应用经济数学 第一章 第一节

应用经济数学许昌职业技术学院李山林制作2024/5/271电话Q：779051383第一章函数与极限§1.1函数§1.2极限的概念§1.3极限的运算§1.4函数的连续性2024/5/272§1.1函数§1.1.1函数的概念§1.1.2分段函数与反函数§1.1.3函数的几种特性§1.1.4初等函数§1.1.5经济学中常用的函数2024/5/273因变量自变量§1.1函数§1.1.1

函数的概念定义1.1设有两个变量x和y，Ｄ为非空数集.若对任意x

Ｄ，变量y按照对应法则f，都有唯一确定的值与之对应.则称y是x的函数.2024/5/274自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.1.定义域根据函数的实际意义确定.2.定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值构成的集合.定义域的确定方法:2024/5/275

一般应注意如下几点：

(1)分母不能为零；

(2)偶次根号下非负；

(3)对数的底大于零而不等于1、真数大于零；

(4)三角函数和反三角函数要符合其定义；如果函数的表达式由若干项组合而成，则它的定义域是各项定义域的公共部分.求函数的定义域2024/5/2762024/5/277时函数的记法:y=f(x),y=g(x),y=F(x),y=G(x)等等.2024/5/278定义:函数的表示方法:表格法公式法（解析法）图形（像）法2024/5/279§1.1.2

分段函数与反函数定义把定义域分成若干个部分，函数关系由不相同的式子表达的函数叫分段函数．2024/5/27101.分段函数(1)符号函数分段函数举例定义域：值域：2024/5/27111-1xyo(2)取整函数y=[x],如,若取x=1.2,则[x]=1;取整函数也不是初等函数.其中[x]表示不超过x的最大整数.若取x=–1.2,则[x]=–2;若取x=2,则[x]=2;y-1123-1-3y=[x]x01234-2-2-3-4定义域：值域：2024/5/2712有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数定义域：值域：2024/5/2713(4)取最值函数yxoyxo2024/5/2714●○○0xy1-12024/5/2715DDMM2.反函数2024/5/2716定义1.1.2设y=f(x)是定义在D上的函数，值域为M

.如果对于任意的y∈M

，都可以从y=f(x)中确定唯一x∈D与之对应，则得到一个定义在M

上的以y为自变量、x为因变量的新函数，称它为函数y=f(x)的（直接）反函数,记作：

x=f-1

(y)．其定义域为M,值域为D.y是自变量,x是y的函数●函数y＝f(x)与x＝f

-1(y)互为反函数

●把函数x＝f

-1(y)中的x与y的位置对调得到函数

y＝f(x)的反函数为y=f-1(x)2024/5/2717●函数y＝f(x)与其反函数y＝f

-1(x)的图象:

关于直线y=x对称

●求函数y＝f(x)的反函数的步骤：①解出x＝f

-1(y)②交换x、y的位置2024/5/27182024/5/2719M-Myxoy=f(x)D有界1.函数的有界性定义：有界的几何意义：

由于|f(x)|

M

M

f(x)

M.因此,f(x)在D上有界.就表示了：f(x)的图形夹在两平行直线y=

M之间.y=

My=-M2024/5/2720§1.1.3函数的几种特性M-MyxoD无界y=f(x)

从几何上看,它的图形不能全部夹在任何两条平行于x

轴的两条直线之间.y011x2024/5/2721若存在M1,使任意x

D,有f(x)

M1,则称

f(x)在D上有上界.M1称为它的一个上界.若存在M2,使任意x

D,有M2

f(x),则称f(x)在D上有下界.M2称为它的一个下界.xyoM1IxyoM2I2024/5/2722f(x)在D上有界

f(x)在D上既有上界,又有下界.易见,若f(x)在D上有上界M1,则它在D上有无穷多个上界.若f(x)在D上有下界M2,则它在D上有无穷多个下界.比如：M1+1,M1+2,…都是它的上界.比如：M2–1,M2–2,…都是它的下界.2024/5/27232.函数的单调性I叫函数f(x)的单调递增区间xyoxyo定义：2024/5/2724I叫函数f(x)的单调递减区间yoyo2024/5/2725如,y=x2,图y=x20xy在(,0]上是单调递减的,而在[0,+

)上是单调递增的；在(,+

)内函数不是单调的.2024/5/27263.函数的奇偶性yxox-x偶函数的图形关于y轴对称.定义：yxox-x奇函数的图形关于原点对称.2024/5/27274.函数的周期性定义：2024/5/27281.基本初等函数(1)常数函数.

y=c

（c为常数）

其定义域为(-∞,+∞),值域为{c

};它是有界的;是偶函数;当c=0时它既是奇函数又是偶函数;它不具备单调性;是周期函数且任何大于0的实数都是它的周期,故没有最小正周期.

它的图象是过(0,c

)点平行于x轴的一条直线.常数函数y=1的图象如图§1.1.4初等函数2024/5/2729(2)幂函数2024/5/2730(3)指数函数2024/5/2731(4)对数函数2024/5/2732(5)三角函数①正弦函数②余弦函数2024/5/2733③正切函数④余切函数2024/5/2734⑤正割函数⑥余割函数2024/5/2735(6)反三角函数①2024/5/2736②2024/5/2737③2024/5/2738④2024/5/27392.复合函数

1.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.定义：2024/5/27402.并非任何两个函数都可以复合成一个复合函数;注意：2024/5/27412024/5/2742

由基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合运算而构成的并可以用一个式子表示的函数统称为初等函数.有很多函数不是初等函数的函数.3.初等函数如：分段函数符号函数、取整函数、狄利克雷函数等都不是初等函数.两个初等函数的代数和不一定是初等函数.因为代数和的关系式，不一定都是函数关系.2024/5/27431.需求函数与供给函数（1）需求函数需求：需求是指消费者在一定价格下对商品的需要，是消费者愿意购买而且有支付能力的有效需求.需求价格:需求价格是指消费者对所需要的一定量的商品愿意支付的价格.影响需求的因素：如：商品以及相关商品的价格、消费者的收入、喜好、季节等等.商场为什么会打价格战？如果不考虑其他因素的影响，通常，降低商品价格会使需求量增加；提高商品价格会使需求量减少.因而商场之间、同类商品之间都会有一些价格竞争.2024/5/2744§1.1.5经济学中常用的函数如果不考虑其他因素的影响，商品的需求量Q可以看成是该商品价格p的函数，称为需求函数.通常，需求函数是单调减少函数.商场或某种商品为达到占领市场、提高知名度，或为提高销售量（需求量），进而增加收入，采取降低价格的手段，形成价格战.

常见的需求函数有以下几种类型：（１）线性需求函数

Q=a–bp(a>0,b>0)（２）二次需求函数Q=a–bp–

cp2

(a>0,b>0,c>0)

（３）指数需求函数Q=ae-bp(a>0,b>0)

pQ0p2p1Q1Q2需求函数的图形叫需求曲线，一般形状如图：需求函数的（直接）反函数称为价格函数.2024/5/2745需求曲线（2）供给函数供给:供给是指在某一时期内，生产者在一定价格条件下，愿意并可以出售的产品.供给价格:供给价格是指生产者为提供一定量商品所愿意接受的价格.影响供给的因素：如：商品以及相关商品的价格、生产的成本、生产的技术水平以及生产者对未来的预期等等.为什么有些商家会囤积商品，等待时机出售？如果不考虑其他因素的影响，通常，商品价格越高，厂商越愿意供给商品；商品价格越低，厂商越不原意供给商品.

2024/5/2746如果不考虑其他因素的影响，商品的供给量Q可以看成是该商品价格p的函数，称为供给函数.通常，供给函数是单调增加函数.pQ0p0供给函数的图形叫供给曲线，一般形状如图：供给曲线与p轴的交点是（p0,0），则应有p0>0.可以理解为：只有当价格超过p0时，生产者才开始提供产品.2024/5/2747供给曲线市场均衡与均衡价格均衡：均衡是指经济现象中变动着的各种力量处于一种暂时的稳定状态.均衡是有条件的，是在一定的条件下达到的，条件改变，均衡就会被打破.经济现象总处于一种均衡的破坏和另一种均衡的建立的过程之中.从发展（动态）的观点看，均衡是短暂的，是一个不间断的过程.市场均衡是局部的，是讨论独立市场中单个商品的价格与供求关系变化的规律性，是假定其他条件不变时，一种商品的价格只取决于它本身的供求情况.均衡价格：商品的需求价格与供给价格一致时的商品价格均衡数量：市场的需求量与供给量一致时的商品数量2024/5/2748pQ0p0如图：例1

已知某商品的需求函数和供给函数为:求该商品的均衡价格.解由均衡条件2024/5/27492.成本函数、收入函数和利润函数（1）总成本函数

总成本（C）：企业为生产和销售所支出费用的总和.

固定成本（C1）：不受产量变化影响的成本.

可变成本（C2(x)）：随产量变化而变化的成本.

显然可变成本C2(x)是产量x的函数，所以成本C也是产量x的函数，记作C(x),则有：C=C(x)=C1+C2(x)函数C(x)叫做总成本函数.Cx0C1①总成本函数C(x)是x的单调增加函数.②固定成本非负，即C(0)=C1≥0.2024/5/2750介绍：平均成本函数

平均总成本：平均每个单位产品的成本.