应用光学-非球面

非球面设计5/27/20241非球面设计、检验与加工概述非球面系统的作用简化系统结构、缩短筒长、减小系统重量提高系统成像质量使光学系统向红外和紫外波段扩展透红外及紫外的材料制造困难、品种少；大尺寸透射材料制造更困难且体积大；在极紫外(XUV)波段根本没有透射材料，只能用反射非球面系统消像差。随着非球面加工、检测设备的研制、开发与使用，非球面加工成本不断降低，应用越来越多，尤其在航天、科技、光盘读数头、数码相机、手机相机等众多领域。5/27/20242非球面设计、检验与加工ChaptI非球面的数学模型与性质1.1轴对称非球面的数学表达式

一、非球面的两种表达形式

设x为非球面的旋转对称轴，y表示入射光线在非球面上的入射高度，则其子午曲线的两种表达形式：表达形式1

a1=2R0为顶点曲率半径这种形式的特点：对于二次曲面，取前两项即能严格表达曲面形状；对于相对孔径很大的非球面，逼近得很快，高次项很少；缺点：当含x3以上项时，给定y值求x繁杂，需逐次逼近。5/27/20243非球面设计、检验与加工表达形式2这种形式常用在偏离平面很小的校正板的非球面光学元件，这种形式的特点：由于总的偏离量一般不大，故逼近很快；实际需要的项数和系统的相对孔径有关，D/f=1:3的施密特校正板，实际用到y4项即可----这只需要用初级像差理论求解即能满足要求；孔径特别大时，最多用到y6项即可。说明：设计时，力求做到取最少的项数满足要求。因为均为的增加项数有时会给加工和检验带来困难，或者做出的实物与设计的曲线不一致。当然，如果从设计角度必须取多项，则一定得考虑检验与加工方法。5/27/20244非球面设计、检验与加工二、二次曲面（圆锥曲面）实际光学系统在很多情况下用到二次曲面即能满足要求，且其检验相对方便，故从工艺角度考虑，应尽量采用之。二次曲线方程有四种表达形式：形式1参数a、b为椭圆或双曲线的长半轴和短半轴，p为抛物线的焦点到的距离，也是抛物线顶点的曲率半径。这种形式方便从数学上讨论曲线性质及一些衍生数学关系、求曲线的几何焦点，但从几何光学的角度看是不方便的。xyo5/27/20245非球面设计、检验与加工形式2这是讨论光学问题常用的、最方便的形式之一。无论是哪种二次曲线，其坐标原点都在曲线顶点；R0是曲线顶点的曲率半径，偏心率e决定了曲线的形状；包含了扁球面----即绕椭圆的短轴旋转而成的二次曲面----在非球面光学中经常要用到。形状参数e与曲线的对应关系：e2<0,

扁圆e2=0,

圆0<e2<1,

椭圆e2=1,

抛物线e2>1,

双曲线xyOe2<0e2=01>e2>0e2=1e2>1R0相同5/27/20246非球面设计、检验与加工形式3这种形式与形式２是一致的，即：

a1=2R0，

a2=e2-1有些人喜欢用这种形式。形式4以y2表达x，则二次曲线变成一个以y2升幂排列的无穷级数：其中各项系数均由R0和e2决定。这种形式根据y计算x比较方便，但得到的是近似值。取多少项取决于所要求的精度、相对孔径和面形参数。例：一个F/3的双曲面，设e2=5，则当y=1时，第三项值为410-6mm。如果这个面的通光孔径为200mm，即y=100，则第三项对x的贡献为0.4m，这个大小是不可忽略的。5/27/20247非球面设计、检验与加工三、一般形式的非球面其中c=1/R0为顶点曲率,K为二次曲线常数,d、e、…为系数.这种表达式如果只取右边第一项，则为严格的二次曲线，从形式2中解出x，得：对分母有理化后用R0除分子分母，令c=1/R0,K=-e2，即得：现在国际上通行的表达形式是：这种形式表示高次非球面对二次曲面的偏离程度。而x=Ay2+By4+Cy6+…适用于平板型非球面。5/27/20248非球面设计、检验与加工四、ZEMAX中的偶次非球面表达式式中第1项为一般的二次非球面，第2项为二次抛物面方程；第1项的顶点曲率半径R1=1/c，第2项的R2=1/2

1；ZEMAX程序中偶次非球面“曲率半径”是指R1；如果

10，则实际曲面顶点曲率半径R决定于R1和R2，即：如果c和

1异号，数值上又是R1>R2，则R将与R1异号。5/27/20249非球面设计、检验与加工1.2二次非球面的重要光学性质一、与法线有关的重要性质P(x,y)为曲线上的点,PCy为P点法线,C为顶点的曲率中心。光学上记

R=CCy，称为法线像差。由解析几何求得：

R=xe2从而：OCy-x=R0-(1-e2)x用补偿法检验非球面时，特别是自准光路中，需要设计折射或反射系统，往往将非球面法线看作光线，需要先计算法线与光轴的交点位置及角度。yxOCyCP(x,y)

xR0R5/27/202410非球面设计、检验与加工二、椭圆及双曲线的参数椭圆及双曲线的几何焦点与光学上焦点的含义是不同的，几何焦点(

c,0)有常用的重要光学性质。将坐标原点移至曲线顶点，即得形式2，这时椭圆：●双曲线：xyoyxoa-ca+cc-ac+ac2=a2-b2c2=a2+b25/27/202411非球面设计、检验与加工两种曲线关系：对于抛物线，p=R0，而：对于扁椭圆，即e2<1，没有几何学上的焦点，但在非球面光学中有用。注意在求其法向量时

R为负，即其边缘带法线与光轴交点离顶点的距离小于顶点曲率半径。于是，得：椭圆：双曲线：5/27/202412非球面设计、检验与加工扁球面与常规椭球面的关系椭圆绕短轴旋转形成扁球面，绕长轴旋转形成常规椭球面，在子午面内它们可以是同一椭圆。椭圆方程：

y2=2R0x-(1-e2)x2绕x轴旋转，得常规椭球面，其参数为R0及e2。将顶点移到新位置O

，有：x=x-a,y=b-y，或：x=x+a,y=b-y

代入原方程，并将y

与x

对换，得：(x-b)2=2R0(y+a)-(1-e2)(y+a)2整理得：O

x

y

Oxy5/27/202413非球面设计、检验与加工设扁椭球的顶点曲率半径为RE，偏心率平方为E2，则其方程式应为：

y2=2REx-(1-E2)x2与上式比较，得：由于0<e2<1，故E2一定是负值。写以上方程中，以y2+z2代替y2，即得扁椭球面方程。5/27/202414非球面设计、检验与加工1.3二次曲面的非球面度非球面度

指非球面表面和一个比较球面在沿光轴方向的偏差。一般希望非球面度尽可能小,因此,要选择一个最佳比较球面：一个与非球面在顶点与边缘接触的球面。当非球面度较小时，最大非球面度发生在y=0.707带，其数值为：其中D为镜子的口径，A为镜面的相对孔径，e2为二次曲面参数。当相对孔径很大时，应根据非球面方程式和比较球面方程式作数值计算求得。非球面度最佳比较球面非球面yxo5/27/202415非球面设计、检验与加工非球面度的大小反映加工的难度，但是不能只看其绝对值，还与镜面的直径大小有关。真正反映加工难度的是非球面度的变化值----称为非球面斜率，如在镜面径向每10mm内非球面度的差值。本章结束5/27/202416非球面设计、检验与加工ChaptII两镜系统的设计检验与加工两反射镜系统具有重要的实用价值：反射材料比透射材料容易得到（尤其对大口径）；镀铝或介质膜的反射层在很宽的波段范围内有很高的反射率;反射系统没有色差。因此，两反射镜系统在大口径天文望远镜、红外或紫外光学系统中有重要的应用。在天文望远镜系统中，由两个二次曲面反射镜组成的系统占有重要地位：CassegrainSystem和GregorySystem是最常用的系统，但因未校正轴外像差，视场受到限制。Chretien和Ritchey先后对Cassegrain系统进行了改进，形成R-C系统；MaKcyTOB提出了校正球差及彗差的Gregory系统，Schwarzchield提出了消球差、彗差场曲的系统，Cuder提出了同时消除球差、彗差及像散的系统。5/27/202417非球面设计、检验与加工2.1两镜系统的理论基础为便于对两反射镜系统有个完整的了解，从三级像差理论出发，选择合理的参数，推导出各种消像差条件，从而使设计两镜系统有全球应用的理论指导。2.1.1基本结构形式h1h2-l2-f

1l

2d主镜与次镜都是二次曲面，表达式为：式中e2为面形参数,是变量,可用于消像差。

5/27/202418非球面设计、检验与加工作为望远系统,显然有：

1)物体位于无穷远，即l1=

，u1=0；

2)光阑位于主镜上，即x1=y1=0。定义两个与轮廓尺寸有关的参数和：利用高斯光学公式，还可以导出：式中：

表示副镜离第一焦点的距离,也决定了副镜的遮光比，

表示副镜的放大倍数。主镜的焦距乘以

即为系统的焦距，或主镜的F数乘以

的绝对值即为系统的F数。5/27/202419非球面设计、检验与加工2.1.2单色像差表示式五种单色像差的三级像差系数分别为SI、SII、SIII、SIV和SV：式中：5/27/202420非球面设计、检验与加工对于反射系统：n1=n

2=1，n

1=n2=-1；令：h1=1，f=1及

=-1得：f

1=1/

，u

1=u2=

，u

2=1,J=1

由此可得：5/27/202421非球面设计、检验与加工将这些值代入三级像差系数表示式中，得两反射镜系统的三级像差系数为：5/27/202422非球面设计、检验与加工5/27/202423非球面设计、检验与加工2.1.3消像差条件式从五种三级像差系数可知,自由参数有四个：e12、e22、

、。因此,两反射镜系统最多可以同时消除四种像差。将各种消像差的组合情况解出,得到如下29组消像差条件：(1)SI=0：(2)SII=0：(3)SIII=0：5/27/202424非球面设计、检验与加工(4)SIV=0：(5)SV=0:以上是单独消除一种像差的条件。当入瞳在第一镜面上时，该镜面的非球面化对轴外像差不起作用，e12就从这些条件是消失；当要求SIV=0时，只在在与的依赖关系，这时平像场条件为：R01=R02。5/27/202425非球面设计、检验与加工(6)SI=SII=0

：此即为等晕条件(7)SI=SIII=0：

5/27/202426非球面设计、检验与加工(8)SI=SIV=0

：(9)SI=SV=0：

5/27/202427非球面设计、检验与加工(10)SII=SIII=0

：(11)SII=SIV=0：

(12)SII=SV=0：5/27/202428非球面设计、检验与加工(13)SII=SIII=0

：(14)SII=SIV=0：

(15)SII=SV=0：5/27/202429非球面设计、检验与加工消三种初级像差的情况：(16)SI=SII=SIII=0

：(17)SI=SII=SIV=0：5/27/202430非球面设计、检验与加工(18)SI=SII=SV=0

：(19)SI=SIII=SIV=0：5/27/202431非球面设计、检验与加工(20)SI=SIII=SV=0

：(21)SI=SIV=SV=0：5/27/202432非球面设计、检验与加工以上是消除SI和另外两种轴外像差的条件，其中

、e12、e22都是用

的显函数表示的。下面讨论轴外三种像差校正的情况：(22)SII=SIII=SIV=0：(23)SII=SIII=SV=0：5/27/202433非球面设计、检验与加工(23)

SII=SIV=SV=0：(25)SIII=SIV=SV=0：因假设入瞳位于主镜上,