2024届高三新高考数学改革适应性练习及答案（九省联考题型）

2024年新高考改革适应性练习（九省联考题型）

数学试题卷

（名师教研团队命制2024.2.3）

考试须知：

1.本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；

2.答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题）,

答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；

3.考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸.

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.）

1.共同富裕是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕.下列关于个人收入的统计量中，最能体现共

同富裕要求的是

A.平均数小、方差大B.平均数小、方差小

C.平均数大、方差大D.平均数大、方差小

2.已知复数z满足|z|=1且2=i•z,则z可被表示为

AA.cosT-l+..is.in-37TBc.cos-37r+i.s.in7-1

4444

C.cos-71+isin-7rD,cos-+isin-

4444

3.1949年10月1日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有600余位宾客参

加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”.该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉

方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福.若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉

方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为

A.240B.480C.384D.1440

4.抛物线y2=4%的焦点为尸，已知抛物线上的三个点4,8,C满足西+而+同=0,则同|+

[FB\+|FC|二

A.4B.5C.6D.7

5.遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾•宾浩斯（H.Ebbinghaus）研究发现,

描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以

从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力.该曲线对人类记忆认知研究产

生了重大影响.陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过

的时间无(小时)的大致关系：

y=1—O.6%006

若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的50%,则他复习背诵时间需大约在

A.14：30B.14：00C.13：30D.13：00

6.已知数列｛即｝满足an+1=an+an+2(nGN*),ara2=4且a2>0，则的+----H。2024的

最小值是

A.4B.3C.2D.1

7.已知函数/(x)=+4X3+2(7n+2)%2+小久图像上的一极大值点为(—2,0),则实数TH的取值

范围为

A.(—2,+oo)B.(—4,-2]C.(—co,—2]D.(—co,—2)

8.在正三棱锥P—ABC中，侧棱P4与底面4BC所成的角为60。，且2B=3,则三棱锥P—ABC外

接球的表面积为

A.8兀B.127rC.16兀D.18兀

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.)

9.已知a=sin(sin2024。)，b=sin(cos2024°),c=cos(sin2024°),d=cos(cos2024°),贝U

A.a<cB.b<dC.b<aD.d<c

10.已知长轴长、短轴长和焦距分别为2a、2b和2c的椭圆0,点/是椭圆0与其长轴的一个交点，

点B是椭圆。与其短轴的一个交点，点a和F2为其焦点，AB1B0•点P在椭圆管上，若P%1

PF2,则

A.a,b,c成等差数列B.a,b,c成等比数列

C.椭圆。的离心率6=花+1

D.△ABFr的面积不小于△PF/2的面积

11.积性函数人无)指对于所有互质的整数a和b有f(ab)=⑻的数论函数.则以下数论函数是

积性函数的有

A.高斯函数[n]表示不大于实数n的最大整数

B.最大公约数函数gcd(n,k)表示正整数n与k的最大公约数(k是常数)

C.幕次函数/(n)表示正整数九质因数分解后含血的嘉次数(血是常数)

D.欧拉函数(p(n)表示小于正整数n的正整数中满足与n互质的数的数目

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)

12.已知函数/'(%)=(/一。工+a)ln(x+1),aeR的图像经过四个象限，则实数a的取值范围是

13.已知等差数列｛%｝和等比数列｛"｝满足的+a?=瓦+尻=30,=久+/=1。，则数列

｛anfen｝在n=时取到最小值.

14.抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线

的轴.过抛物线C:/=4y上的点P(不为原点)作C的切线Z,过坐标原点。作OQ_LZ,垂足为

Q,直线PF(F为抛物线的焦点)与直线OQ交于点T,点4(2,0),则|-4|的取值范围是

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

15.(13分)

第一象限的点/在抛物线G：y2=2久上，过点力作轴于点B,点P为中点.

(1)求P的运动轨迹为曲线心的方程；

(2)记乙心的焦点分别为0,尸2,则四边形AP0F2的面积是否有最值？

16.(15分)

如图，已知四棱锥P—4BC0的底面是矩形且棱24垂直于其底面.Q为棱PD上一点,P4=

AB.

(1)若Q为PD中点,证明：PB1平面4CQ；

(2)若4Q为的高，AD=<2AP,求二面角P-AC-Q的正弦值.

CD

17.（15分）

从集合｛%G^*|1<%<9｝中随机抽取若干个数（大于等于一个）.

（1）求这些数排序后能成等比数列的概率；

（2）求这些数排序后能成等差数列的概率.

18.（17分）

已知函数/（%）=«%—（%+2）ln（x+1）.

（1）若/（%）的零点也是其的极值点，求a；

（2）若人无）的图像经过四个象限，求a的取值范围.

19.（17分）

对于非空集合G,定义其在某一运算（统称乘法）“X”下的代数结构称为“群”（G,x）,简记为

Gx.

而判断Gx是否为一个群，需验证以下三点：

1.（封闭性）对于规定的“X”运算，对任意a,bEG,都须满足axbeG；

2.（结合律）对于规定的“X”运算，对任意a.b.cEG,都须满足ax（bxc）=（axb）xc；

3.（恒等元）存在eEG,使得对任意aCG,exa=a；

4.（逆的存在性）对任意aCG,都存在bEG,使得axb=bxa=e.

记群GX所含的元素个数为n,则群Gx也称作“n阶群”.若群G*的“X”运算满足交换律，即

对任意a.bEG,axb=bxa,我们称Gx为一个阿贝尔群（或交换群）.

（1）证明：所有实数在普通加法运算下构成群R+;

（2）记C为所有模长为1的复数构成的集合，请找出一个合适的“X”运算使得C在该运算下构

成一个群CX,并说明理由；

（3）所有阶数小于等于四的群G'是否都是阿贝尔群？请说明理由.

2024年新高考改革适应性练习（九省联考题型）

数学参考答案

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.）

题号12345678

答案DCBCAADC

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）

题号91011

答案ABDBDABD

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

题号121314

答案(-1°)5或6[V5-1,V5+1]

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

15.（13分）

（1）设ZOo，yo），则有羽=2久0，则B（0,yO）,因为P是的中点，所以

则yo=2%0=4O,即%=4xP,故点P在抛物线「：y2=4%（y＞0）的上运动.

（4分）

（2）因为4P与&尸2平行，所以四边形4PF/2是梯形，

其上底为AP-^xA-，下底为F/2=段一军=2-1=1,高为为=%,

所以其面积S=式六o+l）,又诏=2与，所以5=式9+1）=》计:仇＞0）

（8分）

令/仇）=：就+学仇＞。）,则f'仇）=|九+：＞。，所以/仇）即S关于y单调递增,

OZOZ0

（10分）

又当y（）f0时，Sf0；泗―+8时，Sf+8,所以S在e（0,+8）上没有最值.

（13分）

16.（15分）

（1）如答图，取P4中点F,连接EF,BF,

因为P,E分别为PA,PD的中点，所以EF.

因为4D〃BC,AD=2BC,所以FE〃BC,EF=BC,

所以四边形EFBC为平行四边形，BF//CE,

因为BFu平面PAB,CEC平面24B,所以CE〃平面PAB.（6分）

（2）过点B作BHJ.AC于点“，连接

因为BF//CE,所以直线CE与平面PAC所成角和直线BF与平面PAC所成角相等，

因为PAJ■平面ABC。，BHABCD,所以

因为PACZC=4,P4,4Cu平面24C,所以BH1平面R4C,

所以为直线BF与平面P4C所成角，（11分）

BF=V22+I2=V5,AC=V22+I2=V5,BH=黑=卓,所以

故直线CE与平面24c所成角的正弦值为|.（15分）

17.（15分）

（1）若5、7在所抽取的数里，由于其是质数，且无法找到其他被其整除的数，故5、7不能被抽取到.

①若抽取的数有1,

（I）若抽取三个数，设其他两个数为a,b（a<b）,贝Ia?=力，符合条件的（a/）只能为（2,4）和（3,9）

两组，此时所抽取的数为（1,2,4）和（1,3,9）,共两组；

（II）若所抽取的数的个数大于3,记此等比数列的公比为q,则q22.若q=2,则所抽取的数为

（124,8）；若q”则该等比数列的最大一项大于等于33=27,明显不符合题意，故该情况仅有

（1,2,4,8）1组符合条件.

②若抽取的数无1,则抽取的数应在｛2,3,4,689｝中.该等比数列公比q\2,因此若最小的一项为3,

则最大一项23X22=12,矛盾，所以最小的一项应为2.易知符合条件的仅有（2,4,8）1组.

综合上述情况，仅有（1,2,4）,（1,3,9）,（1,2,4,8）,（2,4,8）共4组符合条件.（4分）

而抽取的所有结果共有29-1=511种，故概率P=±.（6分）

（2）①当抽取的数有3项时，⑴若该等差数列的公差d=1,则有（1,2,3）,（2,3,4）,…，（7,8,9）共

7组符合条件.（II）若该等差数列的公差d=2,则有（1,3,5）,（2,4,6）,…，（5,7,9）共5组符合条

ft.（III）若该等差数列的公差d=3,则有（1,4,7）,（2,5,8）,（3,6,9）共3组符合条件.（IV）若该等

差数列的公差d=4,则仅有（159）1组符合条件.（V）若该等差数列的公差d25,则没有满足条

件的选取组合.

故此情况共有7+5+3+1=16组符合条件.（8分）

②当抽取的数有4项时,（I）若该等差数列的公差d=1,则有（1,2,3,4）,（2,3,4,5）,…，（6,7,8,9）共

6组符合条件.（II）若该等差数列的公差d=2,则有（1,3,5,7）,（2,4,6,8）,（3,5,7,9）共3组符合条

件.（III）若该等差数列的公差d23,则没有满足条件的选取组合.

故此情况共有6+3=9组符合条件.（10分）

③当抽取的数有5项时，（I）若该等差数列的公差d=1,则有（1,234,5）,（2,3,4,5,6），…，（5,6,7,8,9）

共5组符合条件.（II）若该等差数列的公差d=2,则仅有（1,3,5,7,9）1组符合条件.（III）若该等差

数列的公差d>3,则没有满足条件的选取组合.

故此情况共有5+1=6组符合条件.（12分）

以此类推，当抽取6、7、8、9项时，都当且仅当公差为1时有符合条件的选取组合，分别有4、

3、2、1组，

综上所述，满足条件的选取组合共有16+9+6+4+3+2+1=41组，（14分）

由（1）,抽取的所有结果共有29—1=511种，故概率（15分）

18.(17分)

(1)f(x)=ax—(x+2)In(久+1),xE(―1,+oo),(2分)

观察得〃0）=0，即x=0为其零点,（4分）

1

/（久）=。一1一-—M（久+D

所以尸(0)=a—2=0,即a=2.故a的值为2.（6分）

（2）由（1）得y=/Q）必经过原点，若需使y=八均经过四个象限，则/（K）需在区间（—1,0）和

（0,+oo）上均至少存在一个零点，

令f(x)=ax—(%+2)ln(x+1)=0=a=(久+”,一土。。0)在(—1,0)和(0,+oo)上均有根.

、几十粉(%+2)ln(x+1)%2+2x-2(x+l)ln(x+l)

设函数g(x)=----------------，g'(x)=---------(八2---------，

X(%+l)xz

令h(x)=x2+2x—2(%+1)ln(x+1),h'(x)=2[%—ln(x+1)],

令w(x)=x—ln(x+1),0'(久)=，当xe(—1,。)时，(p'(x)<0,0(无)单调递减；当x6(0,+oo)

时，(p'(x)>0,0(X)单调递增.所以％=0是(p(x)的极小值点，0(尤)min=9(。)=0•

所以8(x)20恒成立，即》(久)之0,故/i(x)单调递增.又/i(0)=0,所以当xC(-1,0)时，/i(x)<

h'(0)=0,即g'(x)<0,所以g(尤)单调递减；当%€(0,+8)时,%(无)>»(0)=0,即“(%)>0,

所以g(x)单调递增.

又当尤—0时，g(X)t2,所以要使得g(x)=。在(一1,0)和(0,+8)上均有根，a需满足ae(2,+oo).

综上所述，若/(%)的图像经过四个象限，贝IJa6(2,+8).(17分)

(方法不唯一，若考生从极值点等其他角度入手，依据实际情况酌情赋分)

19.(17分)

(1)我们需证R在普通加法下可构成一个群，由题意，需从以下四个方面进行验证：

①封闭性：对a,beR,则a+beR,封闭性成立.(1分)

②结合律：对a,瓦cCR,a+(h+c)=(a+b)+c,结合律成立.(2分)

③恒等元：取e=06R,则对任意aCR,0+a=a.符合恒等元要求.(3分)

④逆：对任意aeR,b——aER,且a+b=a+(—a)-0=e,满足逆的存在性.

(4分)

综上所述，所有实数在普通加法运算下可构成群R+.

(2)首先提出，C的“X”运算可以是复数的乘法：Z1Z2(Vzi，Z2CC),理由如下.

(6分)

即证明S在普通乘法下可构成一个群，同(1),需从四方面进行验证：

①封闭性：设Z]=a+bi,z2—c+di,其中z^ZzCC,即a2+b?=©2+d?=1.

则ztz2=(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i,

2222222222

所以\z1z2\=y/(.ac—bd)+(ad+be)=Vac+bd+ad+bc

=y/c2(a2+b2)+d2(a2+b2)=Vc2+c/2=1,即eC,封闭性成立.(7分)

②结合律：设Z]=a+bi,z2—c+di,z3—e+fi,其中Zj_,Z2，Z3eC,

zi(z2z3)=(a+bi)[(ce—df)+(cf+de)i]

=[a(ce—df)—b(cf+de)]+[a(cf+de)+b(ce—d/)]i

(z1z2)z3=[(ac—bd)+(ad+bc)i](e+fi)

=[e(ac—bd)—f(ad+be)]+[/(ac—bd)+e(ad+be)]

对比后容易发现,Z1Q2Z3)和(Z[Z2)Z3实部和虚部分别对应相等，即(Z2Z3)=(Z1Z2)Z3,结合律成立.

(8分)

③恒等元：取e=lec,则对任意zee,l-z=z,符合恒等元要求.(9分)

④逆的存在性：对任意z=a+bieC,取其共辗z=a-bi,则z,N=a?+=1=e,满足逆的存

在性.(10分)

综上所述，C在复数的乘法运算下构成一个群。乂.

(构造不唯一，证明方法也不唯一，本题较为开放，不同的方法应据实际情况酌情赋分)

(3)所有阶数小于等于四的群G*都是阿贝尔群，理由如下.(11分)

若群G'的阶数为0,则G为空集，与定义矛盾.所以GX的阶数为1,2,3,4.下逐一证明.

①若群G'的阶数为1,则其唯一的元素为其恒等元，明显符合交换律，故此时G,是阿贝尔群.

(12分)

②若群G'的阶数为2,设其元素为e,a,其中e是恒等元，则exa=axe=a,符合交换律，故此

时G,是阿贝尔群.(13分)

③若群G*的阶数为3,设其元素为e,a,b,其中e是恒等元，由群的封闭性，axb*.

若axb=a,又axe=