2024年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题以及参考答案

2024年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案

考试时间2024年3月13日9：00-11：00满分150分

一'选择题(共5小题，每小题7分，共35分)。每道小题均给出了代号为A,B,C,

D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，

不填、多填或错填都得0分)

1.在平面直角坐标系xOy中，已知点5(0,2),点A在x轴正半轴上且=30。。将

△Q钻沿直线AB折叠得钻，则点。的坐标为()

A.(1,73)B.(73,3)C.(3,6)D.(省,1)

2.若实数a,b满意〃+3a=2,b~+3b=2,且则(1+/)(1+/)=()

A.18B.12C.9D.6

3.若关于x的方程史工+工2+学卫=0只有一个实数根，则符合条件的全部实数a的

x-2x+2x-4

值的总和为()

A.-6B.-30C.-32D.-38

4.如图，在△/:(?中，AB=6,BC=3,C4=7,/为△ABC的内心，连接C/并延长

交AB于点Do记△C47的面积为加，△zw的面积为“，则'=()

A-iB-?C1D-:

5.已知x,y为实数，且满意V-孙+4/=4,记M=X

值为加，则〃+切=()

64c136

Dc.----

1515

二、填空题(共5小题，每小题7分，共35分)

6.在平面直角坐标系内有两点3(2,3),若一次函数y=fcc+2的图像与线段AB

有公共点，则左的取值范围为。

7.如图，在△ABC中，。为边上一点，E为线段AD上一点，延长3E交AC于点尸。

若，，则。_

8.设X],%，％3，…，X"是〃个互不相同的正整数，且

X[+々+七+L+X”=2017,则〃的最大值是。

9.如图，是。。的直径，AC是。。的切线，交。。于E点，若，则

三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）

11.若关于x的方程必-（。-3）》+"2=0有两个不相等的整数根，求。的值。

12.如图，H为△ABC的垂心，圆。为的外接圆。点E、P为以。为圆心、CH

长为半径的圆与圆。的交点，。为线段反的垂直平分线与圆。

的交点。

求证：（1）AC垂直平分线段HE；W

(2)DE=ABa

13.对于整数〃之3,用夕(")表示全部小于〃的素数的乘积。求满意条件9(")=22〃-32的

全部正整数〃。

14.在一个mx“（加行，"列，m>l）的表格的每个方格内填上适当的正整数，使得:

（1）每一列所填的数都是1,2,3,…，加的一个排列；（即在每一列中，1,2,3,…,

加这m个数出现且仅出现1次）

（2）每一行〃个的数和都是34。

当上述的填数方式存在时，求（形,〃）的全部可能取值。

2024年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案

考试时间2024年3月13日9：00-11：00满分150分

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A,B,C,

D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，

不填、多填或错填都得0分)

1.在平面直角坐标系xOy中，已知点5(0,2),点A在x轴正半轴上且440=30。。将

△OAB沿直线折叠得钻，则点C的坐标为()

A.(1,73)B.(73,3)C.(3,石)D.(73,1)叶

【答案】B

【解答】如图，设CD，x轴于点。。5卜

依题意，CA=QA=2g,ACAO=2ZBAO=6Q°o

所以，CD=3,AD=6,0D=6。-^亍

因此，点C的坐标为(6，3)。

2.若实数a,b满意〃+3a=2,b~+3b=2,且则(1+/)(1+/)=()

A.18B.12C.9D.6

【答案】A

【解答】依题意，a,b为方程d+3x-2=0的两个不同实根。

因止匕，由韦达定理得，a+Z?=—3,ab=—2o

(l+«2)(l+Z?2)=(l+2-3«)(l+2-3Z7)=9(l-a)(l-Z?)=9[l-(«+Z7)+^]=9(l+3-2)=18o

或解：(1+a2)(1+Z?2)=1+a2+Zj2+a2b~=l+(a+Z?)2+=1+9+4+4=18。

3.若关于％的方程小工+土工+学上=0只有一个实数根，则符合条件的全部实数a的

值的总和为(

A.-6B.-30C.-32D.-38

【答案】

【解答】方程=0化为2/+4X+。+8=0

x-2Cx-+I2Cx-4A

若方程①有两个相等实根，则△=16-8(a+8)=0,a=-6o

a=-6时，方程①的根西=々=-1，符合要求。

若尤=2是方程①的根，则8+8+a+8=0,a=-24,止匕时，方程①的另一个根为x=T,

符合要求。

若％=-2是方程①的根，则8-8+a+8=0,a=-8,止匕时，方程①的另一个根为％=0,

符合要求。

所以，符合条件的。有-6,-24,-8,其总和为-38。

4.如图，在△ABC中，AB=6,BC=3,C4=7,/为"BC的内心，连接C/并延长

交A3于点。。记△C47的面积为m,的面积为〃，则%=()

D-7

【答案】c

【解答】依题意，。

由/为ZkABC的内心知，。

AC_BCAC+BC

所以，由等比定理知，-=—=

nIDAD^BD^AD+DB

5.已知X,y为实数，且满意/一孙+4y2=4,记M=必+刈+4,2的最大值为〃，最小

值为m,则Af+加=()

406413631

A.15.Lx.U.

315155

【答案】C

【解答】由/一9+4y2=4,得必+4丁2=孙+4,u-x2+xy+4y2=2xy+40

=4xy+(x2+4y2-4)=(x+2y)2-4>-4,当且仅当x=-2y,即，，或，时等号成

立。

419

型的最小值为-1，M=x?+盯+4y2=2孙+4的最小值为了，即。

3xy=4xy-(%2+4y2-4)=4-(x-2y)2<4,当且仅当x=2y,即，或，时等号成立。

4on

孙的最大值为&=f+盯+4/=2孙+4的最大值为§,即。

3515

22

或解：由f-孙+4/=4,得/+4n2=9+4,u-x+xy+4y-2xy+4o

设孙=7,若尤=0,则〃=4；x#0时，，将代入x2-xy+4y之=4,

得,即/一《+4)/+4/=0,...........①

由△=(+4)2—16/20,解得。

将w代入方程①，解得,；代入方程①‘解得，。

44

孙的最大值为最小值为-二。

m”2012136

区।止匕999A/+YYI------1------------

3515

二、填空题(共5小题，每小题7分，共35分)

6.在平面直角坐标系内有两点5(2,3),若一次函数y=Ax+2的图像与线段AB

有公共点，则左的取值范围为O

【答案】（个人觉得还要补充女工0,因为是一次函数）

【解答】易得直线对应的一次函数的解析式为y=2x-1。

由，得伏一2）x=—3.........................①

依题意，方程①有的解。

左-2<0,且，解得。故左的取值范围为。

或通过作图求解。

7.如图，在ZWC中，。为边上一点，E为线段AD上一点，延长5石交AC于点尸。

若，，则

【答案】|

【解答】如图，过点。作CG〃3E交AD的延长线于点G,

则。

（第7题）

又由CG〃BE,知△£>GCS/V）£B。

37

AG=AD+DG=2DE+-DE=-DE。

22

8.设X],%,%3，X”是〃个互不相同的正整数，且

%1+%2+X3+L+X”=2017,则n的最大值是。

【答案】63

【解答】依题意，xx>\,x2>2,x3>3,xn>no

j2（n+1）

・・2017=再+/+/+L+x〃Nl+2+3+L+n————

于是，，n<63o

又当士=1,%2=2，x3=3,…，42=62,43=64时,

63x64

石+々+为+L+/2+“63=l+2+3+L+62+64=+1=2017

所求〃的最大值为63。

9.如图，是。。的直径，AC是。。的切线，交。。于E点，若，则

【答案】鼻

【解答】由为。。的直径知，AE±BCo设CE=m

OA=亚m,AB=2y[5m。

由条件易得△ACEs△泣，（第9题）

,AE2=CEEB,BPAE2=mEB。

结合AB?=4£2+m2,得（2乖=mEB+EB?。

（或由射影定理得BA-=BEBC,即（2&m）2=BE（BE+m））

EB2+mEB-20i7T=0,解得EB=或EB=—5m（舍去）。

/•AE=2m,o

10.若正整数x,y,z满意方程组，则孙z的最大值为。

【答案】84

【解答】由V—丁3一z3=3移Z,得

x3-y3-z3++(%+z>+(2-yf]=0。

结合x,y,z为正整数得，(x+^)2+(x+z)2+(z-j^)2>0,于是X—丁一2=0。

/.x2=lx,x=Q,y+z=7。

/.当x=7,y=39z=4或％=7,y=4,z=3时，孙z有最大值84。

三、解答题(共4题，每小题20分，共80分)

11.若关于x的方程好一(。一3)戈+。-2=0有两个不相等的整数根，求。的值。

【解答】设七，%是方程两个不相等的整数根，贝I]%+々=。-3,xtx2=a-2o

a—3,a—2均为整数。因此，a为整数。...............5分

△=(a-3>-4(a-2)=4_io.+*=(a-5>-8为完全平方数。

设(。-5)2-8=产□为整数，且后0)。

贝U(a_5)2—产=8。于是，(«-5-0(«-5+/)=80.................10分

由于4Z—5—t,a—5+f奇偶f生相同，且。一5—fWa—5+f。

：.或。

解得或。.....................15分

经检验a=2,a=8符合要求。

a=2或a=8。...................20分

另解：设M,n(加<")是方程两个不相等的整数根。

r।/m~-(a-3)m+a-2=0LLL①

则27

vr—^a—3)n+a-2=0LLL②

两式相减，得(根-八)+”)-(a-3)5?-")=0。

由7〃<“，得相+7?=a—3,a=m+n+30.................5分

将。=和+”+3代入①，得mn—m-n—l=0。

：.0—1)("-1)=2。...............10分

由于加，”为整数，且因此，或。

:.或。.....................15分

当时，a=m+n+3=2；时，a=m+n+3=80

a=2或a=8。...................20分

12.如图，H为△ABC的垂心，圆。为△ABC的外接圆。点E、尸为以。为圆心、CH

长为半径的圆与圆。的交点，。为线段跖的垂直平分线与圆。的交点。

求证：（1）AC垂直平分线段HE；

（2）DE=ABo

【解答】（1）解法一：

如图，连结AH,AE,EC。

由H为△ABC的垂心知，ZAHC+ZABC=180°-

由A、B、。、E四点共圆，得NAEC+NABC=180。。

ZAEC=ZAHCo...................5分

XCH=CE,NCEH=NCHE,

ZAEH=ZAHE,AE=AHo

AC垂直平分线段HE。....10分

解法二：

作点H关于直线AC的对称点G。连结AH,AG,GC。

则CG=CH,点G在以C为圆心、S长为半径的圆

上。...............................5分

又NAGC=NA〃C,H为"BC的垂心,

I.ZAGC=ZAHC=1800-ZABC,A、G、C、5四点共

圆。因此，点G也在圆。上。

/.E、G两点重合。

因此，E、H关于直线AC对称，即AC垂直平分线段HE。10分

（2）连结CE,M。依题意有。£=3=中。结合。为线段所的垂直平分线与圆。

的交点，知为圆。的直径。

DA±ACo

又由（1）,以及〃为△ABC的垂心知，HELAC,

BH±AC.因此，B、H、E三点共线。

，BELAC................................15分

，ZDCE=900-ZCDE=900-ZCBE=ZACBO

：.bAE=o

DE=ABo...............................20分

或：通过△DAE也△相＞§,证明=或通过证明四边形AD5E等腰梯形，证明

DE=ABo

13.对于整数〃之3,用O(")表示全部小于”的素数的乘积。求满意条件9(")=22"-32的

全部正整数

【解答】解法一：若〃>11,则n整除9(九)，但n不能整除22〃-32。

因此，”>11不符合要求。故，n<llo..........................10分

若7<〃<n,则°(")=2义3*5义7=210,由210=22〃-32,得”=11。.......15分

若5<647,则以“)=2x3x5=30,由30=22”一32,得正整数〃不存在。

若3<〃45,贝U夕⑺=2x3=6,由6=22〃一32,得正整数〃不存在。

若八=3,贝1］回力=2,由2=22〃—32,得正整数〃不存在。

/.满意条件的正整数"只有1个，〃=11。.............20分

解法二：由95)=22"—32,得95)—1024=22(〃—48)。

由于0(")是偶数，但不是4的倍数，因此，〃-48是奇数。...........5分

若〃-4823,则〃-48含有奇数的素数因子p,即p为奇素数，且p整除“-48。

由n―48〈”知，2整除夕(〃)。由此p整除1024,冲突。

故，〃一48<3,即“<49,且"为奇数。...............10分

〃<49时，22〃-32W22x49-32=1046,

/.(p(n)<1046o

又2x3x5x7=210,2x3x5x7x11=210x11>1046-

n<llo即”=3,5,7,9,110...............15分

将九=3,5,7,9,11分别代入/〃)=22〃-32验证,

”=3时，夕(3)=2,22〃—32=34,不符合要求。

”=5时，研5)=2x3=6,22〃—32=78,不符合要求。

〃=7时，^(7)=2x3x5=30,22〃—32=122,不符合要求。

〃=9时，0(9)=2x3x5x7=210,22〃-32=166,不符合要求。

”=11时，"(11)=2x3x5x7=210,22〃-32=210,符合要求。

・••满意条件的正整数“只有1个，”=11。.............20分

14.在一个加x"(加行，"列，m>l)的表格的每个方格内填上适当的正整数，使得：

(1)每一列所填的数都是1,2,3,…，机的一个排列；(即在每一列中，1,2,3,…，

m这〃2个数出现且仅出现1次)

(2)每一行〃个的数和都是