2024届广东省惠州市八年级上册数学期末联考试题含解析

2024届广东省惠州市八上数学期末联考试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.如果代数式（x-2）（x2+mx+l）的展开式不含x2项，那么m的值为（）

11

A.2B.—D.——

22

2.已知AABC的六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则与AABC全等的三角形是（)

D.乙和丙

2

A.2a2-4a=a(2a-4)B.―々2+2ab—Z72=—(a—人)

C.2x3y-3x2y2+x2y=x2y(2x-3y)D.x2+y2=(x+y)2

4.如图，数轴上A,B两点对应的实数分别是1和若A点关于B点的对称点为点C,则点C所对应的实数为（）

A.273-1B.1+73C.2+6D.273+1

5.在平面直角坐标系中，下列各点位于x轴上的是（）

A.（1,-2）B.（3,0）C.（-1,3）D.(0,-4)

6.若分式”|有意义，则。满足的条件是（）

Q—2

A.aw2或-2B.aw2C.aw—2D.a=2

如图，用4张全等的长方形拼成一个正方形,用两种方法表示图中阴影部分的面积可得出一个代数恒等式,若长方

形的长和宽分别为a、b,则这个代数恒等式是（)

A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.(a-b)2=(a+b)2-4ab

C.(a+b)(a-b)=a2-b2D.(a-b)2=a2-ab+b2

8.如图，正五边形A5CDE,5G平分NA5C,DG平分正五边形的外角NEDF,则NG=()

A.36°

B.54°

C.60°

D.72°

9.某通讯公司就上宽带网推出A,B,C三种月收费方式.这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的

函数关系如图所示，则下列判断错误的是（）

A.每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱B.每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多

C.每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱D.每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱

10.若把分式——21中的”和y都扩大10倍，那么分式的值（）

工一丁

A.扩大10倍B.不变C.缩小10倍D.缩小20倍

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.计算的结果是.

12.定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”.已知在“等对角四边形ABCD”中,

ZDAB=60°,ZABC=90°,AB=4,CD=2,则边BC的长是

13.图1是小慧在“天猫•双11”活动中购买的一张多档位可调节靠椅.档位调节示意图如图2所示，己知两支脚

AB=AC=1O分米，3。=12分米，。为AC上固定连接点，靠背8=10分米.档位为I档时，OD//AB,档位为

n档时，o。'，AC.当靠椅由i档调节为n档时，靠背顶端。向后靠的水平距离(即所)为分米.

14.某种商品的进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商店准备降价出售，但要保证利润不低于

10%,如果商店要降X元出售此商品，请列出不等式.

15.如图，在aABC中，NC=NABC,BE1AC,垂足为点E,ZkBDE是等边三角形，若AD=4,则线段BE的长

为.

16.如图，AB〃CD,BP和CP分另Ij平分NABC和NDCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=6,则点P到BC的距

离是.

17.使代数式扃不有意义的x的取值范围是

18.如图，直线%=日+6过点A(0,2),且与直线为=如交于点P(Lm),则不等式组kx+b＞机1-2的解

集是_________

三、解答题(共66分)

31?2

19.(10分)已知点A在x轴正半轴上，以Q4为边作等边AQ4B,A(%,0),其中x是方程--------=------的解.

(1)求点A的坐标.

(2)如图1,点C在丁轴正半轴上，以AC为边在第一象限内作等边AACD,连。6并延长交V轴于点E,求/BEO

的度数.

(3)如图2,若点歹为x轴正半轴上一动点，点b在点A的右边，连FB,以EB为边在第一象限内作等边AEBG,

连G4并延长交了轴于点当点P运动时，GH-A尸的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化

的范围.

20.(6分)取一副三角板按图(1)拼接，固定三角板ADC(4D=60,NACD=30),将三角板

ABC(ZBAC=ZBCA=45)绕点A依顺时针方向旋转一个大小为"的角(0<a<45°)得到,图⑵所

示.试问：

(1)当。为多少时，能使得图(2)中AB//CD?说出理由,

(2)

(2)连接瓦)，假设40与CD交于与交于口，当(0WaW45°)时，探索“6M+NC4M+NBDC值

的大小变化情况，并给出你的证明.

21.(6分)如图，平面直角坐标系xoy中4(-4,6),5(-1,2),C(-4,1).

(1)作出△A5C关于直线x=l对称的图形△A1B1G并写出△A131G各顶点的坐标；

(2)将△A151C1向左平移2个单位，作出平移后的△A282C2,并写出252c2各顶点的坐标；

(3)观察△ABC和△△282c2,它们是否关于某直线对称？若是，请指出对称轴，并求△A3C的面积.

22.(8分)已知在等边三角形ABC的三边上，分别取点。，瓦户.

⑴如图1,若AD=BE=CF,求证:一£>£8名二跳C;

⑵如图2,若ED，AB于点，AC于£EE，5c于£,且AB=15,求CE的长;

⑶如图3,若AD=CF,ED=EF，求证：DEF为等边三角形.

图3

23.(8分)如图，点E、F在BC上，BE=CF,AB=DC,NB=NC,AF与DE交于点G,求证：GE=GF.

D

24.(8分)如图，AABC中，AB=AC,NA=50°,点。、E、尸分别在AB、BC、AC上，且6£>=CE,BE=CF.

求ND石尸的度数.

25.（10分）如图，在四边形ABCD中，AD=4,BC=LZA=30°,ZB=90°,NADC=120°,求CD的长.

D

26.(10分)某校学生利用春假时间去距离学校10hn的静园参观。一部分学生骑自行车先走，过了20%加后，其余学

生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度和汽车的

速度。

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、A

【分析】根据“代数式(x-2)(x2+mx+l)的展开式不含六项”可知必系数等于0,所以将代数式整理计算后合并同

类项，即可得出/的系数，令其等于。解答即可.

【详解】%3+mx2+x-2x2-2mx-2

=x3+(m-2)x2+(l-2m)x-2

・・•代数式不含X?项

.,.m-2=0,解得m=2

故答案选A.

【点睛】

本题考查的是多项式的乘法和不含某项的问题，知道不含某项，代表某项的系数为0是解题的关键.

2^D

【分析】根据全等三角形的判定ASA,SAS,AAS,SSS,看图形中含有的条件是否与定理相符合即可.

【详解】甲、边a、c夹角不是50°•.甲错误；

乙、两角为58°、50°,夹边是a,符合ASA,.•.乙正确；

丙、两角是50°、72°,72°角对的边是a,符合AAS,...丙正确.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查对全等三角形的判定的理解和掌握，能熟练地根据全等三角形的判定定理进行判断是解此题的关键.

3^B

【分析】根据因式分解的方法对各式进行判断即可得出答案.

【详解】A、2a2-4a=2a(a-2),故此选项错误；

-a2+2ab-b2=-(a-b)2,此选项正确;

C、2x3y-3x2y2+x2y=x2y(2x-3y+l),故此选项错误;

D、x2+y2无法分解因式，故此选项错误；

故选B.

【点睛】

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键.

4、A

【解析】设点C所对应的实数是x.根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解.数轴

上两点间的距离等于数轴上表示两个点的数的差的绝对值，即较大的数减去较小的数.

设点C所对应的实数是x.

则有x-百=6-1

x=x=26-1

故选A.

5、B

【分析】根据x轴上点的特点解答即可.

【详解】在平面直角坐标系中X轴上点的特点是：所有点的纵坐标都为0,故选B.

【点睛】

本题是一道基础题，考查平面直角坐标系的特点，解题的关键是掌握平面直角坐标系的基本特征即可.

6、B

【分析】根据分式有意义的条件：分母不能为0进行计算即可.

【详解】•••分式”|有意义，

a—2

.♦.aTWO,

，aWl.

故选：B.

【点睛】

考查了分式有意义的条件，解题关键是熟记：当分母不为0时，分式有意义.

7、B

【解析】根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积-小正方形的面积=4个矩形的面积.

【详解】由图形可知，图中最大正方形面积可以表示为：(a+b)2

这个正方形的面积也可以表示为：S阴+4ab

(a+b)2=Ssj+4ab

•*.S(a+b)2-4ab

故选B.

【点睛】

考查了完全平方公式的几何背景，能够正确找到大正方形和小正方形的边长是难点.解决问题的关键是读懂题意，找

到所求的量的等量关系.

8、B

【分析】先求出正五边形一个的外角，再求出内角度数，然后在四边形BCDG中，利用四边形内角和求出NG.

【详解】•.•正五边形外角和为360°,.•.外角/瓦甲=2=72,

5

内角ZABC=NC=NCDE=180-72=108，

•..3G平分NABC,OG平分正五边形的外角尸

AZCBG=-ZABC=54,ZEDG=-ZEDF=36

22

在四边形BCDG中，NCBG+NC+NCDE+NEDF+NG=360

ZG=360-(NCBG+NC+NCDE+NEDF)=360-(54+108+108+36)=54

故选B.

【点睛】

本题考查多边形角度的计算，正多边形可先计算外角，再计算内角更加快捷简便.

9、D

【分析】A、观察函数图象，可得出：每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱，结论A正确；

B、观察函数图象，可得出：当每月上网费用N50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确；

C、利用待定系数法求出：当xN25时，yA与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当x=35

时yA的值，将其与50比较后即可得出结论C正确；

D、利用待定系数法求出：当它50时，yB与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当x=70

时yB的值，将其与120比较后即可得出结论D错误.

综上即可得出结论.

【详解】A、观察函数图象，可知：每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱，结论A正确；

B、观察函数图象，可知：当每月上网费用"0元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确；

C、设当它25时，yA=kx+b,

将(25,30)、(55,120)代入yA=kx+b,得：

「25左+6=30[k=3

55左+Z?=l20.=-45

yA=3x-45(x>25),

当x=35时,yA=3x-45=60>50,

・•,每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱，结论C正确;

D、设当它50时，yB=mx+n,

将(50,50)、(55,65)代入yB=mx+n,得：

50m+n=50

V9

55/71+"=65

m=3

解得：

H=-100

/.yB=3x-100(x>50)»

当x=70时，yB=3x-100=110<120,

二结论D错误.

故选D.

【点睛】

本题考查了函数的图象、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用一次

函数的有关知识逐一分析四个选项的正误是解题的关键.

10、B

【分析】把x和y都扩大10倍,根据分式的性质进行计算，可得答案.

【详解】解：分式上2中的X和y都扩大10倍可得:10x+2xl0j_10(x+2y)_x+2y

x-ylOx-lOy_10(x-y)-x-y

.•.分式的值不变，

故选B.

【点睛】

本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.-

a

【分析】由题意根据运算顺序，先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算即可得出答案.

【详解】解：«2X^

21

=ax—

a

a2

=滔

a

故答案为：-.

a

【点睛】

本题主要考查分式的乘除法，解题时注意分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一

般应先进行因式分解，再约分.

12、4G-2或46-4

【分析】根据四边形有两组对角，分别讨论每一组对角相等的情况，再解直角三角形即可求解.

【详解】解：分两种情况：

情况一：ADC=/ABC=90。时，延长AD,BC相交于点E,如图所示：

E

VZABC=90°,NDAB=60°,AB=4

，NE=30。，AE=2AB=8,

MDE=73CD=273.AD=AE-DE=8-26，

连接AC,在RtAACD中，ACZAD?+CD2="（8-2石.+22,64-326+16,

在RtAABC中，BC2=AC--AB2=64-32百=（4百-4）2

•*.BC=4A/3-4；

情况二：NBCD=NDAB=60。时，

过点D作DMLAB于点M,DNLBC于点N,如图所示：

则NAMD=/DNB=90。，/.四边形BNDM是矩形，

J3DNDN

ZBCD=60°,：.sin?BCD2="=也，

2CD2

r-1

:.DN=5CN=-CD=l,

2

；NDAB=60°,ZDMA=90°,且AM=AB-BM=AB-DN=4-6，

/.tan?DABtan60=""=出,

AM

:.DM=«AM=46-3，

；•BN=DM=4A/3-3，

BC=CN+BN=l+4y/3-3=4y/3-2,

综上所述，3c=4百-2或5c=46-4,

故答案为：Beus-2或3。=46-4.

【点睛】

本题借助“等对角四边形”这个新定义考查了解直角三角形及勾股定理，熟练掌握特殊角的三角函数及求值是解决本

题的关键.

13、1

【分析】如图，作ANLBC,交PO于G点，延长GO,交DE于H,交D，F于M,根据等腰三角形的性质得到NC

的长，故得到cosNABN的值，根据题意知GO〃BC,DO〃AB,可得到cos/DOH=cos/ABN,根据8=10即可

AN

得到OH的长，又OD'LAC,可得ND，OM=NOAG,再求出cosNOAG=——即可求出OM,故可得到EF的长.

AC

【详解】如图，作ANJ_BC,交PO于G点，延长GO,交DE于H,交D，F于M,

*：AB=AC=10,BC=12,

；.BN=CN=6,AN=7102-62=8

BN63

cosZABN=-----=—=—,

AB105

根据题意得GO〃BC,DO〃AB,

：.ZDOH=ZAPG=ZABG

/.cosZDOH=cosZABN

OH3

•*.cosZDOH=------=—

OD5

/.OH=6,

由ODUAC,

ZAOG+ZD,OM=90°,XZAOG+ZOAG=90°

ZD,OM=ZOAG,

AN4

VcosZOAG=——=-

AC5

OM4

cos/D'OM=------=—

OD'5

.\OM=8

贝!IEF=1,

故答案为：1.

此题主要考查解直角三角形，解题的关键是根据题意构造直角三角形，利用三角函数的定义进行求解.

14、225-x>150(l+10%)

【解析】首先由题意得出不等关系为利润》等于10%,然后列出不等式为225-xN150(l+10%)即可.

【详解】设商店降价x元出售，由题意得

225-x>150(l+10%).

故答案为：225-x>150(l+10%).

【点睛】

本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解.

15、1

【解析】本题首先由等边三角形的性质及垂直定义得到NDBE=60。，ZBEC=90°,再根据等腰三角形的性质可以得出

ZEBC=ZABC-60°=ZC-60°,最后根据三角形内角和定理得出关系式NC60o+NC=90。解出NC,推出AD=DE,于是

得到结论.

【详解】•••△BDE是正三角形，

:.ZDBE=60°；

•.•在AABC中，NC=NABC,BE±AC,

AZC=ZABC=ZABE+ZEBC,贝！］NEBC=NABC-6(T=NC-60。，ZBEC=90°；

...NEBC+NC=90°,即NC60°+NC=90°,

解得NC=75。，

:.ZABC=75°,

ZA=30°,

■:NAED=90°-NDEB=30°,

.\ZA=ZAED,

/.DE=AD=1,

.*.BE=DE=1,

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质及等边三角形的性质及垂直定义，解题的关键是根据三角形内角和定理列出符合题意

的简易方程，从而求出结果.

16、3

【解析】分析：过点P作PELBC于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得PA=PE,PD=PE,那么

PE=PA=PD,又AD=6,进而求出PE=3.

详解：如图，过点P作PELBC于E,

/.PD1CD,

；BP和CP分另1］平分NABC和NDCB,

，PA=PE,PD=PE,

，PE=PA=PD,

；PA+PD=AD=6,

；.PA=PD=3,

.\PE=3.

故答案为3.

点睛：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键.

17、x>-2

【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0得到6+3x20,再解不等式即可求解.

【详解】解：由二次根式中被开方数大于等于0可知：6+3x20

解得：x>-l,

故答案为：X>-1.

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件及一元一次不等式的解法，属于基础题，熟练掌握不等式解法是解决本题的关键.

18、1<%<2

【详解】解：由于直线：=8■c过点A(0,2),P(1,m),

k+b=mk=m-2

则,c，解得

b=2b=2

yx=(m-2)x+2,

故所求不等式组可化为：

mx>(m-2)x+2>mx-2,

0>-2x+2>-2,

解得：l<x<2,

三、解答题(共66分)

19、(1)(3,0)；(2)120°；(3)不变化，9.

【分析】(1)先将分式方程去分母化为整式方程，再求解整式方程，最后检验解是原分式方程的解，即得；

(2)先证明进而可得出=再利用三角形内角和推出NC4O=NCEB=60°,

最后利用邻补角的性质即得ZBEO；

(3)先证明AASGgAOBb,进而得出GH—=以及/5。尸=/区46=60°,再根据以上结论以及

邻补角对顶角的性质推出NO"4=30°,最后根据30。所对直角边是斜边的一半推出AH=2AO,即得

切―AF=3AO为定值.

3122

【详解】(1)•:---------

23%—16%-2

・•・方程两边同时乘以6%-2得：

3(31)-2=22

解得：x=3

检验：当x=3时，6x—2=16/0

原分式方程的解为x=3

.•.点A的坐标为(3,0).

(2)•••AQ4B、AACD都为等边三角形

AAB=AO,AD=AC,ZDAC=ZBAO=60°

：.ZCAO^ZDAB

...在AABZ)与AAOC中

AD=AC

<ZDAB=ZCAO

AB=AO

:.AABD^AAOC(SAS)

：.ZADE=ZACO

,在AGED中，ZECD+NCDE+NCED=180。

：.ZACO+ZACD+ZCDE+ZCED=180°

,在AACD中，ZADC+ZACD+ZCAD=iSQ°

/.ZADE+ZCDE+ZACD+ZCAD=180°

ZACO+ZACD+ZCDE+ZCED=ZADE+ZCDE+ZACD+ZCAD

：.ZCED=ZCAD^60°

VZCED+ZBEO=180°

ZBEO=120°.

(3)不变化，理由如下：

VAOAB,AFBG都为等边三角形

:.BA=BO,BG=BF,ZGBF=ZABO=ZBOA=ZBAO=60°

/.ZGBA=ZFBO

.,.在AABG与AQBR中

BA=BO

<ZGBA=ZFBO

BG=BF

：.AABG^AOBF(SAS)

：.AG=OF,ZBAG=ZBOA=60°

：.GH-AF=AG+AH-AF^OF+AH-AF=AO+AH

■:ZBAO+ZBAG+ZGAF=180°

:.ZGAF^60°

：.ZOAH^ZGAF=60°

•:AO±HO

：.ZAOH^9Q°

.•.在H/AQ4H中，ZOHA=900-ZOAH^30°

：.AH=2AO

•••4点坐标为（3,0）

:.AO=3

：.GH-AF=AO+AH=3AO=9

.•.GH-AF为定值9,不变化.

【点睛】

本题考查等边三角形的性质、全等三角形的性质、含30。的直角三角形的性质和“手拉手模型”，两个共顶点的顶角

相等的等腰三角形构成的图形视作“手拉手模型”，熟练掌握“手拉手模型”及“手拉手模型”的常用结论是解题关

键.

20、（1）15°；（2）++的大小不变，是105，证明见解析.

【分析】（1）由AB//CD得到NB4C=NC=30°，即可求出

（2）“邱/+NC4M+NBDC的大小不变，是105°,由NFEM=NC4"+NC,ZC=30°,

ZEFM=ZBDC+ZDBM,ZM=45°,即可利用三角形内角和求出答案.

【详解】（1）当。为15时，AB//CD,

理由：由图（2）,若AB//CD,则NR4C=NC=30°，

a=ZCAM=ZBAM-ABAC=45—300=15。，

所以，当。为15时，AB//CD.

注意：学生可能会出现两种解法：

第一种：把AB//CD当做条件求出。为15，

第二种：把。为15当做条件证出AB//CD,

这两种解法都是正确的.

（2）+NC4M+NHDC的大小不变，是105。

证明：ZFEM=ZCAM+ZC,ZC=30°,

:.ZFEM=ZCAM+30°,

ZEFM=ZBDC+ZDBM,

：.ZDBM+ZCAM+ZBDCZEFM+ZCAM,

ZEFM+ZFEM+NM=180,ZM=45°,

ZBDC+ZDBM+ZCAM+300+45°=180°,

ZDBM+ZCAM+ZBDC=180°-30-45=105°,

所以，++的大小不变，是105.

【点睛】

此题考查旋转的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，三角形的内角和，(2)中将角度和表示为三角形的外角是

解题的关键.

21、(1)作图见解析，4(6,6),51(3,2),Ci(6,1)；(2)作图见解析，4(4,6),B2(l,2),C2(4,1)；(3)/\ABC

和△A282C2关于y轴对称，△A3C的面积=7.1.

【分析】(1)根据题意分别作出三顶点关于直线x=l的对称点，再顺次连接即可得；

(2)由题意将△AiBiG的三个顶点分别向左平移，再顺次连接即可得；

(3)由题意观察图形即可得，再利用三角形的面积公式求解可得.

【详解】解：⑴如图所示，AAiBiCi即为所求,Ai(6,6),Bi(3,2),Ci(6,1).

-5-4-3-2-1123456x

(2)如上图所示，AA2B2c2即为所求,A2(4,6),B2(l,2),C2(4,1)；

(3)△ABC和△A2B2c2关于y轴对称，△ABC的面积为:xlx3=7.L

【点睛】

本题考查的是作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答此题的关键.

22、(1)证明见解析；(2)5；(3)证明见解析.

【分析】(1)根据等边三角形的性质得出NB=NC=60。，AB^BC=CA,=BE=CF,进一步证得=EC,

即可证得DEB-EFC；

(2)根据等边三角形性质和30°的直角三角形性质，得出线段长之间关系，列出方程即可解答；

(3)延长BD到M,使BM=AD,连接ME,延长EC到N,使CN=BE,连接FN,可得AMBEMAFCN(5AS),再证

NDME=\ENFkSAS},从而得出NEDB=NFEC,再由三角形外角性质即可证得结论.

【详解】证明：(1)如图1中，

AABC是等边三角形，

.-.ZB=ZC=60°,AB=BC,

AD=BE,

BD-CE)

在ADEB和A£FC中

BE=CF

<ZB=ZC,

BD=CE

:._DEBKEFC,

(2)如图2中，AABC是等边三角形，

.-.ZB=60°,

■,ED±AB,

:.NBDE=90。,

:.ZBED=30。,

BE=2BD,

同理可得：AD=2AF,CF=2CE,

"：AB=BC^CA,即：BD+AD=BE+CE=CF+AF

:.BD+2AF=2BD+CE=2CE+AF=15

解得：CE=BD=AF=5

(3)如图3,延长BD到M,使BM=AD,连接ME,延长EC到N,使CN=BE,连接FN,

图3

；AD=CF,

/.BM=CF,

AABC是等边三角形，

.-.ZB=ZC=60°,AB=BC,

ZMBE=ZFCN=120°,

在AMBE和AFQV中，

BM=CF

<ZMBE=ZFCN,

BE=CN

NMBE=AFCN(SAS),

ZM=ZN,ME=NF>

又,：AD+DB=BM+