2024年高考数学二轮复习 利用二级结论秒杀椭圆双曲线中的选填题（新高考专用）

■题型

【考点目录】

考点一：椭图焦点三角形的面积秒杀公式

考点二中点弦问题（点差法）秒杀公式

考点三：双嗨焦点到渐逅戋的距离为b

考点四：双崎中，焦点三角形的内亡、/缄迹方程为x=«-6<y<bj，H0）.

考点五：椭圆与双艇共焦点的离，牌关系秒杀公式

考点六：■陲旋防焦盘弦求离疝蝌保公式

考点七：双照中定比分硒线求离，薛秒杀公式

考点一：椭图焦点三角形的面积为S=Ntan9（8为焦距对应的张角）

证明：设附=皿冏="

m+n=2a(l)加@2sin^cos^

22b=6

<(2c)=m+rf-2mncos0(2)-(lf-(2)：==工“&='i+cos^'，「葭

।2cos*一

=”"Wn9(3)2

t2

双蟠中焦点三角形的面积为S=、（，为焦距对应的张角）

U

tan—

2

【精选例题】

22

【例1】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题〉已知石，片为椭圆C：、+2_=1的两个焦点，P,O

164

为。上关于坐标原点对称的两点，目|尸0=国用|,则四边形两。片的面积为

2

【例2】设耳，理是双曲线。：/一/1的两个焦点，。为坐标原点，点尸在C上目|。尸|=2,则△两工

的面积为（）

B.3D.2

【跟踪W练】

L设P为椭圆:+《=1上一点，用后为左右焦点，若/取与=60',则P点的纵坐标为（）

A.至B.+空C.蛀D.+9

4444

2.设双曲线C。-3=1（。＞0,方＞0）的左、右焦点分别为耳，耳，离心率为0P是C上一点，且

月P_L月P.若△冏£的面积为4,贝必=（）

A.1B.2C.4D.8

考点二：中点弦问题（点差法）秒杀公式

若椭圆与直线，交于月3两点，M为月3中点，且。与心,斜率存在时，则%了。“=一：；（焦点在x

轴上时），当焦点在y轴上时，心Kou=一?

若月8过椭圆的中心，P为椭圆上异于43任意一点,（焦点在x轴上时），当焦点在J'轴

上时，kPA-K=--y

PBb

下述证明均选怪焦点在工轴上的椭圆来证明,其他情况形式类似.

直径问题证明：设/皿因为43过原点，由对称性可知，点所以

f22

容帝二1(1)

Jo+=Jo'一

J'o-Ji.又因为点P（X。＞y）,J（X,»乂）在椭圆上，所以有0

xxXo+XiX2-X120+五

o-iO1(2)

b2

222

两式相减得法=一?所以“5=4

=

中点弦问题证明：设.4（N，乂），8（口外），"X0，K）则椭圆.-

=

“=导含㈡至=号=会1

2

双中焦点在》轴上为左0U-/8=r，焦点在y轴上为-ELB=M，

ab

【精选例题】

22

【例1】已知椭圆G:%今=1（。＞。＞0）的右焦点为83,0）,过点尸的直线交椭圆于.4,B两点.若一45

的中点坐标为3,-1）,则G的方程为

【例2】过双曲线C:t-二=1（八0,方＞0）的焦点且斜率不为0的直线交C于42两点，D为AB

丁b~

中点，若占/如《，则C的离心率为（）

A.y/6B.2C.y/3D.g

【例3】（多演）已知椭圆C:巨浮@小。）的左、右顶点分别为小4,上、下顶点分别为5,

风.点”为。上不在坐标轴上的任意一点，且,\以，」地，a坦，MB：四条直线的斜率之积大于则c的

离心率可以是

出

AB-T

3D-T

【跟踪可练】

L已知M为双曲线J-9=l（a＞0力＞0）的右顶点，A为双曲线右支上一点，若点A关于双曲线中心O的对称

点为3,设直线一必、皿5的倾斜角分别为a、B＞且tanatan£=：,则双曲线的离心率为（）

A.忑）B.y/3C.手D.至

2.已知.4,B,P是双曲线工一2=1（。＞0,b＞0）上不同的三点，目.4,3连线经过坐标原点，若直线

tr

PA,尸5的斜率乘积为则该双曲线的离心率为（）

A.0B.变C.V2D.它

223

3.已知双曲线£-1=1（。＞0）的左、右焦点分别为耳、月，过左焦点石作斜率为2的直线与双曲线交于.4,

46-

B两点，P是.45的中点，。为坐标原点,若直线OP的斜率为,则双曲线的离心率是（）

4

A.理B.2C.D.J1

22"

考点三：双峥就倒海近线的距离为b

【精选例题】

【例1】若双曲线£-£=1的焦点为2,0）到其渐近线的距离为弟，则双曲线的渐近线方程为（）

a'b-

A.J=±3xB.y=±^3xC.『士*D.y=±^x

【例2】已知/是双曲线C：x2-磔，2=3w冽＞0）的一个焦点，则点尸到C的一条渐近线的距离为

A.出B.3C.旧mD.3m

【跟踪勘练】

fV2

1.已知双曲线—-^-=1（«>0!6>0）的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B

ab

两点.设A,B到双曲线同一条渐近线的距离分别为4和4，且4+心=6,则双曲线的方程为（）

X2V2,X2V2X3V2X2v2

A.----=1B.....-=1C....-=1D.-----=1

4121243993

2.已知双曲线:一』=1（。>0力>0）的两条渐近线均和圆C：f+/一6》+5=0相切，且双曲线的

ab

右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为

【精选例题】

【例1】已知双曲线。推-（=19>0/>0｝的左、右焦点分别为犀月，离心率为2,焦点到渐近线的距离

为也.过月作直线/交双曲线C的右支于43两点，若H,G分别为△明月与△即理的内心，则|HG|的取值

范围为（）

A.[2a4]B.[a2）C.卜苧）D12衣孚

【例2】（多选题）双曲线工-1=1的左、右焦点分别犀工，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限

a-b-

的交点为尸，双曲线和椭圆的离心率分别为0，4,△冏月的内切圆的圆心为7,过月作直线H的垂线，垂

足为。，则（）

A.1到J轴的距离为。B.点D的轨迹是双曲线

C.若|。刊=|即|,则±+3=5D.若又也-乂岫2卜“…则1<勺42

【例3】（多选题）已知三月分别为双曲线犬-2r=1的左、右焦点，过理的直线与双曲线的右支交于45

两点，记△"月的内切圆。,的面积为z,△即号的内切圆Q的面积为名，则（）

A.圆q和圆仪外切B.圆心。在直线XO上

c.StS2=eD.£+区的取值范围是[2/3可

【跟踪ill练】

L已知双曲线方程是r-《=1,过E的直线与双曲线右支交于c,D两点（其中C点在第一象限），设点

V、N分别为△（?耳月、△期月的内心，贝”的范围是_____.

2.（多选题）已知双曲线C二-]=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为耳、£,离心率为2,焦点到渐

aD

近线的距高为质.过月作直线/交双曲线C的右支于A、B两点，若H、G分别为△.哲月与月£的内心,

贝八）

A.C的渐近线方程为J=±、8xB.点H与点G均在同一条定直线上

C.直线褥不可能与/平行D.|HG|的取值范围为2衣竽）

考点五：已知具有公共焦点的椭图与双曲线的离心率分别为。1，。2,尸是它们的一个交点，目

/骂时=20,W（—）2+（—）2=1.

e1。2

【精选例题】

【例1】已知R,居是椭圆和双曲线的公共焦点，尸是它们的一个公共点，目N耳盟=g,则椭圆和双曲

线离心率倒数之和的最大值为（）

A.-B.拽C.4D.坡

333

22j2

【例2】（多选题）已知椭圆与双曲线。"/=1（4>0,4>0）有公共焦点区（左

焦点），氏（右焦点），目两条曲线在第一象限的交点为尸，若例是以冏为底边的等腰三角形，C,

c：的离心率分别为4和4,且0=2,则（）

3

A.始一6：=&+抬D.cosZ/^PJ5]=-

【跟踪ill练】

I.已知尸是椭圆G：二+£=1（。>6>0）的右焦点,.4为椭圆C的下顶点,双曲线q：工-二=1（那>0,

<rlrnrir

”>o）与椭圆C共焦点，若直线AF与双曲线q的一条渐近线平行，C,c的离心率分别为q,彩，则：+；

的最小值为.

考点六：设图锥曲线。的焦点厂在A轴上，过点F且斜率为左的直线/交曲线。于43两点，若

AF=>0）,则°=J1+左，4~~-，即|ecos8|=（~--

/t+12+1

【精选例题】

1例知椭圆C:=+：=1过焦点F的直线，与椭圆。交于.4,5两点（点.4位于'轴上方），若箫=再，

43

贝」直线/的斜率上的值为.

【例2】已知尸是双曲线二-在=1（。>0,匕>0）的右焦点，直线/经过点尸目与双曲线相交于两点，

a-b-

记该双曲线的离心率为一直线/的斜率为无，若赤=不并，则（）

A.8e--^=1B.g--8^=lC.9/-£=1D.尸一9/=1

【例3】已知R,理是双曲线C：三-1=1（4>0/>0）的左，右焦点，过点不倾斜角为30。的直线与双曲

b-

线的左，右两支分别交于点A,3.若|第卜|即则双曲线。的离心率为（）

A.母B.y/3C.2D.J5

【跟踪勘练】

1斜率为！的直线7过椭圆C：二+二=1（。>。>01的焦点尸，交椭圆于45两点，若万"方，则该椭圆

zCTuJ

的离心率为.

2.已知双曲线E-的左、右焦点分别为耳，耳，过点片且倾斜角为［的直线/与双曲线的左、

6Tir、0

右支分别交于点A,B,且|第卜|B工则该双曲线的离心率为（）

A.0B.邓C.2&D.2书

XTy2b

考点七：揖双照方程为丁一七=1（.＞0/＞0）的右焦点为F,过点F且与渐踏y=_x垂直的直

aba

线分别交两条葡滕于己。两点.

______22

情形1.如图1.若而=/其。＞0/H1）,则。2=「（*）

X—1

图1图2

如图2.若砺=4诉（0＜%＜1）,则/=二-

2+1

【精选例题】

【例1】过双曲线4一4=1（。＞0力＞0）的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为幺，与双曲线的另一条

ab

渐近线交于点3,若而=2或，则此双曲线的离心率为

【例21已知双曲线C:=1,（。＞0力＞0）过C的右焦点尸作垂直于渐近线的直线，交两渐近线于A、

3两点A、3两点分别在一、四象限，若点=：,则双曲线C的离心率为（）

BF2

A.手B.2C.y/3D.书

【跟踪可练】

L已知双曲线y-得=1（。＞°力＞0）的两条渐近线分别为直线,11,经过右焦点尸且垂直于人的直线/分

别交％,于43两点，目方=2/，则该双曲线的离心率为（）

A.3^1B.^3C.-D.

333

2."是双曲线，9=13＞°4°）的左右焦点，过尺且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于48两点,

若亚=2麻，则双曲线的离心率为

A.乎B.质C.噜D.加

■考点过关练■

1.已知点尸在椭圆二+1=1（。＞方＞0）上，月，月是椭圆的左、右焦点，若两•丽=3,且AP医理的面

积为2,则6=（）

A.2B.3C.4D.5

2.椭圆源+…鸣直纷…交于MN两点，连接原点与线段卬中点所得直线的斜率为多呜

的值是（）

A・孝B.苧。考

3.已知双曲线嗒爷=皿＞。）的离心率为小焦点到渐近线距离为3,则双曲线C实轴长（）

A.B.3C.2书D.6

4.侈选黝已知椭圆C：/*—的左、右焦点分别为"，离心率为9且经过点

在椭圆上，则（）

A.|冏|的最大值为3

B.丁里目的周长为4

C.若“期=60,贝LP工月的面积为4

D.若附||格|=4,则&冏=60

5.（多选题）设椭圆的方程为1+斗=1,斜率为六的直线不经过原点。，而且与椭圆相交于.4,5两点,

24

M为线段AB的中点，下列结论不正确的是（）

A.直线4B与0M垂直

B.若点M坐标为（M）,则直线方程为2x+y-3=0

C.若直线方程为y=x+i,则点M坐标为；m

D.若直线方程为J=2x+2,则

6.（多选题）设一4,5是双曲线x2-：=l上的两点，下列四个点中可以为线段疑中点的是（）

4

A.（0,2）B.（-1,2）C.（1,1）D.（1,4）

7.（多选题）若尸是椭圆。：二+巳=1（。>匕>0）与双曲线C：二-二=W">0.”>0）在第一象限的交点，

crb~"rzr

且G,C共焦点冗，月，5P玛=&,G,C的离心率分别为4,彩，则下列结论中正确的是（）

k2

A.|冏|=7"+4,=-4B.8S，=——

!r+?r

31

c.若，=120?,则>+>=4D.若6=90。，则4+4的最小值为2

8.（多选题）如图，尸是椭圆*+上电3°）与双曲线°44=侬＞°'"＞°）在第一象限的

交点，目C，q共焦点玛月,“区尸工=仇1，6的离心率分别为勺，4,则下列结论正确的是（）

13

A.冏卜a+肛户甩=a-刑B.若6=60。，贝11不+r=4

ee〃

C.若8=90。，则3；+约的最小值为2Dtan—=—

a2b

9.己知椭圆C：二+）=1的焦点分别为月（。，2）,^（0-2）,设直线，与椭圆。交于时，N两点，目点

nr6

P\W为线段MV的中点，则直线7的方程为.

10.已知点4B,C是离心率为0的双曲线r：*■一*=1（。＞0力〉0）上的三点，直线AB,AC,BC的斜率分别

是匕£K，点DE,尸分别是线段.4BMCBC的中点。为坐标原点，直线。A。及。尸的斜率分别是用人,。

若*一反~+三=3,贝U左+原+々=

利川二级结论秒杀抛物线中的选填题

■题型J

【考点目录】

考点一：抛辘中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式

考点二过焦点的直线与蝴陵相交坐标之间的关系秒杀公式

考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式

考点四：抛辘中点弦求斜率秒杀公式

考点五：螂噬中以焦半径/点弦为直径的图相切问题

考点六：抛摩中阿基米德三角形相关秒杀结论

【考点分类】

考点一：抛辘中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式

已知幅斜角为6直线的7经过抛物段./=2px的焦点产，且与B蝶陵交于43两点，则

0|JF|=―U—」跖|=—--

1—cos614-cos0|7*141\FB|p

②।“婚i=而48,，也""'=2凶+｝）・

③|/尸|=匕+工，|BF|=/+巴,|AB\=^xA^xB+p.

【精选例题】

【例1】倾斜角为45的直线/经过抛物线,俨=4x的焦点尸，且与抛物线相交于43两点，贝山月（）

4

A.-B.4C.6D.8

3

【例2】已知・4（4乂）回％%）是抛物线。，=盯上的两点,且直线且3经过C的焦点，若］,+必=12,则

闷=()

A.12B.14C.16D.18

【例3把知抛物线V=6x,弦月B过抛物线的焦点尸且满足方=3丽，则弦AB的中点到A轴的距离为（）

A.1B.3C.1D.4

22

【例4】（多选题）已知抛物线E:J，2=2/S>0）的焦点为尸，过点尸的直线/与抛物线E交于43两点（A

在第一象限），O为坐标原点，若|所卜2|昉|=6,则（）

A.p=4

B.直线/的斜率是±2&

C.线段.48的中点到J'轴的距离是g

D.Q43的面积是6度

【跟以峰】

1.已知抛物线/=260>0）的焦点为尸，过焦点尸的直线/交抛物线于两点A,B.若弦长|4B|=4p,

则直线/的斜率为.

JT

2.（多选题）在直角坐标系xQv中，已知抛物线C：俨=2/（p>0）的焦点为尸，过点尸的倾斜角为了的

4

直线/与C相交于A,8两点，目点A在第一象限，“143的面积是80,则（）

A.围=8B.P=4

C-亩+赢=；D.网=8+40

3.（多选题）已知直线八J'=x+",过抛物线。：F=4x的焦点产，目与抛物线交于.4,5两点，则（）

A.m=1

B.同=8

C.|,4F|=2|BF|

D.抛物线C上的动点到直线丁=x+2距离的最小值为年

2

4.（多选题）已知直线/过抛物线。：V=船的焦点尸，目与抛物线C交于山不乂卜项0心）两点，点“为

。的准线与X轴的交点，则下列结论正确的是（）

A.若X|+x?=5,则|回=7

B.过C的焦点的最短弦长为4

C.当万=2而时，直线/的倾斜角为g

D.存在2条直线/,使得|叫忸必=防心〃成立

考点二：过焦点的直线与帔睢相交坐标之间的关系秒杀公式

制雌打、2px的焦点为F,4再403（孙”）是过尸的直线领锣戋的两个交点，求证：

P?2

再为=下4D'2=-P

4.

加般地，飕直线7恒a定点M（肛0）与翻族y2=2px（p>0）交于区3两点，那么

1

xJxB=m,yAyB=-2pm.

端OA±OB^.4B®a^W（2pO）.

【精选例题】

【例1】（多选题）已知抛物线C：）=笈2的的焦点为尸，封（入乂）、N（jJ”是抛物线上两点，则下列

结论正确的是（）

A.点尸的坐标为《,0；

B.若直线MV过点F，则x,x,=-l

10

c.若标=/而，则|MV|的最小值为:

D.若|MF|+|,Wf==,则线段MV的中点尸到x轴的距离为g

ZO

【例2】（多选题）已知抛物线V=8x的焦点为尸，过尸且倾斜角为45。的直线/交抛物线于A,3两点（）

A.直线/的方程为x—J—2=0B.原点到直线，的距离为发

C.|JB|=16

D.y,y2=-8

【例3】（多选题）已知抛物线C：V=4、的焦点为尸，点.4,5是抛物线C上不同两点，下列说法正确的

是（）

A.若.45中点M的横坐标为3,贝”加|的最大值为8

B.若48中点M的纵坐标为2,则直线AB的倾斜角为三

C.设N（4,o）,则卜用的最小值为4及

D.若0A10B,贝I直线AB过定点（4,0）

【跟踪期练】

1.（多选题）过抛物线=2/（P＞。）焦点尸的直线与抛物线交于月（4K）,3（毛,打）两点，贝ij说法正

确的是（）

A.[4B\=xt+x2+pB.%+%=p2

112_____3

C-阿卡国=万D.OAOB=--p^

2.（多选题）已知点MT0）在抛物线。：丁2=2网「＞0）的准线上，过抛物线C的焦点尸作直线/交C于

/（斗乂）、即72）两点,则（）

A.抛物线C的方程是V=4xB.x吊=1

32

C.当万=3而时，|-43|=-yD.3iF=2BMF

3.（多选题）已知4工3）尸（0心）是抛物线C：V=x上不同于原点O的两点，点尸是抛物线C的焦点,

下列说法正确的是（）

A.点尸的坐标为

B.|.4B|=X,+X2+1

C.若Q4_L03,则直线.45经过定点(LO)

D.若点P(-2,1),P4P3为抛物线C的两条切线，则直线43的方程为》-21-2=0

考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式

①改为BCD是抛辘石:/=2px(p>0)中过焦点厂的两条相互垂直的弦，|“姻+|。必存在最小值，

且最小值为8P.

②改AB:CD是脚渔E:y2=2px(p>0)中过焦点F的两条相互垂直的弦，则四边形ABCD的面积的

最小鼬8P-

【精选例题】

【例1】(多选题)过抛物线C：俨=©的焦点尸作两条互相垂直的直线/，和L设直线/,交抛物线C于.4,

B两点，直线4交抛物线C于D,E两点，贝”.4B|+|DE|可能的取值为()

A.18B.16C.14D.12

【例2】在平面直角坐标系xG中，已知动圆“与圆大+俨-2》=0内切，且与直线》=-2相切，设动圆圆

心M的轨迹为曲线瓦

(1或曲线E的方程；

(2奥点尸(L0)作两条互相垂直的直线与曲线E相交于A,3两点和C,D两点，求四边形HC8。的面积S的

最小值

【跟踪嘱】

1.已知尸为抛物线C：J产=4x的焦点，过尸作两条互相垂直的直线-3直线4与C交于45两点，直

线4与c交于D,E两点，则|.4B|+|DE|的最小值为

2.已知抛物线p=4x.其焦点为尸，若互相垂直的直线也〃都经过抛物线］，2=4x的焦点尸，目与抛物线相

交于.4,3两点和C,。两点，则四边形WB8面积的最小值为.

考点四：抛犍戋中点弦求杀公式

设直线/qM卷丁=2"相交所得的弦且8的中点坐标为（对此），则心=上

Jo

【精选例题】

【例1】已知抛物线/=2"的一条弦.43恰好以点尸（U）为中点，弦.45的长为尼，则抛物线的准线方程

为（）

13

A.A*=——B.Jt=_1C.x=——D.x=-2

22

【例2】直线J，=h-2与抛物线./=8x交于48两点，.48中点的横坐标为2,则无为（）

A.-1B.2C.-1或2D.以上都不是

【例3】直线/过抛物线俨=4x的焦点尸，且与抛物线交于45两点，线段月8中点的纵坐标为1,。为坐

标原点，则。到直线月3的距离为（）

A.芋B.竽C.4D.|

【跟制I练】

1.已知直线/与抛物线C：丁=2v相交于48两点，若线段月B的中点坐标为化4）,则直线/的方程为（）

A.4x-j=0B.2x-y=0

C.8x-y-6=0D.x-2y+3=0

2.已知抛物线V=2"（p>0）的焦点为尸，第一象限的A、2两点在抛物线上，目满足步尸卜卜4,

|而卜也若线段.43中点的纵坐标为4,则抛物线的方程为.

3.已知抛物线C：俨=以，过点P（L1）的直线交抛物线。于43两点，若尸为月8的中点、，则直线.43的方

程为.

考点五：抛辘中以焦半径库点弦为直径的图相切问题

设4B是过抛物线力=初。＞0）焦点尸的弦，若.4⑴，口），5（X2,”），则

①以弦-43为直径的圆与准线相切.

②以AF或5尸为直径的圆与.】•轴相切.

【精选例题】

【例1】（多选题）已知45是抛物线C：j，2=6x上的两动点，尸是抛物线的焦点，下列说法正确的是（

A.直线.43过焦点尸时，以.48为直径的圆与C的准线相切

B.直线.43过焦点尸时，|.空|的最小值为6

C.若坐标原点为O,目。4_L03,则直线.43过定点（3,0）

（3A

D.与抛物线C分别相切于43两点的两条切线交于点N,若直线.48过定点;-10一则点N在抛物线C

的准线上

【例2】（多选题）已知抛物线V=4x的焦点为尸，过焦点尸的直线/交抛物线于.4,5两点（其中点/在

x轴上方），则（）

11-

A-画画

B.弦-43的长度最小值为1

C.以4F为直径的圆与J轴相切

D.以45为直径的圆与抛物线的准线相切

【跟踪计练】

1.（多选题）设O是坐标原点，直线了=击6-2）（无＞0）经过抛物线C：V=2"的焦点尸，目与C交于.4,

5西点，△O*是以。尸为底边的等腰三角形，/是抛物线。的准线，则（）

A.以.43直径的圆与准线/相切B.k=

C.BF=2EAD.“145的面积是60

2.（多选题）已知抛物线C：俨=2»。>0）的焦点尸在直线/：khT上，直线/与抛物线交于点43（。

为坐标原点），则下列说法中正确的是（）

A.p=2

B.准线方程为x=-2

C.以线段.43为直径的圆与C的准线相切

D.直线。4。5的斜率之积为定值

考点六：抛辘中阿基米德三角形相关秒杀结论y'I

GMO躅点：如图,假谢㈱的诵为x2=2py{p>0）,过抛酸影戋y=-^|

上一点尸（天,北）向抛物线引两条切线，切点分别记为,其坐标为~>

（冲川）<孙当卜英以点尸和两切点43围成的三角形2LB中，有如下的常见彳"—-

结论：

结论1.直线AB过抛辘的焦点F.

结论2.直线AB航程为3:=2p也9=X,v0+v）.

结论3.过F的直线与翻货交于43两点，以AB分别为切点侬两条股，则这两条股的交点P（私v0）

确I的为抛锲戋的准线

证明：过1点的蛆方程为再x=p（n+T）,过3点的般方程为&X=PG，2+T），两式相除可得：

三.=空出=},二巧凶一再）'2=1,=竽.=_卫.这就证明了该结论.

巧y+>,2再一巧2p2

结论4.尸尸L".

v_P_y_P_

证明：由结论3,心=%，&>F=二^那么心"F=M'^=也_:=_1-

P毛P%P?

结论5.HP_LP8.

M：=&则5/=、土-呼•・由抛娥焦点弦的性质可知内巧=-/,代入上

ppppP

式即可得心修=呼=一1,故AP1PB.

结论6.直线的中点为河，则尸河平行于抛槌的对称轴.

证明：由结论3的证明可知，过点A,B的般的交点P例蛭幽瞧上•旦P的坐标为（色等，竽•），显

然产河平行于抛物段的对称轴.

【精选例题】

【例11已知抛物线C：犬=2*，（p>0）的焦点为F,M（x,y）（x>0）为C上一动点，若曲线C在点M

处的切线的斜率为寺,则直线尸M的斜率为（）

A.迫B.近C.迫D.®

2345

【例2】设抛物线C：俨=6x的焦点为尸，过尸的直线交C于.4,B两点，分别以.4,3为切点作C的切线

4,4,若4与4交于点P,且满足四1=2由，则因卜（）

A.5B.6C.7D.8

【例3】（多相）已知抛物线T=x’的焦点为尸，过尸且斜率为六的直线/交抛物线于」8两点，3在第

一象限，过出5分别作抛物线的切线（，A,且［相交于点尸，若砂交、轴于点。，则下列说法正确的

有（）

A.点尸在抛物线的准线上B.4P3=：

C.FQ^BQD.若木=等，则胃的值为:

【例4】已知抛物线。：犬=4T的焦点为尸，过尸的直线/倾斜角为60。，交C于43两点，过43两点分

别作。的切线心4,其交点为尸，4,4与x轴的交点分别为MN,则四边形RI如V的面积为.

【跟踪ill练】

L已知抛物线犬=勺的焦点为尸，若抛物线上一点尸满足|尸产|=5,则过点P的切线方程为（）

A.2x-y-4=03x-4y+4=0B.2x-j」4=0或2翼+y+4=0

C.2x+y+4=0或3x+4j+4=0D.3x-4i+4=0或3x+4y+4=0

2.(多选题)设抛物线C：J=x’的焦点为尸，过抛物线C上不同的两点4B分别作C的切线，两条切

线的交点为P,.43的中点为0,则()

A.平心轴B.PF1ABC."FA="FBD.|JF|+|BF|=2|PF|

3.已知抛物线C：『=2m。＞0)的焦点为尸，且尸与圆河：/+。，+4,=i上的点的距离的最小值4.

(1球P；

(2港点尸在圆M上，R1,P3是C的两条切线，43是切点，求面积的最大值.

■考点过关练工

1.已知抛物线C：V=2/(p＞0)，过点尸(3,0)目垂直于x轴的直线/交抛物线C于A,3两点，。为

坐标原点，若^0.4B的面积为9,则P=()

A.]B.2