2024年中考数学训练-定弦定角（知识解读）

定弦定角(知识解读)

【专茎饯明】

定弦定角题型的识别：有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张

角固定不变。图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及

定弦定角最值问题

【知佣立】

若固定线段AB所对动角NP为定值，则点P运动轨迹为过A、B、P三点的圆。

备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可。

原理：同弧所对的圆周角相等；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。

请在上方后面的图形中找到圆心。

【方放技巧】

解题技巧：构造隐圆

定弦定角解决问题的步骤：

(1)让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹

为一段弧。

(2)找不变的张角(这个时候一般是找出张角的补角)，(这个补角一般为60・、

45")

(3)找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置

(4)计算隐形圆的半径

(5)圆心与所求线段上定点的距离可以求出来

(6)最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径

【典例台折】

【典例1］如图，已知矩形

(1)如图①，请在矩形ABCD的内部或边上画出使NAP3=45°的点尸的轨

迹；

(2)如图②，请在矩形A3CD的内部或边上画出使NAP3=90°的点P的轨

迹；

(3)如图③，请在矩形A3CD的内部或边上画出使NAP3=120°的点P的

轨迹.

图①图②图③

【典例2】如图，在AABC中,AC=3,3c=4&,ZACB=45°,AM//BC,

点P在射线AM上运动,连BP交△APC的外接圆于D,则AD的最小值为（）

C.V2D.4M-3

【变式2】如图，在等腰中，ZBAC=90°,AB=AC,BC=4点，点

。是AC边上一动点，连接3D,以AD为直径的圆交5。于点E,则线段CE

长度的最小值为

E

RC

【典例3】如图，O。半径为6,弦A3=6,点P为优弧A3上一动点，AC1AP

交直线P3于点C,则△ABC的最大面积是()

A.6yfsB.9V3C.6A/2D.9

【变式3】如图，O。的半径为1,弦A3=l,点尸为优弧金上一动点，AC±AP

交直线尸3于点C,则△ABC的最大面积是()

C.亨D.亨

【典例4】如图，A(1,0)、3(3,0),以A3为直径作OM,射线。R交

于E、R两点，C为弧A3的中点，。为ER的中点.当射线OR绕。点旋转

时，CD的最小值为

【变式4](2022•肇源县二模)如图，A(2,0)、B(6,0),以A3为直径

作OM,射线OR交OM于E、R两点，C为弧A3的中点，。为ER的中点.当

射线。R绕。点旋转时，CD的最小值为.

【典例5】（2020秋•无锡期中）如图，A3是O。的直径，AB=2,。在。。上，

ZABC=60°,P是。。上一动点，。是AP的中点，连接CD,则CD的最

小值为.

定弦定角（知识解读）

【专驳说跚】

定弦定角题型的识别：有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张

角固定不变。图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及

定弦定角最值问题

【知鹤立】

若固定线段AB所对动角NP为定值，则点P运动轨迹为过A、B、P三点的圆。

备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可。

原理：同弧所对的圆周角相等；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。

请在上方后面的图形中找到圆心。

【方法技巧】

解题技巧：构造隐圆

定弦定角解决问题的步骤：

（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹

为一段弧。

（2）找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角），（这个补角一般为601

45"）

（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置

（4）计算隐形圆的半径

（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来

（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径

【典例今析】

【典例1］如图，已知矩形A3CD.

（1）如图①，请在矩形ABCD的内部或边上画出使NAP3=45°的点尸的轨

迹；

（2）如图②，请在矩形A3CD的内部或边上画出使NAP3=90°的点P的轨

迹；

（3）如图③，请在矩形A3CD的内部或边上画出使NAP3=120°的点P的

轨迹.

图①图②图③

【解答】解：（1）如图，作等腰直角三角形A03,使乙4。3=90°,以。为

圆心，。4为半径画圆，

一°；

小、/c

、、一亩①

则市尸即为所求；

（2）如图，以A3为直径作圆,则窟即为所求（不与4、3重合）；

1

图②

（3）如图，作等腰△A03,使NAOB=120°以。为圆心，。4为半径画圆,

则篇即为所求（不与A、3重合）；.

___4______________D

B图③

【典例2］如图，在△ABC中，AC=3,3c=4&,ZACB=45°,AM//BC,

点P在射线AM上运动,连BP交△APC的外接圆于。，则AD的最小值为（）

4^3V

B、/

A.1B.2C.V2D.4&-3

【答案】A

【解答】解：连接CD,则NPDCuNHCnNACBMdS。，ZBDC=\35°

,:BC=4近,

...点。在以BC为弦的一段圆弧上运动，圆心角为90°,

设圆心为。，连接3。、CO、DO,

则△BC。为等腰直角三角形，

，CO=4,ZBCO=45°,

VZACB=45°,

AZACO=90°,

A0=VAC2K：02=V32+42=5,

：.AD^AO-DO=5-4=1（当且仅当。是AF与圆弧的交点时取等号），

线段A。的长的最小值为1,

故选：A.

【变式2】如图，在等腰RtZXABC中，NR4c=90°,AB=AC,3C=46，点

。是AC边上一动点，连接3D,以AD为直径的圆交3。于点E,则线段CE

长度的最小值为.

【答案】2灰二2

【解答】解：连接AE,如图1,

,：ZBAC=9Q°,AB=AC,BC=如,

：.AB=AC=4,

•••AD为直径，

AZAED=90°,

ZAEB=9Q°,

.•.点E在以AB为直径的O。上，

;。。的半径为2,

...当点。、E、C共线时，CE最小，如图2,

在Rt^AOC中，'：0A=2,AC=4,

•*-0C=VOA2+AC2=2小＞，

:.CE=OC-0E=2爬-2,

即线段CE长度的最小值为2泥-2.

故答案为2泥-2.

图2

【典例3】如图，O。半径为6,弦A3=6,点P为优弧A3上一动点，AC1AP

交直线P3于点C,则△ABC的最大面积是（）

A.6-75B.9MC.672D.9

【答案】B

作△ABC的外接圆O。，如图1,

为等边三角形,

AZAOB=60°,

AZAPB=1ZAOB=30°,

2

'：AC±AP,

：.ZC=60°,

,：AB^6,要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大,

ZACB=60°,点C在上，

AZADB=120°,

如图2,

当点C优弧AB的中点时,点C到A3的距离最大，此时△ABC为等边三角形，

且面积为返/162=9如，

4

△ABC的最大面积为973.

故选：B.

【变式3】如图，O。的半径为1,弦A3=l,点P为优弧第上一动点，AC±AP

交直线P3于点C,则△ABC的最大面积是（）

【答案】D

【解答】解：连接。4、0B,如图1,

为等边三角形,

AZAOB=60°,

AZAPB=1ZAOB=30°,

2

'：AC±AP,

AZC=60°,

'：AB=1,要使△ABC的面积最大，则点C到A3的距离最大,

ZACB=60°,点C在O。上，

AZADB=120°,

当点C在优弧A3的中点时，点C到A3的距离最大，此时△A5C为等边三角

形，且面积为近A§2=返，

44

AABC的最大面积为运.

4

故选：D

【典例4】如图，A(1,0)、3(3,0),以A3为直径作OM,射线OR交OM

于E、R两点，C为弧A3的中点，。为ER的中点.当射线OR绕。点旋转

时，CD的最小值为.

【解答】解：连接如图，

•。为跖的中点，

：.MD±EF,

：.ZODM=90°,

.•.点。在以A点为圆心，1为半径的圆上,

当。点为CA与OA的交点时，CD的值最小，止匕时CD=AC-1=&-1,

即CD的最小值为圾-1.

故答案为：V2-1.

【变式4](2022•肇源县二模)如图，A(2,0)、3(6,0),以AB为直径

作OM,射线OR交OM于E、歹两点，C为弧A3的中点，。为ER的中点.当

射线。R绕。点旋转时，CD的最小值为.

【答案】2点二2

【解答】解：连接如图,

,。为所的中点，

：.MD±EF,

.,.ZODM^90°,

.•.点。在以A点为圆心，2为半径的圆，

当。点为CA与OA的交点时，CD的值最小，此时CD=AC-2=2a-2,

即CD的最小值为26-2.