2024年2月贵州省2024届高三大联考数学试卷（含答案）

高三联考数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在

答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知集合A={H|R2—3工＞0},8={0,1,2,3,4},则403=

A.(0,1,2,3,4}B.{1,2,3}C.{4}D.{0,3,4)

2.复数2=(—2+i)(2+2i)在复平面内对应的点位于

A第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.若直线Z”=芯与圆M/+3—I)2=I只有一个公共点，则为=

A.—1B.1C.0D.2

4.有一组样本数据都在区间口,211内，将其制成如图所示的频率分布直方图，估计该组样本数

据的平均数为(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

5.已知向量a=(3sin6+cos0,sin0—5cosO'),6=(3sinacosff)"G(0,-y)，若aj_b,则tan0—

Li

A*母B.—1C.yD.方

(.x—a)2,x<Z0,

6,已知函数/'(z)=12H+1、在R上单调递减，则a的取值范围为

A.D,4-oo)B.(-oo,03C.(0,+2D.R

【高三数学第1页(共4页)】•24-3610

7.大西洋酷鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究鲤鱼的科学家发现姓鱼的游速。（单

位：m/s）可以表示为v=^log3备，其中。表示鞋鱼的耗氧量的单位数.若一条雄鱼游速为

0,5m/s时耗氧量的单位数为300,则一条雄鱼游速为2m/s时耗氧量的单位数为

A.100B.8100C,1200D,900

8,现准备给一半径为6cm的实心球体玩具制作一个圆台型带盖的纸质包装盒,要使制成的包

装盒能装下该球体玩具，且该包装盒的下底面是半径为4cm的圆，则制成的包装盒的容积最

小为

A.133kcm3B.399Kcm3C.2667rcm3D.5327rcm3

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知数列&》的前n项和为Sn,a2=\,am+n=aman，则下列结论正确的是

A.如024=1

B.做023=1

C.若$2024=2024,则幻=1

D.若S2O23=—1，则<21=—1

10.已知函数f（G飞落我葭］，则下列结论正确的是

A/包）的图象关于直线z=a对称

B./U）的图象关于点苧0）中心对称

C.fCz）的最小正周期是27r

DJ（外在（一£,苧）上有最大值,且最大值为号

11.已知O为坐标原点,P,Q为抛物线C：/=2/火力>o）上两点,F为C的焦点，若F到准线z

的距离为2,则下列结论正确的是

A若M（1,3），则周长的最小值为2+V5

B.若直线PQ过点F,则直线OP,OQ的斜率之积为一卷

C.若N（0,—l）,则谶的取值范围是口,原

D.若APOF的外接圆与准线I相切，则该外接圆的面积为竽

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三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.甲、乙等7名同学随机站成一排，则甲、乙相邻且甲不站两端的不同排列方式有一^种.

13.已知双曲线C?一忘=1（。>°心°）的右支上有一点A，点A关于坐标原点对称的点为B,F

为双曲线C的左焦点,且满足AFJ_BF,当NBAF=佥时,双曲线C的离心率卜

为'/\\

14.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB_L平面ABC,PA=2,PB=/,AB=4a.…,一匚^

3,M为棱AB上靠近点B的三等分点，且CM为NACB的角平分线，则二

面角P-AC-B的平面角的正切值的最小值为▲.°

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,6,c,已知6=1,c=cosA+空a.

U

⑴求B；

（2）若a=73,^AABC的面积.

16.（15分）

已知椭圆C：胃+£=l（a>6>0）的左、右焦点分别为B,芯，上顶点为A（0,通），且

△ABFz为正三角形.

（D求椭圆C的方程；

（2）过点B且垂直于AB的直线与椭圆C交于D，E两点，求AADE的面积.

【高三数学第3页（共4页）】•24-361C-

17.(15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形,/ABC=60°,BDXPC,AB=4,AP=

/10,CP=3V2.

(D证明:平面PACJ_平面ABCD

(2)求二面角C-PD-B的余弦值.

瓒

18.(17分)

某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效•某同之

学每天中午都会在两种汤中选择一种,已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为作，若前一天

添

选择冰糖雪梨汤,则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为点,而前一天选择苹果百合汤，后

3-

一天继续选择苹果百合汤的概率为2,如此往复.

引

(D求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率.

(2)记该同学第n天中午选择冰糖雪梨汤的概率为P„，证明：止“一半｝为等比数列.堀

(3)求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数.

哂

19.(17分)

已知函数f(x')=2eI+ax.

(D讨论的单调性；

(2)若方程f(x)=m有两个不相等的根刈，彳2,且0V©Vg"(工)的导函数为/(x),证

明/(d五)V0.

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高三联考数学参考答案

l.CA=(—8,0)U(3,+8),则AAB={4}.

2.Cz=(—2+i)(2+2i)=—6—2i,在复平面内对应的点(一6,—2)位于第三象限.

3.C由题意可得直线,与圆M相切.因为直线I过定原点。，点。在圆M上，所以直线I与直

线0M垂直.因为直线0M的斜率不存在，所以人=0.

4.B样本平均数约为0.02X4X3+0.08X4X7+0.09X4X11+0.02X4X15+0.04X4X19

=10.68.

5.D因为aj_仇所以a•b=(3sin(9+cosO'),3sin0+(sin9-5cos6),cos0—9sin20+

4sin8cos0—5cos20=0.因为％(0,费),所以cosJ#0,tan6>0,则9tan2(9+4tan6—5=0,解

得tan0=g或tan。=—1(舍去).

6.A当x<0时,y=(1z—a)2>0.当时,y=一%-2《-1.若函数y—Cx-

aY在(一8,0)上单调递减，则a的取值范围为[0,+8).若/包)在R上单调递减，则a的

取值范围为[0,+8).

1y

7.B由题意可得;=Alog3^解得4=4"，所以二沙密令2=4-log3解得O—

乙J.UU乙LiJ.UULt-LUU

8100.

8.D要使制成的包装盒的容积最小，则该球体玩具与包装盒的上、下底面及侧面都相切.

作该圆台型包装盒的轴截面，且AG，BC,EF，BC.BGc

易知AB=BF+AE,BG=BF—AE.因为AR2=AG2+BG2,所以(BF+4)2Vfjoy

=122+(BF—4)2,解得BF=9.此时该包装盒的容积(BF2KW

oA

AE+AE2)=[XnX12X(92+9X4+4?)=5327rcm3,

o

9.ACD令9=77=1,则a2=储，解得田=±1.令77=2,则。加+2=。,必2=Q〃i，所以。2024=。2=1，

々2023=©=土1,A正确?B错误.若S2024=2024,则a\=1,若S2023=—1,则=—1,C,D均

正确.

10.BCD由sinz+cos解得—亍+麻/GZ,所以/(z)的定义域为

{•rGRlzW—£十标"ez}.

令sinz+cos支=5/^5由(1+手)=Z,贝!]sinNCOSL令函数g(z)=^9^=-y(r--).

4LJCjtLtt

当一~^<zV苧时,sinz+cos7=5/^5沦(1+£)>0,且函数y=5/^sin(z+g)在(一手今)

【高三数学•参考答案第1页(共7页)】•24-361C-

上单调递增，在（宠苧上单调递减.

又因为g⑺在（0,十8）上单调递增，所以/（外在（一亲,£）上单调递增，在（于，苧）上单调

递减，所以/（为的图象不关于直线■对称,A错误.

/Cz）在（一£,苧）上有最大值，且最大值为/（£）=¥，D正确.

//、sinxcosx_A/2sin2JT

J~r~,

~S•in7十COSX.zI7T、

2osm（z十«）

DQJ^sin2（空+力）A/2sin2（苧一比）J^sin（萼+2x）

f（囱_i_^\_|_f（囱一于）=_________________I__________3_____=_______L______

44•ZSKII7：x.Z3TVI7ux2sin（7c+z）

29sm（才十z十彳）Z9sin（~：—x-\--r）

4444

需I二事=冬（鼻孑+3箸）=°，所以f⑴的图象关于点亭°）中心对称，

B正确.

由对称性可得/殳）在（竽，苧）上单调递减，在（中,令上单调递增，所以在（一于，?）

上不具有周期性.

又因为了殳+2储=邛当铲＞*=芈史江=/包），所以人公的最小正周

sin（«r十2兀）十cos（«z十2穴）sinJ:+COSx

期为2元,C正确.

11.BCD由题意可知，力=2,所以]2=4»*（0,1）.

作PB_U，垂足为B（图略），△PMF的周长为|PF|+|PM|+|MF|=|PB|+|PM|+

|MF|24+|MF|=4+四,A错误.

\y=kx-\-1,

若直线PQ过点F，可设直线PQ的方程为、=丘+1,由V,得/一4标一4=0.设

〔/=44，

2

P（JCI，:yi）,Q（H2，2），则Xi+工2=4A,H2=—4,则y\y2=Ckx\+1）（^2+1）=kX]X2+

后（乃+彳2）+1=1，所以直线0「，8的斜率之积为"•3=-J,B正确.

eTo4

若N（0,—1）,则躅=0+（名±或=述理+喑+止,令片、+12,0＜十＜1,

所以禺=-'"—4=J"+尸=7-4（7-1）2+2'可得制G[1，/]，C正确•

若△POF的外接圆与准线/相切，设△POF的圆心为。，则|DF|=|D0],所以圆心。的纵

坐标尸斗^得，则其半径厂=；+1=母，面积为好D正确.

乙乙乙乙4

12.1200先确定甲的位置,再确定乙的位置及其他同学的位置，则有5修7=1200种不同的

【高三数学•参考答案第2页（共7页）]-24-361C-

排列方式.

13.72如图，设F'为双曲线C的右焦点，连接AF',BF'.由AF±BF

及双曲线的对称性得四边形AFBF'是矩形，|=|FF'|=2c,则

\AF\=\AB\•cosZBAF=2ccos\AFf\=\BF\=\AB\­

sinNB4F=2c•sin得，由双曲线定义得|AF|—|AF'|=2c(cos得

•1.乙1.乙

—siny^)=2c•7^cos(£+£)=2a,即々C=2Q,所以离心率e=—=V2.

_L乙_L乙4Cl

14.273如图1,过点P作PQ_LAB,垂足为Q,过点Q作QH_LAC,垂足为H,连接PH.

因为平面PABJ_平面ABC,所以PQ_L平面ABC,PQ_LHQ,久

PQLAC.

因为QHJ_AC,所以AC,平面PQH,ACJ_PH,/\\\

所以NPHQ为二面角P-AC-B的平面角.4怨卡艺

2

在MAB中,cosNPAB’P装记

图1

所以/PAB=60°,

贝ijPQ=AP•smZPAB=^3,AQ=AP•cos/PAB=l.

^hAABC中，HQ=AQ•sinNBAC=sinNjBAC,所以tan/PHQ=A=-.鼻”.

sinzIJAU

如图2,在平面ABC内，过点C作CN_LCM交直线AB于点/一、

N,所以点C在以MN为直径的圆上运动.设MN的中点为。，/\

连接OC.因为/CAN=/NMC—/ACM,/BCO=/MCO—------力

NMCB,所以NCAN=NBCO.因为NAOC=/COB,所以

△AOCs/xCOB,所以铝=麻，即解得0C攵c

图2

=2,OA=4.

当直线AC与圆O相切时,/BAC最大，因此tan/PHQ最小.

(sin/BAC)1rax=售=｝，(tan/PHQ)mM=2痣.故二面角P-AC-B的平面角的正切值的

最小值为2质.

注:①在求点C的轨迹时，也可在平面ABC内建立平面直角坐标系，用解析几何的方法求解.

②在求sin/BAC的最大值时，也可用如下方法：

由题意可得,AC=2BC,cosNBAC=AB；Ag：U0=盒+苧*，所以sin/BACX：

15.解：(D因为c=cosA+喙a,"=l,所以c=6cosA+喙a.............................................1分

乙乙

【高三数学•参考答案第3页(共7页)】•24-361C-

由正弦定理得sinC=sinBcosAH--^sinA,....................................2分

乙

贝(Jsin(A+B)=sinBcosA+4sinA,..........................................3分

BPsinAcosB+cosAsinB=sinBcosA+丁sinA,

所以sinAcosB=§sinA....................................................4分

乙

因为sinA>0,所以cosB=§,...............................................5分

Li

又OVBVn,所以B=*......................................................6分

zx«2+c2—62(A/3^)2+C2-1A/3

(29)cosBr=---z-----=-----------=f,

Zac2痣c2

整理得c2—3c+2=0,解得c=l或2...........................................8分

当c=l时,cosA=c-与a=—1■，贝!jsinA=*,

乙乙乙

SAABC=y6csin4=停..........................................................10分

当c—2时，cosA=c—§a=则sinA=喙，

乙乙乙

S/^Anc-y6csinA=噂........................................................12分

综上,AABC的面积为牛或乌................................................13分

16.解：（1）由题意可得。=偌......................................................1分

因为△ABF?为正三角形，所以。=孕=1,。=/石庐=2,.....................3分

O

22

所以椭圆C的方程为T+*=l................................................4分

4o

（2）设直线DE与直线AE交于点G.

由题意可得DE为线段AG的垂直平分线，所以1AG|=1,.......................6分

直线DE的斜率为冷，直线DE的方程为z—西6+1=0..........................8分

O

X—痣3；+1=0,

设D（%I,?］）上（22，丁2），联立V2得1392—6痣？-9=0,

匕+K=L

则”+北=鬻,“>=一卷...................................

10分

【高三数学•参考答案第4页（共7页）】•24-361C•

则|DE|=，1+(回2加一21=2/(»1+»2)2—4,12=普..................13分

JLO

故SZ^E=9|DE|•|AG|=||.......................................................................................15分

乙1.0

17.(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BDJ_AC......................................................1分

因为BDUGPCU平面PACACU平面PAC,且ACDPC=C，

所以平面PAC...........................................................................................................3分

因为BDU平面ABCD,平面PACJ_平面ABCD...........................................................5分

(2)解:过点P作PEJ_AC,垂足为E.

2

五八山/AMPA^PC-AC75.八”275

在△PAC中，cos/APC=2PA•PC=亏，sin/APC=—

所以SP=+PA•PCsinNAPC=6.

AAC乙

因为S“AC=MAOPE,所以PE=3,AE=/X产不可=1,OE=OA—AE=1.…7分

乙

设AC^BD^O.以O为坐标原点,分别以求,仍的方向

为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则

B(0,-273,0),C(2,0,0),D(0,2V3,0),P(—1,0,3),

则坊=(-1,2悟,3),H=(-1,—2痣,3),9=(-3,

0,3)...........................................................................9分

设平面PBD的法向量为机=(才|，",zi),

m•方声=­©-2乃yi+3zi=0,

贝6令乃=3,得m=(3,

m,B»=—x\+2声例+3zi=0,

0,1)...................................................................................................................................H分

设平面PCD的法向量为〃=(Z2，”，Z2),

fn,Dp——4—2疗3；2+3次=0,人

贝必令及二遍,得”=(痣,1,6)............................13分

n,CP=_3J;2+3Z2=0,

设二面角C-尸D-B的大小为0,易得。为锐角，

则।cos例=Icos〈〃,，〃〉|=群"=笑支，

即二面角C-PD-B的余弦值为互等......................................15分

00

18.(1)解:设A|表示第一天中午选择冰糖雪梨汤,A2表示第二天中午选择冰糖雪梨汤，则否

表示第一天中午选择苹果百合汤.

9__11__11

根据题意得P(A|)=^,P(A])=等,P(A21A])=卷,P(A21Al)=1一卷=卷......3分

oo0乙乙

X=

P(A2)=P(A1)P(A2|A!)+P(A7)P(A2|A7)=4X4+T4^........................5分

oooZlo

【高三数学•参考答案第5页(共7页)】•24-361C-

（2）证明:设4表示第"天中午选择冰糖雪梨汤，则P”=P（A”），P（A“）=1—P“，

根据题意得P（A„|A„）=^-,P（A„|A„）=l-4=y.

+1O+1乙乙

由全概率公式得尸（A“+|）=P（A“）P（A“+JA“）+P（_A__“）P（A“+||_A__"）=《1P“+^1（1—P“）=

~"，即P”+i=一-T'-Pn+y-.............................................8分

0z0z

不妨设P”+i+a=一■^（P"+/O,即P"+1=一~rP„—•7-A—A,

000

所以—"4=；,解得a=一■y9

0ZI

则尸"+1一■|=一，（？"一!）,又尸1一1=1土0,

（0/IZ1

所以仍“一|｝是以1r为首项,­1为公比的等比数列............................12分

Izib

（3）解:由⑵得,P.=QL+六RX（一专1）I.

由题意，只需?"＞1-?“,即？”＞得（"=1,即・“,10）,

乙

则1+＞x（一看尸〉与即（一卷尸＞*”=1,2产.,10）....................14分

显然"必为奇数,偶数不成立.

11Q

当〃=1,3,5,7,9时,有（一.尸=绪）”-1＞奇................................15分

当”=1时，显然成立.

当〃=3时，（看尸一卷＜0,所以当〃=3时不成立.

因为y=（《）"T单调递减，所以"=5,7,9也不成立............................16分

0

综上，该同学只有1天中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤的概率.........17分

19.（1）解:y'Cz）=2eT+a........................................................1分

当a＞0时殳）＞0在R上恒成立，即/Cr）在R上单调递增....................2分

当aVO时,由/'（Z）＞0,得x＞ln（—,由/'（才）