值范围；(3)若二次函数的图象经过点，点，设，求的最小值．【答案】(1)；(2)；(3)的最小值为0【分析】（1）把代入解析式，即可解得a值，即可求解；（2）先由二次函数交点式求出抛物线的对称轴，从而求得顶点纵坐标为-1，则将二次函数图象向上平移个单位可得顶点纵坐标为，因为图象与轴无交点，所以，即可求解；（3）因为二次函数的对称轴为直线，设，则，．然后把，代入函数解析式，得．又因为，即可求出的最小值．(1)解：把，代入得，解得．∴二次函数的表达式为．(2)解：由二次函数的交点式得二次函数与x轴交点横坐标，，∴二次函数的对称轴为直线，把代入解析式得顶点纵坐标为-1．∴将二次函数图象向上平移个单位可得顶点纵坐标为，∵图象与轴无交点，∴，∴．(3)解：∵二次函数的对称轴为直线，不妨设，∴，．把，代入函数解析式，得．因为，所以的最小值为0．【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象平移，二次函数的最值，熟练掌握二次函数图象性质是解题词的关键．14．（2022·浙江舟山·中考真题）已知抛物线：（）经过点．(1)求抛物的函数表达式．(2)将抛物线向上平移m（）个单位得到抛物线．若抛物线的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线上，求m的值．(3)把抛物线向右平移n（）个单位得到抛物线．已知点，都在抛物线上，若当时，都有，求n的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根据待定系数法即可求解．（2）根据平移的性质即可求解．（3）根据平移的性质对称轴为直线，，开口向上，进而得到点P在点Q的左侧，分两种情况讨论：①当P，Q同在对称轴左侧时，②当P，Q在对称轴异侧时，③当P，Q同在对称轴右侧时即可求解．(1)解：将代入得：，解得：，∴抛物线的函数表达式：．(2)∵将抛物线向上平移m个单位得到抛物线，∴抛物线的函数表达式：．∴顶点，∴它关于O的对称点为，将代入抛物线得：，∴．(3)把向右平移n个单位，得：，对称轴为直线，，开口向上，∵点，，由得：，∴点P在点Q的左侧，①当P，Q同在对称轴左侧时，，即，∵，∴，②当P，Q在对称轴异侧时，∵，∴，解得：，③当P，Q同在对称轴右侧时，都有（舍去），综上所述：．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象平移变换，熟练掌握待定系数法及平移的性质结，巧妙运用分类讨论思想是解题的关键．15．（2022·浙江丽水·一模）已知抛物线（其中m是常数）．(1)若抛物线L与x轴有唯一公共点，求m的值；(2)当时，抛物线L上的点P到x轴的距离等于1，求点P的坐标；(3)若直线与抛物线L交于A，B两点，无论m取何值时，线段的长度不变，求k的值及线段的长度．【答案】(1)；(2)点P的坐标为或或；(3)，【分析】（1）将解析式变为顶点式，找出顶点坐标，令纵坐标为0，求出m的值即可；（2）将m=1代入求出解析式，令y=±1，分别求出x的值，即可求出P点坐标；（3）根据顶点坐标判断顶点在直线上，线段AB的长度要保持不变，则可得k=2，联立两个解析式求出点A、B的坐标，即可求出线段AB的长．(1)将抛物线的解析式变为顶点式：∴顶点坐标为，∵L与x轴有唯一公共点，即顶点在x轴上，∴，解得．(2)当时，抛物线表达式为，∵点P到x轴的距离为1，∴y=1或-1，令，解得，令，解得，∴点P的坐标为或或．(3)因为该抛物线的顶点坐标为，所以抛物线的顶点在直线上，线段的长不变，则直线与直线互相平行，所以，令，解得，当时，，当时，，点A、B的坐标分别为：，则线段AB的长=，故k的值为2，线段AB的长度为．【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握求二次函数顶点式，函数上的点到坐标轴的距离和抛物线与直线交点的方法是解题的关键．16．（2021·浙江湖州·一模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物